DODATEK B
CAA
KOW ANIE NUMERYCZNE W PRZESTRZENI DW UW YMIAROW EJ
Rozwiązania całki I = +"+"A f(x,y) dxdy można dokonać łatwiej, jeżeli wpierw dokonamy transformacji
tego wyrażenia do układu współrzędnych naturalnych � i �. Ponadto granice każdej z całek powinny
być równe -1 lub +1. Pole dA = dxdy musi być zamienione zmiennymi d� i d�.
Rysunek B.1 przedstawia nieskończenie małe pole dA w układzie współrzędnych naturalnych �
i �. W ektor r określa położenie punktu A w układzie współrzędnych kartezjanskich x i y :
r = x + y = xi + yj, (B.1)
Rys. B.1. Elementarne pole dA w układzie współrzędnych naturalnych
Dodatek B 176
Przyrost tego wektora ze względu na zmienne naturalne wynosi :
�r �x �y
= �" i + �" j,
�� �� ��
(B.2)
�r �x �y
= �" i + �" j.
�� �� ��
Jeżeli pomnożymy wyrażenia (D.Z1 ) i (D.Z2 ) odpowiednio przez d� i d�, to uformujemy boki
czworokąta (rys.B.1) o infinitezymalnym polu dA. Jego wielkość wyznaczamy na podstawie
potrójnego produktu wektorowego :
�ł�r �r
dA =�ł �" d� �" �" d� �" k, (B.3)
�ł�� ��
�ł
co po podstawieniach (B.2) prowadzi do
�ł�x �y �y �x
dA =�ł �" - �" �" d�d�, (B.4)
�ł�� �� �� ��
�ł
lub w postaci wyznacznika do
�x �y
�� ��
dA = �" d�d� = J �" d�d�, (B.5)
�x �y
�� ��
gdzie J jest macierzą jakobianu. Tak więc nowa postać wyjściowego wyrażenia całkowego jest
następująca :
1 1
I = f(�,�) �" J �"d�d�. (B.6)
-1-1
Konsekwentne stosowanie kwadratur Gaussa prowadzi do znalezienia całki w postaci:
n n
I = ąkf(�j,�k ) �" J(�j,�k ) (B.7)
""ąj
k =1 j=1
gdzie a., a są współczynnikami wag dla punktów o współrzędnych (�, � ). Położenie punktów
Gaussa dla n=1,2,3 i 4 pokazano na rysunku B.2.
Dodatek B 177
Rys. B. 2. Punkty Gaussa dla elementu czworokątnego
Rys. B.3. Punkty Gaussa dla elementu trójkątnego
Dodatek B 178
Punkty próbne i wagi dla trójkąta
Dla trójkąta o polu powierzchni A przy zastosowaniu współrzędnych naturalnych �1 �2 �3
całkowanie numeryczne odbywa się według formuły
n
I = A �" f(�1�2�3 )j (B.8)
"ą j
j=1
Rysunek B. 3 przedstawia schematycznie położenie punktów całkowania dla n = 1,3,4 i 6, zaś
w tablicy B.1 dodatkowo zestawiono współczynniki wag ąj, odpowiadające tym punktom.
�1 = 0.816847, �2 = 0.108103,
�1 = 0.091576, �2 = 0.44595,
27 25
ł1 = - , ł2 = ,
48 48
ł3 = 0.10995174, ł4 = 0.2238159.
Tablica B.1
Położenie punktów Gaussa i wartości wag dla różnych rzędów całkowania
n Rząd Punkty �1 ,�2 ,�3 ąj
1 Liniowy a 1/3, 1/3, 1/3 1
3 kwadratowy a 1/2, 1/2, 0 1/3
b 0, 1/2, 1/2 1/3
c 1/2, 0, 1/2 1/3
sześcienny a 1/3, 1/3, 1/3 ł1
b 0.6, 0,2, 0.2 ł2
c 0.2, 0.6, 0.2 ł3
d 0.2, 0.2, 0.6 ł4
4 stopnia a �1, �1, �1 ł3
b �1, �1, �1 ł3
c �1, �1,�1 ł3
d �2,�2, �2 ł4
e �2, �2, �2 ł4
f �2, �2, �2 ł4