12. Funkcje wielu zmiennych
12.1. Przestrzenie metryczne
Definicja 12.1 (metryka, odległość). Niech X będzie zbiorem niepustym. Metryką w zbiorze
X nazywamy dowolnÄ… funkcjÄ™ d: X×X - R+ = [0, +"), speÅ‚niajÄ…cÄ… nastÄ™pujÄ…ce warunki:
1. "x, y " X : d(x, y) = 0 Ð!Ò! x = y;
2. "x, y " X : d(x, y) = d(y, x) (warunek symetrii);
3. "x, y, z " X : d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (warunek trójkąta).
ParÄ™ (X, d) nazywamy przestrzeniÄ… metrycznÄ…. Dla dowolnych x, y " X, liczbÄ™ d(x, y) na-
zywamy odległością punktów x i y oraz mówimy, że punkty x i y są oddalone od siebie
o d(x, y).
Definicja 12.2 (kula, kula domknięta). Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Kulą
o środku w punkcie x0 " X i promieniu r 0 nazywamy zbiór:

df
K(x0, r) = x " X : d(x0, x) < r .
Kulą domkniętą o środku w punkcie x0 " X i promieniu r 0 nazywamy zbiór:

df
K(x0, r) = x " X : d(x0, x) r .
Definicja 12.3 (Metryka euklidesowa). Niech X = RN oraz niech


N

df

d(x, y) = (xi - yi)2,
i=1
gdzie x = (x1, . . . , xN) oraz y = (y1, . . . , yN).
Para (RN, d) jest przestrzeniÄ… metrycznÄ…. FunkcjÄ™ d nazywamy metrykÄ… euklidesowÄ…
w RN, zaÅ› parÄ™ (RN, d) nazywamy przestrzeniÄ… metrycznÄ… euklidesowÄ….
Uwaga 12.1. W przestrzeni R3 metryka euklidesowa ma postać:

d(x, y) = (x1 - y1)2 + (x2 - y2)2 + (x3 - y3)2,
gdzie x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3).
Definicja 12.4. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną, niech x0 " X oraz A ą" X.
Zbiór U ą" X nazywamy otwartym, jeśli każdy punkt zbioru U zawiera się w U wraz
z pewnÄ… kulÄ…, czyli
"x " U "r > 0 : K(x, r) Ä…" U.
12.2. Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych
Definicja 12.5. Niech (X, d), (Y, Á) bÄ™dÄ… przestrzeniami metrycznymi oraz niech funkcja
f : X Y .
Mówimy, że g " Y jest granicą funkcji f : X Y w punkcie x będącym punktem
skupienia dziedziny funkcji f, jeśli
"µ > 0"´ > 0 : "y : 0 < d(x, y) < ´ =Ò! Á(g, f(y)) < µ.
Mówimy, że funkcja f : X Y jest ciągła w punkcie x, jeśli
"µ > 0"´ > 0 : "y : d(x, y) < ´ =Ò! Á(f(x), f(y)) < µ.
45
Uwaga 12.2. Z istnienia granic iterowanych

lim lim f(x, y)
xa
yb

lim lim f(x, y)
xa
yb
i równości tych granic nie wynika istnienie granicy funkcji f w punkcie (a, b).
Uwaga 12.3. JeÅ›li funkcja f : R×R R ma granicÄ™ w punkcie (a, b), to istniejÄ… obie granice
iterowane

lim lim f(x, y)
xa
yb

lim lim f(x, y)
xa
yb
i są równe granicy funkcji f w punkcie (a, b), tzn. lim f(x, y).
(x,y)(a,b)
Twierdzenie 12.1. Niech X, Y będą przestrzeniami metrycznymi i niech f : X Y będzie
funkcją. Wówczas następujące warunki są równoważne:
1. funkcja f jest ciągła w punkcie a " X,
2. istnieje granica lim f(x) i jest równa wartości funkcji f(a).
xa
Twierdzenie 12.2. Niech X, Y, Z będą przestrzeniami metrycznymi.
Złożenie g ć% f : X Z funkcji ciągłych f : X Y i g : Y Z jest funkcją ciągłą.
Twierdzenie 12.3. Jeśli f : X R oraz g : X R są funkcjami ciągłymi, to suma f + g
1 1
oraz iloczyn f · g sÄ… funkcjami ciÄ…gÅ‚ymi. Ponadto odwrotność : Z x " R oraz
g g(x)
f f(x)
iloraz : Z x " R są funkcjami ciągłymi na zbiorze Z := X \{x " X : g(x) = 0}.
g g(x)
Twierdzenie 12.4 (twierdzenie Weierstrassa). Jeśli f : X R jest funkcją ciągłą określoną
na zbiorze zwartym X (domknięym i ograniczonym), to istnieją punkty a, b " X, w których
funkcja f osiÄ…ga kresy:
kres dolny inf{f(x), x " X} = f(a)
i kres górny sup{f(x), x " X} = f(b).
12.3. Poziomice
Definicja 12.6. Niech f : X R będzie funkcją określoną na przestrzeni metrycznej X
o wartościach rzeczywistych.
Poziomicą funkcji f odpowiadającą wartości a " R nazywamy zbiór
{f = a} = {x " X : f(x) = a},
Przykład 12.1. Jeśli z równania hiperboloidy jednowpowłokowej
x2 + y2 - z2 = 1
wyznaczymy z, z > 0, to otrzymamy funkcję f dwóch zmiennych, określoną wzorem:

z = f(x, y) = x2 + y2 - 1,
której poziomicami są okręgi x2 + y2 = 1 + a2.
46
Rys. 1. Hiperboloida jednopowłokowa x2 + y2 - z2 = 1 i jej poziomice
12.4. Pochodna kierunkowa i pochodne czÄ…stkowe
Definicja 12.7. Niech X będzie przestrzenią wektorową nad K (K = R lub K = C).
Odwzorowanie · : X - R+ nazywamy normÄ… w X, jeÅ›li:
1. "x " X : x = 0 Ð!Ò! x = O;
2. "x " X,  " K : x = || · x (jednorodność);
3. "x, y " X : x + y x + y (subaddytywność).
ParÄ™ (X, · ) nazywamy przestrzeniÄ… unormowanÄ….
Uwaga 12.4. W przestrzeni wektorowej RN nad R możemy wprowadzić normę euklidesową:


N

df

x = x2, x = (x1, . . . , xN) " RN
i
i=1
Twierdzenie 12.5. JeÅ›li (X, · ) jest przestrzeniÄ… unormowanÄ…, d: X × X - R+ jest
df
funkcją zadaną przez d(x, y) = x - y , to (X, d) jest przestrzenią metryczną. Mówimy, że
d jest metrykÄ… zadanÄ… przez normÄ™ · .
Uwaga 12.5. Każda przestrzeń unormowana jest przestrzenią metryczną, ale nie odwrotnie.
Różnica polega na tym, że w przestrzeni metrycznej nie ma wprowadzonych działań doda-
wania elementów tej przestrzeni i mnożenia ich przez skalary, a w przestrzeni wektorowej
możemy dodawać wektory i mnożyć je przez liczby.
Definicja 12.8. Niech A ‚" X bÄ™dzie otwartym podzbiorem przestrzeni unormowanej X.
Niech v " X, v = 0 będzie ustalonym niezerowym wektorem tej przestrzeni.

Mówimy, że funkcja f : A R ma w punkcie a pochodną kierunkową w kierunku wektora
v, jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:
f(a + hv) - f(a)
lim .
h0
h
GranicÄ™ tÄ™ oznaczamy symbolem "vf(a) i nazywamy pochodnÄ… kierunkowÄ… funkcji f w kie-
runku wektora v w punkcie a.
Uwaga 12.6. Zbiór {a + tv, t " R} jest prostą przechodzącą przez punkt a równoległą do
wektora v, stÄ…d pochodna "vf(a) jest pochodnÄ… w punkcie t = 0 funkcji jednej zmiennej
47
rzeczywistej t f(a + tv). Można zatem powtórzyć jednowymiarowy warunek konieczny
istnienia ekstremum w punkcie, w którym istnieje pochodna kierunkowa funkcji.
Twierdzenie 12.6. Niech A ‚" X bÄ™dzie otwartym podzbiorem przestrzeni unormowanej X
i niech v " X, v = 0. Jeśli funkcja f : A R osiąga ekstremum w punkcie a " A i istnieje

pochodna kierunkowa "vf(a), to pochodna ta zeruje siÄ™.
Definicja 12.9. Niech X = Rn i niech e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . ., en =
(0, 0, 0, . . . , 1) będą wersorami osi. Niech A będzie otwartym podzbiorem przestrzeni Rn.
Pochodne kierunkowe (o ile istniejÄ…) "e f(a), "e f(a), ..., "e f(a) funkcji f : A R w kie-
1 2 n
runku wersorów osi {e1, e2, . . . , en} nazywamy pochodnymi cząstkowymi funkcji f w punkcie a.
PochodnÄ… czÄ…stkowÄ… funkcji (x1, x2, . . . , xn) f(x1, x2, . . . , xn) " R w kierunku wektora ei
oznaczamy tradycyjnie symbolem:
"f "

(a), f(a), fx (a) lub fx (a).
i
i
"xi "xi
W przypadku, gdy nie numerujemy współrzędnych argumentu funkcji (x, y, z) f(x, y, z)
pochodne czÄ…stkowe oznaczamy symbolami
"f "f "f
(a), (a), (a).
"x "y "z
Twierdzenie 12.7 (warunek konieczny istnienia ekstremum). Jeśli funkcja f : A R
"
osiąga ekstremum w punkcie a " A, w którym istnieją pochodne cząstkowe f(a), k "
"xk
{1, 2, . . . , n}, to pochodne te zerujÄ… siÄ™ w tym punkcie, tj.
"
f(a) = 0 dla k = 1, 2, . . . , n.
"xk
Uwaga 12.7. Dla funkcji f(x, y) dwóch zmiennych mamy pochodne cząstkowe w punkcie
a = (x0, y0):
"f(x0, y0) f(x0 + h, y0) - f(x0, y0)
= lim
h0
"x h
"f(x0, y0) f(x0, y0 + h) - f(x0, y0)
= lim
h0
"y h
W tym przypadku pochodne czÄ…stkowe fx(x0, y0), fy(x0, y0) oznaczajÄ… odpowiednio tan-
gensy kÄ…tów Ä…, ², jakie tworzy z osiami Ox i Oy styczna w punkcie P (x0, y0, f(x0, y0)) do linii,
wzdłuż których płaszczyzny x = x0 i y = y0 przecinają powierzchnię o równaniu z = f(x, y).
Przykład 12.2. Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego dla funkcji

f(x, y) = x cos x + ln xy
Mamy


"f 1 y
"
= 1 · cos x + ln xy + x · (- sin x + ln xy) 1 +
"x 2 x + ln xy xy


"f 1 1
"
= x(- sin x + ln xy) · x
"y 2 x + ln xy xy
48
5 5
z z
0 0
2 2
0 0
y y
2 2
5 5
2 2
0 0
x 2 x 2
Rys. 2. Interpretacja graficzna pochodnej czÄ…stkowej
Uwaga 12.8. Dla funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) wektor

"z(a) "z(a)
= , , -1
n
"x "y
jest wektorem normalnym płaszczyzny stycznej do powierzchni z = f(x, y) w punkcie a =
(x0, y0, z0), stąd równanie tej płaszczyzny ma postać:
zx(a)(x - x0) + zy(a)(y - y0) - (z - z0) = 0
Przykład 12.3. Dla powierzchni o równaniu z = x2y+3y wyznaczyć w punkcie P (1, -1, z0)
równanie płaszczyzny stycznej do tej powierzchni.
Ponieważ
"z
= 2xy
"x
"z
= x2 + 3,
"y
stÄ…d = [-2, 4, -1] oraz z0 = f(1, -1) = -4, zatem
n
Ä„ : -2(x - 1) + 4(y + 1) - (z + 4) = 0,
czyli
-2x + 4y - z + 2 = 0
12.5. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
"f
Definicja 12.10. Rozważmy funkcję , która punktowi x " U przyporządkowuje pochod-
"xi
nÄ… czÄ…stkowÄ… funkcji f po zmiennej xi w punkcie a, czyli funkcjÄ™
"f "f
: U a (a) " R.
"xi "xi
"f
Jeśli w punkcie a " U istnieje pochodna cząstkowa funkcji po zmiennej xj, to mówi-
"xi
my, że funkcja f ma pochodną cząstkową rzędu drugiego po zmiennych xi oraz xj. Pochodną
" " "2 "2f(a)
tÄ™ oznaczamy symbolem f(a), bÄ…dz
f(a) lub .
"xj "xi "xj"xi "xj"xi
49
"2f(a) "2f(a)
Gdy i = j piszemy zamiast .
"x2 "xi"xi
i
Uwaga 12.9. Jeśli f : Rn (x, y, z, . . . , t) f(x, y, z, . . . , t) " R jest funkcją n zmiennych,
to często zamiast pisać
"2f(a) "2f(a) "2f(a)
, , , . . . ,
"x2 "x"y "x"z
piszemy
fxx(a), fxy(a), fxz(a), . . . ,
bÄ…dz


fxx(a), fxy(a), fxz(a), . . .
Lemat 12.1 (Schwarza). JeÅ›li f : Rn ƒ" U x f(x) " R jest funkcjÄ…, która w punkcie
" " " "
a " U ma ciągłe pochodne cząstkowe f oraz f, to w punkcie a są one równe,
"xj "xi "xi "xj
tj.
" " " "
f(a) = f(a).
"xj "xi "xi "xj
Przykład 12.4. Obliczmy pochodne mieszane rzędu trzeciego dla funkcji
f(x, y) = e2xy2
Mamy

"3f " " " " " "
= e2xy2 = 2e2xy2 = 4e2xy =
"x"y"x "x "y "x "x "y "x
= 8e2xy

"3f " " " " " "
= e2xy2 = 2e2xy2 = 4e2xy2 =
"x2"y "y "x "x "y "x "y
= 8e2xy

"3f " " " " " "
= e2xy2 = 2e2xy = 4e2xy =
"y"x2 "x "x "y "x "x "x
= 8e2xy
Definicja 12.11. Załóżmy, że istnieją kolejno pochodne cząstkowe

n 2 1
"Ä… "Ä… "Ä…
. . . f . . . (a)
2 1
n
"xÄ… "xÄ… "xÄ…
n 2 1
i nie zależą od kolejności różniczkowania. Mówimy wówczas, że funkcja f ma pochodną
czÄ…stkowÄ…

n 2 1
"|Ä…|f(a) "Ä… "Ä… "Ä…
:= . . . f . . . (a)
2 1
n
"xÄ… "xÄ… "xÄ… "xÄ…
n 2 i
rzÄ™du |Ä…| = Ä…1 + Ä…2 + · · · + Ä…n w punkcie a. PochodnÄ… tÄ™ notujemy też symbolem DÄ…f(a).
50
12.6. Pochodne czÄ…stkowe w fizyce. Elementy teorii pola
Definicja 12.12. Niech f : D R będzie funkcją określoną na pewnym zbiorze otwartym
"f "f
D ‚" Rn. Załóżmy, że w pewnym punkcie a " D istniejÄ… pochodne czÄ…stkowe (a), (a),
"x1 "x2
"f
. . . , (a).
"xn

"f "f "f
Wektor grad f(a) = (a), (a), . . . , (a) " Rn nazywamy gradientem funkcji f
"x1 "x2 "xn
w punkcie a.
Wektor ten oznaczamy też symbolem nabla: "f(a).
Punkt a, w którym wyznaczamy gradient funkcji f, można także zapisać w formie indeksu
dolnego: grad f, "af.
a
Uwaga 12.10. JeÅ›li funkcje f, g : Rn ƒ" D R majÄ… w punkcie a " D pochodne czÄ…stkowe
"f "g
(a), (a), i = 1, 2, . . . , n, to:
"xi "xi
1. grad (f + g)(a) = grad f(a) + grad g(a),
2. grad (fg)(a) = g(a)grad f(a) + f(a)grad g(a).
Twierdzenie 12.8. JeÅ›li w punkcie a " D ‚" Rn istnieje pochodna kierunkowa "vf(a)
w kierunku wektora v, to można ją przedstawić w postaci:
"f(a) "f(a) "f(a)
"vf(a) = w1 + w2 + . . . wn = grad f(a) ć% v",
"x1 "x2 "xn
gdzie w = (w1, w2, . . . , wn) jest wersorem wektora v, tzn. w = v".
Przykład 12.5. Obliczymy gradient funkcji f(x, y, z) = x2y + 3xy2 + xz + z2 + z w punkcie
P (-1, 1, 0).
Ponieważ
"f
= 2xy + 3y2 + z
"x
"f
= x2 + 6xy
"y
"f
= x + 2z + 1,
"z
stÄ…d grad f(P ) = (1, -5, 0).
Przykład 12.6. Obliczymy w punkcie P (1, 1, 2) pochodną funkcji f(x, y, z) = z ln(x) w kie-
y
runku wektora v = (-1, 3, 2).
Ponieważ
"f 1 1 z
= z · =
x
"x y x
y
"f 1 -x z
= z · = -
x
"y y2 y
y

"f x
= ln ,
"z y
stÄ…d grad f(P ) = (2, -2, 0).
"
-1
"3 "2
Wersorem w wektora v jest w = v" = ("14, , ), ponieważ v = 14, zatem
14 14
-1
"3 "2 "8
"vf(P ) = grad f(P ) ć% v" = (2, -2, 0) ć% ("14, , ) = - .
14 14 14
51
Uwaga 12.11. JeÅ›li przez Õ oznaczymy kÄ…t miÄ™dzy wektorem v i grad f(a), to z definicji
iloczyny skalarnego i z tego, że v" jest wersorem, tzn. v" = 1, wynika, że
"vf(a) = grad f(a) v" cos Õ = grad f(a) cos Õ,
zatem pochodna kierunkowa w kierunku wektora gradientu jest najwiÄ™ksza (cos Õ = 1).
Wektor gradientu wskazuje więc kierunek największego wzrostu wartości funkcji.
Uwaga 12.12. W fizyce funkcję f : R3 R o wartościach liczbowych nazywa się funkcją ska-
larną, natomiast funkcję F : R3 R3 nazywa się polem (wektorowym). Przykładem funkcji
skalarnych są np. temperatura, potencjał pola grawitacyjnego. Przykładem pola wektorowego
jest pole grawitacyjne.
Definicja 12.13. Pole wektorowe F : R3 ƒ" D R3 nazywamy polem potencjalnym, jeÅ›li
istnieje funkcja skalarna U : D R, taka że grad U(a) = F (a) w dowolnym punkcie a zbioru
otwartego D ‚" R3.
Funkcję U nazywamy wówczas potencjałem pola wektorowego F .
k
Przykład 12.7. Pole grawitacyjne F ( = - jest polem potencjalnym. Potencjałem
r) r
r3

k
tego pola jest funkcja skalarna U( = , gdzie = (x, y, z) oraz r = = x2 + y2 + z2.
r) r r
r
k k
"
Licząc pochodne cząstkowe funkcji U(x, y, z) = = określonej w zbiorze
x2 + y2 + z2 r
otwartym D = R3 \ {0}, czyli wszędzie w przestrzeni R3 poza początkiem układu współrzęd-
nych, mamy :
" " k k "r k 2x k
U( = = - · = - · = - x
r)
"x "x r r2 "x r2 2r r3
" " k k "r k 2y k
U( = = - · = - · = - y
r)
"y "y r r2 "y r2 2r r3
" " k k "r k 2z k
U( = = - · = - · = - z,
r)
"z "z r r2 "z r2 2r r3
k k k
grad U( = grad U(x, y, z) = (- x, - y, - z)
r)
czyli
r3 r3 r3
k k
= - (x, y, z) = -
r
r3 r3
= F (
r).
Definicja 12.14. DywergencjÄ… pola wektorowego F = (Fx, Fy, Fz) : R3 ƒ" D R3 w punkcie
a " D nazywamy liczbÄ™
"Fx "Fy "Fz
div F (a) = (a) + (a) + (a),
"x "y "z
"Fx "Fy "Fz
o ile istniejÄ… pochodne czÄ…stkowe (a), (a), (a).
"x "y "z
Jeśli w dowolnym punkcie a " D dywergencja div F (a) = 0, to pole wektorowe F nazy-
wamy polem bezz
ródłowym.
k
Przykład 12.8. Pole grawitacyjne F ( = - jest polem bezz
ródłowym w R3 \ {0}.
r) r
r3
W dowolnym punkcie = (x, y, z) = 0 mamy
r
52

"Fx " k "x 1 " 1
( = - x = -k + x
r)
"x "x r3 "x r3 "x r3

1 (-3) "r 1 3x2
= -k + x · = -k -
r3 r4 "x r3 r5
i podobnie

"Fy 1 3y2 "Fz 1 3z2
( = -k - oraz ( = -k - .
r) r)
"y r3 r5 "z r3 r5
"Fx "Fy "Fz
StÄ…d
div F ( = ( + ( + (
r) r) r) r)
"x "y "z

1 3x2 1 3y2 1 3z2
= -k - - k - - k -
r3 r5 r3 r5 r3 r5

3 3(x2 + y2 + z2) 3 3r2
= -k - = -k - = 0.
r3 r5 r3 r5
Definicja 12.15. RotacjÄ… pola wektorowego F = (Fx, Fy, Fz) : R3 ƒ" D R3 w punkcie
a " D nazywamy wektor

"Fz "Fy "Fx "Fz "Fy "Fx
rot F (a) = (a) - (a), (a) - (a), (a) - (a) .
"y "z "z "x "x "y
Wektor ten oznaczamy też symbolem " × F (a), przy czym × oznacza iloczyn wektorowy

" " "
wektora " = , , oraz wektora F (a) = (Fx(a), Fy(a), Fz(a)).
"x "y "z
Jeśli w każdym punkcie a " D rotacja rot F (a) = 0, to pole wektorowe F nazywamy
bezwirowym.
k
Przykład 12.9. Pole grawitacyjne F ( = - jest polem bezwirowym w R3 \ {0}.
r) r
r3
W dowolnym punkcie = (x, y, z) = 0 mamy
r

" " 1 " 1 (-3) "r y 3k
Fz( = - k z = -kz = -kz = 3kz = zy
r)
"y "y r3 "y r3 r4 "y r5 r5
" 3k
oraz podobnie Fy( = yz .
r)
"z r5
Pierwsza współrzędna wektora rotacji jest więc równa zeru, gdyż
"Fz "Fy 3k 3k
( - ( = zy - yz = 0.
r) r)
"y "z r5 r5
W ten sam sposób sprawdzamy, że również druga i trzecia współrzędna wektora rotacji
zerujÄ… siÄ™:
"Fx "Fz 3k 3k
( - ( = xz - zx = 0
r) r)
"z "x r5 r5
"Fy "Fx 3k 3k
( - ( = yx - xy = 0.
r) r)
"x "y r5 r5
StÄ…d rot F ( = 0 dla = 0.
r) r
12.7. Różniczka zupełna
Definicja 12.16. Niech f jest funkcją n zmiennych określoną w otoczeniu U punktu (x1, x2, . . . , xn)
i niech "xi oznacza przyrost zmiennej niezależnej xi, i = 1, 2, . . . , n.
Przyrostem zupełnym "f(x) funkcji f w punkcie x, odpowiadającym przyrostom "x1,
"x2, . . ., "xn nazywamy różnicę wartości funkcji w punkcie x i x + "x
"f(x) = f(x) - f(x + "x)
53
Definicja 12.17. Mówimy, że funkcja n zmiennych jest różniczkowalna w punkcie x, je-
żeli w dowolnie małym otoczeniu U punktu x przyrost zupełny "f(x) tej funkcji można
przedstawić w postaci
n

"f(x) = Ai"xi + µ ,
i=1
gdzie Ai, i = 1, 2, . . . , n sÄ… pewnymi staÅ‚ymi, µ = µ("x1, "x2, . . . , "xn), = "x =

("x1)2 + ("x2)2 + . . . ("xn)2, przy czym µ 0, gdy 0.
Twierdzenie 12.9. Jeżeli funkcja n zmiennych jest różniczkowalna w punkcie x, to istnieją
w tym punkcie skończone pochodne cząstkowe
"f(x)
, i = 1, 2, . . . , n,
"xi
oraz przyrost zupełny tej funkcji w punkcie x można przedstawić w postaci:
n

"f(x)
"f(x) = "xi + µ ,
"xi
i=1
Definicja 12.18. Różniczką zupełną df(x) funkcji f o n zmiennych nazywamy liniowy skład-
nik przyrostu zupełnego "f(x), zatem
n

"f(x)
df(x) = "xi
"xi
i=1
Uwaga 12.13. Ponieważ dla zmiennych niezależnych x1, x2, . . . , xn, mamy dx1 = "x1, dx2 =
"x2, . . . dxn = "xn, więc
n

"f(x)
df(x) = dxi
"xi
i=1
Uwaga 12.14. Dla dostatecznie małych przyrostów "xi, i = 1, 2, . . . , n słuszny jest wzór
przybliżony:
"f(x) H" df(x),
stąd maksymalny błąd bezwzględny "f wartości funkcji możemy obliczyć ze wzoru:

n


"f(x)

"f = "xi

"xi
i=1
Przykład 12.10. Okres wahania T wahadła prostego jest dany wzorem

l
T = 2Ä„ ,
g
gdzie l oznacza długość wahadła, a g przyspieszenie grawitacyjne. Ocenić błąd "T , jeśli l i
g są obarczone błędami dl i dg.
Ponieważ

"T 1 1 g 1

= 2Ä„ · = Ä„ · ,
l
"l g l g
2
g


"T 1 l g l

= 2Ä„ · - = -Ä„ · ,
l
"g g2 l g2
2
g
54
więc


g dl ldg
dT = Ä„ - ,
l g g2
zatem maksymalny błąd bezwzględny wynosi:


g "l l"g
"T = Ä„ + ,
l g g2
a maksymalny błąd względny

"T 1 "l "g
= + ,
T 2 l g
czyli jest równy połowie maksymalnych błędów względnych popełnionych przy pomiarach l
i g.
Przykład 12.11. Długość krawędzi prostopadłościanu wynoszą a = 3 ą 0, 2 cm, b = 4 ą
0, 2 cm, c = 12 ą 0, 1 cm. Znajdziemy długość przekątnej prostopadłościanu i podamy do-
kładność jej obliczenia.
Długość przekątnej
"
d = d(a, b, c) = a2 + b2 + c2.
Aby wyznaczyć maksymalny błąd bezwzględny obliczamy pochodne cząstkowe:
"d a "d b "d c
" " "
= , = , = ,
"a "b "c
a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2
"d(3, 4, 12) 3 "d(3, 4, 12) 4 "d(3, 4, 12) 12
zatem
= , = , = ,
"a 13 "b 13 "c 13
więc maksymalny błąd względny wynosi
a"a + b"b + c"c 1
"
"d = = (3 · 0, 2 + 4 · 0, 2 + 12 · 0, 1) = 0, 2,
13
a2 + b2 + c2
stÄ…d d = 13 Ä… 0, 2 cm.
Maksymalny błąd względny
"d a"a + b"b + c"c
= H" 0, 015 = 1, 5%
d a2 + b2 + c2
Definicja 12.19. RóżniczkÄ… zupeÅ‚nÄ… rzÄ™du drugiego d2f(x)funkcji f w obszarze D ‚" Rn
nazywamy różniczkę zupełną różniczki zupełnej pierwszego rzędu tej funkcji w obszarze D,
czyli
d2f(x) = d(df(x)).
Uwaga 12.15. Ponieważ
n

"f(x)
df(x) = dxi,
"xi
i=1
zatem

n n

" "f(x)
d2f(x) = dxi dxj
"xj "xi
j=1 i=1
stÄ…d
n n

"2f(x)
d2f(x) = dxidxj
"xi"xj
j=1 i=1
55
îÅ‚ Å‚Å‚
dx1
ïÅ‚
dx2śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
Uwaga 12.16. Oznaczając dx = różniczkę d2f(x) możemy zapisać w postaci macie-
.
ïÅ‚ śł
.
ðÅ‚ . ûÅ‚
dxn
rzowej:
îÅ‚ Å‚Å‚
"2f(x) "2f(x) "2f(x)
. . .
"x2 "x1"x2 "x1"xn
ïÅ‚ śł
1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł dx1
"2f(x) "2f(x) "2f(x)
ïÅ‚ śł
. . . ïÅ‚
ïÅ‚ śł
"x2"x1 "x2 "x2"xn
dx2śł
ïÅ‚ śł
2
śł
ïÅ‚ śł
d2f(x) = dx1 dx2 . . . dxn ïÅ‚ śł
ïÅ‚
.
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł .
. . .
.
ðÅ‚ . ûÅ‚
. . . .
ïÅ‚ śł
.
. . .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł dxn
ðÅ‚ ûÅ‚
"2f(x) "2f(x) "2f(x)
. . .
"xn"x1 "xn"x2 "x2
n
Definicja 12.20. Macierz
îÅ‚ Å‚Å‚
"2f(x) "2f(x) "2f(x)
. . .
"x2 "x1"x2 "x1"xn
ïÅ‚ śł
1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
"2f(x) "2f(x) "2f(x)
ïÅ‚ śł
. . .
ïÅ‚ śł
"x2"x1 "x2 "x2"xn
2
ïÅ‚ śł
Hf(x) = ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
. . .
.
. . . .
ïÅ‚ śł
.
. . .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
"2f(x) "2f(x) "2f(x)
. . .
"xn"x1 "xn"x2 "x2
n
nazywamy hesjanem lub macierzÄ… Hessego funkcji f
Uwaga 12.17. Hesjan jest macierzą symetryczną i przy jego pomocy można zapisać różniczkę
zupełną drugiego rzędu w następującej postaci:
d2f(x) = (dx)T Hf(x)dx.
Zapis ten oznacza, że różniczka zupełna drugiego rzędu jest formą kwadratową względem
przyrostów dx1, . . . , dxn.
Definicja 12.21. Macierz symetryczną A nazywamy określoną dodatnio (ujemnie), jeśli
skojarzona z nią forma kwadratowa jest określona dodatnio (ujemnie).
Definicja 12.22. Minorem głównym macierzy A = [aij]n×n nazywamy minor o postaci:


a11 a12 . . . a1i


a21 a22 . . . a2i


dla i = 1, 2, . . . , n
. .
.
. . .
.
. . . . .


ai1 ai2 . . . ani
tzn.


a11 a12 a13

a11 a12

A1 = a11, A2 = , A3 = a21 a22 a23 , . . . , An = det A


a21 a22

a31 a32 a33
Twierdzenie 12.10 (kryterium Sylvestra). Forma kwadratowa o macierzy skojarzonej A
jest:
1. dodatnio okreÅ›lona Ð!Ò! Ak > 0 "k = 1, 2, . . . , n
2. ujemnie okreÅ›lona Ð!Ò! (-1)kAk > 0 "k = 1, 2, . . . , n
56
3. półokreÅ›lona dodatnio Ð!Ò! Ak 0 "k = 1, 2, . . . , n
4. półokreÅ›lona ujemnie Ð!Ò! (-1)kAk 0 "k = 1, 2, . . . , n
5. nieokreślona, gdy nie zachodzi żaden z powyższych przypadków
Przykład 12.12. Zbadamy określoność formy kwadratowej
Åš(x) = -x2 + 4x1x2 - 5x2 + 2x2x3 - 4x2
1 2 3
Macierz formy kwadratowej Ś ma postać:
îÅ‚ Å‚Å‚
-1 2 0
ïÅ‚ śł
A = 2 -5 1 ,
ðÅ‚ ûÅ‚
0 1 -4
ponieważ
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-1 2 0 x1

śł ïÅ‚
Åš(x) = xT Ax = x1 x2 x3 ïÅ‚ 2 -5 1 x2śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 1 -4 x3
Obliczając kolejne minory główne, mamy:


-1 2 0

-1 2

A1 = -1 < 0, A2 = = 1 > 0, A3 = 2 -5 1 = -3 < 0,
-5

2

0 1 -4
zatem forma kwadratowa jest ujemnie określona
Definicja 12.23. Niech D ‚" Rn jest zbiorem otwartym oraz f : D R jest funkcjÄ…
różniczkowalną.
Każdy punkt a " D, spełniający warunki:
"f(a)
= 0, k = 1, 2, . . . n
"xk
nazywamy punktem stacjonarnym funkcji f.
Twierdzenie 12.11. Niech D ‚" Rn oraz funkcja f : D R.
Jeśli f ma w pewnym otoczeniu punktu stacjonarnego x0 " D ciągłe wszystkie pochod-
ne rzędu pierwszego i drugiego, to w punkcie x0 funkcja ma ekstremum lokalne, gdy forma
kwadratowa
n n

"2f(x0)
d2f(x0) = dxidxj
"xi"xj
j=1 i=1
jest określonego znaku i ekstremum to jest
1. maksimum lokalnym, gdy forma ta jest określona ujemnie,
2. minimum lokalnym, gdy forma jest określona dodatnio.
Jeżeli forma kwadratowa d2f(x0) nie jest określona, to w punkcie stacjonarnym a nie ma
ekstremum.
Przykład 12.13. Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji
f(x, y) = x3 + 3xy2 - 15x - 12y
57
Z warunku koniecznego ekstremum otrzymujemy układ równań:
"f
= 3x2 + 3y2 - 15 = 0
"x
"f
= 6xy - 12 = 0
"y
2
Z drugiego równania mamy y = , stąd podstawiając do pierwszego równania, dostajemy:
x
4
x2 + = 5,
x2
stÄ…d
x4 - 5x2 + 4 = 0
zatem x = Ä…1 lub x = Ä…2. Otrzymujemy zatem cztery punkty stacjonarne:
A(1, 2), B(-1, -2), C(2, 1), D(-2, -1)
Wyznaczamy teraz hesjan Hf(x, y). Ponieważ
"2f
= 6x,
"x2
"2f "2f
= = 6y,
"x"y "y"x
"2f
= 6x,
"y2
zatem

6x 6y
Hf(x, y) =
6y 6x

6 12 -6 -12
Hf(1, 2) = , Hf(-1, -2) =
12 6 -12 -6

12 6 -12 -6
Hf(2, 1) = , Hf(-2, -1) =
6 12 -6 -12
stąd macierz Hf(2, 1) jest dodatnio określona, a macierz Hf(-2, -1) jest ujemnie określona.
Natomiast macierze Hf(1, 2) i Hf(-1, -2) są nieokreślone. Punkt (2, 1) jest zatem punktem
minimum lokalnego funkcji f, a punkt (-2, -1) punktem maksimum lokalnego. Mamy zatem:
fmin(2, 1) = -28
fmax(-2, -1) = 28.
58