MACIERZE I WYZNACZNIKI
3.1 MACIERZE  PODSTAWOWE OKREÅšLENIA
Def. 3.1.1 (macierz rzeczywista i zespolona)
Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m, n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn
liczb rzeczywistych (zespolonych) ustawionych w m wierszach i n kolumnach.
Uwaga. Macierze będziemy oznaczali dużymi literami alfabetu np. A, B, X itp. Element macierzy A stojący w i
tym wierszu oraz w j tej kolumnie oznaczamy przez aij. Macierz A można także zapisywać w postaci
[aij ]m n
lub [aij], gdy znany jest jej wymiar. Macierze A lub B są równe, gdy mają te same wymiary m n oraz aij = bij
dla każdego 1 i m oraz 1 j n.
Def. 3.1.2 (rodzaje macierzy)
1. Macierz wymiaru m n, której wszystkie elementy są równe 0 nazywamy macierzą zerową wymiaru m n i
oznaczmy 0m n lub przez 0, gdy znamy jej wymiar.
0 0 Lð 0
0 0 Lð 0
Mð Mð Oð Mð
0 0 Lð 0
2. Macierz, której liczba wierszy równa się liczbie kolumn nazywamy macierzą kwadratową. Liczbę wierszy
(kolumn) nazywamy wtedy stopniem macierzy kwadratowej. Elementy macierzy, które mają ten sam numer
wiersza co kolumny, tworzą główną przekątną macierzy.
3. Macierz kwadratową stopnia n 2, w której wszystkie elementy stojące nad główną przekątną są równe 0,
nazywamy macierzą trójkątną dolną stopnia n.
a11 0 0 Lð 0
a21 a22 0 Lð 0
a31 a32 a33 Lð 0
Mð Mð Mð Oð Mð
an1 an2 an3 Lð ann
Podobnie określa się macierz trójkątną górną.
a11 a12 a13 Lð a1n
0 a22 a23 Lð a2n
0 0 a33 Lð a3n
Mð Mð Mð Oð Mð
0 0 0 Lð ann
4. Macierz kwadratową stopnia n, w której wszystkie elementy nie stojące na głównej przekątnej są równe 0,
nazywamy macierzÄ… diagonalnÄ… lub przekÄ…tniowÄ… stopnia n.
a11 0 0 Lð 0
0 a22 0 Lð 0
0 0 a33 Lð 0
Mð Mð Mð Oð Mð
0 0 0 Lð ann
Macierz diagonalną stopnia n, w której wszystkie elementy głównej przekątnej są równe 1, nazywamy
macierzÄ… jednostkowÄ… stopnia n. Macierz jednostkowÄ… stopnia n oznaczamy przez In lub przez I, gdy znany
jest jej stopień.
1 0 0 Lð 0
0 1 0 Lð 0
0 0 1 Lð 0
Mð Mð Mð Oð Mð
0 0 0 Lð 1
3.2 DZIAA
ANIA NA MACIERZACH
Def. 3.2.1 (suma i różnica macierzy)
Niech A = [aij] i B = [bij] będą macierzami wymiaru m n. Sumą (różnicą) macierzy A i B nazywamy macierz C
= [cij], której elementy określone są wzorem:
def def
cij aij bij cij aij bij
dla 1 i m oraz 1 j n. Piszemy wtedy C = A + B (C = A  B).
Def. 3.2.2 (mnożenie macierzy przez liczbę)
Niech A = [aij] będzie macierzą wymiaru m n oraz niech będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Iloczynem
macierzy A przez liczbę nazywamy macierz B = [bij], której elementy są określone wzorem:
def
bij aij
dla 1 i m oraz 1 j n. Piszemy wtedy B = A.
Fakt 3.2.3 (własności działań na macierzach)
Niech A, B, C będą dowolnymi macierzami tego samego wymiaru rzeczywistymi lub zespolonymi oraz niech ,
będą odpowiednio liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi. Wtedy
1. A + B = B + A
5. (A + B) = A + B
2. A + (B + C) = (A + B) + C
6. ( + )A = A + A
3. A + 0 = 0 + A = A
7. 1 A = A
4. A + ( A) = 0
8. ( )A = ( A)
Def. 3.2.4 (iloczyn macierzy)
Niech A = [aij] ma wymiar m n, a macierz B = [bij] wymiar n k. Iloczynem macierzy A i B nazywamy
macierz C = [cij], wymiaru m k, której elementy określone są wzorem:
def
cij ai1b1 j ai2b2 j ... ainbnj
dla 1 i m oraz 1 j n. Piszemy wtedy C = AB.
Uwaga. Element cij iloczynu macierzy A i B otrzymujemy sumując iloczyny odpowiadających sobie elementów
i tego wiersza macierzy A i j tej kolumny macierzy B. Iloczyn macierzy A i B można obliczyć tylko wtedy, gdy
liczba kolumn macierzy A równa się liczbie wierszy macierzy B.
Rys. 3.2.1 Schemat obliczania elementów iloczynu macierzy A i B
Fakt 3.2.5 (własności iloczynu macierzy)
1. Niech macierz A ma wymiar m n, a macierze B i C wymiar n k. Wtedy
.
A(B C) AB AC
2. Niech macierze A, B majÄ… wymiar m n, a macierz C wymiar n k. Wtedy
.
(A B)C AC BC
3. Niech macierz A ma wymiar m n, a macierz B wymiar n k oraz niech będzie liczbą rzeczywistą lub
zespolonÄ…. Wtedy
A( B) ( A)B (AB) .
4. Niech macierz A ma wymiar m n, macierz B ma wymiar n k, a macierz C wymiar k l. Wtedy
.
(AB)C A(BC)
5. Niech macierz A ma wymiar m n. Wtedy
AIn Im A A.
Uwaga. Własności podane w punktach 1 i 2 nazywamy rozdzielnością dodawania względem mnożenia, a
własność podaną w punkcie 4 łącznością mnożenia. Mnożenie macierzy kwadratowych nie jest przemienne,
bowiem na ogół AB BA. Zamiast będziemy pisali An.
AA...A
1ð2ð3ð
n czynników
Def. 3.2.6 (macierz transponowana)
Niech A = [aij] będzie macierzą wymiaru m n. Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz B =
[bij] wymiaru n m określoną wzorem:
def
bij a
ji
dla 1 i m oraz 1 j n. Macierz transponowanÄ… do macierzy A oznaczamy AT.
Uwaga. Przy transponowaniu, kolejne wiersze macierzy wyjściowej stają się kolejnymi kolumnami macierzy
transponowanej. Ilustrujemy to na przykładzie macierzy wymiaru 3 4.
a11 a21 a31
a11 a12 a13 a14
a12 a22 a32 .
A a21 a22 a23 a24 , AT
a13 a23 a33
a31 a32 a33 a34
a14 a24 a34
Fakt 3.2.7 (własności transpozycji macierzy)
1. Niech A i B będą macierzami wymiaru m n. Wtedy
(A B)T AT BT .
2. Niech A będzie macierzą wymiaru m n oraz niech będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Wtedy
T
T
AT A oraz A AT .
3. Niech A będzie macierzą wymiaru m n, a B macierzą wymiaru n k. Wtedy
(AB)T BT AT .
4. Niech A będzie macierzą kwadratową oraz niech r N. Wtedy
(Ar )T (AT )r .
Def. 3.2.8 (macierz symetryczna i antysymetryczna)
Niech A będzie macierzą kwadratową.
1. Macierz A jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy
AT A .
2. Macierz A jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy
AT A .
Uwaga. Macierz jest symetryczna, gdy jej elementy położone symetrycznie względem głównej przekątnej są
sobie równe. Macierz jest antysymetryczna, gdy jej elementy położone symetrycznie względem głównej
przekątnej różnią się tylko znakiem, a elementy głównej przekątnej są równe 0.
Fakt 3.2.9 (własności macierzy symetrycznych i antysymetrycznych)
1. Niech A będzie dowolną macierzą kwadratową. Wtedy
a) macierz A + AT jest symetryczna,
b) macierz A  AT jest antysymetryczna.
2. Niech A będzie dowolną macierzą. Wtedy macierze AAT i ATA są symetryczne.
3. Każdą macierz kwadratową można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy macierzy symetrycznej i
antysymetrycznej:
1 1
A A AT A AT .
2 2
3.3 DEFINICJA INDUKCYJNA WYZNACZNIKA
Def. 3.3.1 (wyznacznik macierzy)
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcję, która każdej macierzy rzeczywistej (zespolonej) A =
[aij] przypisuje liczbę rzeczywistą (zespoloną) detA. Funkcja ta jest określona wzorem indukcyjnym:
1. jeżeli macierz A ma stopień n = 1, to
det A a11 ,
2. jeżeli macierz A ma stopień n 2, to
det A ( 1)1 1a11 det A11 ( 1)1 2 a12 det A12 ... ( 1)n 1a1n det A1n
gdzie Aij oznacza macierz otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i tego wiersza i j tej kolumny.
Uwaga. Wyznacznik macierz A oznaczamy także przez det[aij] lub |A|, a w formie rozwiniętej przez
a11 a12 Lð a1n a11 a12 Lð a1n
a12 a22 Lð a2n lub a12 a22 Lð a2n .
det
Mð Mð Oð Mð Mð Mð Oð Mð
an1 an2 Lð ann an1 an2 Lð ann
Będziemy mówili wymiennie stopień wyznacznika stopień macierzy, element wyznacznika element
macierzy, wiersz wyznacznika wiersz macierzy, kolumna wyznacznika kolumna macierzy.
Fakt 3.3.2 (reguły obliczania wyznaczników 2-go i 3-go stopnia)
a b
1. Niech będzie macierzą stopnia 2. Wtedy
A
c d
.
a b c
2. Niech będzie nacierzą stopnia 3. Wtedy
A d e f
g h i
.
Uwaga. Podany wyżej sposób obliczania wyznaczników stopnia 3 nazywamy regułą Sarrusa. Ten sposób
obliczania wyznaczników nie przenosi się na wyznaczniki wyższych stopni.
Fakt 3.3.3 (interpretacja geometryczna wyznaczników 2-go i 3-go stopnia)
rð
rð
1. Niech D oznacza równoległobok rozpięty na wektorach , (rys. 3.3.1). Pole |D|
a (x1, y1) b (x2 , y2 )
tego równoległoboku wyraża się wzorem:
x1 y1
D | det |.
x2 y2
Rys. 3.3.1 Interpretacja geometryczna wyznacznika drugiego stopnia
rð
rð
2. Niech V oznacza równoległościan rozpięty na wektorach , ,
a (x1, y1, z1) b (x2, y2, z2)
vð
(rys. 3.3.2). Objętość |V| tego równoległościanu wyraża się wzorem:
c (x3, y3, z3)
x1 y1 z1
V | det x2 y2 z2 | .
x3 y3 z3
Rys. 3.3.2 Interpretacja geometryczna wyznacznika trzeciego stopnia
Def. 3.3.4 (dopełnienie algebraiczne)
Niech A = [aij] będzie macierzą kwadratową stopnia n 2. Dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy A
nazywamy liczbÄ™:
def
Dij ( 1)i j det Aij ,
gdzie Aij oznacza macierz stopnia n  1 powstałą przez skreślenie i tego wiersza i j tej kolumny macierzy A.
Tw. 3.3.5 (rozwinięcia Laplace a wyznacznika)
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n 2 oraz niech liczby 1 i, j n będą ustalone. Wtedy
wyznacznik macierzy A można obliczyć ze wzorów:
1. det A ai1Di1 ai2Di2 ... ainDin .
Inaczej mówiąc, wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów i tego wiersza i ich dopełnień
algebraicznych. Wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace a wyznacznika względem i tego wiersza.
2. det A a1 j D1 j a2 j D2 j ... anj Dnj .
Inaczej mówiąc, wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów j tej kolumny i ich dopełnień
algebraicznych. Wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace a wyznacznika względem j tej kilumny.
Uwaga. Dla ustalonych liczb 1 r, s n, gdzie r s, prawdziwe sÄ… wzory:
as1Dr1 as2 Dr 2 ... asn Drn 0
.
a1s D1r a2s D2r ... ans Dnr 0
Inaczej mówiąc, suma iloczynów elementów dowolnego wiersza i dopełnień algebraicznych elementów innego
wiersza jest równa 0. Podobnie, suma iloczynów dowolnej kolumny i odpowiadających im dopełniń
algebraicznych innej kolumny jest równa 0.
Fakt 3.3.6 (wyznacznik macierzy trójkątnej)
Niech A = [aij] będzie macierzą trójkątną dolną lub górną stopnia n 2. Wtedy
det A a11 a22 ... ann .
Inaczej mówiąc, wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów stojących na głównej
przekÄ…tnej.
3.4 DEFINICJA PERMUTACYJNA WYZNACZNIKA*
Def. 3.4.1 (permutacja)
Permutacją n elementową, gdzie n N, nazywamy każde różnowartościowe odwzorowanie p zbioru {1, 2, & ,
n} na siebie. PermutacjÄ™ takÄ… zapisujemy w postaci
1 2 Kð i Kð n
p ,
p1 p2 Kð pi Kð pn
gdzie pi oznacza wartość permutacji p dla i, 1 i n. Zbiór wszystkich permutacji n elementowych oznaczamy
przez Pn.
Uwaga. Istnieje n! różnych permutacji n elementowych.
Def. 3.4.2 (inwersja, znak permutacji)
1 2 Kð i Kð j Kð n
Niech
będzie permutacją n elementową. Para {pi, pj} elementów
p
p1 p2 Kð pi Kð p Kð pn
j
tej permutacji tworzy inwersjÄ™, gdy
pi p oraz i j .
j
Znak permutacji p jest określony wzorem
def
sgn(p) ( 1)k ,
gdzie k oznacza liczbę par elementów tej permutacji, które tworzą inwersje.
Def. 3.4.3 (wyznacznik macierzy)
Niech A = [aij] będzie macierzą kwadratową stopnia n. Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę detA
określoną wzorem:
def
det A sgn(p)a1p a2 p2 ...anp ,
1 n
p Pn
1 2 Kð n
gdzie , a sumowanie obejmuje wszystkie (tj. n!) permutacje n elementowe.
p
p1 p2 Lð pn
Uwaga. Obie definicje wyznacznika, indukcyjna i permutacyjna, są równoważne.
3.5 WA
ASNOŚCI WYZNACZNIKÓW
Fakt 3.5.1 (własności wyznaczników)
1. Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolumnę (wiersz) złożoną z samych zer jest równy 0.
a11 a12 Kð 0 Kð a1n
a21 a22 Kð 0 Kð a2n
0
Mð Mð Oð 0 Oð Mð
an1 an2 Kð 0 Kð ann
2. Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak jeżeli między sobą przestawimy dwie kolumny (wiersze).
a1i a1k a1k a1i
a2i a2k a2k a2i .
Lð Mð Lð Mð Lð Lð Mð Lð Mð Lð
ani ank ank ani
3. wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie jednakowe kolumny (wiersze) jest równy 0.
.
0
Lð Mð Lð Mð Lð
4. Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (wiersza) macierzy kwadratowej zawierają wspólny czynnik, to
czynnik ten można wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy.
a11 a12 Kð ca1i Kð a1n a11 a12 Kð a1i Kð a1n
a21 a22 Kð ca2i Kð a2n a21 a22 Kð a2i Kð a2n .
c
Mð Mð Oð Mð Oð Mð Mð Mð Oð Mð Oð Mð
an1 an2 Kð cani Kð ann an1 an2 Kð ani Kð ann
Ponadto
ca11 ca12 Kð ca1i Kð ca1n a11 a12 Kð a1i Kð a1n
ca21 ca22 Kð ca2i Kð ca2n a21 a22 Kð a2i Kð a2n
.
cn
Mð Mð Oð Mð Oð Mð Mð Mð Oð Mð Oð Mð
can1 can2 Kð cani Kð cann an1 an2 Kð ani Kð ann
5. Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej kolumny (wiersza) są sumami dwóch
składników jest równy sumie wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (wiersza) są
zastąpione tymi składnikami.
/ /
a11 a12 Kð a1i Kð a1n
a11 a12 Kð a1i a1i Kð a1n a11 a12 Kð a1i Kð a1n
/ /
a21 a22 Kð a2i Kð a2n
a21 a22 Kð a2i a2i Kð a2n a21 a22 Kð a2i Kð a2n .
Mð Mð Oð Mð Oð Mð
Mð Mð Oð Mð Oð Mð Mð Mð Oð Mð Oð Mð
/ /
an1 an2 Kð ani Kð ann
an1 an2 Kð ani ani Kð ann an1 an2 Kð ani Kð ann
6. Wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej kolumny (wiersza) dodamy
odpowiadające im elementy innej kolumny (innego wiersza) tej macierzy pomnożone przez dowolną liczbę.
a11 a12 Lð a1 j Lð a1k Lð a1n a11 a12 Lð a1 j ca1k Lð a1k Lð a1n
a21 a22 Lð a2 j Lð a2k Lð a2n a21 a22 Lð a2 j ca2k Lð a2k Lð a2n .
Mð Mð Oð Mð Oð Mð Oð Mð Mð Mð Oð Mð Oð Mð Oð Mð
an1 an2 Lð anj Lð ank Lð ann an1 an2 Lð anj cank Lð ank Lð ann
Ogólnie: wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnego wiersza (kolumny) dodamy
sumę odpowiadających im elementów innych wierszy (kolumn) tej macierzy pomnożonych przez dowolną
liczbÄ™.
7. Wyznaczniki macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe.
a11 a12 Lð a1n a11 a21 Lð an1
a21 a22 Lð a2n a12 a22 Lð an2
Mð Mð Oð Mð Mð Mð Oð Mð
an1 an2 Lð ann a1n a2n Lð ann
Uwaga. Korzystając z powyższych własności wyznaczników można istotnie uprościć jego obliczanie. W tym
celu w wybranym wierszu lub kolumnie wyznacznika staramy się uzyskać możliwie najwięcej zer. Do
oznaczenia podanych wyżej operacji na macierzach będziemy stosowali następujące symbole:
1. wi wj  oznacza zamianę między sobą i tego oraz j tego wiersza,
2. ki kj  oznacza zamianę między sobą i tej oraz j tej kolumny,
3. cwi  oznacza pomnożenie i tego wiersza przez liczbę c,
4. cki  oznacza pomnożenie i tej kolumny przez liczbę c,
5. wi + cwj  oznacza dodanie do elemnetów i tego wiersza odpowiadających im elementów j tego wiersza
pomnożonych przez liczbę c,
6. ki + ckj  oznacza dodanie do elemnetów i tej kolumny odpowiadających im elementów j tej kolumny
pomnożonych przez liczbę c,
Wymienione wyżej przekształcenia macierzy nazywamy operacjami elementarnymi.
Fakt 3.5.2 (algorytm Chió obliczania wyznaczników)
Niech A = [aij] będzie macierzą kwadratową stopnia n 3 oraz niech a11 0. Wówczas
/ / /
a22 a23 Lð a2n
/ / /
a11 a1 j
a32 a33 Lð a3n
1
/
det A det , gdzie aij det
ai1 aij
(a11)n 2 Mð Mð Oð Mð
/ / /
an2 an3 Lð ann
dla i, j = 2, 3, & , n.
Uwaga. Algorytm Chió stosujemy głównie do obliczania wyznaczników macierzy niwielkich stopni, których
elementy są liczbami całkowitymi. Algorytm ten w prosty sposób pozwala obniżać stopnie obliczanych
wyznaczników.
a12 a13 a1 j a1n
a11
/ / / /
a22 a23 Lð a2 j Lð a2n
a22 a23 Lð a2 j Mð a2n
a21
/ / / /
a32 a33 Lð a3 j Lð a3n
a32 a33 Mð a3 j Mð a3n
a31 a11 a1 j .
/
, gdzie
Mð Mð Oð Oð Mð
aij
1
Mð Mð Oð Nð Mð
ai1 aij
/ /
ai/2 ai/3 aij ain
(a11)n 2
ai2 ai3 aij ain
ai1
Mð Mð Oð Oð Mð
Mð Mð Nð Oð Mð
/ / / /
an2 an3 Lð anj Lð ann
an2 an3 Mð anj Mð ann
an1
Rys. 3.5.1 Schemat algorytmu Chió obliczania wyznaczników
Tw. 3.5.3 (Cauchy ego o wyznaczniku iloczynu macierzy)
Niech A i B będą macierzami kwadratowymi tego samego stopnia. Wtedy
det(A B) det A det B .
Fakt 3.5.4 (wyznacznik Vandermonde a)
Niech n 2 oraz niech z1, z2, & , zn będą liczbami zespolonymi. Wtedy
2 n
1 z1 z1 Lð z1 1
2 n
def
1 z2 z2 Lð z2 1
V (z1, z2 ,..., zn ) (zl zk ) .
Mð Mð Mð Oð Mð
1 k l n
2 n
1 zn zn Lð zn 1
Jeżeli liczby z1, z2, & , zn są parami różne, to V(z1, z2 ,..., zn ) 0.
3.6 MACIERZ ODWROTNA
Def. 3.6.1 (macierz odwrotna)
Niech A będzie macierzą stopnia n. Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz B spełniającą
warunek:
AB = BA = In ,
gdzie In oznacza macierz jednostkowÄ… stopnia n. macierz odwrotnÄ… do macierzy A oznaczamy przez A 1.
Uwaga. Jeżeli macierz A ma macierz odwrotną, to nazywamy ją odwracalną i wówczas detA 0. Macierz
odwrotna do danej macierzy jest określona jednoznacznie.
Def. 3.6.2 (macierz osobliwa i nieosobliwa)
Macierz kwadratowÄ… A nazywamy macierzÄ… osobliwÄ…, gdy
det A 0 .
W przeciwnym przypadku mówimy, że macierz A jest nieosobliwa.
Fakt 3.6.3 (warunek odwracalności macierzy)
Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.
Tw. 3.6.4 (o postaci macierzy odwrotnej)
Niech macierz A = [aij] stopnia n będzie nieosobliwa. Wtedy
T
D11 D12 Lð D1n
D21 D22 Lð D2n
1
1
A ,
det A Mð Mð Oð Mð
Dn1 Dn2 Lð Dnn
gdzie Dij oznaczają dopełnienia algebraiczne elementów aij macierzy A.
a b
Uwaga. Dla macierzy nieosobliwej wzór na macierz odwrotną ma postać:
A
c d
d b
1
1
A .
ad bc c a
Fakt 3.6.5 (własności macierzy odwrotnych)
Niech macierze A i B tego samego stopnia będą odwracalne oraz niech C\{0}. Wtedy macierze A 1, AT, AB,
A także są odwracalne i prawdziwe są równości:
1 1
1 1 1
1. det A det A 4. AB B A
1
1
1
1
1
2. A A
5. A A
1 T
1
3. AT A
Fakt 3.6.6 (bezwyznacznikowy sposób znajdowania macierzy odwrotnej)
Niech A będzie macierzą nieosobliwą. Aby znalez
ć macierz odwrotną do macierzy A postępujemy w następujący
sposób. Z prawej strony macierzy A dopisujemy macierz jednostkową I tego samego stopnia. Na wierszach
otrzymanej w ten sposób macierzy blokowej [A|I] będziemy wykonywać następujące operacje elementarne:
1. przestawiać między sobą dwa dowolne wiersze (wi wj),
2. dowlny wiersz mnożyć przez stałą różną od zera (cwi),
3. do elementów dowolnego wiersza dodawać sumy odpowiadających im elementów innych wierszy
pomnożonych przez dowolne liczby (wi + cwj).
Przy pomocy tych operacji sprowadzamy macierz blokowÄ… [A|I] do postaci [I|B]. Macierz B jest wtedy macierzÄ…
odwrotnÄ… do macierzy A, tj. B = A 1.
1
A | I I | A
dzialania na wierszach
Rys. 3.6.1 Schemat bezwyznacznikowego sposobu znajdowania macierzy odwrotnej.
3.7 ALGORYTM SPROWADZANIA MACIERZY DO POSTACI JEDNOSTKOWEJ
Fakt 3.7.1 (algorytm Gaussa)
Niech A będzie macierzą stopnia n 2 o wyznaczniku różnym od zera. Macierz tę można przekształcić do
macierzy jednostkowej In wykonując na jej wierszach następujące operacje elementarne:
1. zamiana między sobą dwóch dowolnych wierszy,
2. mnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera,
3. dodawanie do elementów dowolnego wiersza odpowiadających im elementów innego wiersza
pomnożonych przez dowolną liczbę.
Macierz jednostkową uzyskamy w dwóch krokach:
I krok. Otrzymanie macierzy trójkątnej górnej z jedynkami na głównej przekątnej postaci:
1 b12 b13 Lð b1n
0 1 b23 Lð b2n
0 0 1 Lð b3n
Mð Mð Mð Oð Mð
0 0 0 Lð 1
Operacje elementarne wykonujemy tak, aby kolejne kolumny macierzy A uzyskały przedstawioną powyżej
postać. Przekształcenia zaczynamy od uzyskania odpowiedniej postaci pierwszej kolumny. Jeżeli a11 0, to
/ / /
wiersze w1, w2, & , wn macierzy A przekształacamy kolejno na wiersze według wzorów:
w1 , w2 ,..., wn
w1
/
w1
a11
.
/ /
w2 w2 a21w1
Mð
/ /
wn wn an1w1
Jeżeli natomiast a11 = 0, to wiersze macierzy A przestawiamy tak, aby w jej lewym górnym rogu znalazł się
element niezerowy i dalej wykonujemy wymienione wcześniej operacje.
Kolejne kolumny z jedynkami na przekątnej i zerami poniżej przekątnej uzyskujemy stosując przedstawione
wyżej postępowanie do macierzy coraz niższych stopni, począwszy od stopnia n  1 aż do stopnia 1 włącznie.
II krok. Otrzymanie macierzy jednostkowej postaci:
1 0 0 Lð 0
0 1 0 Lð 0
0 0 1 Lð 0
Mð Mð Mð Oð Mð
0 0 0 Lð 1
/ / / // // //
Wiersze otrzymanej macierzy trójkątnej przekształcamy kolejno na wiersze
wn,wn 1,..., w1 wn ,wn 1,..., w1
macierzy jednostkowej w następujący sposób:
// /
wn wn
// / //
wn 1 wn 1 bn 1 nwn
.
// / // //
wn 2 wn 22 bn 2 n 1wn 1 bn 2 nwn
Mð
// / // // //
w1 w1 b12w2 b13w3 ... b1nwn
Uwaga. Macierzy o wyznaczniku 0 nie można sprowadzić do macierzy jednostkowej. Algorytm Gaussa jest
bardzo wygodnym narzędziem przy obliczaniu wyznaczniow, odwracaniu macierzy, określaniu ich rzędów oraz
przy rozwiązywaniu układów równań liniowych.
4. UKA
ADY RÓWNAC
LINIOWYCH
4.1 PODSTAWOWE OKREÅšLENIA
Def. 4.1.1 (układ równań liniowych, rozwiązanie układu równań)
Układem m równań liniowych z n niewiadomymi x1, x2, & , xn, gdzie m, n N, nazywamy układ równań postaci:
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21x1 a22 x2 ... a2n xn b2 ,
Mð Mð Oð Mð Mð
am1x1 am2 x2 ... amnxn bm
gdzie aij R, bi R dla 1 i m, 1 j n.
Rozwiązaniem układu równań liniowych nazywamy każdy ciąg (x1, x2, & , xn) n liczb rzeczywistych
spełniających ten układ. Układ równań, który nie ma rozwiązań nazywamy układem sprzecznym.
Uwaga. Powyższy układ równanń liniowych można zapisać w postaci macierzowej:
AX = B,
gdzie
a11 a12 Lð a1n x1 b1
def
a12 a22 Lð a2n , def x2 , def b2 .
A X B
Mð Mð Oð Mð Mð Mð
am1 am2 Lð amn xn bm
Macierz A nazywamy macierzą główną układu równań liniowych, macierz X macierzą (kolumną)
niewiadomych, a B macierzą (kolumną) wyrazów wolnych. Rozważa się także układy równań liniowych, w
których macierze A, X oraz B są zespolone. W przypadku  małej liczby niewiadomych będziemy je oznaczać
literami x, y, z, t, u, v, w.
Def. 4.1.2 (układ jednorodny i niejednorodny)
Układ równań liniowych postaci
AX = 0,
gdzie A jest macierzą wymiaru m n, natomiast 0 jest macierzą zerową wymiaru m 1, nazywamy układem
jednorodnym.
Układ równań liniowych postaci
AX = B,
w którym B jest macierzą niezerową nazywamy układem niejednorodnym.
Uwaga. Jednym z rozwiązań każdego układu jednorodnego AX = 0 jest macierz zerowa
0
0
X
Mð
0
wymiaru n 1, gdzie n oznacza liczbÄ™ kolumn macierzy A.
4.2 UKA
ADY CRAMERA
Def. 4.2.1 (układ Cramera)
Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych AX = B, w którym A jest macierzą nieosobliwą.
Tw. 4.2.2 (wzór Cramera)
Układ Cramera AX = B ma dokładnie jedno rozwiąznie. Rozwiązanie to jest określone wzorem
det A1
det A2
1
X ,
det A Mð
det An
gdzie n oznacza stopień macierzy A, natomiast Aj, dla 1 j n, oznacza macierz A, w której j tą kolumnę
zastąpiono kolumną wyrazów wolnych B, tzn.
a11 a12 Kð b1 Kð a1n
def
a21 a22 Kð b2 Kð a2n
Aj .
Mð Mð Oð Mð Oð Mð
an1 an2 Kð bn Kð ann
Uwaga. Równość określającą rozwiązanie układu równań liniowych nazywamy wzorem Cramera. Równość ta
po rozpisaniu przyjmuje postać:
det A1 det A2 det An
x1 , x2 , & , xn ,
det A det A det A
zwanÄ… wzorami Cramera.
Fakt 4.2.3 (metoda macierzy odwrotnej)
1
Rozwiązanie układu Cramera AX = B jest określone wzorem: X A B .
4.3 METODA ELIMINACJI GAUSSA DLA UKA
ADÓW CRAMERA
Fakt 4.3.1 (metoda eliminacji Gaussa dla układów Cramera)
Niech AX = B będzie układem Cramera, w którym A jest macierzą stopnia n. Rozwiązanie tego układu
znajdujemy w następujący sposób:
1. budujemy macierz rozszerzoną układu postaci
a11 a12 Lð a1n b1
a21 a22 Lð a2n b2 .
A | B
Mð Mð Oð Mð Mð
an1 an2 Lð ann bn
2. przekształcamy macierz rozszerzoną do postaci wykonując na jej wierszach następujące operacje
I | X
elementarne:
a) zamianę między sobą dwóch dowolnych wierszy (wi wj),
b) pomnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera (cwi),
c) dodanie do elementów dowolnego wiersza odpowiadających im elementów innego wiersza pomnożonego
przez dowolnÄ… liczbÄ™ (wi + cwj).
Operacje te majÄ… na celu doprowadzenie macierzy rozszerzonej do postaci:
1 0 Lð 0 x1
0 1 Lð 0 x2 .
I | X
Mð Mð Oð Mð Mð
0 0 Lð 1 xn
Ostatnia kolumna macierzy rozszerzonej (macierz X) jest wtedy rozwiązaniem wyjściowego układu równań.
A| B I | X
operacjeelem entare na wierszach
n
Rys. 4.3.1 Schemat metody eliminacji Gaussa rozwiązywania układów równań liniowych.
Uwaga. Przy przekształcaniu macierzy rozszerzonej układu do postaci końcowej możemy wykorzystać algorytm
Gaussa sprowadzania macierzy nieosobliwej do postaci jednostkowej podany w fakcie 3.7.1.
Uwaga. Praktyczną wersją metody eliminacji Gaussa dla układów Cramera jest metoda kolumn
jednostkowych. Polega ona na przekształceniu macierzy rozszerzonej układu w celu doprowadzenia wszystkich
kolumn macierzy tego układu do postaci jednostkowej (tzn. z jedną jedynką i resztą zer). Jedynki z różnych
kolumn muszÄ… siÄ™ przy tym znalez
ć w różnych wierszach. Końcowa postać [I/|X/] macierzy rozszerzonej będzie
się różnić od postaci[I|X] jedynie kolejnością wierszy. Dla układu Cramera z n niwiadomymi metoda ta wymaga
n kroków, gdyż w każdym kroku przekształca się ostatecznie całą kolumnę. Kolejność przekształcanych kolumn
oraz położenie końcowych  jedynek jest dowolna, przy czym wygodnie jest do przekształcenia wybrać
kolumnę składającą się z jedynki,  małych liczb całkowitych i  dużej liczby zer. W porównaniu z klasycznym
algorytmem Gaussa metoda ta nie wymaga przestawiania wierszy ani budowania macierzy trójkątnej. Wymaga
jednak wykonania większej liczby mnożeń.
Fakt 4.3.2 (algorytm przekształcania j tej kolumny)
Chcąc w miejsce niezerowego elementu aij otrzymać  jedynkę , a na pozostałych miejscach j tej kolumny same
zera wystarczy i ty wiersz macierzy rozszerzonej podzielić przez aij. Następnie należy od pozostałych kolejnych
wierszy odejmować i ty wiersz mnożony odpowiednio przez a1j, a2j, & , ai-1j, ai+1j, & , anj. Schematycznie
przedstawimy to poniżej
Lð a1 j Lð Lð a1 j Lð
. . Lð 0 Lð .
Oð Mð Oð Oð Mð Oð
Mð Mð Oð Mð Oð Mð
w1 a1 jwi
Lð ai 1 j Lð Lð ai 1 j Lð
. . Lð 0 Lð .
Mð
.
wi : aij wi 1 ai 1 jwi
Lð aij Lð Lð 1 Lð
. . Lð 1 Lð .
wi 1 ai 1 jwi
Mð
Lð ai 1 j Lð Lð ai 1 j Lð
. . Lð 0 Lð .
wn anjwi
Oð Mð Oð Oð Mð Oð
Mð Mð Oð Mð Oð Mð
Lð anj Lð Lð anj Lð
. . Lð 0 Lð .
4.4 METODA ELIMINACJI GAUSSA DLA DOWOLNYCH UKA
ADÓW RÓWNAC
LINIOWYCH
Def. 4.4.1 (równoważność układów równań liniowych)
Niech A, A/, B, B/ będą macierzami o wymiarach odpowiednio m n, k n, m 1, k 1. Ponadto niech
/
x1
x1
x2 , / /
x2
X X
Mð
Mð
/
xn
xn
/ / /
będą macierzami niewiadomych, przy czym ciąg
jest permutacją ciągu (x1, x2, & , xn). Mówimy,
x1 , x2 ,..., xn
że układy równań liniowych AX = B i A/X/ = B/ są równoważne, jeżeli zbiory ich rozwiązań są identyczne.
Fakt 4.4.2 (o równoważnym przekształcaniu układów równań)
Podane poniżej operacje na wierszach macierzy rozszerzonej [A|B] układu równań liniowych AX = B
przekształcają go na układ równoważny:
1. zamiana między sobą wierszy (wi wj),
2. mnożenie wiersza przez stałą różną od zera (cwi),
3. dodawanie do ustalonego wiersza innego wiersza wyraz po wyrazie (wi + wj),
4. skreślenie wiersza złożonego z samych zer (wi),
5. skreślenie jednego z wierszy równych lub proporcjonalnych (wi ~ wj).
Dodatkowo otrzymuje się układ równoważny, jeżeli w macierzy A zamienimy miejscami dwie kolumny przy
jednoczesnej zamianie niewiadomych (ki kj).
nie nie
5ð4ð4ð4ð4ð4ðwiadom 4ð4ð4ð4ð7ð 5ð4ð4ð4ð4ð4ðwiadom 4ð4ð4ð4ð7ð
4ð6ð4ðe 4ð 4ð6ð4ðe 4ð
x1 xi xj xn x1 xj xi xn
a11 Lð a1i Lð a1 j Lð a1n a11 Lð a1 j Lð a1i Lð a1n
a21 Lð a2i Lð a2 j Lð a2n ki k a21 Lð a2 j Lð a2i Lð a2n
j
A A/
Mð Oð Mð Oð Mð Oð Mð Mð Oð Mð Oð Mð Oð Mð
am1 Lð ami Lð amj Lð amn am1 Lð amj Lð ami Lð amn
Fakt 4.4.3. (metoda eliminacji Gaussa)
Niech AX = B będzie układem równań liniowych, gdzie A jest macierzą wymiaru m n. Wówczas układ ten
rozwiązujemy następująco:
1. budujemy macierz rozszerzoną układu postaci:
niewiadom
5ð4ð4ð 4ð4ð
4ð6ð4ðe 7ð
x1 x2 xn
a11 a12 Lð a1n b1
a21 a22 Lð a2n b2
A | B
Mð Mð Oð Mð Mð
am1 a2m Lð amn bm
2. na macierzy rozszerzonej dokonujemy równoważnych przekształceń układu sprowadzając ją do postaci:
param etry
niewia
5ð4ð4ð6ðdom4ð 5ð4ð4ð6ð4ð4ð
4ðe 7ð 7ð
/ / / / /
x1 x2 xr xr 1 xn
1 0 Lð 0 | s1r 1 Lð s1n z1 .
0 1 Lð 0 | s2r 1 Lð s2n z2
A/ | B/ Mð Mð Oð | Mð Oð Mð Mð
0 0 Lð 1 | srr 1 Lð srn zr
0 0 Lð 0 | 0 Lð 0 zr 1
Wówczas,
a) jeżeli zr+1 0, to układ AX = B jest sprzeczny,
b) jeżeli zr+1 = 0 i n = r, to układ AX = B jest równoważny układowi Cramera i jego jedyne rozwiązanie ma
postać x1 = z1, x2 = z2, & , xn = zn,
c) jeżeli zr+1 = 0 i n > r, to układ AX = B ma nieskończenie wiele rozwiązań, przy czym r spośród zmiennych
/ / /
x1, x2, & , xn oznaczanych symbolami zależy od pozostałych n  r zmiennych oznaczanych
x1 , x2,..., xr
/ / /
symbolami w następujący sposób:
xr 1, xr 2 ,..., xn
/
z1 s1r 1 s1r 2 Lð s1n / 1
x1 xr
/
z2 s2r 1 s2r 2 Lð s2n / 2 .
x2 xr
Mð Mð Mð Oð Mð
Mð Mð
/
z3 srr 1 srr 2 Lð srn /
xr xn
/ / /
Uwaga. Liczba r jest wyznaczona jednoznacznie. Jest to tzw. rzÄ…d macierzy A. Zmienne
będziemy
x1 , x2,..., xr
/ / /
nazywać zmiennymi zależnymi, a zmienne
zmiennymi niezależnymi lub parametrami. Podział
xr 1, xr 2 ,..., xn
zmiennych na zależne i parametry nie jest jednoznaczny, ale nie jest też dowolny. Przy przekształcaniu macierzy
rozszerzonej układu do postaci końcowej możemy wykorzystać algorytm sprowadzania macierzy nieosobliwej
do postaci jednozstkowej (patrz fakt 3.7.1). W przeciwieństwie do układu Cramera, omówionego w poprzednim
paragrafie, mogą pojawić się tu trzy nowe sytuacje:
1. wiersz złożony z samych zer  wtedy go skreślamy,
2. dwa wiersze równe lub proporcjonalne  wtedy skreślamy jeden z nich,
3. brak elementu niezerowego w kolejnej kolumnie powodujący niemożność ustawienia kolejnej jedynki na
przekątnej  wtedy całą kolumnę wraz z jej zmienną przestawiamy na miejsce przedostatnie przed kolumnę
wyrazów wolnych (zmienna ta staje się parametrem).
Uwaga. Praktyczną wersją metody eliminacji Gaussa dla dowolnych układów równań liniowych jest metoda
kolumn jednostkowych. Jest ona rozszerzeniem metody opisanej dla układów Cramera (patrz fakt 4.3.2) na
przypadek ogólny. Polega ona na równoważnym przekształceniu macierzy rozszerzonej układu, w celu
doprowadzenia możliwie największej liczby kolumn do postaci jednostkowej. Jedynki z różnych kolumn
jednostkowych powinny się przy tym znależć w różnych wierszach. Przekształcenie poszczególnych kolumn
wykonujemy dokładnie tak samo, jak dla układów Cramera. Przy wyborze tych kolumn oraz miejsc na jedynki
mamy pełną dowolność. Jednoznacznie określona jest tylko liczba tych kolumn, ale pojawia się ona w naturalny
sposób na końcu postępowania. Najwygodniej jest brać do przekształceń kolumny zawierające  małe liczby
całkowite i  dużo zer. W przypadku dowolnych układów równań w trakcie postępowania mogą pojawić się
wiersze zerowe  wtedy je skreślamy, wiersze równe lub proporcjonalne  wtedy skreślamy jeden z nich. Może
się także zdarzyć, że w macierzy rozszerzonej układu pojawi się wiersz zerowy z elementem niezerowym w
kolumnie wyrazów wolnych. Taki układ równań jest oczywiście sprzeczny. Jeśli tak się nie zdarzy, to
postępowanie kończy się wtedy, gdy liczba wyróżnionych kolumn jest równa liczbie wierszy, które pozostały w
macierzy. Rozwiązanie układu odczytujemy teraz z końcowej postaci macierzy, wyróżnione  jedynki wskazują
zmienne zależne.