plik

��1. Liczby zespolone Niech A i B bd dowolnymi niepustymi zbiorami. Definicja 1.1. Produktem (iloczynem) kartezjaDskim A�B zbior�w A i B nazywamy zbi�r par uporzdkowanych (a, b) takich, |e a " A i b " B, tj. A � B := {(a, b) : a " A, b " B}. W iloczynie kartezjaDskim R2 := R � R definiujemy sum oraz iloczyn par z1 = (x1, y1) z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2) oraz z2 = (x2, y2) nastpujco: z1z2 = (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1). Definicja 1.2. Zbi�r par liczb rzeczywistych z dodawaniem i mno|eniem okre[lonym w po- wy|szej definicji, nazywamy zbiorem liczb zespolonych i oznaczamy liter C. Uwaga 1.1. Suma i iloczyn liczb zespolonych jest liczb zespolon. Dodawanie i mno|enie liczb zespolonych s dziaBaniami Bcznymi i przemiennymi, tzn. z + w = w + z zw = wz z + (u + w) = (z + u) + w z(uw) = (zu)w dla dowolnych liczb zespolonych z, u, w. Mno|enie liczb zespolonych jest rozdzielne wzgldem dodawania, tzn. z(u + w) = zu + zw dla dowolnych liczb zespolonych z, u oraz w. Definicja 1.3. Je[li z = (x, y) jest liczb zespolon, to pierwszy element x pary (x, y) nazywamy cz[ci rzeczywist liczby z i oznaczamy symbolem z (Bac. realis) (lub Rez), a drugi element tej pary - cz[ci urojon liczby z i oznaczamy z (Bac. imaginaris) (lub Imz). Uwaga 1.2. Ka|dej liczbie zespolonej z odpowiada dokBadnie jeden punkt ( z, z) w pro- stoktnym ukBadzie wsp�Brzdnych. M�wimy wic o pBaszczyznie zespolonej C (pBaszczyzna Gaussa). O[ odcitych na pBaszczyznie C nazywamy osi rzeczywist, a o[ rzdnych osi urojon. Definicja 1.4. Liczb (0, 0) nazywamy zerem zespolonym. Liczb (1, 0) nazywamy jedynk zespolon. Jednostk urojon nazywamy liczb zespolon i = (0, 1). Uwaga 1.3. Ka|d liczb zespolon z mo|na zapisa w postaci sumy z = Rez + iImz: z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy Kwadrat jednostki urojonej wynosi -1, gdy| i2 = (0, 1)(0, 1) = (-1, 0) = -1+0i = -1. Liczby (x, 0) uto|samiamy z x, czyli (x, 0) = x. Uwaga 1.4. Dowoln liczb zespolon z = x + iy mo|emy przedstawi w postaci trygono- metrycznej z = r(cos �, sin �) = r(cos � + i sin �), gdzie r = x2 + y2, a � jest dowolnym x = r cos � ktem takim, |e y = r sin � 1 Im z i 0, 1 Re z Rys. 1. PBaszczyzna Gaussa Im z z x , y iy Re z x Definicja 1.5. Je[li z = x + iy = r(cos � + i sin �), to liczb r := x2 + y2 nazywamy mo- duBem liczby zespolonej z i oznaczamy |z|, a ka|dy z kt�w � takich, |e zachodz r�wno[ci x = r cos �, y = r sin �, nazywamy argumentem liczby z i oznaczamy Argz. Najmniejszy nie- ujemny argument liczby zespolonej z nazywamy argumentem gB�wnym tej liczby i oznaczamy argz. Uwaga 1.5. �� b �� arc tg , a > 0 a � = dla a = 0 b �� + arc tg , a < 0 a �� , b > 0 2 � = dla a = 0 �� -� , b < 0 2 2 Twierdzenie 1.1 (wz�r Eulera). ei� = cos � + i sin � Uwaga 1.6. Dowoln liczb zespolon z mo|emy przedstawi w postaci wykBadniczej z = rei� Definicja 1.6. Sprz|eniem liczby zespolonej z = x + iy nazywamy liczb z = x - iy. Uwaga 1.7. Liczba z = x - iy jest obrazem liczby z = x + iy w symetrii wzgldem osi � rzeczywistej. Dla dowolnej liczby z zachodzi r�wno[: zz = |z|2. � Je[li z = rei�, to z = rei(-�). � 1 2 1 Je[li z1 = r1ei� oraz z2 = r2ei� , to z1z2 = r1r2ei(� +�2), to znaczy moduB iloczynu liczb z1, z2 jest iloczynem moduB�w |z1| = r1 i |z2| = r2 tych liczb, a argument iloczynu liczb zespolonych jest sum ich argument�w. Twierdzenie 1.2 (wz�r de Moivre a). Dla dowolnej liczby zespolonej z = r(cos � + i sin �) i dowolnej liczby naturalnej n = 1, 2, 3, . . . zachodzi r�wno[: zn = rn(cos n� + i sin n�), kt�r mo|na r�wnie| wyrazi w postaci wykBadniczej: (rei�)n = rnein�. Wniosek 1.1. Je[li w = r(cos � + i sin �) = 0 jest dowoln liczb zespolon r�|n od zera, za[ n = 1, 2, 3, . . . dowoln liczb naturaln, to r�wnanie zn = w speBnia dokBadnie n liczb zespolonych z0, z1, z2, . . . , zn-1 " � + 2k� � + 2k� n zk = r cos + i sin , n n gdzie k " {0, 1, 2, . . . , n - 1}. Im z z 2 z 3 2 � n z1 Re z z4 z6 z 5 Rys. 2. Pierwiastki r�wnania z6 = i Twierdzenie 1.3 (Zasadnicze twierdzenie algebry). Ka|dy wielomian stopnia n 1 o do- wolnych wsp�Bczynnikach zespolonych ma w dziedzinie zespolonej co najmniej jeden pierwia- stek. 3 r 1 Twierdzenie 1.4. Ka|dy wielomian zespolony stopnia n mo|na przedstawi w postaci ilo- czynu: Wn(z) = an(z - z1)(z - z2) . . . (z - zn) dla pewnych an, z1, z2, . . . , zn Twierdzenie 1.5. Je|eli liczba zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu Wn(z) o wsp�B- czynnikach rzeczywistych, to liczba zespolona sprz|ona z jest r�wnie| pierwiastkiem tego � wielomianu Twierdzenie 1.6. Ka|dy wielomian o wsp�Bczynnikach rzeczywistych jest iloczynem czyn- nik�w co najwy|ej drugiego stopnia o wsp�Bczynnikach rzeczywistych. Wniosek 1.2. Je[li n jest liczb nieparzyst, wtedy istnieje przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. PrzykBad 1.1. Wyznaczmy wszystkie pierwiastki wielomianu: W4(z) = z4 + 2z3 + 2z2 - 2z - 3 Zauwa|my, |e W4(1) = 0 oraz W4(-1) = 0, zatem W4(z) = (z - 1)(z + 1)(z2 + 2z + 3) Znajdujemy pozostaBe dwa pierwiastki (sprz|one): " " z3 = -1 + i 2, z4 = -1 - i 2. 2. Macierze Niech ustalony bdzie zbi�r K i dwie liczby naturalne m, n, gdzie K = R lub K = C. Definicja 2.1. Macierz o wyrazach ze zbioru K i wymiarach m na n nazywamy ka|d funkcj A : {1, ..., m} � {1, ..., n} (i, j) -�! aij " K. Macierz tak zapisujemy w postaci tabelki �� a11 � � � a1n �� A = �� am1 � � � amn Uwaga 2.1. Sposoby zapisu macierzy: Am�n okre[lono wymiary macierzy, [aij] oznaczono wyrazy macierzy, A = [aij] 1 i m nazwano wyrazy, okre[lono wymiary. 1 j n Definicja 2.2. Cig ai1, ..., ain, i = 1, ..., m nazywamy i tym wierszem macierzy A. Cig a1j, ..., amj, j = 1, ..., n, nazywamy j-t kolumn macierzy A. 4 Definicja 2.3. Macierz Am�n nazywamy kwadratow, je[li m = n i wtedy liczb n nazywamy stopniem macierzy. Je[li m = n, to macierz jest prostoktna. Dla macierzy kwadratowej A = [aij] definiujemy gB�wn przektn jako cig 1 i n 1 j n a11, ..., ann. �� a11 a12 . . . a1n �� a21 a22 . . . a2n �� . �� . . �� an1 an2 . . . ann Definicja 2.4. Macierz kwadratowa nazywa si macierz tr�jktn, je[li wszystkie jej wyrazy le|ce ponad gB�wn przektn lub wszystkie wyrazy le|ce poni|ej gB�wnej przektnej s zerami. �� a11 0 0 0 a11 a12 a13 a1n �� a21 a22 � � � 0 0 a22 � � � a2n �� . . . . �� . �� . �� . . . . . . . . �� . . . �� 0 0 . �� an1 an2 � � � ann 0 0 � � � ann Definicja 2.5. Macierz kwadratow A = [aij]1 i,j n nazywa si symetryczn, je[li aij = aji dla ka|dych i, j = 1, ..., n. �� 2 -3 1 0 �� -3 -4 5 -1 �� " �� 1 5 2 - 3 �� " 0 -1 - 3 0 Definicja 2.6. Macierz A nazywa si antysymetryczn (lub sko[nie symetryczn), je[li aij = -aji dla ka|dych i, j = 1, ..., n. W macierzy sko[nie symetrycznej wszystkie wyrazy le|ce na gB�wnej przektnej s r�wne zeru. �� 0 -3 1 0 �� 3 0 5 -1 �� " �� -1 -5 0 - 3 �� " 0 1 3 0 Definicja 2.7. Macierz kwadratowa nazywa si diagonaln, je[li wszystkie jej wyrazy poza gB�wn przektn s zerami. �� e 0 0 0 0 �� 0 3 0 0 0 �� 0 0 0 0 0 �� 0 0 0 2 - i 0 �� 0 0 0 0 -1 5 Definicja 2.8. Macierz kwadratowa nazywa si jednostkow, je[li jest diagonalna, a na jej gB�wnej przektnej s same jedynki. Macierz t oznacza bdziemy przez I lub In. �� 1 0 0 0 0 �� 0 1 0 0 0 �� I5 = 0 0 1 0 0 �� 0 0 0 1 0 �� 0 0 0 0 1 Definicja 2.9. Zbi�r wszystkich macierzy o wymiarach m na n i wyrazach z K oznaczmy przez M(m, n; K), gdzie K = R lub K = C. Definicja 2.10. Macierz transponowan AT do macierzy A nazywamy macierz powstaB w wyniku zamiany wierszy na odpowiednie kolumny, tzn. je[li A = [aij], to AT = [aji] Je[li macierz A ma wymiar m � n, to macierz AT ma wymiar n � m Uwaga 2.2. Macierz symetryczna speBnia zatem warunek A = AT , a macierz antysymetrycz- na warunek A = -AT . Definicja 2.11. Niech A, B " M(m, n; K) oraz �� a11 . . . a1n b11 . . . b1n �� . . . . . �� . . . . . �� A = . . . . . B = . . . . . �� . . . . . . . . . . �� am1 . . . amn bm1 . . . bmn Sum macierzy A, B jest macierz: �� a11 + b11 . . . a1n + b1n �� . . . . . �� A + B = . . . . . �� . . . . . �� am1 + bm1 . . . amn + bmn Definicja 2.12. Je[li � " K, to macierz �A ma posta: �� a11 . . . �a1n �� . . . . . �� A = . . . . . �� . . . . . �� am1 . . . �amn Uwaga 2.3. Dodawanie w M(m, n; K) jest Bczne: A + (B + C) = (A + B) + C, jest przemienne: A + B = B + A, ma element neutralny O (macierz skBadajc si z samych zer): A + O = O + A = A, ka|da macierz A ma macierz przeciwn -A, tzn. A + (-A) = O 6 Definicja 2.13. Niech A = [ail] i B = [blj] . Iloczyn macierzy AB definiuje- 1 i m 1 l k 1 l k 1 j n my jako macierz C = [cij] o wymiarach m na n, kt�rej wyrazy okre[lone s wzorem: k cij = ailblj l=1 dla wszystkich wskaznik�w i, j, gdzie i = 1, ..., m oraz j = 1, ..., n. PrzykBad 2.1. �� 1 -2 1 � (-2) + (-2) � 4 6 1 -2 -2 3 �� 0 4 �� = 0 � (-2) + 4 � 4 -16 4 = �� 4 -4 1 3 -1 3 � (-2) + (-1) � 4 -2 8 �� -10 6 1 �� = 16 -16 4 �� -10 -2 8 Uwaga 2.4. Mo|emy wykona mno|enie AB tylko takich macierzy A, B, dla kt�rych liczba kolumn macierzy A jest r�wna liczbie wierszy macierzy B. W rezultacie mno|enia otrzymujemy macierz, kt�ra ma tyle wierszy, co macierz A i tyle kolumn co macierz B. Mno|c macierze najpierw sprawdzamy, czy mo|emy je pomno|y, nastpnie ustalamy wymiary iloczynu macierzy. Potem wyliczamy wyrazy iloczynu. Uwaga 2.5. Mno|enie macierzy jest Bczne, tzn. je[li A, B, C s takie, |e mo|na wykona mno|enia AB i C(AB), to mo|na te| wykona mno|enia CA i (CA)B oraz C(AB) = (CA)B. jest rozdzielne wzgldem dodawania macierzy. Je[li A, B " M(k, n; K) i C " M(m, k; K), to C(A + B) = CA + CB. nie jest przemienne, tzn. AB = BA. WBasno[ 2.1. (AB)T = BT AT "A = O '" "B = O : AB = O 3. Wyznaczniki Definicja 3.1. Permutacj zbioru n elementowego A = {a1, a2, . . . , an} nazywamy ka|de wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie p zbioru A na siebie. Permutacj p : A �! A zapisu- jemy: a1 a2 . . . an p = a� a� . . . a� 1 2 n Je[li A = {1, 2, . . . , n}, to 1 2 . . . n p = �1 �2 . . . �n lub zapisujemy tylko dolny wiersz �1 �2 . . . �n , gdzie p(i) = �i. 7 Definicja 3.2. Zbi�r wszystkich permutacji zbioru n elementowego oznaczamy przez Pn. Definicja 3.3. M�wimy, ze para liczb �i, �j tworzy inwersj (lub nieporzdek) w permutacji �1 �2 . . . �n , je|eli: �i > �j dla i < j. PrzykBad 3.1. W permutacji 3 1 4 2 5 inwersje tworz pary (3, 1), (3, 2), (4, 2) Definicja 3.4. Permutacj �1 �2 . . . �n nazywamy parzyst, gdy ilo[ inwersji w tej permutacji jest liczb parzyst lub r�wn zero. Permutacj �1 �2 . . . �n nazywamy nieparzyst, gdy ilo[ inwersji w tej permu- tacji jest nieparzysta. Ka|dej permutacji p mo|na przyporzdkowa znak sgn(p): sgn(p) = (-1)k, gdzie k oznacza liczb inwersji w tej permutacji. Definicja 3.5. Wyznacznikiem |A| lub det A (z Bac. determinant) kwadratowej macierzy A nazywa bdziemy liczb przyporzdkowan tej macierzy zgodnie ze wzorem: det A = sgn(p)a1� a2� . . . an� , 1 2 n p"Pn gdzie sumowanie rozciga si na wszystkie permutacje p = �1 �2 . . . �n zbioru {1, 2, . . . , n}. PrzykBad 3.2. Obliczymy wyznacznik z macierzy kwadratowej stopnia drugiego: a11 a12 A = a21 a22 Poniewa| macierz jest stopnia drugiego, mamy zbi�r {1, 2}, zatem mamy dwie permutacje: p1 = (1, 2) oraz p2 = (2, 1). Permutacja p1 jest parzysta, zatem sgn(p1) = 1, a p2 jest nieparzysta, wic sgn(p2) = -1, std det A = sgn(p)a1� a2� = 1 2 p"Pn = sgn(p1)a11a22 + sgn(p2)a12a21 = a11a22 - a12a21. Definicja 3.6. Minorem Mij (podwyznacznikiem) elementu aij macierzy kwadratowej A nazywamy wyznacznik macierzy powstaBej z macierzy A przez skre[lenie i tego wiersza i j tej kolumny. Definicja 3.7. DopeBnieniem algebraicznym Aij elementu aij macierzy kwadratowej A na- zywamy liczb okre[lon wzorem: Aij = (-1)i+jMij. 8 Definicja 3.8. Macierz dopeBnieD algebraicznych Ad kwadratowej macierzy A nazywamy macierz utworzon z dopeBnieD algebraicznych Aij macierzy A, tzn. Ad = [Aij] Twierdzenie 3.1. Je[li w macierzy kwadratowej A pewien wiersz lub pewna kolumna skBada si z samych zer, to wyznacznik tej macierzy r�wna si zero. Twierdzenie 3.2. Je[li macierz A jest macierz otrzyman z macierzy A przez zamian miejscami dw�ch kolumn (lub dw�ch wierszy), to wyznacznik zmieni sw�j znak, tzn. detA = - det A. Twierdzenie 3.3. Je[li w macierzy A do pewnej kolumny (lub pewnego wiersza) dodamy odpowiednie elementy innej kolumny (wiersza) pomno|one przez jedn i t sam liczb, to wyznacznik macierzy si nie zmieni. Twierdzenie 3.4. Je[li pewn kolumn (wiersz) macierzy A pomno|ymy przez skalar �, to dla otrzymanej w ten spos�b macierzy A mamy wz�r det A = � det A. Uwaga 3.1. Wymienione operacje na macierzach s takie, |e, po ich zastosowaniu do danej macierzy, wyznacznik macierzy si nie zmieni lub Batwo kontrolujemy ewentualne zmiany wy- znacznika tej macierzy. M�wimy, |e s to operacje elementarne (lub dopuszczalne ze wzgldu na wyznacznik). Twierdzenie 3.5. Dla dowolnych macierzy A, B " M(n, n; K) zachodzi wz�r det AB = det A det B. Twierdzenie 3.6. Je|eli A " M(n, n; K), to det AT = det A. Twierdzenie 3.7. Niech A = [aij] " M(n, n; K). Dla ka|dego ustalonego wskaznika j (j = 1, ..., n) zachodzi wz�r (rozwinicie wzgldem j tej kolumny) det A = a1jA1j + ... + anjAnj, gdzie Aij oznacza dopeBnienie algebraiczne elementu aij. Odpowiednio rozwinicie wzgldem i tego wiersza: det A = ai1Ai1 + ... + ainAin. Uwaga 3.2. Suma iloczyn�w element�w pewnego wiersza (kolumny) pomno|onych przez do- peBnienia algebraiczne innego wiersza (kolumny) jest r�wna zeru, tzn. ai1Ak1 + ... + ainAkn = 0, i = k, a1jA1s + ... + anjAns = 0, j = s. 9 4. Macierz odwrotna Definicja 4.1. Macierz kwadratow A nazywamy osobliw, gdy det A = 0. Macierz, kt�rej wyznacznik jest r�|ny od zera, nazywa si macierz nieosobliw. Definicja 4.2. Macierz kwadratow A " M(n, n : K) nazywamy odwracaln, je[li istnieje macierz B " M(n, n; K), taka |e AB = BA = I. Macierz B speBniajc ten warunek nazywamy macierz odwrotn do A. Oznaczamy t ma- cierz przez A-1. Twierdzenie 4.1. Istnieje co najwy|ej jedna macierz odwrotna wzgldem danej macierzy. Twierdzenie 4.2. Macierz odwrotna A-1 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy A jest macierz nieosobliw, przy czym zachodzi r�wno[: 1 A-1 = (Ad)T , det A gdzie Ad jest macierz dopeBnieD algebraicznych macierzy A. -1 0 PrzykBad 4.1. Macierz odwrotn do macierzy A = jest macierz 2 -2 1 -2 0 A-1 = . 2 -2 -1 WBasno[ 4.1. I-1 = I. (A-1)-1 = A (A-1)T = (AT )-1 (AB)-1 = B-1A-1 1 det(A-1) = (det A)-1 (lub pro[ciej |A-1| = ) |A| Rzd macierzy Minor Definicja 4.3. Niech dana bdzie macierz A = [aij] " M(m, n; K) oraz niech k bdzie pewn liczb naturaln nie wiksz od m i n. Ustalmy cigi wskaznik�w 1 i1 < ... < ik m, 1 j1 < ... < jk n. Oznaczmy przez 1 Ai ,...,ik j1,...,jk macierz powstaB przez wyb�r wyraz�w stojcych na przeciciu wierszy o numerach i1, ..., ik i kolumn o numerach j1, ..., jk. Otrzymujemy macierz kwadratow o wymiarach k na k. Wyznacznik tak otrzymanej macierzy nazywamy minorem (podwyznacznikiem) stopnia k macierzy A. Definicja 4.4. Rzdem rkA macierzy A nazywamy najwy|szy stopieD niezerowego wyznacz- nika wyjtego z tej macierzy. Twierdzenie 4.3. Operacje elementarne na macierzy A nie zmieniaj jej rzdu. 10 PrzykBad 4.2. Rzd macierzy �� 1 -2 0 -3 �� 2 0 1 -2�� A = �� -2 12 2 14 �� -3 6 0 9 wynosi 2, tzn. rkA = 2 Uwaga 4.1. Okre[lenie rzdu macierzy na podstawie definicji jest uci|liwe. Twierdzenie 4.4. Operacje elementarne na macierzy nie zmieniaj jej rzdu. Uwaga 4.2. Rzd macierzy mo|na Batwo okre[li sprowadzajc macierz do tzw. postaci schod- kowej, w kt�rej pierwszy r�|ny od zera element danego wiersza znajduje si bardziej na prawo ni| niezerowy element z poprzedniego wiersza. Rzd macierzy schodkowej jest r�wny liczbie jej niezerowych wierszy. �� 2 1 1 0 0 �� 0 0 2 0 0 �� rk �� = 3 �� 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 5. UkBady r�wnaD liniowych Definicja 5.1. UkBadem r�wnaD liniowych nazywamy ukBad r�wnaD �� a11x1 + ... + a1nxn = b1 �� ......................................... �� am1x1 + ... + amnxn = bm, gdzie x1, ..., xn s niewiadomymi, za[ aij, bi, gdzie i = 1, ..., m; j = 1, ....n s skalarami ze zbioru K, gdzie K = R lub K = C. Definicja 5.2. Rozwizaniem tego ukBadu nazywamy ka|dy cig (x1, ..., xn) " Kn, kt�ry speBnia ten ukBad. Definicja 5.3. Skalary aij nazywaj si wsp�Bczynnikami ukBadu r�wnaD. Skalary b1, ..., bm nazywaj si wyrazami wolnymi ukBadu. Definicja 5.4. Je|eli wszystkie wyrazy wolne s r�wne zeru, ukBad r�wnaD nazywa si jednorodnym. W przeciwnym wypadku m�wimy, |e ukBad jest niejednorodny. Definicja 5.5. UkBad r�wnaD liniowych mo|na zapisa w postaci macierzowej Ax = b, gdzie macierz A o m wierszach i n kolumnach �� a11 a12 . . . a1n �� a21 a22 . . . a2n �� A = . . . �� . . . �� . . . . . . �� am1 am2 . . . amn nazywa si macierz wsp�Bczynnik�w. 11 Definicja 5.6. Macierze kolumnowe: �� b1 x1 �� b = � , x = � . �� bm xn nazywane s wektorem wyraz�w wolnych oraz wektorem niewiadomych. Twierdzenie 5.1 (Kroneckera Capellego). UkBad r�wnaD ma rozwizanie wtedy i tylko wte- dy, gdy rkA = rk[A, b] = r, gdzie [A, b] jest macierz utworzon z macierzy A przez dopisanie do niej kolumny wyraz�w wolnych. Uwaga 5.1. Macierz [A, b] nazywa si macierz rozszerzon (uzupeBnion) ukBadu. Definicja 5.7. UkBady r�wnaD dzielimy na trzy typy ze wzgldu na liczb rozwizaD: 1. UkBady sprzeczne, gdy ukBad nie ma rozwizania: rkA = rk[A, b]. 2. UkBady oznaczone, gdy maj dokBadnie jedno rozwizanie (jeden wektor x): rkA = rk[A, b] = n 3. UkBady nieoznaczone, gdy zbi�r rozwizaD zawiera nieskoDczenie wiele rozwizaD (nie- skoDczenie wiele wektor�w x): rkA = rk[A, b] = r < n. Definicja 5.8. UkBad r�wnaD, kt�ry posiada rozwizanie (jedno lub wicej), nazywamy ukBadem zgodnym. Definicja 5.9. Dwa ukBady r�wnaD nazywamy r�wnowa|nymi wtedy i tylko wtedy, gdy maj dokBadnie taki sam zbi�r rozwizaD. Uwaga 5.2. Aby otrzyma ukBady r�wnowa|ne, mo|na wykonywa operacje elementarne na ukBadzie r�wnaD liniowych, kt�re polegaj na: przestawieniu dw�ch dowolnych r�wnaD, pomno|eniu obu stron r�wnania przez dowolny skalar r�|ny od zera, dodaniu wielokrotno[ci jednego r�wnania do innego r�wnania Definicja 5.10. Metoda rozwizywania ukBadu r�wnaD, polegajca na sprowadzeniu go do r�wnowa|nego ukBadu schodkowego nosi nazw metody eliminacji Gaussa. Twierdzenie 5.2 (Cramera). Niech dany bdzie ukBad r�wnaD �� a11x1 + ... + a1nxn = b1, �� ....................................... �� an1x1 + ... + annxn = bn, taki |e det A = 0 (macierz A jest kwadratowa!), wtedy ukBad ma dokBadnie jedno rozwizanie i rozwizanie to jest dane wzorami det Ai xi = dla i = 1, ..., n, det A gdzie Ai jest macierz otrzyman z macierzy A przez zastpienie i tej kolumny kolumn wyraz�w wolnych. 12 Twierdzenie 5.3. UkBad n r�wnaD liniowych jednorodnych Ax = 0 ma rozwizanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy det A = 0. 13

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
mat9 s2 notatki
mat3 s2 notatki
mat4 s2 notatki
mat7 s2 notatki
mat5 s2 notatki
mat10 s2 notatki
notatki zagadnienia
00 Notatki organizacyjne
Filozofia religii cwiczenia dokladne notatki z zajec (2012 2013) [od Agi]
notatki tw 5
WIMiC MAT1 zad090317
AnalizaMat s2 kol2

więcej podobnych podstron