13. Całki wielokrotne
13.1. Definicja i własności całki Riemanna
Definicja 13.1.
1. KostkÄ… w RN bÄ™dziemy nazywać zbiór K := [a1, b1]×. . .×[aN, bN], czyli
iloczyn kartezjański przedziałów [ai, bi], i = 1, . . . , N.
2. ObjÄ™toÅ›ciÄ… kostki bÄ™dziemy nazywać liczbÄ™ v(K) := (b1 - a1)· . . . ·(bN -
aN).
3. LiczbÄ™ ´(K) := max{(b1 - a1), . . . , (bN - aN)} (czyli dÅ‚ugość najdÅ‚uż-
szego boku kostki) nazywamy średnicą kostki K.
Definicja 13.2. Podzielmy kostkÄ™ K na mniejsze kostki K1, . . . , Ks, o wnÄ™-
trzach rozłącznych i takich, że K = K1 *". . .*"Ks. Oznaczmy ten zbiór kostek
K1, . . . , Ks przez P .
1. Zbiór P nazywamy podziałem kostki K.
2. LiczbÄ™ ´(P ) := max{´(K1), . . . , ´(Ks)} nazywamy Å›rednicÄ… podziaÅ‚u P .
!
b2
a2
!
a1 b1
Rys. 1. Podział kostki K na mniejsze K1, . . . , Ks, takie że K = K1 *" . . . *" Ks
Definicja 13.3. Niech P1, P2, P3, . . . jest ciągiem podziałów kostki K i niech
´j oznacza Å›rednicÄ™ podziaÅ‚u Pj.
CiÄ…g podziałów P1, P2, P3, . . . nazywamy ciÄ…giem normalnym, gdy lim ´j =
j"
0, czyli gdy średnice kolejnych podziałów zmierzają do zera.
Definicja 13.4. Niech f : K R jest funkcjÄ™ ograniczonÄ….
Dla podziału P = {K1, . . . , Kt} kostki K w każdej z kostek wybierzmy
dowolny punkt xi " Ki. Dostajemy ciąg punktów pośrednich x1, . . . , xt.
59
Sumą całkową funkcji f dla podziału P i punktów pośrednich x1, . . . , xt
nazywamy liczbÄ™
t

S(f, P, x1, . . . , xt) = f(xi)v(Ki).
i=1
Definicja 13.5. Niech P1, P2, . . . jest normalnym ciągiem podziałów kostki
K.
Dla każdego podziału Pj wybierzmy ciąg punktów pośrednich xj, . . . , xj
1 tj
i utwórzmy sumę całkową S(f, Pj, xj, . . . , xj ).
1 tj
Niech f : K R będzie funkcją ograniczoną. Mówimy, że funkcja f jest
całkowalna w sensie Riemanna na kostce K, jeśli dla każdego normalnego
ciągu podziałów P1, P2, . . . istnieje granica
lim S(f, Pj, xj, . . . , xj )
1 tj
j"
i granica ta nie zależy ani od wyboru ciągu podziałów, ani od wyboru punk-
tów pośrednich.
GranicÄ™ tÄ™ oznaczamy

f(x) dx lub . . . f(x1, . . . , xN) dx1 . . . dxN
K K
i nazywamy całką Riemanna funkcji f po kostce K.
Definicja 13.6. Dla zapisu całki funkcji dwóch lub trzech zmiennych mamy
odpowiednio całkę podwójną lub potrójną:

f(x, y) dxdy lub f(x, y, z) dxdydz.
K K
Uwaga 13.1 (liniowość całki). Niech K będzie kostką w RN a f i g funkcjami
całkowalnymi w sensie Riemanna na K. Niech a, b będą stałymi rzeczywisty-
mi. Wtedy

(af(x) + bg(x))dx = a f(x)dx + b g(x)dx.
K K K
Uwaga 13.2. Niech K1 i K2 będą dwoma kostkami w RN o rozłącznych wnę-
trzach. Wówczas dla każdej funkcji całkowalnej, mamy

f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
K1*"K2 K1 K2
13.2. Interpretacja geometryczna całki Riemanna
Uwaga 13.3 (Interpretacja geometryczna całki Riemanna). W przypadku gdy
kostka K jest zwykÅ‚ym prostokÄ…tem w R2, to znaczy K = [a, b] × [c, d],
a funkcja f : K R jest nieujemna i ciągła, to

V = f(x, y)dxdy
K
czyli całka podwójna jest objętością bryły B w R3 określonej nierównościami:
a x b, c y d, 0 z f(x, y).
60
2
1
0
2
1
1
0
2
1
8
2
8
6
6
4
4
2
2
0
2
0
1
2
1
0
0
1
1
2 2
Rys. 2. Aproksymacja objętości pod wykresem funkcji
Definicja 13.7. Niech K = [a, b] × [c, d] bÄ™dzie kostkÄ… (prostokÄ…tem) w R2
oraz niech f : K R będzie funkcją ciągłą. Załóżmy, że dla każdego y " [c, d]

b b
istnieje całka f(x, y)dx. Jeżeli funkcja g(y) = f(x, y)dx jest całkowalna
a a
w sensie Riemanna, w przedziale [c, d], to całkę:
ëÅ‚ öÅ‚
d b
íÅ‚
f(x, y)dxłł dy
c a
nazywamy całką iterowaną funkcji f. Całkę tę można również zapisywać
w postaci
d b
dy f(x, y)dx.
c a
Uwaga 13.4. Podobnie definiujemy całkę iterowaną
ëÅ‚ öÅ‚
b d b d
íÅ‚
dx f(x, y)dy = f(x, y)dyłł dx.
a c a c
13.3. Twierdzenie Fubiniego

PrzykÅ‚ad 13.1. Obliczmy caÅ‚kÄ™ xy dxdy, gdzie K = [0, 1] × [0, 1].
K
Mamy
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1
1
1 1
1
íÅ‚ íÅ‚
xy dxÅ‚Å‚ dy = y x dxÅ‚Å‚ dy = y · x2 dy =

0
0 0 2
0 0 0

1
1 1
1 1 1 1 1
= y · dy = y dy = · y2 =

0
0 2 2 0 2 2 4
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1
1
1 1
1
íÅ‚ íÅ‚
xy dyÅ‚Å‚ dx = x y dyÅ‚Å‚ dx = x · y2 dx =

0
0 0 2
0 0 0

1
1 1
1 1 1 1 1
= x · dx = x dy = · x2 =

0
0 2 2 0 2 2 4
61
Twierdzenie 13.1 (Twierdzenie Fubiniego). Niech K = [a, b] × [c, d] bÄ™dzie
kostką (prostokątem) w R2. Niech f : K R będzie funkcją ciągłą. Wówczas
istnieją całki iterowane
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
b d d b
íÅ‚ íÅ‚
f(x, y)dyłł dx i f(x, y)dxłł dy
a c c a
oraz zachodzą równości
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
b d d b
íÅ‚ íÅ‚
f(x, y) dxdy = f(x, y)dyłł dx = f(x, y)dxłł dy.
a c c a
[a,b]×[c,d]


PrzykÅ‚ad 13.2. Policzyć caÅ‚kÄ™ xy - y2 dxdy, gdzie K = [1, 2] × [3, 4].
K
Nasza funkcja jest ciągła na prostokącie, zatem możemy zastosować twier-
dzenie Fubiniego. Otrzymamy
ëÅ‚
4öÅ‚
2 4 2

y2 y3
íÅ‚
(xy - y2)dxdy = dx (xy - y2)dy = (x - ) Å‚Å‚ dx


2 3
3
K 1 3 1
2
2

7x 37 7x2 37x 85

= - dx = - = - .

2 3 4 3 12
1
1
Uwaga 13.5. Niech B będzie ograniczonym podzbiorem RN i niech f : B R
będzie funkcją ograniczoną oraz

f(x) dla x " B,
fB(x) :=
0 dla x " RN \ B.
Niech K bÄ™dzie kostkÄ… w RN takÄ…, że B ‚" K. Wtedy caÅ‚kÄ™ z funkcji f
po zbiorze B definiujemy jako

f(x)dx := fB(x)dx,
B K

o ile fB(x)dx istnieje.
K
Definicja 13.8.
1. Niech [a, b] będzie odcinkiem w R, niech h1 : [a, b] R i h2 : [a, b] R
będą funkcjami ciągłymi na [a, b] takimi, że h1(x) < h2(x), x " [a, b].
Wtedy zbiór
A := {(x, y) " R2 : a x b, h1(x) y h2(x)}
nazywamy zbiorem normalnym względem osi Ox.
2. Analogicznie definiujemy zbiór normalny względem osi Oy.
3. Zbiór D zawarty w R3 jest normalny względem współrzędnej z, jeśli
istnieje pewien zbiór normalny A zawarty w płaszczyz
nie xy oraz istniejÄ…
dwie funkcje g1, g2 : A R takie, że g1(x, y) < g2(x, y) oraz
D = {(x, y, z) " R3 : (x, y) " A, g1(x, y) z g2(x, y)}.
62
4. Analogicznie definiujemy zbiór normalny względem pozostałych współ-
rzędnych.
5. Zbiorem normalnym będziemy nazywać zbiór normalny względem ja-
kiejś współrzędnej. Zbiorem regularnym będziemy nazywać zbiór, który
można podzielić na sumę zbiorów normalnych o rozłącznych wnętrzach.
y
y
b
h2 x
h2 y
h1 y
a
a
x
h1 x
x
a b
Rys. 3. Zbiory normalne względem osi Ox i Oy
Twierdzenie 13.2 (Twierdzenie Fubiniego dla zbiorów normalnych w R2
i R3).
1. Jeśli f : A R jest funkcją ciągłą w zbiorze normalnym A (tak jak
w definicji), to
b h2(x)

f(x, y)dxdy = dx f(x, y)dy.
a
A h1(x)
2. Jeśli f : D R jest funkcją ciągłą w zbiorze normalnym D (tak jak
w definicji), to
b h2(x) g2(x,y)

f(x, y, z)dxdydz = dx dy f(x, y, z)dz.
a
D
h1(x) g1(x,y)

Przykład 13.3. Policzyć całkę (x2y)dxdy, gdzie T jest trójkątem ogra-
T
niczonym prostymi: y = x, y = 2x - 3, y = 1.
Zauważmy, że zbiór T jest normalny względem osi Ox. Ponieważ jednak
funkcja ograniczająca ten zbiór od dołu jest sklejeniem dwóch funkcji (y = 1
oraz y = 2x - 3), to wygodniej będzie podzielić T na dwa zbiory normalne (o
rozłącznych wnętrzach). Pierwszy z tych zbiorów to trójkąt T1 ograniczony
63
y
3
y x
2
1
y 1
x
1 2 3
Rys. 4. Trójkat T
prostymi: y = x, y = 1, x = 2, a drugi to trójkąt T2 ograniczony prostymi:
y = x, y = 2x - 3, x = 2. T jest więc zbiorem regularnym.
Z twierdzenia Fubiniego mamy:

f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy
T T1 T2
2 x 3 x
= dx x2ydy + dx x2ydy
1 1 2 2x-3

2 x 3 x x
1 1
= x2y2 dx + x2y2 dx


2 2
1 2x-3
1 2 2x-3

2 3
1 3
= x2(x2 - 1) dx + - x2(x2 - 4x + 3) dx
2 2
1 2

2 3
1 1 -3 3 3 57 29 229
= x5 - x3 + x5 + x4 - x3 = + = .

10 6 10 2 2 10 15 30

1 2
13.4. Twierdzenie o zamianie zmiennych
Definicja 13.9. Załóżmy, że mamy zbiory mierzalne w sensie Jordana B i D
w Rn (ograniczone i których brzeg jest miary zero) oraz odwzorowanie Õ :
B D, które jest klasy C1 (różniczkowalne w sposób ciÄ…gÅ‚y), przy czym Õ
jest odwzorowaniem różnowartościowym i na cały zbiór D oraz odwzorowanie
odwrotne do Õ też jest odwzorowaniem tej klasy.
64
3
x
2
y
Definicja 13.10. Dla odwzorowania Õ(x) = (Õ1(x1, . . . , xn), . . . , Õn(x1, . . . , xn))
możemy wypisać macierz Jacobiego, czyli macierz pochodnych cząstkowych
(w punkcie x " B):
îÅ‚ Å‚Å‚
"Õ1 "Õ1
(x) . . . (x)
ïÅ‚
ïÅ‚ "x1 "xn śł
śł
ïÅ‚ śł
. .
ïÅ‚ śł
. .
J(x) = .
. . . . .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ðÅ‚ "Õn "Õn śł
ûÅ‚
(x) . . . (x)
"x1 "xn
Wyznacznik J = det J(x) tej macierzy (w punkcie x " B) nazywamy jako-
bianem. Przy uczynionych założeniach det J(x) = 0.

Definicja 13.11. Jeśli f : D R będzie funkcją ciągłą. Wtedy (przy wcze-
śniejszych założeniach)

f(y) dy = f(Õ(x)) | det J(x)| dx.
D B
Uwaga 13.6. Dla n = 1 dostajemy znane twierdzenie o całkowaniu przez
podstawienie:

f(y)dy = f(Õ(x))Õ (x)dx.
D B
13.5. Zmiana zmiennych na dwuwymiarowe współrzędne
biegunowe
Definicja 13.12 (współrzÄ™dne biegunowe). Niech D ‚" R2 bÄ™dzie koÅ‚em,
wycinkiem kołowym lub pierścieniem, wtedy stosujemy zamianę zmiennych:
x = r cos Ä…, y = r sin Ä….

Tak więc r = x2 + y2, a zatem r 0 jest odległością punktu (x, y) od po-
czątku układu współrzędnych. Kąt ą jest kątem, jaki tworzy wektor o po-
czątku w (0, 0) i końcu w (x, y) z dodatnią częścią osi Ox.
Jakobian przekształcenia wynosi:



"x "x

cos Ä… -r sin Ä…

"r "Ä…


J = = = r cos2 Ä… + r sin2 Ä… = r


"y "y

sin Ä… r cos Ä…
"r "Ä…

Przykład 13.4. Policzyć całkę x2 + y2dxdy, gdzie D jest kołem o pro-
D
mieniu R i środku w punkcie (0, 0), zatem D = {(x, y) : x2 + y2 R2}.

Skoro x2 + y2 R2, to promień r = x2 + y2 zmienia się w przedziale
[0, R], a kąt ą zmienia się w całym zakresie [0, 2Ą].
Tak wiÄ™c B = [0, R] × [0, 2Ä„], czyli mamy
2Ä„ 2Ä„
R
R4
(x2 + y2) dxdy = (r2) r drdÄ… = dÄ… r3dr = dÄ… = 2Ä„R4,
4
D B 0 0 0
gdzie pierwsza równość zachodzi na podstawie twierdzenia o zmianie zmien-
nych, a druga na podstawie twierdzenia Fubiniego.
65

Przykład 13.5. Policzyć całkę xdxdy, gdzie D jest ćwiartką koła o pro-
D
mieniu R i środku w punkcie (0, 0), leżącą w drugiej ćwiartce płaszczyzny.
Stosujemy taką samą zmianę zmiennych. Tym razem r zmienia się także

Ä„ Ä„
od 0 do R, natomiast Ä… zmienia siÄ™ od do Ä„. Tak wiÄ™c B = [0, R] × , Ä„ :
2 2
Ä„ R
x dxdy = r2 cos Ä… drdÄ… = dÄ… r2 cos Ä… dr
Ä„
D B 0
2
Ä„
Ä„

R3 R3 R3
= cos Ä… dÄ… = (- sin Ä…) = .


3 3 3
Ä„
Ä„
2
2
13.6. Zmiana zmiennych na trójwymiarowe współrzędne sferyczne
Definicja 13.13 (współrzędne sferyczne). Współrzędne sferyczne w R3 okre-
ślone są wzorami:
Å„Å‚
ôÅ‚ x = r cos Ä… cos ²,
òÅ‚
y = r sin Ä… cos ²,
ôÅ‚
ół
z = r sin ²,

Ä„ Ä„
gdzie r " (0, +"), Ä… " (0, 2Ä„), ² " (- , ). Teraz r = x2 + y2 + z2 jest
2 2
odległością punktu (x, y, x) od początku układu współrzędnych, ą jest kątem,
jaki tworzy wektor [x, y, 0] z dodatnią częścią osi Ox (długość geograficzna),
a ² jest kÄ…tem, jaki tworzy wektor [x, y, z] z pÅ‚aszczyznÄ… Oxy (szerokość
geograficzna). Jakobian tej zmiany zmiennych wynosi
J = r2 cos ²,
Ä„ Ä„
a zatem jest dodatni, bo ² " (- , ).
2 2
Przykład 13.6. Policzyć całkę

zdxdydz,
D
gdzie D jest górną połową kuli o środku w (0, 0, 0) i promieniu R.
Kula opisana jest nierównością x2 + y2 + z2 R2, w takim razie r =

x2 + y2 + z2 zmienia się w przedziale [0, R]. Górną połowę kuli zadaje nie-
Ä„
równość z > 0, zatem ² " (0, ). Na Ä… nie mamy żadnych dodatkowych
2
Ä„
warunków, wiÄ™c Ä… " [0, 2Ä„]. StÄ…d B = [0, R] × [0, 2Ä„] × (0, ).
2
66
Tak więc

z dxdydz = r3 sin ² cos ² dÄ…d²dr =
D B
Ä„
2Ä„
2 R
= dÄ… d² r3 sin ² cos ²dr
0 0 0
Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
Ä„
2Ä„ 2Ä„
2
R4 2 R4 íÅ‚1
= dÄ… sin ² cos ²d² = sin2 ² Å‚Å‚ dÄ…


4 4 2
0
0 0 0
R4
= Ä„.
4
13.7. Zmiana zmiennych na trójwymiarowe współrzędne walcowe
Definicja 13.14 (współrzędne walcowe). Współrzędne walcowe opisane są
wzorami:
Å„Å‚
ôÅ‚ x = r cos Ä…,
òÅ‚
y = r sin Ä…,
ôÅ‚
ół
z = z,
gdzie r " (0, +"), Ä… " (0, 2Ä„), z " (-", "). Jakobian tej zmiany zmiennych
wynosi
J = r > 0.
Przykład 13.7. Policzyć całkę

z dxdydz,
D
gdzie D jest walcem o podstawie {(x, y) " R2 : x2 + y2 < R2} i o wysokości
H.

Skoro x2 + y2 < R2, to r = x2 + y2 " (0, R), na kÄ…t Ä… nie mamy
dodatkowych warunków, natomiast skoro wysokość walca wynosi H, to z "
[0, H]. Tak wiÄ™c B = (0, R) × (0, 2Ä„) × [0, H], stÄ…d
2Ä„
R H
zdxdydz = z r dÄ…drdz = dÄ… dr r z dz
D B 0 0 0
2Ä„ 2Ä„
H2 R H2 R2 H2R2
= dÄ… r dr = dÄ… = Ä„ .
2 2 2 2
0 0 0
13.8. Zastosowania całek wielokrotnych
Własność 13.1. Pole powierzchni obszaru płaskiego D wyraża się wzorem

D = 1 dxdy.
D
67
Własność 13.2. Objętość bryły V wyraża się wzorem

V = 1 dxdydz.
V
Własność 13.3. Pole S płata powierzchniowego z = f(x, y), gdzie (x, y) " D
jest równe:



S = 1 + [fx(x, y)]2 + [fy(x, y)]2 dxdy
D
WÅ‚asność 13.4. Åšrodkiem ciężkoÅ›ci zbioru regularnego D ‚" R2 nazywamy
punkt (¾, ·) o współrzÄ™dnych

1 1
¾ = x dxdy · = y dxdy
D D
D D
68