9. Całka nieoznaczona
9.1. Funkcja pierwotna
Definicja 9.1. Niech D ą" R będzie przedziałem oraz niech f : D - R będzie funkcją.
Funkcję F : D - R nazywamy funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna oraz

F = f.
Twierdzenie 9.1. Dwie dowolne funkcje pierwotne funkcji f : D - R różnią się o stałą,
to znaczy:
1. Jeśli F i G są funkcjami pierwotnymi funkcji f, to F - G = c dla pewnego c " R.
2. Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f oraz F - G = c dla pewnego c " R, to G też
jest funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f.
9.2. Całka nieoznaczona
Definicja 9.2. Całką nieoznaczoną funkcji f nazywamy zbiór jego pierwotnych i oznaczamy

f(x) dx
Całkowaniem nazywamy wyznaczanie całki.
Wniosek 9.1. Jeśli F jest pierwotną funkcji f, to:

f(x) dx = F (x) + c.
Twierdzenie 9.2 (warunek wystarczający całkowalności). Każda funkcja ciągła ma funkcję
pierwotnÄ….
Twierdzenie 9.3.
1. Pochodna całki:


f(x) dx = f(x)
2. Całka pochodnej:

f (x) dx = f(x) + C
27
9.3. Całki funkcji elementarnych
Twierdzenie 9.4 (całki funkcji elementarnych).

1. 0 dx = c;

2. 1 dx = x + c;

1
3. xÄ… dx = xÄ…+1 + c dla Ä… = -1;

Ä… + 1

1
4. dx = ln |x| + c;
x

ax
5. ax dx = + c, dla a > 0, a = 1,

ln a

(w szczególności ex dx = ex + c);

6. sin x dx = - cos x + c;

7. cos x dx = sin x + c;

1
8. dx = tg x + c;
cos2 x

1
9. dx = -ctg x + c;
sin2 x

1
"
10. dx = arc sin x + c;
1 - x2

1
11. dx = arctg x + c;
1 + x2


"
1

"
12. dx = arsinh x = ln x + x2 Ä… 1
;
x2 Ä… 1
Twierdzenie 9.5. JeÅ›li f, g : R ‡" D - R sÄ… funkcjami, dla których istniejÄ… caÅ‚ki nieozna-
czone,  " R, to:

1. (f Ä… g)(x) dx = f(x) dx Ä… g(x) dx;

2. (f)(x) dx =  f(x) dx.
" "
4 5
dx x2 - 1 3 x3 - 3 x4
" "
Przykład 9.1. x15 dx, , dx, dx
4 3
x3 x2 + 1 x2
9.4. Całkowanie przez części
Twierdzenie 9.6 (Całkowanie przez części). Jeśli I ą" R jest przedziałem, u, v : I - R
sÄ… funkcjami różniczkowalnymi oraz istnieje caÅ‚ka nieoznaczona dla funkcji u · v , to istnieje
także caÅ‚ka nieoznaczona dla funkcji u · v oraz

uv dx = uv - u v dx.

Przykład 9.2. xex dx, ln x dx, ex sin x
28
9.5. Całkowanie przez podstawianie
Twierdzenie 9.7 (Całkowanie przez podstawianie). Jeśli I, J ą" R są przedziałami, f : I -
J jest funkcją różniczkowalną oraz g : J - R jest funkcją, dla której istnieje pierwotna
G: J - R, to istnieje caÅ‚ka nieoznaczona dla funkcji (g ć% f) · f oraz

(g ć% f) · f dx = G ć% f.
Uwaga 9.1. Wzór całkowania przez podstawianie często zapisujemy jako:


g f(x) f (x) dx = g(t) dt,

dx 3
PrzykÅ‚ad 9.3. , x2 · 2x dx, sin(5x + 2) dx, tg x dx
(3x - 5)3
9.6. Całkowanie funkcji wymiernych
Twierdzenie 9.8 (Podstawowe twierdzenie algebry (w wersji rzeczywistej)). Dowolny wie-
lomian można rozłożyć na czynniki nierozkładalne stopnia co najwyżej 2, to znaczy
1 2 r
Q(x) = c(x - a1)k (x - a2)k . . . (x - ar)k . . .
1 2 s
. . . (x2 + p1x + q1)l (x2 + p2x + q2)l . . . (x2 + psx + qs)l ,
gdzie stopień wielomianu Q wynosi stQ = k1 + k2 + . . . + kr + 2(l1 + l2 + . . . + ls) oraz
"i = p2 - 4qi < 0 dla i = 1, 2, . . . s.
i
Definicja 9.3. Funkcją wymierną R nazywamy iloraz dwóch wielomianów P i Q, czyli
P (x)
R(x) =
Q(x)
Jeśli stP < stQ, to funkcję wymierną R nazywamy właściwą.
Jeśli stP stQ, to funkcję wymierną R nazywamy niewłaściwą.
Definicja 9.4 (ułamki proste). Ułamkami prostymi nazywamy funkcje wymierne postaci:
A Bx + C
oraz ,
(x - a)k (x2 + px + q)s
gdzie a, p, q, A, B, C " R, k, s " N, " = p2 - 4q < 0.
Twierdzenie 9.9. Każdą funkcję wymierną właściwą można przedstawić w postaci sumy
skończonej liczby ułamków prostych.
P (x)
Twierdzenie 9.10 (O rozkładzie na ułamki proste). Niech R(x) = będzie funkcją
Q(x)
wymierną właściwą, wówczas istnieje jedyny rozkład funkcji R na ułamki proste oraz jeśli
1 2 r
Q(x) = (x - a1)k (x - a2)k . . . (x - ar)k . . .
1 2 s
. . . (x2 + p1x + q1)l (x2 + p2x + q2)l . . . (x2 + psx + qs)l ,
gdzie "i = p2 - 4qi < 0 dla i = 1, 2, . . . s, to
i
29
P (x) A11 A12 A1k
1
= + + . . . +
1
Q(x) (x - a1) (x - a1)2 (x - a1)k
A21 A22 A2k
2
+ + + . . . +
2
(x - a2) (x - a2)2 (x - a2)k
+ . . .
Ar1 Ar2 Ark
r
+ + + . . . +
r
(x - ar) (x - ar)2 (x - ar)k
B11x + C11 B12x + C12 B1l x + C1l
1 1
+ + + . . . +
1
(x2 + p1x + q1) (x2 + p1x + q1)2 (x2 + p1x + q1)l
B21x + C21 B22x + C22 B1l x + C1l
2 2
+ + + . . . +
2
(x2 + p2x + q2) (x2 + p2x + q2)2 (x2 + p2x + q2)l
+ . . .
Bs1x + Cs1 Bs2x + Cs2 Bsl x + Csl
s s
+ + + . . . +
s
(x2 + psx + qs) (x2 + psx + qs)2 (x2 + psx + qs)l
r ki s li

Aij Bij x + Cij
i i i
= + .
i i
(x - ai)j (x2 + pix + qi)j
i=1 ji=1 i=1 ji=1
Twierdzenie 9.11 (ułamek prosty pierwszego rodzaju).

A
dx = A ln(x - a) + c,
x - a
Twierdzenie 9.12 (ułamek prosty drugiego rodzaju).

A A 1
dx = - · + c dla k 2.
(x - a)k k - 1 (x - a)k-1
Twierdzenie 9.13 (ułamek prosty trzeciego rodzaju).

Ax + B A 2x + p A dx
= dx + B - p
x2 + px + q 2 x2 + px + q 2 x2 + px + q

f (x) dx
1. = ln |f(x)| + C
f(x)

(2x + p) dx
= ln |x2 + px + q| + C
x2 + px + q

dx 1 x - Ä…
2. = arc tg + C
(x - Ä…)2 + ²2 ² ²

p 2 -" 2x + p
"
x2 + px + q = x + + , t =
2 4
-"
Twierdzenie 9.14 (ułamek prosty czwartego rodzaju).

Ax + B A 2x + p
= dx+
(x2 + px + q)n 2 (x2 + px + q)n

A dx
+ B - p , n > 1.
2 (x2 + px + q)n

f (x) dx 1 1
1. = - + C
fn(x) n - 1 fn-1(x)

(2x + p) dx 1 1
= - + C
(x2 + px + q)n n - 1 (x2 + px + q)n-1
30
t 2n - 1
2. In+1 = + In
2n(1 + t2)n 2n

dt 2x + p
"
In = , t =
(t2 + 1)n
-"

x3 + x + 2 7x - 7
Przykład 9.4. dx, dx
x(x2 - 1)2 x3 - 2x2 + 5x
31