DODATEK B
CAA
KOW ANIE NUMERYCZNE W PRZESTRZENI DW UW YMIAROW EJ
Rozwiązania całki I = +"+"A f(x,y) dxdy można dokonać łatwiej, jeżeli wpierw dokonamy transformacji
tego wyrażenia do ukÅ‚adu współrzÄ™dnych naturalnych ¾ i ·. Ponadto granice każdej z caÅ‚ek powinny
być równe -1 lub +1. Pole dA = dxdy musi być zamienione zmiennymi d¾ i d·.
Rysunek B.1 przedstawia nieskoÅ„czenie maÅ‚e pole dA w ukÅ‚adzie współrzÄ™dnych naturalnych ¾
i ·. W ektor r okreÅ›la poÅ‚ożenie punktu A w ukÅ‚adzie współrzÄ™dnych kartezjanskich x i y :
r = x + y = xi + yj, (B.1)
Rys. B.1. Elementarne pole dA w układzie współrzędnych naturalnych
Dodatek B 176
Przyrost tego wektora ze względu na zmienne naturalne wynosi :
´r ´x ´y
= Å" i + Å" j,
´¾ ´¾ ´¾
(B.2)
´r ´x ´y
= Å" i + Å" j.
´· ´· ´·
Jeżeli pomnożymy wyrażenia (D.Z1 ) i (D.Z2 ) odpowiednio przez d¾ i d·, to uformujemy boki
czworokąta (rys.B.1) o infinitezymalnym polu dA. Jego wielkość wyznaczamy na podstawie
potrójnego produktu wektorowego :
ëÅ‚´r ´r
dA =ìÅ‚ Å" d¾ Å" Å" d· Å" k, (B.3)
ìÅ‚´¾ ´·
íÅ‚
co po podstawieniach (B.2) prowadzi do
ëÅ‚´x ´y ´y ´x
dA =ìÅ‚ Å" - Å" Å" d¾d·, (B.4)
ìÅ‚´¾ ´· ´¾ ´·
íÅ‚
lub w postaci wyznacznika do
´x ´y
´¾ ´¾
dA = Å" d¾d· = J Å" d¾d·, (B.5)
´x ´y
´· ´·
gdzie J jest macierzą jakobianu. Tak więc nowa postać wyjściowego wyrażenia całkowego jest
następująca :
1 1
I = f(¾,·) Å" J Å"d¾d·. (B.6)
-1-1
Konsekwentne stosowanie kwadratur Gaussa prowadzi do znalezienia całki w postaci:
n n
I = Ä…kf(¾j,·k ) Å" J(¾j,·k ) (B.7)
""Ä…j
k =1 j=1
gdzie a., a sÄ… współczynnikami wag dla punktów o współrzÄ™dnych (¾, · ). PoÅ‚ożenie punktów
Gaussa dla n=1,2,3 i 4 pokazano na rysunku B.2.
Dodatek B 177
Rys. B. 2. Punkty Gaussa dla elementu czworokÄ…tnego
Rys. B.3. Punkty Gaussa dla elementu trójkątnego
Dodatek B 178
Punkty próbne i wagi dla trójkąta
Dla trójkÄ…ta o polu powierzchni A przy zastosowaniu współrzÄ™dnych naturalnych ¾1 ¾2 ¾3
całkowanie numeryczne odbywa się według formuły
n
I = A Å" f(¾1¾2¾3 )j (B.8)
"Ä… j
j=1
Rysunek B. 3 przedstawia schematycznie położenie punktów całkowania dla n = 1,3,4 i 6, zaś
w tablicy B.1 dodatkowo zestawiono współczynniki wag ąj, odpowiadające tym punktom.
´1 = 0.816847, ´2 = 0.108103,
²1 = 0.091576, ²2 = 0.44595,
27 25
Å‚1 = - , Å‚2 = ,
48 48
Å‚3 = 0.10995174, Å‚4 = 0.2238159.
Tablica B.1
Położenie punktów Gaussa i wartości wag dla różnych rzędów całkowania
n RzÄ…d Punkty ¾1 ,¾2 ,¾3 Ä…j
1 Liniowy a 1/3, 1/3, 1/3 1
3 kwadratowy a 1/2, 1/2, 0 1/3
b 0, 1/2, 1/2 1/3
c 1/2, 0, 1/2 1/3
sześcienny a 1/3, 1/3, 1/3 ł1
b 0.6, 0,2, 0.2 Å‚2
c 0.2, 0.6, 0.2 Å‚3
d 0.2, 0.2, 0.6 Å‚4
4 stopnia a ´1, ²1, ²1 Å‚3
b ²1, ´1, ²1 Å‚3
c ²1, ²1,´1 Å‚3
d ´2,²2, ²2 Å‚4
e ²2, ´2, ²2 Å‚4
f ²2, ²2, ´2 Å‚4