8. Liniowa geometria analityczna w przestrzeni
8.1. Równanie płaszczyzny
Definicja 8.1. Niech dany będzie punkt P0(x0, y0, z0) oraz niezerowy wektor = [A, B, C],
n
wtedy równanie:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
określa płaszczyznę Ą prostopadłą do wektora i zawierającą punkt P0,
n
tzn. Ä„" Ä„, P0 " Ä„.
n
Wektor nazywamy wektorem normalnym płaszczyzny Ą.
n
-
-
Uwaga 8.1. Równanie otrzymujemy z warunku prostopadłości wektorów i P0P , gdzie P
n
jest dowolnym punktem należącym do płaszczyzny Ą:
- -
- -
Ä„" P0P Ð!Ò! ć% P0P = 0
n n
Definicja 8.2. Równanie
Ä„ : Ax + By + Cz + D = 0
nazywamy ogólnym równaniem płaszczyzny Ą, gdzie D = -Ax0 - By0 - Cz0.
Definicja 8.3. Równanie
x y z
Ä„ : + + = 1
a b c
nazywamy równaniem odcinkowym płaszczyzny Ą
Rysunek: szczególne położenia płaszczyzny
Własność 8.1. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty P (x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2),
- - -
-1 - -
P3(x3, y3, z3) można otrzymać z warunku komplanarności wektorów P1P , P1P2, P1P3, tzn.


x - x1 y - y1 z - z1

-- -
- - -

(P1P P1P2P1P3) = 0 Ð!Ò! x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 = 0



x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1
gdzie P (x, y, z) jest dowolnym punktem płaszczyzny Ą, stąd


x y z 1


x1 y1 z1 1

Ä„ : = 0

x2 y2 z2 1


x3 y3 z3 1
Własność 8.2.
Ä„1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0, Ä„2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0
 Ä„1 Ä„" Ä„2 Ð!Ò! n1 Ä„" n2

 Ä„1 Ä„2 Ð!Ò! n1 n2

|n1 ć% n2|

 cos (Ä„1, Ä„2) = | cos (n1, n2)| =

n1 n2

22
8.2. Równanie prostej
Definicja 8.4. Niech dany jest punkt P0(x0, y0, z0) oraz niezerowy wektor = [m, n, p],
v
wtedy równania:
x - x0 y - y0 z - z0
= =
m n p
określają prostą l, równoległą do wektora i przechodzącą przez P0,
v
tzn. l, P0 " l.
v
Równania te nazywamy równaniami kanonicznymi prostej l, a wektor nazywamy wek-
v
torem kierunkowym prostej l.
Uwaga 8.2. Równania kanoniczne prostej otrzymujemy z warunku kolinearności wektorów
v
-
-
i P0P (proporcjonalność współrzędnych):
- x - x0 y - y0 z - z0
-
P0P =Ò! = = ,
v
m n p
gdzie P (x, y, z) jest dowolnym punktem P , należącym do prostej l.
Definicja 8.5. Równania
Å„Å‚
òÅ‚
A1x + B1y + C1z + D1 = 0,
l :
ół
A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
nazywamy równaniami krawędziowymi prostej l.
Uwaga 8.3. Prosta l powstaje jako przecięcie się dwóch płaszczyzn
Ä„1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0, Ä„2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0,
tzn. l = Ä„1 )" Ä„2,
stÄ…d wektor kierunkowy prostej l:
= n1 × n2
v
gdzie n1, n2 są wektorami normalnymi płaszczyzn odpowiednio Ą1, Ą2.

Przykład 8.1. Zapisać równania kierunkowe prostej l, określonej przez równania krawę-
dziowe:
Å„Å‚
òÅ‚
2x - 3y + z + 4 = 0,
ół
x + y - z + 8 = 0.



i j k


 = n1 × n2 = -3 1
v = [2, 3, 5]
2


1 1 -1
 P0(x0, y0, z0) " l, stÄ…d niech x0 = 0, wtedy
Å„Å‚
òÅ‚
-3y0 + z0 + 4 = 0,
=Ò! P (0, 6, 14)
ół
y0 - z0 + 8 = 0,
x - 0 y - 6 z - 14
 = =
2 3 5
23
Definicja 8.6. Równania
Å„Å‚
ôÅ‚
x = x0 + mt,
ôÅ‚
òÅ‚
y = y0 + nt,
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = z0 + pt,
nazywamy parametrycznymi równaniami prostej l.
Uwaga 8.4. Parametryczne równania prostej otrzymujemy z warunku równoległości wekto-
-
-
rów P0P oraz tzn. istnieje takie t " R, że
v,
-
-
P0P = t
v
Własność 8.3. Proste l1, l2:
x - x1 y - y1 z - z1 x - x2 y - y2 z - z2
l1 : = = , l2 : = =
m1 n1 p1 m2 n2 p2
leżą na jednej płaszczyz
nie, gdy wektory:
-
-
= [m1, n1, p1], = [m2, n2, p2], P1P2,
v1 v2
-
-
gdzie P1(x1, y1, z1) " l1, P2(x2, y2, z2) " l2, sÄ… komplanarne, tzn. gdy ( v2P1P2) = 0, stÄ…d
v1


x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1


m1 n1 p1 = 0



m2 n2 p2
Własność 8.4. Dla prostych komplanarnych zachodzi jeden z trzech przypadków:
 proste l1, l2 mają jeden punkt wspólny, gdy

m1 n1 p1
rk = 2,
m2 n2 p2
przy czym prosta l1 Ä„" l2 Ð!Ò! v1 Ä„" v2

m1 n1 p1
 prosta l1 l2, gdy rk = 1,
m2 n2 p2
 proste pokrywajÄ… siÄ™, gdy
îÅ‚ Å‚Å‚
x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1
ïÅ‚
rk m1 n1 p1 śł = 1
ðÅ‚ ûÅ‚
m2 n2 p2
Własność 8.5. Dla prostych l1, l2, dla których l1 )" l2 = ", mamy

v1 ć% v2

cos (l1, l2) =
v1 v2

8.3. Prosta i płaszczyzna
Własność 8.6. Podstawiając do równania płaszczyzny Ą : Ax + By + Cz + D = 0 równania
prostej l:
Å„Å‚
ôÅ‚
x = x0 + mt,
ôÅ‚
òÅ‚
y = y0 + nt,
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = z0 + pt,
24
otrzymujemy równanie:
(Am + Bn + Cp)t + (Ax0 + by0 + Cz0 + D) = 0
Mamy trzy przypadki:
 Am+Bn+Cp = 0, stąd l)"Ą = Q, gdzie współrzędne punktu przebicia Q wyznaczamy

z równania prostej l, wstawiając t = tQ:
Ax0 + by0 + Cz0 + D
tQ = -
Am + Bn + Cp
 Am + Bn + Cp = 0 '" Ax0 + by0 + Cz0 + D = 0, stÄ…d

l )" Ä„ = " =Ò! l Ä„
 Am + Bn + Cp = 0 '" Ax0 + by0 + Cz0 + D = 0, stÄ…d
l " Ą (prosta leży na płaszczyz
nie)
Rysunek 1: punkt przebicia Q
Rysunek 2: prosta równoległa do płaszczyzny
Rysunek 3: prosta leżąca na płaszczyz
nie
Własność 8.7. Mamy także = [m, n, p] l oraz Ą" Ą, stąd:
v n
 l Ä„" Ä„ Ð!Ò!
v n
 l Ä„ Ð!Ò! Ä„"
v n
Ä„
 (l, Ä„) = - ( stÄ…d
v, n),
2

Ä„
sin (l, Ä„) = sin - ( = cos (
v, n) v, n)
2
czyli
| ć%
v n|
sin (l, Ä„) =
n
v
Rysunek: kąt między prostą i płaszczyzną
Twierdzenie 8.1. Odległość d = d(P, Ą) punktu P0(x0, y0, z0) od płaszczyzny Ą : Ax+By +
Cz + D = 0 wyraża się wzorem:
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
"
d = d(P, Ä„) =
A2 + B2 + C2
Rysunek: odległość punktu od płaszczyzny
Przykład 8.2. Wyznaczyć odległość miedzy dwoma równoległymi płaszczyznami:
Ä„1 : 11x - 2y - 10z + 20 = 0, Ä„2 : 11x - 2y - 10z + 65 = 0
Ponieważ d(Ą1, Ą2) = d(P1, Ą2), gdzie P1 " Ą1, stąd wybierając P1(0, 0, 2), mamy
|11 · 0 - 2 · 0 - 10 · 2 - 65|

d(Ä„1, Ä„2) = d(P1, Ä„2) = = 3
112 + (-2)2 + (-10)2
25
Twierdzenie 8.2. Odległość d = d(P, l) punktu P (x0, y0, z0) od prostej l o wektorze kierun-
kowym wyraża się wzorem:
v
-
|P Q ×
v|
d = d(P, l) = ,

v
gdzie Q jest dowolnym punktem należącym do prostej l
Rysunek: odległość punktu od prostej
Uwaga 8.5. Odległość d = d(P, l) punktu P (x0, y0, z0) od prostej l o wektorze kierunkowym
-
jest równa wysokości trójkąta zbudowanego na wektorach i P Q, poprowadzonej z punktu
v v
P , przy czym Q " l.
Twierdzenie 8.3. Odległość d = d(l1, l2) dwóch prostych skośnych l1, l2 (nierównoległych
i nie przecinających się) o wektorach kierunkowych odpowiednio wyraża się wzorem:
v1, v2
-
-
|( v2P1P2)|
v1
d = d(l1, l2) = ,
×
v1 v2
gdzie P1 " l1, P2 " l2.
Rysunek: odległość prostych skośnych
Definicja 8.7. Pękiem płaszczyzn o krawędzi l nazywamy zbiór wszystkich płaszczyzn,
zawierających tę krawędz
(prostÄ… l).
Jeśli krawędz
l jest dana równaniami krawędziowymi:
Å„Å‚
òÅ‚
A1x + B1y + C1z + D1 = 0,
l :
ół
A2x + B2y + C2z + D2 = 0,
przy czym wektory = [A1, B1, C1], = [A2, B2, C2] nie są kolinearne, to pęk płaszczyzn
n1 n2
dany jest równaniem:
1(A1x + B1y + C1z + D1) + 2(A2x + B2y + C2z + D2) = 0,
gdzie 2 + 2 = 0.

1 2
Rysunek: pęk płaszczyzn
Przykład 8.3. Napisać równanie płaszczyzny, zawierającej punkt P (0, 2, 1) i krawędz
prze-
cięcia płaszczyzn:
Ä„1 : 2x + 4y - z + 1 = 0, Ä„2 : 3x + y - 6z + 3 = 0
 szukana płaszczyzna należy do pęku płaszczyzn określonego przez Ą1, Ą2, stąd
Ä„ : 1(2x + 4y - z + 1) + 2(3x + y - 6z + 3) = 0,
dla pewnych 1, 2
 P " Ä„1 '" P " Ä„2 =Ò! 1 = 0 oraz

Ä„ : (2x + 4y - z + 1) + (3x + y - 6z + 3) = 0,
2
gdzie  =
1
 P " Ä„ =Ò! 8 - 1 + 1 + (2 - 6 + 3) = 0 =Ò!  = 8
 (2x + 4y - z + 1) + 8(3x + y - 6z + 3) = 0 =Ò!
Ä„ : 26x + 12y - 49z + 25 = 0.
26