4. Budowa modeli matematycznych
dla symulacji ruchu
Å›
4.1. STOSOWANE ZAA
O ENIA I UPROSZCENIA
ć
W odniesieniu do poję i określeń wprowadzonych w poprzednich dwu rozdziałach,
przy budowie modeli matematycznych (równań ruchu) ciała człowieka stosowanych jest sze-
reg zało\
eń i uproszczeń. Najwa\
niejsze z nich, stosowane w modelach budowanych w tym
rozdziale, opisane sÄ… poni\
ej.
Ciało człowieka podzielone jest na segmenty traktowane jak człony sztywne (wszystkie
składowe danego segmentu: elementy układu kostnego, mięśnie, skóra i ewentualnie na-
rządy wewnętrzne, mają te same, zsynchronizowane ruchy). Podział na człony jest doko-
nany w sposób uzasadniony anatomicznie, czyli  od stawu do stawu . Przy dodatkowych
ć
zało\
eniach upraszczających, dany człon stanowi mogą równie\
dwa lub więcej seg-
menty anatomiczne (na przykład,  usztywnienie stawu promieniowo-nadgarstkowego
ć
pozwala potraktowa przedramię wraz z ręką jako jeden sztywny człon).
Połączenia wyodrębnionych członów (stawy), zale\
nie od ich funkcji/własności, mode-
lowane są jako przeguby: kulisty, Cardana lub walcowy, które dopuszczają, odpowied-
nio, trzy, dwa lub jeden obrót łączonych członów względem siebie. Dla modeli płaskich
(ruch w płaszczyz
nie strzałkowej lub równoległej do niej), wszystkie połączenia stawowe
modelowane są jako obrotowe pary kinematyczne (jeden stopień swobody), odpowiada-
jÄ…ce przegubowi walcowemu.
Znane są wszystkie dane masowo-geometryczne członów. W odniesieniu do modeli pła-
skich (rys. 3.2), dla ka\
dego członu i, będą to:
ć
- li - długoś członu,
- ¾Ci , ·Ci - współrzÄ™dnie poÅ‚o\
enia środka masy Ci w lokalnym układzie wła-
snym Pi¾i·i ,
- mi , JCi - masa i masowy moment bezwładności członu względem Ci .
ć
Dla modeli przestrzennych poło\
enie Ci zdefiniowa nale\
y dodatkowo za pomocÄ… Å›
Ci
ć
oraz poda pełną macierz JC opisaną równaniem (2.25).
1
 Mięśnie traktowane są jako elementy bezmasowe, generujące siły mięśniowe skracające
ć
mięsień. Dany mięsień (o wielu głowach/przyczepach) modelowany mo\
e by za pomo-
cą kilku aktonów. Grupa mięśni o jednakowym (zbli\
onym) przebiegu i funkcji mo\
e
ć
by te\
modelowana za pomocą jednego aktonu zastępczego.
Dla wyodrębnionych aktonów, linie działania sił mięśniowych są prostymi wyznaczany-
mi przez punkty ich przyczepów do układu kostnego (punkty Oj oraz I na rysunkach
j
3.4, 3.5 i 3.6), zastępowane ewentualnie przez punkty wynikające z uwzględnienia zło-
2 2 j
\
onego charakteru oplatania stawów/kości przez mięśnie i ich ścięgna (punkty Oj lub I
na rysunkach 3.5 i 3.6). Punkty te wyznaczają miejsca wprowadzenia sił mięśniowych do
ć
odpowiednich członów. Dana siła mięśniowa mo\
e mie charakter siły jednostawowej,
gdy miejsca jej wprowadzenia nale\
ą do członów połączonych w jednym stawie, lub
wielostawowej, gdy miejsca jej wprowadzenia nale\
ą do członów nie będących bezpo-
średnio połączonych. Współrzędne miejsca wprowadzenia siły j do członu i w lokalnym
układzie współrzędnych związanym z tym członem są znane (przypadek punktów Oj lub
2 2 j
I ) lub mo\
liwe do wyliczenia dla danej konfiguracji (przypadek punktów Oj lub I ).
j
W uzasadnionych wypadkach, działanie sił mięśniowych w (niektórych) stawach mo\
e
ć
by uproszczone do wypadkowych momentów sił mięśniowych.
Biomechaniczne modele ciała człowieka (lub samych kończyn górnych/dolnych) mo-
deluje się zwykle, w pierwszym etapie, jako układy wieloczłonowe o strukturze otwartej, na
które nakłada się następnie więzy wynikające z ewentualnego kontaktu z podło\
em lub oto-
ć
czeniem. Dynamiczne równania ruchu dla takiego modelu najwygodniej jest zapisa we
współrzędnych niezale\
nych, a rekomendowany w tej pracy sposób ich generowania polega
na wykorzystaniu metody rzutowej opisanej w rozdziale 2.5. Ten sposób budowy modeli ma-
tematycznych ciała człowieka zostanie poni\
ej zilustrowany dla płaskich modeli biomecha-
nicznych (formalizm matematyczny dla modeli 3D jest zdecydowanie bardziej skomplikowa-
ny). Pierwszym etapem budowy takiego modelu matematycznego są równania ruchu we
współrzędnych absolutnych.
4.2. RÓWNANIA RUCHU WE WSPÓA
RZ
DNYCH ABSOLUTNYCH
Zgodnie z określeniami wprowadzonymi w rozdziale 2, poło\
enie i-tego członu układu
względem inercjalnego (absolutnego) układu odniesienia Oxy określają współrzędne absolut-
ne pi = [ xCi yCi ¸i ]T , gdzie xCi i yCi sÄ… współrzÄ™dnymi Å›rodka masy czÅ‚onu i w ukÅ‚adzie
Oxy , a ¸i jest kÄ…tem obrotu czÅ‚onu (ukÅ‚adu wÅ‚asnego Pi¾i·i zdefiniowanego na rys. 3.2)
względem stałego w Oxy kierunku (na rys. 3.2 kierunkiem odniesienia jest pion). Dla modelu
biomechanicznego składającego się b członów liczba współrzędnych absolutnych wynosi
n = 3b , a mianowicie
2
T
p = [ p1 L pT ]T = [ xC1 yC1 ¸1 L xCb yCb ¸b ]T . (4.1)
b
Opis ruchu układu za pomocą współrzędnych absolutnych jest pojęciowo równowa\
ny
myślowemu uwolnieniu członów układu od wszystkich więzów. Na ruch członów nakładane
są następnie warunki więzów połączeń w stawach i ewentualnie więzów wynikających z do-
datkowego ich kontaktowania się z podło\
em/otoczeniem. Oprócz sił biernych wynikających
z działania więzów (reakcji więzów), na człony układu działają ponadto siły czynne (siły
ciÄ™\
kości członów i siły od dodatkowych obcią\
eń) oraz siły mięśniowe traktowane jako ste-
rowanie układem. Dla wieloczłonowego układu biomechanicznego, dynamiczne równaniu
ruchu we współrzędnych absolutnych, wprowadzone wcześniej w postaci (2.51) jako równa-
ć
nia Lagrange a I rodzaju, zapisa mo\
na w następującej uszczegółowionej postaci
 
&&
Mp = f - CT - CT r + Bu (4.2)
r
&&
gdzie Mp = f są dynamicznymi równaniami członów swobodnych z pominięciem sterowa-
nia, M = diag(M1,K,Mb ) , jest n× n - wymiarowÄ… diagonalnÄ… macierzÄ… mas uogólnionych
T
&
odpowiadających p , Mi = diag(mi , mi , JCi ) , a f = [ f1T L fb ]T jest n - wektorem uogólnio-
nych sił czynnych (innych ni\
sterujące), fi = [ Fix Fiy MCi ]T . Siły bierne wynikające z dzia-
łania więzów połączeń stawowych (reakcje w stawach) reprezentowane są przez n - wektor
uogólnionych siÅ‚ reakcji f = -CT  , gdzie C jest m × n -wymiarowÄ… macierzÄ… tych wiÄ™zów
zdefiniowaną w równaniu (2.33), a  = [ 1 L m ]T jest wektorem (fizycznych) sił reakcji w
stawach. Analogiczne określenia dotyczą wektora uogólnionych sił reakcji w wyniku kontak-

tu z podło\
em, fr = -CT r , które zostaną zilustrowane w przykładzie 4.2. W końcu, fu = Bu
r
jest wektorem uogólnionych siÅ‚ sterujÄ…cych, gdzie B jest n × l - wymiarowÄ… macierzÄ… dystry-
&
bucji parametrów sterowania u = [ u1 L ul ]T na kierunki p . Problem formułowania równań
ruchu (4.2) zilustrowany zostanie poni\
ej dla dwu prostych przypadków.
Przykład 4.1. Płaski model kończyny górnej. Zamodelowana na rys. 4.1 kończyna górna
wykonuje ruch w płaszczyz
nie równoległej do płaszczyzny strzałkowej, w którym staw bar-
kowy S porusza siÄ™ zadanym w czasie ruchem rSd (t) = [ xSd (t) ySd (t)]T , a obciÄ…\
eniami ze-
wnętrznymi są siły cię\
kości członów oraz siła Fs generowana przez niewa\
kÄ… sprÄ™\
ynÄ™
(ekspander). Zakładając  usztywnienie stawu promieniowo-nadgarstkowego, układ składa
się z b = 2 członów, a n = 6 współrzędnymi absolutnymi opisującymi ich poło\
enia w Oxy
&
(rys. 4.2) sÄ… p = [ xC1 yC1 ¸1 xC 2 yC 2 ¸2 ]T . OdpowiadajÄ…ca p macierz mas uogólnionych
ć
ma posta M = diag(m1,m1, JC1,m2,m2, JC 2) , a wektor uogólnionych sił zewnętrznych,
T
f (p) = [ f1T f2 ]T , opisujÄ… zale\
ności:
0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ - Fs cosÅ‚
Å‚Å‚
ïÅ‚- ïÅ‚- śł
f1 = m1gśł , f2 = m2g - Fs sinł , (4.3)
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ - Fshs ûÅ‚
śł
0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
3
S
( )
y t
Sd
( )
x t
Sd
E
H
k
s
B
Rys. 4.1. Model kończyny górnej ciągnącej ekspander
1
1
S
z2
z ,yC1
C1( ) 2
C1
2
3
S
1 E
z ,yC2
( ) C2 ( )
x t C2
Sd
z1 m g z4 4
1
4
( )
y t
H
Sd
m g
2
2
3
E
Fs
1
2
z3
y
P
x
Rys. 4.2. Model mechaniczny kończyny górnej we współrzędnych absolutnych
gdzie Fs = ks (ls - ls0) , ls0 jest długością ekspandera, przy której Fs = 0 , natomiast aktualna
ć
jego długoś ls oraz kierunek działania określają zale\
ności:
yH - yP xH - xP
ls = (xH - xP )2 + (yH - yP )2 , sinł = , cosł = . (4.4)
ls ls
Współrzędne punktu P w Oxy są stałe (znane), rP = [ xP yP ]T , aktualne współrzędne punktu
r
ć
H (przyło\
enia siły Fs do ręki) mo\
na wyliczy z zale\
ności:
xH = xSd (t) + l1 sin¸1 + ¾H sin¸2 +·H cos¸2
(4.5)
yH = ySd (t) - l1 cos¸1 - ¾H cos¸2 +·H sin¸2
Á
gdzie l1 jest dÅ‚ugoÅ›ciÄ… czÅ‚onu (segmentu) S1, l1 = SE , a = [ ¾H ·H ]T sÄ… współrzÄ™dnymi
H
r
punktu H w ukÅ‚adzie E¾2·2 zwiÄ…zanym z czÅ‚onem S2. RamiÄ™ hs dziaÅ‚ania siÅ‚y Fs wzglÄ™dem
C2 wynosi hs = (yC 2 - xH )cosł + (xH - xC 2 )sinł .
4
 Wprowadzając współrzędne więzów z = [ z1 z2 z3 z4 ]T , które definiują zablokowane
przemieszczenia względne na kierunkach poziomym i pionowym w stawach barkowym S i
Åš
łokciowym E (rys. 4.2), równania m = 4 więzów połączeń członów, z = (p,t) = 0 (równania
jawnie zale\
ne od czasu), oraz macierz C tych więzów mają postacie:
Åš1 = xC1 -¾C1 sin¸1 -·C1 cos¸1 - xSd (t) = 0
Åš2 = yC1 + ¾C1 cos¸1 -·C1 sin¸1 - ySd (t) = 0
(4.6)
Åš3 = xC 2 -¾C 2 sin¸2 -·C 2 cos¸2 - xC1 - (l1 -¾C1)sin¸1 +·C1 cos¸1 = 0
Åš3 = yC 2 + ¾C 2 cos¸2 -·C 2 sin¸2 - yC1 + (l1 -¾C1)cos¸1 +·C1 sin¸1 = 0
1 0 -¾C1 cos¸1 +·C1 sin¸1 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
0 1 -¾C1 sin¸1 -·C1 cos¸1 0 0 0
ïÅ‚ śł
C = (4.7)
ïÅ‚-1 0 - (l1 -¾C1) cos¸1 -·C1 sin¸1 1 0 -¾C 2 cos¸2 +·C1 sin¸2
śł
ïÅ‚
0 -1 - (l1 -¾C1)sin¸1 +·C1 cos¸1 0 1 -¾C 2 sin¸2 -·C1 cos¸2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ć
Zdefiniowany w równaniu (2.34) wektor przyspieszeń nakładanych przez więzy wyznaczy
¾ 
&
&
mo\
na następnie jako = -Cp . Reakcje więzów = [ 1 2 3 4 ]T (rys. 4.2) są fizyczny-
mi siłami reakcji na kierunkach poziomym i pionowym.
OdnoszÄ…c siÄ™ do dyskusji przeprowadzonej w rozdziale 3.4, rozwa\
my dwa jakościowo
ró\
ne modele sterowania kończyną górną: (1) za pomocą wypadkowych momentów sił mię-
Å›niowych uÄ = [Ä1 Ä2 ]T (rys. 3.11a) oraz (2) za pomocÄ… siÅ‚ mięśniowych uF = [ F1 L F8 ]T
(rys. 3.11b). Pierwszy przypadek jest trywialny z punktu widzenia modelowania  uogólniony
ć
wektor sił sterujących fu ma posta (patrz równie\
[23-26,37])
0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 0 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ -1 Ä1
śł
1
îÅ‚ Å‚Å‚
fu = BÄ uÄ = (4.8)
ïÅ‚0 0 śł
ïÅ‚Ä śł
ðÅ‚ 2 ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 0 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚0 1 ûÅ‚
Zamodelowanie sterowania kończyną za pomocą sił mięśniowych, fu = BF uF , wymaga nieco
więcej zabiegów. Zagadnieniem podstawowym jest zdefiniowanie linii działania oraz punk-
tów wprowadzenia sił mięśniowych do odpowiednich członów (rys. 3.11b). Jak pisano ju\
o
tym w rozdziale 3.3, zale\
nie od przypadku, miejscami wprowadzenia j-tej siły mięśniowej
ć
Fj , wyznaczającymi linię działania tej siły, mogą by zarówno miejsca jej przyczepów do
2 2 j
odpowiednich segmentów, Oj lub I , jak i punkty Oj lub I będące konsekwencją oplatania
j
stawu przez ścięgno mięśnia i skutkujące niezerowym promieniem działania siły względem
stawu niezale\
nie od kÄ…ta stawowego. Dla rozwa\
anego modelu kończyny górnej, wynik ta-
kiego modelowania działania sił mięśniowych pokazany jest na rys. 4.3. Jako przykład roz-
wa\
my model działania sił m1 oraz m4 (rys. 4.4).
5
S0 S0
S0
S1 O3
S1
S1
m3
O1 '
O1
O2 O2
'
rE1
rE3 I3'
rE2
m2
m1
I3
I2
S2 S2
S2
I1
rS4
rS5 rS7 rS8
'
' O8
O4
S0 S0 S0
' '
O5 O6 O7 m8
I7 I8
m7
m4 S1 S1
m5
S1
m6
Ä…
I4'
' '
I5 I5
rE4 rE5,6
I4
S2
S2 S2
S2
Rys. 4.3. Modele linii działania sił mięśniowych przedramienia
a) b)
S0
rS4 S0
1
'
S O4 1
S
F
4
m4
S1
1 1
F
2 4 2
rE1 O1 O1' F
'
I4
1
E
E m1
I4
rE4
F
1 1
1
I1
S2 S2
2 2
2 2
Rys. 4.4. Modele działania sił generowanych przez mięśnie m1 oraz m2
Mięsień m1 (rys. 4.4a) jest mięśniem jednostawowym, którego linia działania biegnie
od przyczepu poczÄ…tkowego O1 (punkt nale\
Ä…cy do segmentu S1), oplata struktury anato-
miczne stawu łokciowego E wzdłu\
okręgu o promieniu rE1 (zale\
nym od kÄ…ta stawowego
2
Ä… =180o -¸2 +¸1 , patrz rys. 3.7), a nastÄ™pnie przebiega wzdÅ‚u\
odcinka O1I1 , gdzie I1 jest
2
punktem przyczepu końcowego mięśnia (nale\
Ä…cym do S2), a O1 wyznacza poprowadzona z
6
I1 styczna do okręgu o promieniu rE1 i środku w stawie E. Punktami przyło\
enia siły F1 do
2
członów S1 i S2 są punkty, odpowiednio, O1 i I1, a kierunek działania tych sił wyznacza od-
ć
2 2
cinek O1I1 . Współrzędne absolutne punktu O1 wyznaczone mogą by z zale\
ności (3.3), któ-
ć
ra, po zastosowaniu aktualnych oznaczeń przyjmie posta :
xO2 1 = xSd (t) + l1 sin¸1 + r sin ² sin¸2 + r cos ² cos¸2
(4.9)
yO2 1 = ySd (t) - l1 cos¸1 - r cos ² cos¸2 + r sin ² sin¸2
Współrzędne absolutne punktu I1 opisują natomiast zale\
ności:
xI1 = xSd (t) + l1 sin¸1 + ¾I1 sin¸2 +·I1 cos¸2
(4.10)
yI1 = ySd (t) - l1 cos¸1 - ¾I1 cos¸2 +·I1 sin¸2
gdzie ¾I1 i ·I1 sÄ… współrzÄ™dnymi punktu I1 w ukÅ‚adzie E¾2·2 . Z wykorzystaniem współ-
2
rzÄ™dnych absolutnych punktów O1 i I1, pierwsza kolumna 6×8 -wymiarowej macierzy BF ,
ć
odpowiadającą mięśniowi m1, ma posta
cosÄ…1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
- sinÄ…1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
(yC1- yO2 1)cosÄ…1 - (xO2 1- xC1)sinÄ…1
B(1) = (4.11)
ïÅ‚ śł
F
- cosÄ…1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
sinÄ…1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚- (yC 2- yI1)cosÄ…1 + (xI1- xC 2)sinÄ…1ûÅ‚
śł
ðÅ‚
gdzie współrzędne absolutne środków mas C1 i C2 , rC1 = [ xC1 yC1]T oraz rC 2 = [ xC 2 yC 2 ]T ,
ć
Á
mo\
na wyznaczy z zale\
noÅ›ci (4.9) i (4.10), po podstawieniu, odpowiednio, = [¾C1 ·C1]T
C1
Á Á Á
zamiast = [¾O2 1 ·O2 1]T = [ r sin ² r cos ² ]T oraz = [¾C 2 ·C 2 ]T zamiast = [¾I1 ·I1]T ,
2
O 1 C 2 I1
natomiast
xI1 - xO2 1 yO2 1 - yI1
sinÄ…1 = ; cosÄ…1 = (4.12)
(xI1 - xO2 1)2 + ( yO2 1 - yI1)2 (xI1 - xO2 1)2 + ( yO2 1 - yI1)2
Postępowanie dla wygenerowania B(4) , czwartej kolumny macierzy B odpowiadającej
F
ć
mięśniowi m4, jest analogiczne do opisanego powy\
ej. Warto jednak zwróci uwagę, \
e m4
2 2
jest mięśniem dwustawowym (rys. 4.4b), a punktami jego przyło\
enia sÄ… O4 i I4 , nale\
Ä…ce,
odpowiednio, do członów S0 (tors, traktowany jako człon  zero ) i S2. Mięsień m4 oddziałuje
zatem bezpośrednio tylko na drugi z członów ruchomych, co skutkuje, \
e pierwsze trzy ele-
menty kolumny B(4) są z zało\
enia zerowe. Pomijając szczegóły wyznaczania współrzędnych
F
ć
2 2
absolutnych punktów O4 i I4 dla danych rSd = [ xSd ySd ]T oraz ¸1 i ¸2 (zadanie to jest doÅ›
ć
zło\
one), B(4) ma posta
F
7
0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0
B(4) = (4.13)
ïÅ‚ śł
F
- cosÄ…4
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
sinÄ…4
ïÅ‚ śł
ïÅ‚- (yC 2- yI2 4)cosÄ…4 + (xI 2 4- xC 2)sinÄ…4 ûÅ‚
śł
ðÅ‚
gdzie sinÄ…4 oraz cosÄ…4 sÄ… wyznaczane z zale\
ności analogicznych do (4.12).
Z zastosowaniem B( j) sformułowanych dla wszystkich ośmiu mięśni, j =1,K , 8 ,
F
uogólniona siła sterująca fu zdefiniowana w równaniu (4.2), dla której parametrami sterowa-
ć
nia są siły mięśniowe uF = [ F1 L F8 ]T , przyjmie posta
F1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
2
fu =[B(1) M B(2) M L M B(8) ]ïÅ‚F śł = BFuF (4.14)
F F F
ïÅ‚ śł
M
ïÅ‚F śł
ðÅ‚ 8 ûÅ‚
z ograniczeniem Fj min d" Fj d" Fj max . W wypadku, gdy parametry sterowania wybrane sÄ… na-
prÄ™\
enia mięśni, Ã = Fj / Aj , gdzie Aj = (Apcsa ) jest przekrojem fizjologicznym mięśnia j,
j j
ć
zale\
noś na uogólnioną siłę sterującą zmieni się do postaci
fu = BF Auà = Bà uà (4.15)
gdzie A = diag(A1,K, A8) , a BÃ = BF A jest 6×8 -wymiarowÄ… macierzÄ… dystrybucji parame-
&
trów sterowania uà = [Ã1 L Ã8 ]T (à d" à d" à ) na kierunki p . Parametrami sterowa-
j min j j max
ć
nia wybrane mogą by równie\
poziomy aktywacji mięśni, ua = [a1 L a8 ]T ( 0 d" a d"1). Z
j
ć
zastosowaniem zale\
ności (3.4), uogólniona siła sterująca fu przyjmie wówczas posta
p p
fu = BF (Fm + Bua ) = BFFm + BFBua = fup + Baua (4.16)
p p
gdzie Fm = diag(Fmp ,K, Fmp8) , a Fmj (lmj ,l0 j ) jest składową pasywną siły mięśnia j, skąd
1
p
fup = BFFm jest składową pasywną uogólnionej siły sterującej fu . Dalej, B = diag(B1,K, B8) ,
Bj = Fj max f1(vmj ) f2(lmj ) zgodnie z równaniem (3.4), skÄ…d Ba = BFB jest 6×8 -wymiarowÄ…
macierzÄ… dystrybucji parametrów sterowania ua , a fua = Bauà jest skÅ‚adowÄ… aktywnÄ… uogól-
nionej siły sterującej fu . Uzale\
nienie zmian w czasie poziomu aktywności mięśnia a (t) od
j
ć
pobudzenia mięśnia u(t) , zgodnie z symboliczną zale\
nością (3.5), pozwala uogólni zale\
-
ć
noś (4.16) na przypadek, gdy parametrami sterowania są poziomy pobudzenia mięśnia (sy-
gnały przekazywane od układu nerwowego), uu = [u1 L u8 ]T , 0 d" u d"1. Problem ten nie
j
będzie tutaj szczegółowo omawiany.
Zale\
ności opisane w równaniach (4.8) oraz od (4.14) do (4.16), odnoszą się do dwu
jakościowo ró\
nych modeli sterowania układami biomechanicznymi  za pomocą wypadko-
8
wych momentów sił mięśniowych w stawach oraz za pomocą sił mięśniowych. W tym ostat-
ć
nim wypadku, parametrami sterowania mogą by bezpośrednio siły rozwijane w poszczegól-
nych mięśniach, naprę\
enia mięśni lub poziom ich aktywacji/pobudzenia. W zastosowaniach
ć
praktycznych, wygodnym mo\
e by te\
model mieszany, zakładający sterowanie za pomocą
wypadkowych momentów sił mięśniowych w niektórych stawach oraz za pomocą sił mię-
śniowych w pozostałych stawach. Przykład takiego modelu pokazany jest poni\
ej.
z

Przykład 4.2. Model dla symulacji wyskoku w płaszczy nie strzałkowej. Rozwa\
my po-
kazany na rys. 4.5 płaski model ciała człowieka [25,26], zbudowany dla zadań analizy dyna-
micznej czynności motorycznych typu wyskok pionowy, skok w dal z miejsca czy zeskok z
podwy\
szenia, w których zakłada się równoległe prowadzenie kończyn górnych i dolnych
oraz ruch wszystkich części ciała w płaszczyznach równoległych do płaszczyzny strzałkowej.
Model składa się z N = 9 członów sztywnych, odpowiadających poszczególnym segmentom
anatomicznym ciała: 1  udo, 2  podudzie, 3  stopa, 4, 5, i 6  części dolna, środkowa i gór-
na tułowia, 7  ramię, 8  przedramię (wraz z ręką) oraz 9  głowa (wraz z szyją). Człony te
połączone są ze sobą za pomocą ośmiu przegubów obrotowych w sposób pokazany na rysun-
ku, tworząc układ wieloczłonowy o strukturze otwartej o jedenastu stopniach swobody (brak
kontaktu z podło\
em). Współrzędnymi absolutnymi układu, w liczbie n = 3N = 27 , są
p = [ xC1 yC1 ¸1 L xC 9 yC 9 ¸9 ]T , gdzie ¸i = Õi (rys. 4.5a).
9
a) b)
8 8
7
6
6
8
7
5
5
7
4
5
4
1
4
2
3
1
4
5
H H
6
7
10
8
1 11
K
9
2
K
12
Y xH
13
r =
H
yH
2 A
14
15
3
P
A
X
3
Rys. 4.5. Płaski model biomechaniczny ciała człowieka
9
ć
2
Rozwa\
y mo\
na dwa modele sterowania układem, za pomocą l = 8 wypadkowych
2
momentów siÅ‚ mięśniowych w stawach (rys. 4.5a), u = [Ä1 K Ä8]T , oraz model mieszany, w
którym momenty Ä1 , Ä2 i Ä3 w stawach, odpowiednio, biodrowym (H), kolanowym (K) i
skokowym (A), zastąpione są przez siły piętnastu mięśni (rys. 4.5b), co daje l = 20 parame-
trów sterowania u = [Ã1 K Ã15 Ä K Ä8]T , gdzie à = Fj / Aj sÄ… naprÄ™\
eniami poszczegól-
4 j
nych mięśni, a Aj = (Apcsa ) ich przekrojami fizjologicznym. Jak wspomniano w rozdziale
j
3.4, zabieg ten pozwala na uszczegółowioną analizę obcią\
eń wewnętrznych w kończynach
dolnych (sił mięśniowych i zale\
nych od tych sił reakcji w stawach) z uwzględnieniem dyna-
miki ruchu całego ciała.
H
1
z2 2
K
3
2
z4
1
H 4
4
1
A
5
z1
K
3
z6 6
Y
P
6
z3 2
A
5
z5
X
Rys. 4.6. Współrzędne więzów i siły reakcji więzów w stawach kończyny dolnej
W odniesieniu do symbolicznej postaci dynamicznych równań ruchu (4.2), dla rozwa-
\
anego przypadku M = diag(m1,m1, JC1,K,m9,m9, JC 9 ) ma wymiar 27 × 27 , a wektor uogól-
nionych sił czynnych zawiera tylko siły cię\
kości członów, f = [ 0 - m1g 0 L 0 - m9g 0 ]T .

Wektor uogólnionych sił reakcji w stawach, f = -CT , zamodelowany jest z u\
yciem

16× 27 - wymiarowej macierzy wiÄ™zów C poÅ‚Ä…czeÅ„ w stawach oraz = [1 L 16 ]T , bÄ™dÄ…-
cych składowymi poziomymi i pionowymi fizycznych sił reakcji w stawach (na rys. 4.6 po-
kazano je dla stawów kończyny dolnej). Sposoby formułowania równań więzów połączeń w
Åš Åš
stawach, z = (p) = 0 , a na tej podstawie macierzy więzów C = " / "p , są analogiczne do
opisanych w równaniach (4.6) i (4.7)  nie będą więc tutaj szczegółowo omawiane. Oddzia-
ływanie modelu z otoczeniem odbywa się poprzez stopy i tylko w fazie kontaktu z podło\
em

(rys. 4.7a,b). Redukując to oddziaływanie do punktu P z u\
yciem = [ Rx Ry M ]T , wektor
r P

uogólnionej siły reakcji od podło\
a fr = -CT r definiowany jest z u\
yciem 3× 27 - wymia-
r
rowej macierzy Cr , której niezerowe elementy zgromadzone są jedynie w kolumnach 7, 8 i 9,

& &
odpowiadajÄ…cych xC3 , yC3 i ¸&3 (w fazie lotu a" 0 , rys. 4.7c). Wyró\
niajÄ…c tylko te kolum-
r
ć
ny, macierz Cr ma posta
1 0 (l3 - ¾C3)cos¸3 +·C3 sin¸3
îÅ‚ Å‚Å‚
Cr = -ïÅ‚L 0 -1 (l3 - ¾C 3)sin¸3 -·C3 cos¸3 Lśł (4.17)
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 1
ðÅ‚ ûÅ‚
10
gdzie l3 jest dÅ‚ugoÅ›ciÄ… odcinka AP , a ¾C3 i ·C 3 sÄ… współrzÄ™dnymi Å›rodka masy C3 czÅ‚onu 3
w lokalnym ukÅ‚adzie wÅ‚asnym A¾3·3 (rys. 4.8). Z zastosowaniem podstawowych wzorów
ć
mechaniki, przyjmujÄ…c, \
e ramię siły Rx względem punktu P jest pomijalne, znajomoś Ry
ć
oraz M pozwala wyznaczy poło\
enie środka parcia sił pionowych, c = M / Ry (rys. 4.8).
P P
a) b) c)
A
A
P
MP MP
A
Rx Rx
Ry Ry
Rys. 4.7. Stopa w fazie kontaktu z podło\
em (a, b) oraz w fazie lotu (c)
3
c
A
P
Rx
Ry 3
Rys. 4.8. Poło\
enie środka parcia sił pionowych
Z uwzględnieniem rozwa\
anych dwu modeli sterowania układem, za pomocą momen-
2
tów siÅ‚ mięśniowych u = [Ä1 K Ä8]T i modelu mieszanego u = [Ã1 K Ã15 Ä K Ä8]T , wektor
4
uogólnionych sił sterujących przyjmuje postaci
2 2
fu = B u lub fu = Bu (4.17)
ć
2
gdzie wymiary macierzy B oraz B(p) sÄ…, odpowiednio, 27 ×8 oraz 27 × 20 . Jawna posta
2
macierzy B jest trywialna [25]  ka\
da kolumna (j-ta kolumna odpowiada Ä ) zawiera dwa
j
elementy niezerowe o wartościach 1 oraz -1, na pozycjach odpowiadających współrzędnym
kÄ…towym czÅ‚onów Å‚Ä…czonych w danym stawie (w którym dziaÅ‚a Ä ). JeÅ›li chodzi o jawnÄ… po-
j
ć ć
sta macierzy B, to piÄ™ jej ostatnich kolumn, odpowiadajÄ…cych Ä K Ä8 , jest oczywiÅ›cie to\
-
4
2
samych z pięcioma ostatnimi kolumnami macierzy B . Konstrukcja pięciu piętnastu kolumn
macierzy B, odpowiadajÄ…cych Ã1 K Ã15 , jest natomiast analogiczna do tej przedstawionej w
ć
równaniach (4.9)  (4.16). Ze względów objętościowych jawna posta macierzy B nie będzie
tutaj przedstawiana.
11
Å›
4.3. RÓWNANIA RUCHU WE WSPÓA
RZ
DNYCH NIEZALE NYCH
Dynamiczne równania ruchu układów biomechanicznych we współrzędnych niezale\
-
ć
nych wygodnie jest formułowa z wykorzystaniem metody rzutowej opisanej w rozdziale 2.5.
Punktem wyjścia dla tego sformułowania są składowe M, f, Cr i B dynamicznych równań
ruchu (4.2) we współrzędnych absolutnych oraz zale\
ności między n współrzędnymi absolut-
nymi p i k współrzędnymi niezale\
nymi q, odpowiadające równaniom więzów połączeń w
stawach w postaci rozwikłanej (2.35). W zastosowaniu do opisywanych tu modeli biomecha-
nicznych kończyny górnej (przykład 4.1) oraz całego ciała człowieka (przykład 4.2), zale\
no-
ć
ści te nale\
y uogólni do postaci zale\
nej jawnie od czasu, a więc
Å
p = g(q) + (t) (4.18)
Å
gdzie, jak zostanie pokazane dalej, (t) opisuje zadany w czasie (zmierzony) ruch stawu bar-
kowego S (rys. 4.1) lub biodrowego H (rys. 4.5), odpowiednio dla tych dwu modeli. Zale\
no-
Å›ci te pozwalajÄ… na wygenerowanie n × k - wymiarowej macierzy D oraz n - wymiarowego
wektora ł , zdefiniowanych wcześniej w równaniach (2.36) i (2.37). W odniesieniu do uaktu-
alnionej zale\
ności (4.18), przyjmą one postaci:
Å‚
&
& & &&
D(q) = "g / "q ; (q,q,t) = Dq + Å (4.19)
Odnosząc się do wyjściowych równań ruchu (4.2) rozwa\
anej klasy układów biome-
chanicznych, ich dynamiczne równania ruchu we współrzędnych niezale\
nych q przyjmÄ…
ć
następującą symboliczną posta , analogiczną do sformułowanej wcześniej w równaniu (2.54),

T
&& & &
M(q)q + d(q,q,t) = f (q,q,t) - Cr (q) + B(q)u (4.20)
r
Å‚
gdzie k × k - wymiarowa macierz M = DT M D oraz k - wymiarowe wektory d = DT M i
f = DTf są analogiczne do zapisów w równaniu (2.54). Wektor uogólnionych sił reakcji z

T T
podło\
em, fr = -Cr r , definiowany jest tu z wykorzystaniem Cr = DTCT Ò! Cr = CrD ,
r
gdzie macierz Cr została wprowadzona i zilustrowana w równaniach, odpowiednio, (4.2) i
(4.17). Liczby wierszy macierzy Cr i Cr są więc identyczne (odpowiadają liczbie składo-

wych ), natomiast liczba kolumn macierzy Cr jest zredukowana do k w porównaniu do
r
liczby n kolumn macierzy Cr . Podobnie jest z k × l - wymiarowÄ… macierzÄ… B = DT B dystry-
&
bucji parametrów sterowania u na kierunki q , liczby kolumn macierzy B i B są identyczne
(równe liczbie parametrów sterowania) natomiast liczba wierszy macierzy B redukuje się do
k w porównaniu z liczbą n wierszy macierzy B. Składniki dynamicznych równań ruchu (4.20)
ć
we współrzędnych niezale\
nych, a więc M , d , f , Cr oraz B , nie muszą by (najczęściej
nie są) generowane w postaci analitycznej. W zadaniach symulacji formułowane są nume-
rycznie z wykorzystaniem opisanych wzorów, co wymaga analitycznego sformułowania M, f,
Cr i B, składników równania (4.2), oraz D i ł będących konsekwencją zale\
ności (4.18).
12
S
( )
Sd
C1 y t
( )
x t
Sd
1
m g
1
C2
E
H
m g
2
2
Fs
Rys. 4.9. Wybrane współrzędne niezale\
ne dla kończyny górnej
Przykład 4.3. Płaski model kończyny górnej (c.d.). Kontynuując przykład 4.1, niech nieza-
le\
nymi współrzędnymi uogólnionymi analizowanego układu o k = 2 stopniach swobody
ć ć
bÄ™dÄ… q = [Õ1 Õ2]T (rys. 4.9). Dla takiego wyboru q, zale\
noÅ› (4.18) ma posta
xC1 ¾C1 sinÕ1 +·C1 cosÕ1 xSd (t)
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚
yC1 - ¾C1 cosÕ1 +·C1 sinÕ1 śł ïÅ‚ySd (t)śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
¸1 Õ1 0
Å
p = = + = g(q) + (t) (4.21)
ïÅ‚x śł ïÅ‚
l1 sinÕ1 + ¾C 2 sinÕ2 +·C 2 cosÕ2 śł ïÅ‚xSd (t)śł
C 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚yC 2 śł ïÅ‚- l1 cosÕ1 -¾C 2 cosÕ2 +·C 2 sinÕ2 śł ïÅ‚ySd (t)śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
¸2 Õ2 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Na tej podstawie, zdefiniowane w równaniu (4.19) 6× 2 - wymiarowa macierz D = "g / "q
Å‚ Å
&
& &&
oraz 6 - wymiarowy wektor = Dq + są następujące:
¾C1 cosÕ1 -·C1 sinÕ1 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚¾ sinÕ1 +·C1 cosÕ1 śł
0
C1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 0
D = (4.22)
ïÅ‚
l1 cosÕ1 ¾C 2 cosÕ2 -·C 2 sinÕ2 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
l1 sinÕ1 ¾C 2 sinÕ2 +·C 2 cosÕ2 śł
ïÅ‚ śł
0 1
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
&2 &&Sd Å‚Å‚
îÅ‚ -Õ1 (¾C1 sinÕ1 +·C1 cosÕ1) + x (t)
ïÅ‚ śł
& &&Sd
Õ12(¾C1 cosÕ1 -·C1 sinÕ1) + y (t)
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0
Å‚
= (4.23)
ïÅ‚ śł
2 2
& & &&Sd
l1 sinÕ1 -Õ2 (¾C 2 sinÕ2 +·C 2 cosÕ2) + x (t)śł
ïÅ‚-Õ1
ïÅ‚
& &2 &&Sd śł
Õ12l1 cosÕ1 + Õ2 (¾C 2 cosÕ2 -·C 2 sinÕ2) + y (t)
ïÅ‚ śł
0
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
13
ć
A
atwo sprawdzi , \
e macierz D z równania (4.22) jest macierzą uzupełnienia ortogonalnego
do macierzy C zdefiniowanej w równaniu (4.7), po podstawieniu ¸1 = Õ1 oraz ¸2 = Õ2 , czyli
speÅ‚niony jest warunek CD = 0 Ô! DTCT = 0 z równania (2.38).
Z wykorzystaniem wyprowadzonych powy\
ej D oraz Å‚ , a tak\
e M, f i B dla opisanego
w przykładzie 4.1 sformułowania we współrzędnych absolutnych p, mo\
liwe jest wygenero-
wanie dynamicznych równań ruchu (4.20) we współrzędnych niezale\
nych q, które uproszczą
&& & &
siÄ™ dla rozwa\
anego przypadku do postaci M(q)q + d(q,q,t) = f (q,q,t) + B(q)u . Równań
ć
tych nie generuje się zwykle jawnie ze względu na ich zło\
onÄ… posta (nawet dla analizowa-
nego prostego przypadku), lecz formułuje się je numerycznie z wykorzystaniem zdefiniowa-
nych w równaniu (4.20) operacji mno\
enia macierzy.
Przykład 4.4. Model dla symulacji wyskoku w płaszczyz
nie pionowej (c.d.) Dla płaskiego
modelu człowieka o k =11 stopniach swobody (brak kontaktu z podło\
em), rozwa\
anego
ć
wcześniej w przykładzie 4.2, jako niezale\
ne współrzędne uogólnione wybra mo\
na
q = [ xH yH Õ1 L Õ9 ]T (rys. 4.5a), gdzie xH i yH sÄ… współrzÄ™dnymi (absolutnymi) przegu-
bu H (stawu biodrowego), a Õ1 L Õ9 sÄ… kÄ…tami orientujÄ…cymi poszczególne czÅ‚ony wzglÄ™-
dem pionu. W odró\
nieniu od poprzedniego przykładu z rozdziału 2.3.1, gdzie przegub S
(staw barkowy) potraktowano jako wymuszenie kinematyczne (punkt poruszajÄ…cy siÄ™ znanym
ruchem), w rozwa\
anym przypadku współrzędne xH i yH przegubu H stanowią składowe
wektora q opisującego k =11 stopni swobody układu. Zale\
ności zdefiniowane w równa-
niach (4.18) i (4.19) przyjmą więc nieco uproszczone symboliczne postacie:
Å‚
&
& &
p = g(q) ; D(q) = "g / "q ; (q,q) = Dq (4.24)
Jawne formy zale\
ności p = g(q) pomiędzy n = 27 współrzędnymi absolutnymi p (patrz roz-
dział 4.2.2) i k =11 współrzędnymi niezale\
nymi q sÄ… relatywnie proste. Jako ilustracjÄ™ po-
ka\
my je tylko dla współrzędnych absolutnych członów 1, 2 i 3 (kończyn dolnych),
xC1 xH + ¾C1 sinÕ1 +·C1 cosÕ1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
yC1 yH -¾C1 cosÕ1 +·C1 sinÕ1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
¸1 Õ1
ïÅ‚x śł ïÅ‚
xH + l1 sinÕ1 + ¾C 2 sinÕ2 +·C 2 cosÕ2 śł
C 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚yC 2 śł ïÅ‚
yH - l1 cosÕ1 - ¾C 2 cosÕ2 +·C 2 sinÕ2 śł
p = = (4.25)
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
¸2 Õ2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚
xC3 xH + l1 sinÕ1 + l2 sinÕ2 + ¾C 3 sinÕ3 +·C 3 cosÕ3 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
yC3
ïÅ‚ śł ïÅ‚yH - l1 cosÕ1 - l2 cosÕ2 -¾C 3 cosÕ3 +·C 3 sinÕ3śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
¸3 Õ3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ M śł ïÅ‚ M śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
14
gdzie l1 i l2 sÄ… dÅ‚ugoÅ›ciami czÅ‚onów 1 i 2 (uda i podudzia), a ¾Ci i ·Ci sÄ… współrzÄ™dnymi
Å›rodka masy czÅ‚onów i =1, 2, 3 w lokalnych ukÅ‚adach odniesienia A¾i·i (rys. 4.8). Odpo-
wiednio, 27 × 9 - wymiarowa macierz D i 27 - wymiarowy wektor Å‚ sÄ… nastÄ™pujÄ…ce:
1 0 ¾C1 cosÕ1 -·C1 sinÕ1 0 0 0 0 0 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 1 ¾C1 sinÕ1 +·C1 cosÕ1
0 0 0 0 0 0 0 0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 śł
ïÅ‚1 0 l1 cosÕ1 ¾C cosÕ2 -·C sinÕ2
0 0 0 0 0 0 0śł
2 2
ïÅ‚ śł
(4.26)
ïÅ‚0 1
l1 sinÕ1 ¾C 2 sinÕ2 +·C 2 cosÕ2 0 0 0 0 0 0 0śł
D = ïÅ‚ śł
0 1 0 0 0 0 0 0 0śł
ïÅ‚0 0
ïÅ‚1 0 l1 cosÕ1
l2 cosÕ2 ¾C3 cosÕ3 -·C3 sinÕ3 0 0 0 0 0 0śł
ïÅ‚ śł
l1 sinÕ1 l2 sinÕ2 ¾C3 sinÕ3 +·C3 cosÕ3 0 0 0 0 0 0śł
ïÅ‚0 1
ïÅ‚0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚M M M M M M M M M M Mśł
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚ &2 Å‚Å‚
-Õ1 (¾C1 sinÕ1 +·C1 cosÕ1)
ïÅ‚ śł
&2
Õ1 (¾C1 cosÕ1 -·C1 sinÕ1)
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0
ïÅ‚ śł
&2 &2
-Õ1 l1 sinÕ1 -Õ2 (¾C 2 sinÕ2 +·C 2 cosÕ2)
ïÅ‚ śł
2
ïÅ‚ śł
&2 &
Õ1 l1 cosÕ1 +Õ2 (¾C 2 cosÕ2 -·C 2 sinÕ2)
Å‚
= ïÅ‚ śł (4.27)
0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚-Õ l1 sinÕ1 -Õ2l2 sinÕ2 -Õ3 (¾C3 sinÕ3 +·C3 cosÕ3)śł
&12 &2 &2
ïÅ‚ śł
2
&2 & &2
ïÅ‚ Õ1 l1 cosÕ1 +Õ2l2 cosÕ2 + Õ3 (¾C3 cosÕ3 -·C3 sinÕ3) śł
ïÅ‚ śł
0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
M
ðÅ‚ ûÅ‚
Zale\
ności te oraz M, f, Cr i B dla opisanego w rozdziale 4.2.2 sformułowania we współ-
rzędnych absolutnych p, pozwalają na wygenerowanie dynamicznych równań ruchu (4.20)
we współrzędnych niezale\
nych q.
4.4. WYZNACZANIE REAKCJI W STAWACH
Jak wspomniano, modele matematyczne układów biomechanicznych dla zadań symu-
lacji ruchu buduje się zwykle z wykorzystaniem współrzędnych niezale\
nych, a dynamiczne
ć
równania ruchu tych układów, wyprowadzone metodą rzutową, mają ogólną posta (4.20).
Cechą tego sformułowania jest to, \
e reakcje więzów połączeń (siły reakcji w stawach) są
ć ć
eliminowane w procesie generowania równań ruchu. Znajomoś wartości tych sił mo\
e mie
natomiast istotne znaczenie w analizie układów biomechanicznych podczas takich czynności
motorycznych jak chód [4,11,113], wchodzenie/schodzenie po schodach [73], wyskoki
[22,23,26,37,127] czy inne zwiÄ…zane z wyczynem sportowym [2,98,119]. Informacja o obciÄ…-
ć
\
eniach w stawach mogÄ… mie te\
podstawowe znaczenie w leczeniu i rehabilitacji aparatu
15
ruchu oraz przy projektowaniu implantów. Potrzeby te od lat stymulują badania obcią\
eń sta-
wów kończyn oraz kręgosłupa, patrz m.in. [12-14,59,66,77,78,112,136,144,147] oraz literatu-
rÄ™ tam cytowanÄ….
W rozdziale 2.5 opisano dwa sposoby wyznaczania reakcji więzów w układach wielo-
członowych modelowanych we współrzędnych niezale\
nych, wyra\
one za pomocÄ… finalnych
sformułowań (2.56) i (2.61). W odniesieniu do modeli biomechanicznych budowanych w tym
rozdziale, zale\
ności te będą odpowiednio:
  
Å‚
&
(q,q,u, ,t) = (CM-1CT )-1C[M-1(f - CT r + Bu) - ] (4.28)
r r
  
Å‚
& && &&
(q,q,q,u, ,t) = ET [f - CT r + Bu - M (Dq + )] (4.29)
r r
W obu tych zale\
nościach wykorzystywane są M, f, Cr i B ze sformułowania (4.2) dynamiki
układu we współrzędnych absolutnych oraz konieczne jest u\
ycie równań więzów połączeń w
stawach w postaci rozwikłanej (4.18) oraz ich form ró\
niczkowych (4.19). Wszystkie te wiel-
kości i zale\
ności wymagane są te\
zresztą dla wygenerowania dynamicznych równań ruchu
(4.20) we współrzędnych niezale\
nych q. Zale\
ności (4.28) i (4.29) ró\
ni natomiast to, \
e w
pierwszym wypadku wymagane jest dodatkowo wygenerowanie m równań więzów połączeń
w stawach w postaci uwikÅ‚anej, a na tej podstawie m× n - wymiarowej macierzy wiÄ™zów C,
Åš
Åš "
(p,t) = 0 Ò! C = (4.30)
"p
ć
Określona tak macierz C zale\
na jest od współrzędnych absolutnych p i nale\
y u\
y zale\
no-
ści (4.18) celem jej wyra\
enia w postaci symbolicznej C(q,t) . Poniewa\
C nie jest wymaga-
ne dla sformułowania dynamicznych równań ruchu (4.20), liczenie sił reakcji w stawach za
pomocą schematu (4.28) wymaga więc dodatkowego wysiłku na etapie modelowania. Liczo-
ć
ne muszÄ… by te\
reakcje jednoczeÅ›nie we wszystkich stawach, a odwracanie m× m - wymia-
ć ć ć
rowej macierzy CM-1CT mo\
e by numerycznie nieefektywne (m mo\
e mie du\
Ä… wartoÅ› ).
Na tym tle, stosowanie schematu (4.29) wydaje się wygodniejsze zarówno z punktu widzenia
modelowania matematycznego jak i efektywności numerycznej (schemat nie wymaga odwra-
cania macierzy). Opisany w równaniach (2.57) i (2.58) schemat generowania występującej tu
ć
n × m - wymiarowej macierzy E, w odniesieniu do zale\
ności (4.18), przyjmie posta
"g
ëÅ‚ öÅ‚
Å
p = g(q,z) + (t) Ò! E = (4.31)
ìÅ‚ ÷Å‚
"z
íÅ‚ Å‚Å‚z=0
Jak pisano ju\
o tym w rozdziale 2.5 (metoda rozszerzonych współrzędnych złączowych),
Å Å
uogólnienie p = g(q) + (t) do postaci p = g(q,z) + (t) oraz samo generowanie E jest zwy-
ć
kle zadaniem prostym. Wa\
nym jest te\
współrzędne więzów z wprowadzi mo\
na selektyw-
nie tylko w wybranych (interesujÄ…cych z punktu widzenia analizy) stawach, co czyni, \
e licz-
16
ć
ba kolumn macierzy E mo\
e by relatywnie mała w porównaniu z liczbą m. Zilustrujmy te
zagadnienia z u\
yciem dwu rozwa\
anych wcześniej przykładów.
Przykład 4.5. Płaski model kończyny górnej (c.d.). Kontynuując przypadek modelu koń-
czyny górnej, rozwa\
any wcześniej w przykładach 4.1 i 4.3, m = 4 równania więzów w po-
staci uwikÅ‚anej (4.30)1 oraz sformuÅ‚owana na tej podstawie 4× 6 - wymiarowa macierz wiÄ™-
zów C określone zostały w równaniach (4.6) i (4.7). Umo\
liwia to zastosowanie zale\
ności

(4.28) na wyznaczanie sił reakcji w stawach barkowym i łokciowym, = [1 2 3 4 ]T
(rys. 4.2), w której odwracana jest 4× 4 -wymiarowa macierz CM-1CT . W zale\
ności tej
ć
C(p) , a tak\
e f (p,t) i B(p.t) zdefiniowane w równaniach (4.3) oraz (4.14)-(4.16), wyrazi
Å
nale\
y we współrzędnych niezale\
nych q z zastosowaniem p = g(q) + (t) jak w równaniu
Å‚ Å
&
& &&
(4.21), a = Dq + zdefiniowano w równaniu (4.23).
ć
Zastosowanie zale\
ności (4.29) na wyznaczanie reakcji w stawach pozwala unikną
konieczności formułowania równań więzów połączeń w postaci uwikłanej (4.30)1 i ich ró\
-
niczkowania względem czasu celem wygenerowania C. Zamiast tego, równania więzów w
Å
postaci rozwikłanej p = g(q) + (t) , zdefiniowane dla rozwa\
anego przypadku w równaniu
ć
Å
(4.21), nale\
y uogólni do postaci rozszerzonej p = g(q,z) + (t) , a mianowicie
xC1 z1 + ¾C1 sinÕ1 +·C1 cosÕ1 xSd (t)
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚y (t)śł
yC1 z2 - ¾C1 cosÕ1 +·C1 sinÕ1
Sd
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
¸1 Õ1 0
p = = + (4.32)
ïÅ‚x śł ïÅ‚
z1 + l1 sinÕ1 + z3 + ¾C 2 sinÕ2 +·C 2 cosÕ2 śł ïÅ‚xSd (t)śł
C 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚yC 2 śł ïÅ‚z2 - l1 cosÕ1 + z4 - ¾C 2 cosÕ2 +·C 2 sinÕ2 śł ïÅ‚ySd (t)śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
¸2 Õ2 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Na tej podstawie, 6× 4 - wymiarowa macierz E = ("g / "z)z=0 bÄ™dzie nastÄ™pujÄ…ca
1 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 1 0 0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 0 0
E = (4.33)
ïÅ‚1 0 1 0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 1 0 1śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚0 0 0 0ûÅ‚
Macierz ta jest więc generowana w sposób relatywnie prosty i niejako  przy okazji sformu-
łowań (4.18) i (4.19) wymaganych dla sformułowania równań ruchu (4.20). Ma te\
z reguły
ć
bardzo prostą formę [20,21,24], czego przykładem jest zale\
noÅ› (4.33). Z u\
yciem f i B (w

rozwa\
anym przypadku fr = CT r a" 0 ), wyra\
onych jak poprzednio we współrzędnych nie-
r
&
zale\
nych q, a tak\
e D(q) i ł(q,q,t) zdefiniowanych w równaniach (4.22) i (4.23), liczenie

= [1 2 3 4 ]T wedle schematu (4.29) jest zadaniem prostym.
17
S
( )
y t
Sd
( )
x t
Sd
C1
1
3 E
C2
z
4
4
m g
4
H
1
m g
2
2
E 3
Fs
z
3
Rys. 4.10. Współrzędne niezale\
ne q i współrzędne więzów z' w stawie łokciowym
Zauwa\
my na koniec, \
e z zastosowaniem powy\
szego podejścia reakcje liczone mogą
by równie\
tylko w jednym ze stawów. Przykładowo, dla liczenia reakcji jedynie w stawie
ć
łokciowym E, rozszerzone równania więzów w postaci rozwikłanej wystarczy zapisa jako
Å
2 2
p = g(q,z ) + (t) , gdzie z = [ z3 z4 ]T . Odpowiada to sytuacji przedstawionej na rys. 4.10 i
skutkuje usuniÄ™ciem z1 i z2 w równaniu (4.32). Generowana stÄ…d 6× 2 - wymiarowa macierz
2 2
E = ("g / "z )z=0 będzie wówczas tworzona przez trzecią i czwartą kolumnę macierzy E okre-
2
ślonej w równaniu (4.33). Zastosowanie E zamiast E w schemacie (4.29) pozwoli na bezpo-

2
średnie wyznaczenie tylko = [3 4]T .
Przykład 4.6. Model dla symulacji wyskoku w płaszczyz
nie pionowej (c.d.). W modelu
tym, omawianym wcześniej w przykładach 4.2 i 4.4, uwaga w naturalny sposób skupiona jest
na obciÄ…\
eniach wewnętrznych kończyn dolnych [25,26]. Implikuje to zarówno uszczegóło-
wiony model sterowania w stawach H (biodrowym), K (kolanowym) oraz A (skokowym) za
pomocą lF =15 sił mięśniowych (rys. 4.5b) jak i wyznaczanie reakcji tylko w tych stawach,

2
= [1 2 3 4 5 6]T (rys. 4.6), których wartości są zale\
ne od sił mięśniowych. Ste-
rowanie w pozostaÅ‚ych lÄ = 5 stawach uproszczono do wypadkowych momentów sterujÄ…cych
Ä4,K,Ä8 , a wyznaczanie reakcji w tych stawach pominiÄ™to (ich wartoÅ›ci byÅ‚yby liczone bez
uwzględnienia wpływu obcią\
eń od sił mięśniowych). W ten sposób, skupiając uwagę na ob-
ciÄ…\
eniach wewnętrznych (sterowaniu i reakcjach w stawach) kończyn dolnych, uwzględnio-
no wpływ dynamiki całego zamodelowanego ciała człowieka na wyniki tych obliczeń.

2
Dla wyznaczenia według schematu (2.29), równania więzów połączeń w stawach
Å
kończyn dolnych, sformułowane w równaniu (4.25) jako p = g(q) + (t) , w bardzo prosty
ć
Å
sposób uogólnione muszą by do postaci p = g(q,z) + (t) jako
18
xC1 xH + z1 + ¾C1 sinÕ1 +·C1 cosÕ1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
yC1 yH + z2 -¾C1 cosÕ1 +·C1 sinÕ1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
¸1 Õ1
ïÅ‚x śł ïÅ‚ śł
xH + z1 + l1 sinÕ1 + z3 + ¾C 2 sinÕ2 +·C 2 cosÕ2
C 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚yC 2 śł ïÅ‚ śł
yH + z2 - l1 cosÕ1 + z4 -¾C 2 cosÕ2 +·C 2 sinÕ2
p = = (4.34)
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
¸2 Õ2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚
xC3 xH + z1 + l1 sinÕ1 + z3 + l2 sinÕ2 + z5 + ¾C3 sinÕ3 +·C3 cosÕ3 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
yC3
ïÅ‚ śł ïÅ‚yH + z2 - l1 cosÕ1 + z4 - l2 cosÕ2 + z6 -¾C3 cosÕ3 +·C3 sinÕ3śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
¸3 Õ3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ M śł ïÅ‚ M śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ć
2
Na tej podstawie, 27 × 6 - wymiarowa macierz E bÄ™dzie miaÅ‚a posta
1 0 0 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 1 0 0 0 0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 0 0 0 0
ïÅ‚1 0 1 0 0 0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 1 0 1 0 0śł
2
E = (4.35)
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 0 0 0 0 0śł
ïÅ‚1 0 1 0 1 0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 1 0 1 0 1śł
ïÅ‚0 0 0 0 0 0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚M M M M M Mśł
ðÅ‚ ûÅ‚
ć
gdzie w sposób jawny zapisano tylko pierwsze dziewię wierszy tej macierzy (wszystkie ele-
menty w pozostałych wierszach są zerowe).
19