RACHUNEK ZDAC
3
ZADANIE 1
Zbuduj tabelki zerojedynkowe dla formuł:
(1) p (p Ø ~p)
(2) p | p "! ~ (p p)
(3) p (p Ä„" q)
(4) p (" q "! ~ (p '" q)
(5) [p (q (" r)] "! [(p '" q) Ä„" r]
ZADANIE 2
Określ wartość logiczną formuły w zależności od wartości logicznej zmiennej
zdaniowej p:
p (" ~p
Tautologia to schemat zdań wyłącznie prawdziwych.
Tautologie są prawami rachunku zdań.
PRAWA RACHUNKU ZDAC

LP PRAWO NAZWA
1 Prawo wyłączonego środka
p (" ~p
(tertium non datur)
2 Prawo sprzeczności
~(p '" ~p)
3 Prawo tożsamości
p "! p
p p
4 Prawo idempotentności koniunkcji
p "! p '" p
Prawo idempotentności alternatywy
p "! p (" p
5 Prawo podwójnej negacji
~(~p) "! p
6 Pierwsze prawo redukcji do absurdu
(p ~p) ~p
7 Prawo Claviusa
(~p p) p
8 Prawo przemienności koniunkcji
(p '" q) "! (q '" p)
Prawo przemienności alternatywy
(p (" q) "! (q (" p)
Prawo przemienności równoważności
(p "! q) "! (q "! p)
9 Prawo symplifikacji
p '" q p , p '" q q
10 Prawo addycji
p p (" q , q p (" q
11 Prawo łączności koniunkcji
(p '" (q '" r)) "! ((p '" q) '" r)
Prawo łączności alternatywy
(p (" (q (" r)) "! ((p (" q) (" r)
Prawa rozdzielności:
12 koniunkcji względem alternatywy
[p '" (q (" r)] "! [(p '" q) (" (p '" r)]
alternatywy względem koniunkcji
[p (" (q '" r)] "! [(p (" q) '" (p (" r)]
13 Prawa pochłaniania
[p '" (p (" q)] "! p
[p (" (p '" q)] "! p
14 ex falso  quodlibet
(p '" ~p) q
1
RACHUNEK ZDAC
3
15 Prawo Dunsa Szkota
~p (p q)
zwane też  charakterystyką fałszu
16 prawo poprzednika
p (q p)
zwane też  charakterystyką prawdy
17 Prawo transpozycji prostej
(p q) "! (~q ~p)
(kontrapozycji)
17 Prawa transpozycji (c.d.)
(p ~q) "! (q ~p)
(~p q) "! (~q p)
(c.d.)
18 Prawo de Morgana dla koniunkcji
~(p '" q) "! (~p (" ~q)
19 Prawo de Morgana dla alternatywy
~(p (" q) "! (~p '" ~q)
20 Prawo zaprzeczenia implikacji
~(p q) "! (p '" ~q)
21 Prawa zaprzeczenia równoważności
~(p "! q) "! [~(p q) (" ~(q p)]
~(p "! q) "! [(p '" ~q) (" (q '" ~p)]
22 Prawa zastępowania implikacji
(p q) "! ~(p '" ~q)
(p q) "! (~p (" q)
23 Prawa zastępowania koniunkcji
(p '" q) "! ~(~p (" ~q)
(p '" q) "! ~(p ~q)
24 Prawa zastępowania alternatywy
(p (" q) "! ~(~p '" ~q)
(p (" q) "! (~p q)
25 Prawo zastępowania równoważności
(p "! q) "! [(p q) '" (q p)]
26 Prawo zastępowania alternatywy rozł.
(p ^ q) "! ~(p "! q)
27 Prawo zastępowania binegacji
(p " q) "! ~(p (" q)
28 Prawo zastępowania dysjunkcji
(p | q) "! ~(p '" q)
29 Prawo zastępowania negacji
~p "! (p | p)
30 Prawa zastępowania koniunkcji
(p '" q) "! ~(p | q)
(p '" q) "! [(p | q) | (p | q)]
31 Prawo mnożenia następników
[(p q) '" (p r)] "! [p (q '" r)]
32 Prawo dodawania poprzedników
[(p r) '" (q r)] "! [(p (" q) r]
33 Prawo mnożenia implikacji
[(p r) '" (q s)] "! [(p '" q) (r '" s)]
34 Prawo dodawania implikacji
[(p r) '" (q s)] "! [(p (" q) (r (" s)]
35 Prawo eksportacji
[(p '" q) r] [p (q r)]
36 Prawo importacji
[p (q r)] [(p '" q) r]
37 Prawo eksportacji i importacji
[(p '" q) r] "! [p (q r)]
38 Prawo komutacji
[p (q r)] "! [q (p r)]
39 Koniunkcyjny sylogizm hipotetyczny
[(p q) '" (q r)] (p r)
40 Bezkoniunkcyjny sylogizm hipotetyczny
(p q) [(q r) (p r)]
41 Sylogizm Fregego
[p (q r)] [(p q) (p r)]
Prawa przechodniości równoważności
42 wersja koniunkcyjna
[(p "! q) '" (q "! r)] (p "! r)
wersja bezkoniunkcyjna
(p "! q) [(q "! r) (p "! r)]
2
RACHUNEK ZDAC
3
Prawa przechodniości koniunkcji
43 wersja koniunkcyjna
[(p '" q) '" (q '" r)] (p '" r)
wersja bezkoniunkcyjna
(p '" q) [(q '" r) (p '" r)]
44 Drugie prawo redukcji do absurdu -
[(p q) '" (p ~q)] ~p
dylemat destrukcyjny
45 Dylemat konstrukcyjny
[(p q) '" (~p q)] q
46 Prawo transpozycji złożonej
[(p '" q) r] "! [(p '" ~r) ~q]
47 Modus ponendo ponens (prawo odrywania)
[(p q) '" p] q
48 Modus tollendo tollens
[(p q) '" ~q] ~p
49 Modus tollendo ponens
[(p (" q) '" ~p] q
50 Modus ponendo tollens
[(~p (" ~q) '" p] ~q
ZADANIE 3
Sprawdz
metodą zerojedynkową (matrycową), czy poniższa formuła jest tautologią:
(p ~p) ~p
ZADANIE DOMOWE
Napisz prawa przemienności dla alternatywy rozłącznej, binegacji i dysjunkcji.
ZADANIE 4
Sprawdz
metodą zerojedynkową (matrycową), czy poniższa formuła jest tautologią:
(p '" ~p) q
ZADANIE 5
Sprawdz
, czy prawdziwe jest zdanie:
Skoro Ziemia obraca się wokół Słońca, to
jeśli Ziemia nie obraca się wokół Słońca, to dostanę celujący na egzaminie z logiki.
ZADANIE 6
Podaj prawa zaprzeczenia dla alternatywy rozłącznej, binegacji i dysjunkcji.
ZADANIE 7
Sprawdz
metodą zerojedynkową (matrycową), czy poniższa formuła jest tautologią:
~p "! (p | p)
ZADANIE 8
Sformułuj prawa zastępowania dla negacji, alternatywy i koniunkcji przy użyciu
jedynie binegacji.
ZADANIE 9
Sprawdz
metodą zerojedynkową (matrycową) czy powyższa formuła jest tautologią.
[(p r) '" (q s)] "! [(p '" q) (r '" s)]
ZADANIE 10
Sprawdz
, czy prawdziwe jest zdanie:
Wobec tego, że: o ile student się uczy, to zdaje egzaminy,
a skoro zdaje egzaminy, to dostaje stypendium,
zatem to, że student się uczy, implikuje to, że dostaje stypendium.
3
RACHUNEK ZDAC
3
ZADANIE DOMOWE
Sformułuj prawa przechodniości dla alternatywy, alternatywy rozłącznej, binegacji i
dysjunkcji zarówno w wersji koniunkcyjnej jak i bezkoniunkcyjnej oraz sprawdz
, czy
są one tautologiami (dla każdego spójnika tylko w jednej wersji, ale dwukrotnie użyj
wersji koniunkcyjnej i dwukrotnie bezkoniunkcyjnej).
ZADANIE 11
Sprawdz
metodą zerojedynkową czy poniższy schemat jest tautologią:
(pq) '" <" (<"p (" q)
Kontrtautologia to schemat zdań wyłącznie fałszywych.
ZADANIE 12
Odpowiedz na pytanie:
Czy Platon założył Akademię?
zakładając, że prawdziwe jest zdanie:
Nieprawda, że jeśli Platon założył Akademię, to
jeśli Arystoteles był uczniem Platona, to Arystoteles nie uczęszczał do Akademii.
ZADANIE 13
Sprawdz
skróconą metodą zerojedynkową (czyli nie wprost) czy dana formuła jest
tautologiÄ….
(a) p (qp)
(b) <"p (pq)
(c) p("q p
(d) <"(pq) p
(e) <"(pq) <"q
(f) [p (q r)] [(p q) (p r)]
(g) [p '" q r] [p '" ~q ~r]
(h) [(p '" q) r] "! [(p '" ~r) ~q]
(i) [p (" (q '" r)] "! [(p (" q) '" (p (" r)]
(j) p '" (qr) "! q p '" r
ZADANIE 14
Sprawdz
skróconą metodą zerojedynkową (czyli nie wprost) czy dana formuła jest
kontrtautologiÄ….
(a) (pq) '" <"(<"p (" q)
(b) [p '" q r] '" p '" q '" <"r
4