s1779 6

6. PAASKI STAN NAPRŻENIA I ODKSZTAACENIA
6.1. Podsum owanie równań opisujących płaskie stany
Przypomnienie najważniejszych zależności opisujących podstawy liniowej mechaniki ciała stałego dla
ogólnego przypadku przestrzennego zawarto w rozdziale 5. Ponieważ wiele technicznie ważnych zagadnień
ogranicza się do opisu dwuwymiarowego zestawimy poniżej znane z kursów wytrzymałości materiałów i
podstaw liniowej teorii sprężystości podstawowe formuły opisujące równowagę, związki geometryczne i
fizyczne, wykorzystywane w zadaniu dwuwymiarowym. Analizując stan naprężenia, posługiwać się
będziemy składowymi tensora naprężenia, zapisanymi w postaci wektora:
� = [� , � , � ]. (6.1)
x y xy
Rys. 6.1. Znakowanie składowych naprężeń
Za dodatnie składowe uznamy te, których zwrot jest zgodny ze zwrotem składowych zaznaczonych na
rysunku 6.1.
W artości składowych naprężenia, odniesione do układu obróconego o kąt a, wyrażone są za pomocą
następujących wzorów transformacyjnych:
� = � �" cos2 ą +� �" sin2 ą + 2 �"� �" cosą �" siną,
x' x y xy
� = � �" sin2 ą +� �" cos2 ą - 2 �"� �" cosą �" siną, (6.2)
y' x y xy
� = -(� - � )�" siną �" cosą +� �"(cos2 ą - sin2 ą)
x' y' x y xy
62 Płaski stan naprężenia i odkształcenia
lub krócej w postaci macierzowej
� ' = Tą �"� (6.3)
gdzie wektory � ' i � opisują stan naprężenia odniesiony odpowiednio do układu współrzędnych
obróconych (x'0 y') i wyjściowych (x0 y). Macierz transformacji T przyjmuje postać:
�ł c2 s2 2 �" s �" c
�ł
Tą = s2 c2 2 �" s �" c (6.4)
�ł
�ł- s �" c s �" c c2 - s2
�ł
Niekiedy wygodnie jest przedstawić te same zależności transformacyjne, wykorzystując wzory na
kąty podwójne. Otrzymujemy wówczas:
� +� � -�
x y x y
� = + �" cos(2ą)+� �" sin(2ą),
x' xy
2 2
� +� � -�
x y x y
� = - �" cos(2ą)-� �" sin(2ą), (6.5)
y' xy
2 2
� -�
x y
� = - �" sin(2ą)+� �" cos(2ą)
x' y' xy
2
Oczywiście muszą być spełnione znane warunki niezmienniczości:
� +� = � +� = const,
x y x' y'
(6.6)
2 2
� �"� -� = � �"� -� = const.
x y xy x' y' x' y'
Kierunki osi głównych naprężeń i ekstremalne wartości naprężeń głównych otrzymamy, szukając ekstremum
(6.5) względem a, co po prostym różniczkowaniu i porównaniu do zera prowadzi do
2 �"�
xy
tg(2ągl )= . (6.7)
� -�
x y
2
� -� � -�
�ł
x y x y 2
� = ą �ł +� = � . (6.8)
I ,II xy max,min
�ł
2 2
�ł
Rozdział 6 63
Rys. 6.2. Przem ieszczenia i odkształcenia dla elem entu płaskiego
Maksymalne naprężenia ścinające odniesione są do układu współrzędnych, obróconego o n/4 w
stosunku do układu osi głównych i ich wartości wynoszą:
2
�
�ł -�
x y 2
� 'max = �ł +� (6.9)
xy
�ł
2
�ł
Mówiąc o stanie odkształcenia, będziemy się posługiwać wektorem opisującym składowe odniesione do
układu (x0 y) w postaci:
� = [� , � , ł ]. (6.10)
x y xy
Znane zależności geometryczne (związki Cauchy'ego) z zastosowaniem opisu przemieszczeń u i v ,
odpowiednio w kierunkach osi x i y , wyrażają się teraz w postaci:
"u "v "u "v
� = , � = , ł = + . (6.11)
x y xy
"x "y "y "x
Stosowne zależności między przemieszczeniami, a odkształceniami pokazano na rysunku 6.2. W zapisie
macierzowym związki (6.10) można również przedstawić jako
� = L �" u , (6.12)
64 Płaski stan naprężenia i odkształcenia
T
gdzie wektor u = [u, v] , zaś operator różniczkowy L dla problemu dwuwymiarowego ma postać:
�ł "
�ł"x 0
�ł
"
�ł
L = 0 . (6.13)
�ł
"y
�ł
" "
�ł
�ł"y "x
Interesujące są również wartości składowych odkształceń w układzie obróconym (x'0 y'). Aby je wyznaczyć,
porównajmy wyrażenia na energię odkształcenia wyrażoną w układach osi wyjściowym i obróconym.
Otrzymujemy następującą sekwencję wzorów:
T T
(� � ') �"�' = (� � ) �"� ,
T T
a ponieważ � � ' = Tą �"� � , więc (� � ) �"Tą T �"�' = (� � ) �"� ,
z czego wynika, że:
Tą T �"�' = � oraz �' = Tą -T �"� ,
gdzie macierz transformacji ma postać:
�ł c2 s2 s �" c
�ł
Tą -T = s2 c2 - s �" c . (6.14)
�ł
�ł- 2 �" s �" c 2 �" s �" c c2 - s2
�ł
Podobnie jak poprzednio dla stanu naprężenia można przedstawić wzory na kierunki i wartości głównych
odkształceń.
Załóżmy teraz, że materiał jest izotropowy i wyprowadzmy stosowne wzory opisujące zależności
między wektorami stanu naprężenia � i odkształcenia � dla przypadków analizy płaskiego stanu
naprężenia i odkształcenia.
Płaski stan naprężenia, występujący w płaszczyznie x0 y , charakteryzuje się tym, że następujące
składowe tego stanu są równe zeru: � = � = � = 0 , co pociąga za sobą, że również składowe
z xy yz
odkształceń są równe zeru : ł = ł = 0 oraz � `" 0 . Odpowiednie zależności przedstawiają się
xz yz z
następująco:
Rozdział 6 65
1 1
� = �"(� -� �"� ), � = �"(� -� �"� ),
x x y y y x
E E
(6.15)
1 2 �"(1+� )�"� oraz �z = - �
ł = �"� = �"(� +� ),
xy xy xy x y
G E E
lub w postaci odwrotnych relacji:
E E
� = �"(� -� �"� ), � = �"(� -� �"� ),
x x y y y x
2 2
1 -� 1 -�
(6.16)
E E �"
� = �"ł = �"ł
xy xy xy
2
2 �"(1 +� ) 1 -�
1 -�
gdzie stałą można wyrazić za pomocą liczby Poissona � w postaci: =
2
Powyższe zależności można zapisać macierzowe w następujący sposób:
1
�ł -� 0
1
�ł-� 1 0
� = C �"� gdzie C = �" (6.17)
�ł
E
�ł 0 0 2 �" (1 +� )
�ł
lub odwrotnie
1 � 0
�ł
E
�ł�
� = D �"� gdzie D = C-1 = �" 1 0 (6.18)
2
�ł
1 -�
�ł0 0
�ł
W płaskim stanie odkształcenia następujące składowe są równe zeru:�z = ł = ł = 0 , co
xy yz
powoduje, że odpowiednie składowe stanu naprężenia � = � = 0 oraz � `" 0 .
xz yz z
Odpowiednie zależności fizyczne przedstawiają się następująco:
1 1
� = �"(� -� �"� -� �"� ), � = �"(� -� �"� -� �"� ),
x x y z y y x z
E E
(6.19)
2 �"(1 +� )
ł = �"�
xy xy
E
66 Płaski stan naprężenia i odkształcenia
oraz
1
�z = �"(-� �"� -� �"� +� ), skąd � =� �"(� +� ). (6.20)
x y z z x y
E
Podstawiając powyższy rezultat do wzorów (6.18), otrzymujemy ostatecznie :
1 +� 1 +�
� = �"[(1 +� )�"� -� �"� ], � = �"[(1 +� )�"� -� �"� ],
x x y y y x
E E
(6.21)
2 �"(1 +� )
ł = �"�
xy xy
E
lub odwracając zależności
E E
� = �"[(1 +� )�"� -� �"� ], � = �"[(1 +� )�"� -� �"� ],
x x y y y x
(1 +� )�"(1 - 2� ) (1 +� )�"(1 - 2� )
(6.22)
E
� = �"ł .
xy xy
2 �"(1 +� )
W zapisie macierzowym macierze analogiczne do tych, które występują we wzorach (6.16) i (6.17), mają
teraz następującą postać:
1
�ł -� -� 0
1 +�
�ł
C = �" -� 1 -� 0
�ł
E
�ł 0 0 2
�ł
oraz (6.23)
�ł1 -� � 0
�ł
E
�ł
D = C-1 = �" � 1 -� 0
(1 +� )�"(1 - 2 �"� )
�ł 1 - 2 �"�
0 0
�ł
�ł 2
Rozdział 6 67
6.2. Elem enty trójkątne płaskiego stanu naprężeń i odkształceń
6.2.1. Trójwęzłowy element o stałych odkształceniach
Jednym z pierwszych elementów służących do opisu dwuwymiarowego kontinuum jest element
trójkątny o stałych odkształceniach, w literaturze znany pod skrótową nazwą CST (Constant Strain Triangle).
W elemencie tym wyróżnia się trzy węzły (wierzchołki trójkąta), które mają po dwa translacyjne stopnie swo-
body. Przemieszczenie dowolnego punktu elementu opisane jest w układzie x0 y za pomocą dwóch
składowych u i v . Kolejne przemieszczenia węzłowe oznaczono przez d1 do d6 , odpowiadają one
stopniom swobody oznaczonym na rysunku 6.3. W ektor przemieszczeń d , opisujący deformację
elementu, składa się zatem z następujących składowych:
T T
d = [d1, d2, d3, d4, d5, d6] = [u1, v1, u2, v2, u3, v3] . (6.24)
Przyjmijmy funkcje opisujące wielkości przemieszczeń u i v w postaci liniowo zależnej od x
i y :
u = c1 + c2 �" x + c3 �" y, v = c4 + c5 �" x + c6 �" y . (6.25)
T
W postaci macierzowej założoną aproksymację zmian wektora przemieszczeń u = [u, v]
można wyrazić jako:
u = g �"c , (6.26)
gdzie c jest wektorem stałych ci , jak dotąd nieznanych, zaś tak zwana macierz geometryczna g
ma postać:
1 x y 0 0 0
�ł
g = (6.27)
�ł0 0 0 1 x y .
�ł
Rys. 6.3. Trójwęzłowy elem ent trójkątny i definicja stopni swobody
68 Płaski stan naprężenia i odkształcenia
Podstawiając warunki brzegowe, to znaczy przyrównując przemieszczenia u i v odpowiednio do
przemieszczeń węzłów w punktach i , j , k otrzymujemy macierz h :
1 xi yi 0 0 0
�ł
�ł0 0 0 1 xi yi
g1 �ł
�ł
�ł
1 x y 0 0 0
�łg j j
h = = , (6.28)
�ł
2
�ł
0 0 1 x y
j j
�ł �ł0
3
�łg �ł1 xk yk 0 0 0
�ł
�ł
�ł0 0 0 1 xk yk
która spełnia następujące równanie macierzowe:
d = h �"c . (6.29)
Z równania tego wyznaczymy wartości stałych ci przez znalezienie macierzy odwrotnej h-1 :
x yk j
�ł - xk y 0 xk yi - xi yk 0 xi y - x yi 0
j j j
�ł
- y 0 - ykj 0 - yij 0
jk
�ł
�ł
x 0 xkj 0 xij 0
1
jk
h-1 = �" (6.30)
�ł
0 x yk - xk y 0 xk yi - xi yk 0 xi y - x yi
2�" Aikj �ł
j j j j
�ł
0 - y 0 - yki 0 - yij
jk
�ł
0 x 0 xki 0 xij
�ł jk
�ł
gdzie
1 xi yi
�ł
�ł1
2�" Aijk =| podwojone pole pow. trój. |= det x y = xij �" yik - xik �" yij , (6.31)
j j
�ł
�ł
�ł1 xk yk
xij = x - xi , yki = yi - yk .
j
Macierz funkcji kształtu N ma więc postać:
N1 0 N2 0 N3 0
�ł
N = g �" h-1 = , (6.32)
�ł
0 N1 0 N2 0 N3
�ł
gdzie odpowiednie funkcje wyrażają się następującymi wzorami:
Rozdział 6 69
1
N1 = �"(x yk - xk y - y �" x + x �" y),
j jk jk
2�" Aijk j
1
N2 = �"(xk yi - xi yk - yki �" x + xki �" y), (6.33)
2�" Aijk
1
N3 = �"(xi y - x yi - yij �" x + xij �" y).
2�" Aijk j j
Zależność między przemieszczeniami węzłów d a odkształceniami elementu otrzymamy przez zadziałanie
znanym operatorem różniczkowym L na macierz funkcji kształtu N . Otrzymamy wówczas
�ł
"
0
�ł
"x
�ł- y 0 - yki 0 - yij 0
�ł
jk
" 1 �ł
�ł
B = L �" N = 0 �" N = 0 x 0 xki 0 xij ,
jk
�ł
"x 2�" Aijk �ł
�ł
x - y xki - yki xij - yij
�ł
jk jk
�ł
" "
�ł
�ł
�ł"y "x
� = B �" d
(6.34)
W idać, że człony macierzy B nie zależą od położenia x i y i są stałe w obszarze całego elementu. Temu
właśnie faktowi element ten zawdzięcza swoją nazwę. Oznacza to, że składowe odkształceń są stałe dla
całego elementu, a tym samym na granicy między elementami nie jest zachowany warunek równości od-
kształceń. Odkształcenia zmieniają się skokowo, zbliżając się jednak do stanu "prawdziwego" w miarę
zagęszczania siatki podziału analizowanej przestrzeni dwuwymiarowej.
Zakładając, że mamy do czynienia z materiałem izotropowym, możemy zapisać równanie
konstytutywne dla płaskiego stanu naprężeń i (lub) odkształceń, używając ope ratora D(� = D �"�) w
następującej postaci:
e1 � 0
�ł
E
�ł�
D = �" e1 0 , (6.35)
(1+� )�"e2 �ł
�ł
0 0 ee
�ł
gdzie przyjęte stałe ei wynoszą odpowiednio:
- dla płaskiego stanu naprężeń
e2
e1 =1, e2 =1-� , e3 = , (6.36)
2
70 Płaski stan naprężenia i odkształcenia
- dla płaskiego stanu odkształceń
e2
e1 = 1-� , e2 = 1- 2� , e3 = . (6.36)
2
W końcu dokonując znanego już nam całkowania, otrzymujemy wyrazy macierzy sztywności elementu
wyrażone w przyjętym układzie współrzędnych x0y w następującej postaci:
K = BT �" D �" B �" dV = BT �" D �" B �" Aijk �"t = K1 + K2 , (6.38)
V
gdzie przez t oznaczono grubość elementu, zaś macierze K1 i K2 zawierają wyrazy
wywodzące się odpowiednio tylko z odkształceń normalnych i ścinających:
2
�ł
e1y -� x y e1yki y -� xki y e1yij y -� xij y
jk jk jk jk jk jk jk
�ł
2
jk jk jk jk jk jk jk
�ł-� x y e1x -� yki x e1xki x -� yij x e1xij x
�ł
e1yki y -� yki x e1yki 2 -� yki xki e1yij yki -� xij yki
jk jk
K1 = e4 �" �ł ,
2
�ł-� xki y e1xki x -� yki xki e1xki -� yij xki e1xij xki
jk jk
�ł
e1yij y -� yij x e1yij yki -� yij xki e1yij 2 -� xij yij
jk jk
�ł
�ł -� xij y e1xij x -� xij yki e1xij xki -� xij yij e1xij 2
jk jk
�ł
(6.39)
�ł
xjk 2 - x y xki xjk - x yki xij xjk - yij x
jk jk jk jk
�ł
2
jk jk jk jk jk jk jk
�ł- x y y - xki y yki y - xij y yij y
�ł
xki x - xki y xki 2 - xki yki xij xki - yij xki
jk jk
K2 = e4 �" �ł .
2
�ł- x yki yki y - xki yki yi - x yki - y yki
jk jk j j
�ł
xij x - xij y xij xki - x yki xij 2 - xij yij
jk jk j
�ł
�ł - yij x yij y - yij xki - y yki - xij yij yij 2
jk jk j
�ł
W powyższych wzorach przyjęto oznaczenia:
E �"t
e4 = oraz e5 = e4 = e3 . (6.40)
4�" Aijk �"(1+� )�"e2
Zagadnienie wyznaczania odpowiednich sil węzłowych dla tego elementu pozostawiamy Czytelnikowi
do samodzielnych rozważań.
Rozdział 6 71
6.2.2. Sześciowęzłowy element trójkątny o liniowej zmianie odkształceń
Kolejnym elementem służącym do analizy płaskich stanów naprężeń i odkształceń jest Sześciowęzłowy
element trójkątny zwany w literaturze skrótowo LST (Linear Strain Triangle) zaproponowany po raz pierwszy
przez de Vaubeke. Element ten przedstawiono w lokalnym układzie współrzędnych x0y na rysunku 6.4.
W ęzły tego elementu umieszczone są w wierzchołkach trójkąta i środkach jego boków. Każdy z węzłów ma,
podobnie jak w elemencie CST, po dwa stopnie swobody. W ektor przemieszczeń węzłowych, ma w
następujący sposób uporządkowane składowe:
T
d = [u1, u2, u3, u4, u5, u6, v1, v2, v3, v4, v5, v6] . (6.41)
W ektor przemieszczenia dowolnego punktu elementu określony jest za pomocą dwóch
T
elementów:u = [u, v] , zaś aproksymacja każdej ze składowych przyjęta jest w postaci:
u = c1 + c2 �" x + c3 �" y + c4 �" x2 + c5 �" x �" y + c6 �" y2,
(6.42)
v = c7 + c8 �" x + c9 �" y + c10 �" x2 + c11 �" x �" y + c12 �" y2.
W wielu przypadkach omówienie poszczególnych typów elementów ogranicza się do sformułowania funkcji
aproksymacyjnych, tj. do zdefiniowania postaci funkcji kształtu. Tylko dla nielicznej grupy elementów
skończonych podaje się końcowe formuły na wartości współczynników macierzy sztywności elementów.
Najczęściej omawiając poszczególne elementy skończone, rozważa się wyłącznie składowe występujące w
całce typu (6.38), wyrażone w lokalnym układzie współrzędnych.
Rys. 6.4. Sześciowęzłowy elem ent trójkątny
72 Płaski stan naprężenia i odkształcenia
Zwłaszcza przy większej liczbie stopni swobody elementu uzasadnione jest w pełni numeryczne budowanie
wyrazów macierzy sztywności, jak również ich transformacja do globalnego układu. Znając ogólne zasady
całkowania wyrażenia BT �" D �" B oraz zasady transformowania z układu lokalnego do globalnego,
ograniczymy się tylko do podania zasadniczych założeń i wyników częściowych. W szystkich Czytelników
zachęcamy do prześledzenia toku rozumowania również przez samodzielne uzupełnienie brakujących
ogniw.
W racając do elementu LST i mówiąc o odkształceniach c będziemy wyróżniać ten stan w trzech punktach
węzłowych. W ektor odkształceń c wyrazić można jako funkcję przemieszczeń węzłów w postaci:
�ł �ł
� Bx 0
x
u
�ł
�ł� �ł
� = = 0 By �" = B �" d , (6.43)
y
�łv
�ł �ł
�ł� xy �łBy Bx �ł
�ł �ł
gdzie poszczególne wektory przedstawiają się następująco:
� �ł �ł
� ł
�ł
x1 y1 xy1
�ł� �łł
�ł�
� = , � = , ł = . (6.44)
x x2 y y 2 xy xy 2
�ł �ł
�ł
�ł� y3 �łł xy3
�ł
�ł� x3
�ł �ł
Stosowne macierze Bi wyrazić można teraz jako
3�" y32 - y13 - y21 4�" y13 0 4�" y21
�ł
1
�ł
Bx = �" - y32 3�" y31 - y21 4�" y32 4�" y21 0 ,
�ł
2�" A
�ł - y32 - y13 3�" y21 0 4�" y13 4�" y32
�ł
(6.45)
3 �" x23 - x31 - x12 4 �" x31 0 4 �" x12
�ł
1
�ł
By = �" - x23 3 �" x31 - x12 4 �" x23 4 �" x12 0 ,
�ł
2 �" A
�ł - x23 - x31 3 �" x12 0 4 �" x31 4 �" x23
�ł
gdzie przyjęto podobne oznaczenia jak poprzednio: xij = xi - x oraz yij = yi - y . W tym
j j
przypadku, mimo że macierz sztywności elementu K ma wymiary (12x12) można by zadać
sobie trud wyprowadzenia jawnych postaci składowych tej macierzy. Nie uczynimy tego
jednak i dalsze możliwe przekształcenia zostawimy zainteresowanym.
Rozdział 6 73
6.3. Elem enty czworokątne płaskiego stanu naprężeń i odkształceń
6.3.1. Element czworokątny biliniowy
Do rozważania zagadnień dwuwymiarowych o regularnych prostopadłych brzegach wygodne
może się okazać stosowanie elementów czworokątnych. Najprostszym elementem tego typu jest
zaproponowany przez Melosha biliniowy prostokąt. W tym przypadku łatwiej jest posługiwać się specjalnie
wprowadzonym układem współrzędnych bezwymiarowych � i � , zdefiniowanym w taki sposób, by współ-
rzędne wierzchołków były równe zawsze ą1. Element ten wraz z przyjętym układem współrzędnych jest
przedstawiony na rysunku 6.5. W omawianym elemencie przyjęto cztery węzły w wierzchołkach prostokąta a
wektor przemieszczeń węzłowych w postaci:
T T
d =[d1, d2,...,d8] = [u1, v1, u2, v2, u3, v3, u4, v4] . (6.46)
Aproksymacja funkcji przemieszczeń ma postać:
u = c1 + c2 �"� + c3 �"� + c4 �"� �"�,
(6.47)
v = c5 + c6 �"� + c7 �"� + c8 �"� �"�.
Macierz geometryczna g wyrażona jest tym razem w postaci:
1 � � � �"� 0 0 0 0
�ł
g = (6.48)
�ł0 0 0 0 1 � � � �"� .
�ł
Rys. 6.5 Czworokątny elem ent biliniowy
74 Płaski stan naprężenia i odkształcenia
Podstawiając współrzędne punktów węzłowych do równań (6.47), otrzymujemy układ ośmiu równań, z
których wyznaczymy stale, a tym samym - postaci funkcji kształtu. Macierz h po podstawieniu
współrzędnych węzłów elementu jest wyrażona jako
1
�ł -1 -1 1 0 0 0 0
�ł0 0 0 0 1 -1 -1 1
�ł
�ł
g1 1 1 -1 -1 0 0 0 0
�ł
�ł0 0 0 0 1 1 -1 -1
�łg
2
�ł
�ł
h = = . (6.49)
�ł
g3 �ł1 1 1 1 0 0 0 0
�ł
�łg
�ł 4 �ł0 0 0 0 1 1 1 1
�ł1 -1 1 -1 0 0 0 0
�ł
�ł
�ł0 0 0 0 1 -1 1 -1
Po określeniu macierzy h-1 , co może być osiągnięte w różny sposób, z łatwością wyznaczymy postaci
macierzy funkcji kształtu;
1
N = g �" h-1 = �"[N1 N2 N3 N4]. (6.50)
4
gdzie poszczególne macierze Ni składają się z następujących funkcji:
Ni 0
�ł
Ni = dla i =1,2,3,4. (6.51)
�ł
0 Ni
�ł
1
N1 = �"(1-� )�"(1-�),
4
1
N2 = �"(1+� )�"(1-�),
4
(6.52)
1
N3 = �"(1+� )�"(1+�),
4
1
N4 = �"(1-� )�"(1+�).
4
Aby wyznaczyć odkształcenia, musimy zróżniczkować funkcje kształtu Ni względem zmiennych x i y .
Ponieważ funkcje te są wyrażone w postaci zależnej od zmiennych bezwymiarowych � i � więc
zastosujemy w tym miejscu reguły różniczkowania funkcji złożonej:
Rozdział 6 75
" " "� " "� 1 "
= �" + �" = �" ,
"x "� "x "� "x a "�
(6.53)
" " "� " "� 1 "
= �" + �" = �" .
"y "� "y "� "y b "�
Operator różniczkowy L wyraża się więc w postaci:
�ł �ł
" 1 "
0
�ł �ła "� 0
"x
�ł �ł
" 1 "
�ł �ł
L = 0 = 0 . (6.54)
�ł �ł
"x b "�
�ł �ł1 " 1 "
" "
�ł �ł
�ł �ł
�ł"y "x �łb "� a "�
Możemy już teraz wyznaczyć postać macierzy B = L �" N , która po wykonaniu przepisanych działań wynosi:
�ł- b(1-�) 0 b(1-�) 0 b(1+�) 0 - b(1+�) 0
�ł
B = 0 - a(1-� ) 0 - a(1+�) 0 a(1+� ) 0 a(1-� ) (6.55)
�ł
�ł- a(1-�) - b(1-�) - a(1+� ) b(1-�) a(1+� ) b(1+�) a(1-� ) - b(1+�)
�ł
lub też krócej :
B = [B1, B2, B3, B4], (6.56)
gdzie poszczególne macierze Bi przedstawimy w postaci:
�ł
Ni,x 0
�ł
Bi = 0 Ni,y , dla i =1,2,3,4. (6.57)
�ł
�łNi,y Ni,x
�ł
"Ni 1 "Ni 1
Ni,x = = �" = �" Ni,� ,
" x a "� a
(6.58)
"Ni 1 "Ni 1
Ni, y = = �" = �" Ni,� .
" y b "� b
Pamiętając, że macierz konstytutywna D może być symbolicznie przedstawiona jako
76 Płaski stan naprężenia i odkształcenia
D11 D21 0
�ł
�łD D22 0
D = , (6.59)
12
�ł
�ł
0 0 D33
�ł
można już bez trudu obliczyć postać macierzy sztywności elementu.
Zastanówmy się jeszcze nad sposobem sprowadzenia do węzłów obciążeń występujących na
krawędzi elementu, tak jak to przedstawiono na rysunku 6.5. W ektor składowych obciążenia, zmieniający się
liniowo wzdłuż krawędzi, wyrażony jest w następującej postaci (obciążenie działa w kierunku lokalnej osi � ):
0
�ł
by1 + by2 (by2 - by1)�"� .
�ł
b = (6.60)
+
�ł
�ł 2 2
W wyniku całkowania wzdłuż brzegu � = -1 otrzymujemy:
+1
by2 - by1 by2 - by1
�ł
pbc = gT �"b �" a �" d� = a �" 0, 0, 0, by1 + by2, , -(by1 + by2), - .(6.61)
�ł0,
3 3
�ł
-1
Mnożąc pbc , przez macierz h-T otrzymujemy końcowe wyrażenia na wielkości sil węzłowych, wynikające z
obciążenia brzegu elementu prostokątnego na krawędzi � = -1 obciążeniem rozłożonym liniowo w
następującej postaci:
a
pb = h-T �" pbc = �"[0, 2�"by1 + by2, 0, by1 + by2, 0, 0, 0, 0]. (6.62)
3
Spróbujmy wyrazić, w jaki sposób w węzłach uwidoczni się efekt działania sił grawitacyjnych w kierunku
ujemnego zwrotu osi y . W tym przypadku siły masowe wynoszą:
b =[0, - gg], (6.63)
Całkowanie po objętości ( przez t oznaczono grubość elementu ) prowadzi do następującej
relacji:
+1+1
pbc = a �"b �"t �" gT �"b �" d� d� = a �"b �"t �"[0, 0, 0, 0, - 4�"bg , 0, 0, 0] (6.64)
-1-1
Rozdział 6 77
oraz
pb = h-1 �" pbc = -a �"b �"t �"bg �"[0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1]. (6.65)
Efekt działania stałej temperatury "T może być opisany za pomocą wektora początkowych odkształceń:
�T = [ą1, ą2, 0]�" "T (6.66)
gdzie przez ąi oznaczono odpowiednio współczynniki rozszerzalności cieplnej w kierunkach osi x i y .
Całkowanie po objętości według poprzednio prezentowanych zasad daje:
+1+1
pTc = a �"b �"t �" BcT �" D �"�T d� d� = 4�"t �" "T �"[0, d1, 0, 0, 0, 0, d2, 0]. (6.67)
-1-1
W prowadzono tu następujące oznaczenia:
d1 = b �"(D11 �"ą1 + D12 �"ą2),
d2 = b �"(D12 �"ą1 + D22 �"ą2).
końcowym otrzymujemy:
pT = h-1 �" pTc = t �" "T �"[- d1, - d2, d1, - d2, d1, d2, - d1, d2]. (6.68)
Zauważmy na koniec, że wektor ten opisuje wyłącznie sytuację płaskiego stanu naprężenia. Stosowne
wyprowadzenie podobnych formuł dla płaskiego stanu odkształceń pozostawiamy dociekliwemu
Czytelnikowi.
Na koniec uwag o tym elemencie prześledzmy jeszcze siły węzłowe, wywołane wstępnym
równomiernie rozłożonym odkształceniem ścinającym ł . W ektor opisujący odkształcenia jest wówczas
0
sformułowany następująco:
�0 = [0, 0, ł ], (6.69)
0
a odpowiednie siły węzłowe całkowite i rozłożone na węzły wynoszą:
+1+1
p0c = a �"b �"t �" BcT �" D �"�0 d� d� = 4�"t �" D33 �"ł �"[0, 0, a, 0, 0, b, 0, 0],
0
(6.70)
-1-1
p0 = h-1 �" p0c = t �" D33 �"ł �"[- a, - b, - a, b, a, b, a, - b].
0
78 Płaski stan naprężenia i odkształcenia
6.3.2. Elementy czworokątne składane z elementów trójkątnych
Istnieją różne możliwości generowania macierzy sztywności elementów czworokątnych przez ich
składanie z elementów prostszych, na przykład trójkątnych CST. Elementy takie są powszechnie stosowane
w programach analizy MES w zagadnieniach dwuwymiarowych. Chcemy w tym miejscu wspomnieć tylko o
dwóch możliwościach budowania macierzy sztywności z dwóch bądz czterech elementów trójkątnych.
Zasadę tworzenia elementów ilustruje schematycznie rysunek 6.6.
Obszar czworokąta ABCD może być podzielony na dwa trójkąty T1 i T 2 w dwojaki sposób,
co pokazano na rysunku 6.6. Każdemu z tych podziałów odpowiada możliwość określenia macierzy
sztywności KQ . Oczywiście każda z tych macierzy jest inna. Koncepcja budowania macierzy sztywności
zakłada pewne uśrednienie. Proces ten ilustrują następujące wzory:
KQi = KT1 + KT 2 dla i =1,2. (6.71)
gdzie i oznacza numer podziału czworokąta na trójkąty, i dalej
1
K0 = �"[KQ1 + KQ2]. (6.72)
2
Rys. 6.6. Elem enty czworokątne tworzone z elem entów trójkątnych
Rozdział 6 79
Zadanie:
Proszę wyprowadzić wyrażenie na postać macierzy sztywności dla pojedynczego prostokąta o
bokach a i b , otrzymane ze złożenia z dwóch trójkątów CST. W ynik proszę porównać z wynikiem elementu
czworokątnego biliniowego.
Obszar czworokąta B1B2B3B4 podzielony jest na cztery trójkąty, przy czym dodatkowo
wprowadzono węzeł środkowy A . Z łatwością zbudujemy macierz sztywności czworokąta
pięciowęzłowego opierając się na macierzach trójkątów. Chcemy jednak posługiwać się wyłącznie
stopniami swobody związanymi z zewnętrznymi węzłami. Dokonujemy procesu tzw. kondensacji
statycznej w taki sposób, by wyeliminować stopnie swobody związane z węzłem wewnętrznym A .
Zapiszmy macierz sztywności tego elementu, dokonując jej podziału na podmacierze związane tylko z
węzłami zewnętrznymi (Bi ) i z węzłem wewnętrznym (A) w postaci:
K K d pA
�ł �ł �ł
AA AB A
�" = , (6.73)
�łK KBB �łd �ł
pB
�ł BA �ł B �ł
gdzie macierze K i KBB są oczywiście symetryczne, zaś K = KBAT , co zapewnia symetrię
AA AB
macierzy sztywności elementu. Zapisane równanie macierzowe możemy teraz rozbić na dwa
równania macierzowe w postaci:
K �" dA + K �" dB = pA,
AA AB
(6.74)
KBA �" dA + KBB �" dB = pB.
-1
Mnożąc lewostronnie pierwsze z równań (6.74) przez K i obliczając d po podstawieniu do
AA A
drugiego równania otrzymujemy:
-1
KBA �" K �"( pA - K �" dB ) + KBB �" dB = pB (6.75)i dalej
AA AB
-1 -1
(KBB - KBA �" K �" K )�" dB = pB - KBA �" K �" pA (6.76)
AA AB AA
lub krócej
KBB* �" dB = pB* . (6.77)
W ten sposób otrzymaliśmy macierz sztywności elementu czworokątnego, która zależy tylko
od stopni swobody związanych z jego wierzchołkami.
80 Płaski stan naprężenia i odkształcenia
6.4. W yjaśnienia końcowe i podsum owanie
Na koniec tego rozdziału podsumujmy w zwarty sposób tok postępowania przyjęty przy
definiowaniu macierzy sztywności, uogólnionych sil odpowiadających uogólnionym przemieszczeniom oraz
uogólnionych sztywności elementów skończonych dla zagadnień dwuwymiarowych. Najważniejsze kroki
proponowanego algorytmu to:
1. założenie funkcji aproksymujących przemieszczenia
u = g �"c ,
2. podstawienie warunków brzegowych i wyznaczenie stałych
d = h �"c , gdzie h = [gi] dla i =1,...,ne oraz det h `" 0
c = h-1 �" d ,
3. określenie funkcji kształtu
u = g �" h-1 �" d = N �" d ,
4. zdefiniowanie odkształceń
� = L �"u = L �" N �" d = B �" d ,
5. wyznaczenie składowych macierzy sztywności K i wektora p
K = BT �" D �" B �" dV oraz K �" d = BT �" D �" B �" dV �" d = p .
V V
Niekiedy przy założonych funkcjach g i ustalonych stałych c pomocne jest przy definiowaniu sił
p i macierzy sztywności K sformułowanie opierające się na pojęciach uogólnionych sił, przemieszczeń i
sztywności. Przytoczmy na tę okoliczność kilka prostych przekształceń:
T
K �" d = (L �" g �" h-1) �" D �"(L �" g �" h-1)�" dV �" d = p,
V
T
K �" d = (Bc �" h-1) �" D �"(Bc �" h-1)�" dV �" d = p,
V
gdzie Bc = L �" g
Rozdział 6 81
i dalej
K �" d = h-T BcT �" D �" Bc �" dV �" h-1 �" d = p,
V
h-T �" Kc �"c = p.
Mnożąc obie strony przez hT , otrzymujemy:
Kc �"c = pc , gdzie pc = hT �" p ;
przez p oznaczyliśmy uogólnione siły odpowiadające uogólnionym przemieszczeniom c (stałe ze wzorów
aproksymacyjnych), zaś przez K - macierz uogólnionej sztywności.
Zadania
1. W yprowadz wzory na postacie macierzy sztywności czterowęzłowego elementu
kwadratowego korzystając z podziału na elementy trójkątne typu CST. W koniecznym
przypadku zastosuj kondensację statyczną. Otrzymane wyniki porównaj ze sobą i macierzą
sztywności elementu czworokątnego o liniowych funkcjach kształtu.
2. Ułóż program M ES na analizę płaskich stanów, stosując elementy CST. Jawna postać
macierzy sztywności tych elementów w lokalnym układzie współrzędnych jest podana w
skrypcie.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
s1779
s1779 3
s1779 4
s1779 8
s1779 5
s1779 B
s1779 7

więcej podobnych podstron