UZUPEA
NIENIE
Uzupełnienie  Elementy szczególnej teorii względności
U.1 Elementy szczególnej teorii względności
Mechanika klasyczna oparta na zasadach dynamiki Newtona poprawnie opisuje
zjawiska, w których prędkości ciał są małe w porównaniu z prędkością światła. Jednak
w zjawiskach atomowych, jądrowych i w astrofizyce spotykamy się z prędkościami
zbliżonymi do prędkości światła i wtedy zamiast mechaniki klasycznej musimy stosować
mechanikę relatywistyczną opartą na szczególnej teorii względności opracowanej przez
Einsteina. Mechanika klasyczna nie jest sprzeczna z mechaniką relatywistyczną, a stanowi
jej szczególny przypadek (dla małych prędkości).
U.1.1 Transformacja Galileusza
Spróbujemy teraz opisać zjawiska widziane z dwóch różnych inercjalnych układów
odniesienia, poruszających się względem siebie (rysunek U.1). W tym celu wyobraz
my
sobie, obserwatora na Ziemi, który rejestruje dwa zdarzenia (na przykład dwie eksplozje)
zachodzące na pewnej, jednakowej wysokości.
Rys. U1.1. Obserwacja zjawisk z dwóch poruszających się względem siebie układów odniesienia
Odległość między miejscami wybuchów wynosi, (według ziemskiego obserwatora) "x,
natomiast czas między wybuchami "t. Te same dwa zdarzenia obserwowane są przez
pasażera samolotu lecącego z prędkością V po linii prostej łączącej miejsca wybuchów.
Względem lokalnego układu odniesienia związanego z lecącym samolotem różnica
położeń wybuchów wynosi "x , a różnica czasu "t .
Porównajmy teraz spostrzeżenia obserwatorów na ziemi i w samolocie. Zróbmy to na
przykład z pozycji obserwatora na ziemi, który próbuje opisać to co widzą pasażerowie
samolotu. Jeżeli, pierwszy wybuch nastąpił w punkcie x1 (wg samolotu), a drugi po czasie
"t, to w tym czasie samolot przeleciał drogę V"t (względem obserwatora na Ziemi) i drugi
wybuch został zaobserwowany w punkcie
x2 '= x1'+"x -Vt
(U1.1)
czyli
"x'= x2 '-x1'= "x -Vt
(U1.2)
494
Uzupełnienie  Elementy szczególnej teorii względności
Jednocześnie, ponieważ samolot leci wzdłuż linii łączącej wybuchy, to "y = "z = 0.
Oczywistym wydaje się też, że "t = "t. Otrzymaliśmy więc wzory przekładające wyniki
obserwacji jednego obserwatora na spostrzeżenia drugiego
x'= x -Vt
y'= y
(U1.3)
z'= z
t'= t
Te równania noszą nazwę transformacji Galileusza.
Sprawdz
my, czy stosując powyższe wzory do opisu doświadczeń, otrzymamy takie same
wyniki, niezależnie od układu w którym to doświadczenie opisujemy. Jako przykład
wybierzmy ciało poruszające wzdłuż osi x ruchem jednostajnie przyspieszonym
z przyspieszeniem a.
W układzie nieruchomym prędkość chwilowa ciała wynosi
"x
u =
(U1.4)
"t
Jego przyspieszenie jest stałe i równe a. Natomiast obserwator w pojez
dzie poruszającym
się wzdłuż osi x ze stałą prędkością V rejestruje, że w czasie "t ciało przebywa odległość
"x . Zatem prędkość chwilowa ciała zmierzonego przez tego obserwatora wynosi
"x'
u'=
(U1.5)
"t'
Zgodnie z transformacją Galileusza "x' = "x - V"t, oraz "t' = "t, więc
"x' "x -V"t
u'= = = u -V
(U1.6)
"t' "t
Otrzymaliśmy prędkość względną jednego obiektu względem drugiego co jest wynikiem
intuicyjnie oczywistym. Natomiast przyśpieszenie w układzie poruszającym się wynosi
"u' "(u -V ) "u
a'= = = = a
(U1.7)
"t' "t "t
Widać, że w tym przypadku zastosowanie wzorów transformacji Galileusza daje wynik
zgodny z doświadczeniem. Jednak nie jest to prawdą w każdym przypadku. Miedzy
innymi stwierdzono, że ta transformacja zastosowana do równań Maxwella nie daje tych
samych wyników dla omawianych układów inercjalnych. W szczególności z praw
Maxwella wynika, że prędkość światła jest podstawową stałą przyrody i powinna być sama
w każdym układzie odniesienia. Oznacza to na przykład, że gdy impuls światła
rozchodzący się w próżni w kierunku x jest obserwowany przez dwóch obserwatorów
pokazanych na rysunku U.1.1 to zarówno obserwator nieruchomy jak poruszający się
495
Uzupełnienie  Elementy szczególnej teorii względności
z prędkością V (względem pierwszego) zmierzą identyczną prędkość impulsu
c = 2.998�108 m/s. Tymczasem zgodnie z transformacją Galileusza i ze zdrowym
rozsądkiem powinniśmy otrzymać wartość c - V.
Wykonano szereg doświadczeń, w których próbowano podważyć równania Maxwella,
a w szczególności próbowano pokazać, że prędkość światła, tak jak prędkość dz
więku
zależy od układu odniesienia (stosuje się do transformacji Galileusza). Najsławniejsze
z nich, to doświadczenie Michelsona-Morleya mające na celu wykrycie wpływu ruchu
orbitalnego Ziemi na prędkość światła poprzez pomiar prędkości światła w kierunku
prostopadłym i równoległym do ruchu Ziemi. Wszystkie te doświadczenia dały wynik
negatywny i musimy uznać, że
Prawo, zasada, twierdzenie
Prędkość światła w próżni c = 2.998�108 m/s jest jednakowa we wszystkich
inercjalnych układach odniesienia.
Rozpatrzmy teraz niektóre wnioski wynikające ze stałości prędkości światła.
U.1.2 Dylatacja czasu
Rozpatrzmy rakietę, w której znajduje się przyrząd wysyłający impuls światła z punktu
A, który następnie odbity przez zwierciadło Z, odległe o d, powraca do tego punktu A,
gdzie jest rejestrowany (rysunek U.1.2).
Rys. U1.2. Pomiar czasu przebiegu impulsu świetlnego w dwóch układach odniesienia
Czas "t' jaki upływa między wysłaniem światła, a jego zarejestrowaniem przez
obserwatora będącego w rakiecie (rysunek a) jest oczywiście równy "t' = 2d/c. Teraz to
samo zjawisko opisujemy z układu nieruchomego obserwatora (rysunek b), względem
którego rakieta porusza się w prawo z prędkością V. Chcemy, w tym układzie, znalez
ć czas
"t przelotu światła z punktu A do zwierciadła i z powrotem do A. Jak widać na rysunku
U1.2 (b) światło przechodząc od punktu A do zwierciadła Z porusza się po linii
o długości S
496
Uzupełnienie  Elementy szczególnej teorii względności
2
"t
�#V ś#
2
S = + d (U1.8)
ś# ź#
2
�# #
Zatem czas potrzebny na przebycie drogi AZA (to jest dwóch odcinków o długości S)
wynosi
2
"t
�#V ś#
2
+ d
ś# ź#
(U1.9)
2
�# #
"t = 2
c
Przekształcając to równanie otrzymujemy ostatecznie
2d
"t'
c
"t = =
(U1.10)
2 2
V V
1- 1-
c2 c2
Widzimy, że warunek stałości prędkości światła w różnych układach odniesienia może być
spełniony tylko wtedy gdy, czas pomiędzy dwoma zdarzeniami obserwowanymi
i mierzonymi z różnych układów odniesienia jest różny. W konsekwencji
Prawo, zasada, twierdzenie
Każdy obserwator stwierdza, że poruszający się zegar idzie wolniej niż identyczny
zegar w spoczynku.
To zjawisko dylatacji czasu jest własnością samego czasu i dlatego spowolnieniu
ulegają wszystkie procesy fizyczne gdy są w ruchu. Dotyczy to również reakcji
chemicznych, więc i biologicznego starzenia się.
Dylatację czasu zaobserwowano doświadczalnie między innymi za pomocą nietrwałych
cząstek. Cząstki takie przyspieszano do prędkości bliskiej prędkości światła i mierzono
zmianę ich czasu połowicznego zaniku.
Ćwiczenie U.1
Spróbuj obliczyć ile razy wzrośnie czas połowicznego zaniku cząstki poruszającej się
z prędkością V = 0.99 c. Żeby sprawdzić czy można zarejestrować taką cząstkę oblicz jaką
drogę s przebędzie ona w tym czasie, jeżeli czas połowicznego zaniku nieruchomej cząstki
wynosi 10-8 s. Wynik zapisz poniżej.
t =
Rozwiązanie możesz sprawdzić na końcu modułu.
497
Uzupełnienie  Elementy szczególnej teorii względności
U.1.3 Transformacja Lorentza
Szukamy ponownie (jak przy transformacji Galileusza) wzorów przekładających
spostrzeżenia jednego obserwatora na obserwacje drugiego. Chcemy znalez
ć transformację
współrzędnych ale taką, w której obiekt poruszający się z prędkością równą c w układzie
nieruchomym (x, y, z, t), również w układzie (x', y', z', t') poruszającym się z prędkością V
wzdłuż osi x będzie poruszać się z prędkością c. Transformacja współrzędnych, która
uwzględnia niezależność prędkości światła od układu odniesienia ma postać
x -Vt x -Vt
x'= = ,
2 2
V 1- �
1-
c2
y'= y
(U1.11)
z'= z
V V
t - x t - x
c2 c2 ,
t'= =
2 2
V 1- �
1-
c2
gdzie � = V/c. Te równania noszą nazwę transformacji Lorentza. Omówimy teraz niektóre
wnioski wynikające z transformacji Lorentza.
U.1.3.1 Jednoczesność
Przyjmijmy, że według obserwatora w rakiecie poruszającej się wzdłuż osi x' (czyli
także wzdłuż osi x, bo zakładamy, że te osie są równoległe) pewne dwa zdarzenia
zachodzą równocześnie "t' = t2' - t1' = 0, ale w rożnych miejscach x2' - x1' = "x' `" 0.
Sprawdz
my, czy te same zdarzanie są również jednoczesne dla obserwatora w spoczynku.
Z transformacji Lorentza wynika, że
V
"t - "x
c2
(U1.12)
"t'=
2
1- �
oraz
2
"x = "x' 1- � +V"t (U1.13)
A
ącząc te równania otrzymujemy związek
V
2
"t'= "t 1- � - "x'
(U1.14)
c2
Jeżeli teraz uwzględnimy fakt, że zdarzenia w układzie związanym z rakietą są
jednoczesne "t' = 0 to otrzymamy ostatecznie
498
Uzupełnienie  Elementy szczególnej teorii względności
V
c2
(U1.15)
"t = "x'
2
1- �
Widzimy, że równoczesność zdarzeń nie jest bezwzględna, w układzie nieruchomym te
dwa zdarzenia nie są jednoczesne.
U.1.3.2 Skrócenie długości
Teraz rozpatrzmy inny przykład. W rakiecie poruszającej się z prędkością V, wzdłuż osi
x' leży pręt o długości L'. Sprawdz
my jaką długość tego pręta zaobserwuje obserwator
w układzie nieruchomym.
Pomiar długości pręta polega na zarejestrowaniu dwóch zjawisk zachodzących
równocześnie na końcach pręta (np. zapalenie się żarówek). Ponieważ żarówki zapalają się
na końcach pręta to "x' = L'. Ponadto żarówki zapalają się w tym samym czasie (dla
obserwatora w układzie spoczywającym ) to dodatkowo "t = 0. Uwzględniając te warunki
otrzymujemy na podstawie transformacji Lorentza
1
L'= "x
(U1.16)
2
1- �
gdzie "x jest długością pręta L w układzie nieruchomym. Stąd
2
"x = L = L' 1- � (U1.17)
Okazuje się, że pręt ma mniejszą długość, jest krótszy.
U.1.3.3 Dodawanie prędkości
W poprzednim punkcie rozważaliśmy obiekt spoczywający w rakiecie. Teraz zajmiemy
się przypadkiem gdy obiekt ma już pewną prędkość Ux' w ruchomym układzie odniesienia
(to jest względem rakiety). Sprawdzimy jaką prędkość Ux zarejestruje nieruchomy
obserwator, w układzie którego rakieta porusza się z prędkością V wzdłuż osi x. Z
transformacji Lorentza wynika, że
"x -V"t
"x'=
(U1.18)
2
1- �
oraz
V
"t - "x
c2
(U1.19)
"t'=
2
1- �
499
Uzupełnienie  Elementy szczególnej teorii względności
Dzieląc te równania przez siebie otrzymujemy
"x
-V
"x' "x -V"t
"t
= =
(U1.20)
V V "x
"t'
"t - "x 1-
c2 c2 "t
"x' "x
a po podstawieniu U '= oraz U =
x x
"t' "t
U -V
x
U '=
x
VU
(U1.21)
x
1-
c2
Powyższe równanie można rozwiązać ze względu na Ux
U '+V
x
U =
x
VU '
(U1.22)
x
1+
c2
Ćwiczenie U.2
Rozpatrzmy dwa samoloty naddz
więkowe, które lecą ku sobie po linii prostej. Prędkości
samolotów względem Ziemi wynoszą odpowiednio: pierwszego 1500 km/h, a drugiego
3000km/h. Oblicz jaką prędkość pierwszego samolotu zmierzy obserwator w samolocie
drugim. Zauważ, że ponieważ samolot drugi jest układem, względem którego prowadzimy
obliczenia to zgodnie z naszymi oznaczeniami Ux = 1500 km/h, a V = -3000 km/h. Ujemny
znak prędkości V wynika z przeciwnego kierunku ruchu. Wynik zapisz poniżej.
Ux =
Rozwiązanie możesz sprawdzić na końcu modułu.
U.1.3.4 Zależność masy od prędkości
Dotychczas zajmowaliśmy się kinematyką ruchu ciała obserwowanego z dwóch
układów odniesienia poruszających się względem siebie ze stałą prędkością. Teraz chcemy
odpowiedzieć na pytanie jak można opisać zachowanie ciała pod wpływem sił w sytuacji,
gdy transformacja Lorentza, (a nie Galileusza) jest prawdziwa. Chodzi o to, czy druga
zasada dynamiki Newtona F = dp/dt może być stosowana i czy zasada zachowania pędu
ma taką samą postać we wszystkich układach inercjalnych.
500
Uzupełnienie  Elementy szczególnej teorii względności
Okazuje się, że warunkiem zachowania pędu przy transformacji z jednego układu
odniesienia do innego jest uwzględnienie zależność masy ciała m od jego prędkości V,
danej następującym wyrażeniem
m0
m(V ) =
2
V (U1.23)
1-
c2
w którym m0 oznacza masę spoczynkową, czyli masę nieruchomego ciała. Zauważmy
ponadto, że masa cząstki rośnie wraz z prędkością i zmierza do nieskończoności gdy
V c.
Rozpatrzmy teraz ruch ciała pod wpływem stałej siły F działającej równolegle do kierunku
ruchu. Zależność prędkości ciała od czasu obliczamy na podstawie drugiej zasad dynamiki
Newtona. Uwzględniając zależność masy od prędkości (U1.23) otrzymujemy
Ft
m0
V (t) =
2
(U1.24)
�# ś#
Ft
1+
ś#
m0cź#
�# #
Porównanie zależność prędkości ciała od czasu działania siły w mechanice klasycznej
i relatywistycznej jest pokazane na rysunku U1.3. W przeciwieństwie do opisu
klasycznego, z powyższej zależności wynika, że cząstki nie da się przyspieszać
w nieskończoność działając stałą siłą.
Rys. U.1.3. Zależność prędkości ciała od czasu działania stałej siły w mechanice klasycznej
i relatywistycznej
Zmiana masy z prędkością została potwierdzona wieloma doświadczeniami
przeprowadzonymi dla cząstek elementarnych.
501
Uzupełnienie  Elementy szczególnej teorii względności
U.1.3.5 Równoważność masy i energii
Einstein pokazał, że zasada zachowania energii jest spełniona w mechanice
relatywistycznej pod warunkiem, że pomiędzy masą i całkowitą energią ciała zachodzi
związek
E = mc2 (U1.25)
gdzie m zależy od prędkości ciała V zgodnie z równaniem (U1.23). To znane powszechnie
równanie Einsteina opisuje równoważność masy i energii. Wynika z niego, że ciało
w spoczynku ma zawsze pewną energię związaną z jego masa spoczynkową
E0 = m0c2
(U1.26)
Energię kinetyczną ciała poruszającego się z prędkością V obliczamy odejmując od energii
całkowitej energię spoczynkową (nie związaną z ruchem)
Ek = E - E0 = mc2 - m0c2 = (m - m0 )c2
(U1.27)
Widzimy, że mechanika relatywistyczna wiąże energię kinetyczną z przyrostem masy
ciała.
Ćwiczenie U.3
Spróbuj teraz obliczyć prędkość cząstki, której energia kinetyczna jest równa jej energii
spoczynkowej. O ile wzrosła masa tej cząstki w stosunku do masy spoczynkowej? Wynik
zapisz poniżej.
m
=
m0
Rozwiązanie możesz sprawdzić na końcu modułu.
Na zakończenie zobaczmy jaką wartość przyjmuje energia całkowita, jeśli prędkość V jest
mała. Dla małego V równanie (U1.23) można przybliżyć (rozwijając w szereg) do postaci
2
m0 �# ś#
V
ś# ź#
m(V ) = H" m0ś#1+
2
2c2 ź# (U1.28)
V
�# #
1-
c2
Podstawiając tę wartość do wyrażenia na energię całkowitą otrzymujemy
502
Uzupełnienie  Elementy szczególnej teorii względności
2
m0V
E = m(V )c2 H" m0c2 + (U1.29)
2
Pierwszy wyraz jest energią związaną z istnieniem samej masy (energia spoczynkowa)
natomiast drugi jest klasyczną energią kinetyczną związaną z ruchem ciała. Otrzymaliśmy
rozwiązanie klasyczne jako graniczny przypadek (dla małych prędkości) rozwiązania
relatywistycznego.
503
Uzupełnienie  Uniwersalne stałe fizyczne
Uniwersalne stałe fizyczne
Wielkość Symbol Wartość
Prędkość światła w próżni c
2.9979�108 m�s-1
Przenikalność magnetyczna próżni
ź0 4Ą�10-7 H�m-1
Przenikalność elektryczna próżni
�0 8.8542�10-12 F�m-1
Stała Plancka h
6.6262�10-34 J�s
Elektryczny ładunek elementarny e
1.60219�10-19 C
Masa spoczynkowa elektronu me
9.1095�10-31 kg
Masa spoczynkowa protonu mp
1.6726485�10-27 kg
Masa spoczynkowa neutronu mn
1.6749�10-27 kg
Stała Rydberga R
1.0974�107 m-1
Liczba Avogadro NAv 6.0220�1023 mol-1
Jednostka masy atomowej u
1.6606�10-27 kg
Stała Boltzmanna k
1.3807�10-23 J�K-1
Stała Stefana-Boltzmanna
� 5.67031�10-8 W�m-2�K-4
Stała gazowa R
8.3144 J�mol-1�K-1
Stała grawitacyjna G
6.6720�10-11 N�m2�kg-2
504
Uzupełnienie  Użyteczne wzory matematyczne
Użyteczne wzory matematyczne
Geometria
2
Ą r
Pole okręgu
2
4Ą r
Pole kuli
4
Ą r3
Objętość kuli
3
Trygonometria
y
sin� =
r
x
cos� =
r
y
tg� =
x
2
sin � + cos2 � = 1
sin 2� = 2sin� cos�
ą ą � ą m �
sin(ą ą � ) = 2sin cos
2 2
Niektóre pochodne
d d d f (x)
a = 0 (af (x)) = a
d x d x d x
d d 1
(xn ) = nxn-1 (ln x) =
d x d x x
d d
(sin(ax)) = a cos ax (cos(ax)) = -asin ax
d x d x
d d f d g d d g d f
( f + g) = + ( f �" g) = f + g
d x d x d x d x d x d x
Niektóre całki (C = const.)
xn+1
xn d x = + C
+"d x = x + C
+"
n +1
d x 1
= ln x + C
+" +"sin axd x = - cosax + C
x a
1
f (x)d x + g(x)d x
+"cosaxd x = sin ax + C +"( f (x) + g(x))d x = +" +"
a
x2
x2
f (x)d x = F(x) = F(x2 ) - F(x1)
+" x1
x1
505
Grupa
IA VIIIA
Litowce Helowce
2
1
He
H
4.0026
1.008
IIA IIIA IVA VA VIA VIIA
Hel
liczba atomowa
Wodór Berylowce Borowce Węglowce Azotowce Tlenowce Fluorowce
symbol
3 5 6 7 8 9 10
Li 4 Be B C N O F Ne
masa atomowa
6.941 9.012 10.81 12.011 14.006 15.999 18.998 20.179
Układ okresowy pierwiastków
Lit Beryl nazwa Bor Węgiel Azot Tlen Fluor Neon
11 13 14 15 16 17 18
Na 12 Mg Al Si P S Cl Ne
22.989 24.305 26.981 28.085 30.974 32.06 35.453 39.948
IIIB IVB VB VIB VIIB VIIIB IB IIB
Sód Magnez Glin Krzem Fosfor Siarka Chlor Argon
Skandowce Tytanowce Wanadowce Chromowce Manganowce Żelazowce i Platynowce Miedziowce Cynkowce
19 21 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
K 20 Ca K 22 Ti 23 V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
39.089 40.08 44.956 47.90 50.952 51.996 54.938 55.847 58.933 58.70 63.546 65.38 69.72 72.59 74.921 78.96 79.904 83.80
Potas Wapń Skand Tytan Wanad Chrom Mangan Żelazo Kobalt Nikiel Miedz
Cynk Gal German Arsen Selen Brom Krypton
37 39 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
Rb 38 Sr Y 40 Zr 41 Nb Mb Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe
85.467 87.62 88.906 91.22 92.906 95.94 98.906 101.07 102.905 106.4 107.868 112.41 114.82 118.69 121.75 127.60 126.904 131.30
Rubid Stront Itr Cyrkon Niob Molibden Technet Ruten Rod Pallad Srebro Kadm Ind Cyna Antymon Tellur Jod Ksenon
55 57 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86
Cs 56 Ba La 72 Hf 73 Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn
132.905 137.33 138.905 178.49 180.948 183.85 186.20 190.2 192.22 195.09 196.966 200.59 204.37 207.2 208.980 208.982 209.987 220.017
Cez Bar Lantan Hafn Tantal Wolfram Ren Osm Iryd Platyna Złoto Rtęć Tal Ołów Bizmut Polon Astat Radon
87 89
Fr 88 Ra Ac
223.02 226.025 227.028
Frans Rad Aktyn
58 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71
Ce 59 Pr 60 Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tu Yb Lu
Lantanowce
140.12 140.907 144.24 145 150.35 151.96 157.25 158.925 162.50 164.930 167.26 168.934 173.04 174.967
Cer Prazeodym Neodym Promet Samar Europ Gadolin Terb Dysproz Holm Erb Tul Iterb Lutet
Aktynowce 100
90 93 94 95 96 97 98 99 101 102 103
Th 91 Pa 92 U Np Pu Am Cm Bk Cm Es
Md No Lr
232.038 231.036 238.029 237.048 244 243.061 247 247.07 251 254.088 255 254 257
Fm
Tor Protaktyn Uran Neptun Pluton Ameryk Kiur Berkel Kaliforn Einstein Mendelew Nobel Lorens
253
Uzupełnienie  Układ okresowy pierwiastków
506