8. ELEMENTY PA
YTOWE I POWA
OKOWE
Ze względu na szerokie zastosowanie konstrukcji płytowych i powłokowych w budownictwie
prace nad formułowaniem coraz to efektywniejszych elementów skończonych płytowo-powłokowych
są ciągle kontynuowane. Poniżej przedstawimy tylko niektóre elementy skończone, wykorzystywane
do analizy płyt i powłok. Skoncentrujemy naszą uwagę na podstawowych krokach przy formułowaniu
takich elementów. Na wstępie przypomnimy równania teorii płyt, by ułatwić Czytelnikowi studiowanie
tego rozdziału. Na koniec zaproponujemy pewien sposób analizy powłok za pomocą płaskich
elementów tarczowo-płytowych.
8.1. Naprężenia i odkształcenia płyt cienkich (Kirchhoffa)
Płyta cienka jest obiektem dwuwymiarowym, takim że jej wymiary w kierunku osi x i y są
wielokrotnie większe niż jej grubość. Rysunek 8.1 przedstawia nieskończenie mały element płyty
zginanej, dla której płaszczyzna xoy jest równocześnie płaszczyzną obojętną (neutralną). W ysokość
przekroju pokrywa się z pełną grubością płyty t, podczas gdy inne wymiary wynoszą dx i dy. Płyta
cienka znajduje się w stanie zginania, gdy obciążenia działają w kierunku normalnym do jej
płaszczyzny.
Odkształcenia w płaszczyz
nie warstwy płyty są zdefiniowane, jak w płaskim stanie
naprężenia, za pomocą równań:
"u "u "u
µx = , µy = , µz = , (8.1)
"x "y "z
Z podstawowego założenia zginania płyt cienkich, według którego normalne do powierzchni
obojętnej pozostają proste i normalne w procesie deformacji wynika, że
Rozdział 8  Elementy Płytowe i Powłokowe 120
z,w
y,v
x,u
Mxy
Qx
Mxx
Rys. 8.1. Elementarny wycinek płyty
"w "w
u = -z Å" , v = -z Å" , (8.2)
"x "y
skąd po podstawieniu do (8.1) otrzymujemy zależności: odkształcenie  przemieszczenie
w postaci
"2w "2w "2w
µx = -z Å" , µy = -z Å" , Å‚xy = -2z Å" , (8.3)
"x2 "y2 "x"y
Zależność naprężenie - odkształcenia dla warstwy płyty jest identyczna, jak dla płaskiego
stanu naprężenia. Dla materiału izotropowego mamy więc:
à = D Å" µ (8.4)
gdzie przyjęto następujące oznaczenia:
1 ½ 0
îÅ‚
E 1- ½
ïÅ‚½
D = Å" 1 0 ,  = ,
1- ½2 ïÅ‚ 2
ïÅ‚
ðÅ‚0 1 
Dla materiału ortotropowego operator D ma postać:
E11 E12 0
îÅ‚
ïÅ‚E
D = E22 0 , (8.5)
21
ïÅ‚
ïÅ‚
0 0 E33
ðÅ‚
W prowadz
my wektor naprężeń uogólnionych, odpowiadających wartościom
Rozdział 8  Elementy Płytowe i Powłokowe 121
momentów zginających, przypadających na jednostkę długości płyty:
M = [Mxx,Myy,Mxy]T (8.6)
Jeżeli
E
Ãx = (µx + ½ Å" µy ), (8.7)
1- ½2
to uogólnione naprężenie Mxx wynika z całkowania wyrażenia
+t / 2 +t / 2
ëÅ‚
E "2w "2w
ìÅ‚
Mxx = - Ãx Å" z Å" dz = + ½ Å" Å" z2dz (8.8)
1- ½2 ìÅ‚ "x2 "y2 -t / 2
íÅ‚
-t / 2
Podobnie otrzymamy pozostałe składowe wektora uogólnionych naprężeń:
ëÅ‚
E t3 ìÅ‚ "2w "2w
Myy = + ½ Å" (8.9)
ìÅ‚
1- ½2 12 "y2 "x2
íÅ‚
Et2 "2w
Mxy = (8.10)
12(1- ½2)Å" "x"y
Przyjmijmy wektor uogólnionych odkształceń $ w postaci:
Ć = [Ćxx,Ćyy,Ćxy]T = [wxx,wyy,2wxy ]T, (8.11)
wówczas uogólniony operator dla naprężeń i odkształceń, oznaczony przez D, wynosi:
t3
D = D (8.12)
12
Otrzymujemy więc relację macierzową:
M = DĆ (8.13)
Relacje wynikające z transformacji osi współrzędnych dla wielkości uogólnionych są identyczne
z występującymi w płaskim stanie naprężenia. Może to być zademonstrowane przez całkowanie po
grubości płyty w postaci następującej sekwencji przekształceń:
Rozdział 8  Elementy Płytowe i Powłokowe 122
+t / 2 +t / 2 +t / 2
M' = - Ã' z Å" dz = - TÃz Å" dz = - TÃ Å"D Å" µ Å" z Å" dz (8.14)
-t / 2 -t / 2 -t / 2
ale ponieważ µ = -z$, wiÄ™c dalej:
+t / 2
t3
M' = TÃ Å"D Å" Ć z2 Å" dz = TÃ Å"D Å" Ć Å" = TÃ Å"M (8.15)
12
-t / 2
W idać wiÄ™c, że relacja miÄ™dzy M' i M jest taka sama, jak miÄ™dzy Ã' a Ã. By ustalić podobne
zależności między $' a $, możemy porównać podcałkowe wyrażenia określające wirtualny stan
energii odkształcenia. Otrzymamy ciąg przekształceń:
(´M' )T Ć' = ´MTĆ,
´MTTÃĆ' = ´MTĆ, gdzie Tµ = TÃ -T, (8.16)
Ć' = TµĆ,
Można także wykazać, że
D' = TÃ Å"D Å" TÃT, (8.17)
Jeśli rozpatrzymy równowagę wyciętego nieskończenie małego fragmentu płyty (rys. 8.2) z
uwzględnieniem sił poprzecznych Qx i Qy oraz obciążenia bz , to otrzymamy:
z równania równowagi "Pz =0:
"Qy
"Qx
bz = dxdy - Qxdy + (Qx + dx)dy - Qydx + (Qy + dy)dx = 0
"x "y
(8.18)
"Qx "Qy
+ + bz = 0
"x "y
z równania równowagi "My =0 względem osi y przy pominięciu efektów drugiego rzędu:
"Mxx "Myx
+ + Qx = 0 (8.19)
"x "y
Rozdział 8  Elementy Płytowe i Powłokowe 123
z
Qy
Qy+ dy
Myx
y
dy
Myx+
y y
Myy
dy
Myy+
x
Qx
Mxx
Mxx
dx
Mxx+
Mxy
x
dx
Mxy+
x
Mxy
Qx
Qy
Qx+ dx
x
bz
x
Myy
Myx
Rys. 8.2. Definicja sił wewnętrznych
i podobnie z równania równowagi "Mx =0:
"Myy "Mxy
+ + Qy = 0 (8.20)
"y "x
Ostatnie dwa równania pozwalają obliczyć siły poprzeczne z pochodnych momentów
zginajÄ…cych.
8.2. Wybrane elem enty płytowe
Naszkicujemy poniżej podstawowe założenia przyjęte podczas definiowania elementów
płytowych w lokalnym układzie współrzędnych. Pamiętajmy, że przy formułowaniu zadania
brzegowego zawsze staniemy przed problemem transformacji współrzędnych macierzy sztywności
czy wektora obciążeń z układu lokalnego do globalnego.
8.2.1. Niedostosowany elem ent prostokÄ…tny
Przedstawimy teraz jeden z najprostszych elementów płytowych, jakim jest niedostosowany
element prostokątny. Element ten, często zwany MZC od nazwisk jego twórców (Melosh,
Zienkiewicz, Cheung), nie spełnia warunków zgodności pochodnych na brzegach elementu. Jest
więc elementem niedostosowanym. Rysunek 8.3 pokazuje przyjętą geometrię elementu oraz
definicję stopni swobody węzłów.
W elemencie tym wektor przemieszczeń dowolnego punktu ma tylko jedną składową
u = [w]. (8.21)
Rozdział 8  Elementy Płytowe i Powłokowe 124
b)
a)
di1
3
di3
4 z
y
di2
x
2b
w
w1
y
2
2a
1
w1
x
Rys. 8.3. Element płytowy i definicja stopni swobody
Przyjmijmy trzy stopnie swobody w każdym z czterech węzłów:
"wi "wi
di = [di1 di2 di3]T = [wi - ]T (8.22)
"y "x
odpowiednie zaś obciążenie węzłowe wynosi:
pi = [pi1 pi2 pi3]T = [pzi Mzi Myi]T dla i=1,2,3,4 (8.23)
Funkcję aproksymującą przemieszczenia w przyjęto w postaci
w = c1 Å"1+ c2 Å" ¾ + c3 Å" · + c4 Å" ¾2 + c5 Å" ¾· + c6 Å" ·2 + c7 Å" ¾3 +
(8.24)
+ c8 Å" ¾· + c9 Å" ¾·2 + c10 Å" ·3 + c11 Å" ¾3· + c12 Å" ¾·3
Przypisane funkcje kształtu mają więc postać:
Ni = [Ni1 Ni2 Ni3] (8.25)
gdzie :
1
Ni1 = (1+ ¾0 )(1+ ·0 )(2 + ¾0 + ·0 - ¾2 - ·2 ),
8
1
Ni2 = Å"b·i Å"(1+ ¾0 )(1- ·0 )(1- ·0 )2, (8.26)
8
1
Ni3 = Å"b¾i Å" (1- ¾0 )(1+ ·0 )(1- ¾0 )2.
8
gdzie:
¾0 = ¾i Å" ¾, ·0 = ·i Å" ·, dla i=1,2,3,4
Rozdział 8  Elementy Płytowe i Powłokowe 125
Operator L, wynikający z (8.3), w którym opuszczono człon -z, ma postać:
îÅ‚
"2 "2 "2
L = (8.27)
ïÅ‚"x "y2 "x"y
2
ðÅ‚
i definiuje macierz B w postaci
îÅ‚
Ni1,xx Ni2,xx Ni3,xx
ïÅ‚N Ni2,yy Ni3,yy
Bi = LNi = (8.28)
i1,yy
ïÅ‚
ïÅ‚Ni1,xy Ni2,xy Ni3,xy
ðÅ‚
W szczególności dla węzła pierwszego macierz H wynosi
îÅ‚
3¾(1- ·)b2 0 (1- 3¾)(1- ·)ab2
1 ïÅ‚
Bi = = 3(1- ¾)·a2 - (1- ¾)(1- 3·)ba2 0 (8.29)
4a2b2 ïÅ‚
ïÅ‚(4 - 3¾2 - 3·2 )ab (1- ·)(1+ 3·)ab2 - (1- ¾)(1+ 3·)ba2
ðÅ‚
Uogólnione naprężenia wynoszą więc
M = DĆ = DÅ"B Å" d (8.30)
Dla materiałów izotropowych iloczyn D B jest macierzą prostokątną o wymiarze 3x12.
Fragment tej macierzy (pierwsza kolumna) jest następujący:
îÅ‚
3¾(1- ·)b2 + 3½(1- ¾)·a2&
Et3 ïÅ‚
DB = = (8.31)
ïÅ‚3½¾(1- ·)b2 + 3(1- ¾)·a2&
48a2b2(1- ½2 )
ïÅ‚
(4 - 3¾2 - 3·2 )ab&
ðÅ‚
(3x2)
Macierz sztywności elementu skończonego w układzie lokalnym otrzymamy z
1 1
T T
Ke = B D Å"B Å" dA = ab B Å"D Å"B Å" d¾d· (8.32)
A
-1-1
a równoważne obciążenia węzłowe od obciążeń lub początkowych odkształceń wyrażone są w
postaci :
Rozdział 8  Elementy Płytowe i Powłokowe 126
1 1
T T
Pb = B bz Å" dA = ab N Å"bz Å" d¾d·
A
-1-1
(8.33)
1 1
T T
P0 = B D Å" Ć0 Å" dA = ab B Å"D Å" Ć0 Å" d¾d·
A
-1-1
Jawną postać macierzy sztywności (8.32) dla tego elementu można przedstawić w postaci
sumy
Et3
Ke = (K1 + K2 + K3 + K4 ) (8.34)
12(1- ½2 )
Postaci macierzy K. podano poniżej :
6
îÅ‚
ïÅ‚
0 0
ïÅ‚
ïÅ‚- 6a 0 8a2
ïÅ‚
- 6 0 6a 6 sym.
ïÅ‚
ïÅ‚
0 0 0 0 0
ïÅ‚
b
ïÅ‚- 6a 0 4a2 6a 0 8a2
K1 =
6a2 ïÅ‚ - 3 0 3a 3 0 3a 6
ïÅ‚
0 0 0 0 0 0 0 0
ïÅ‚
ïÅ‚- 3a 0 2a2 3a 0 4a2 6a 0 8a2
ïÅ‚
ïÅ‚ 3 0 - 3a - 3 0 - 3a - 6 0 - 6a 6
ïÅ‚
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ïÅ‚
ïÅ‚- 3a 0 4a2 3a 0 2a2 6a 0 4a2 - 6a 0 8a2
ðÅ‚
6
îÅ‚
ïÅ‚6b 8b2
ïÅ‚
ïÅ‚
0 0 0
ïÅ‚
3 3b 0 6 sym.
ïÅ‚
ïÅ‚3b 4b2 0 6b 8b2
ïÅ‚
0 0 0 0 0 0
a
ïÅ‚
K2 =
6b2 ïÅ‚- 3 - 3b 0 - 6 - 6b 0 6
ïÅ‚
3b 2b2 0 6b 4b2 0 - 6b 8b2
ïÅ‚
ïÅ‚
0 0 0 0 0 0 0 0 0
ïÅ‚
ïÅ‚- 6 6b 0 - 3 - 3b 0 3 - 3b 0 6
ïÅ‚6b 4b2 0 3b 2b2 0 - 3b 4b2 0 - 6b 8b2
ïÅ‚
ïÅ‚
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ðÅ‚
Rozdział 8  Elementy Płytowe i Powłokowe 127
1
îÅ‚
ïÅ‚
b 0
ïÅ‚
ïÅ‚- a - 2ab 0
ïÅ‚
-1 - b 0 1 sym.
ïÅ‚
ïÅ‚- b 0 0 b 0
ïÅ‚
0 0 0 a 2ab 0
½
ïÅ‚
K3 =
ïÅ‚
2ab 1 0 0 -1 0 - a 1
ïÅ‚
0 0 0 0 0 0 - b 0
ïÅ‚
ïÅ‚
0 0 0 - a 0 0 a - 2ab 0
ïÅ‚
ïÅ‚ -1 0 a 1 0 0 -1 b 0 1
ïÅ‚
0 0 0 0 0 0 b 0 0 - b 0
ïÅ‚
ïÅ‚
a 0 0 0 0 0 0 0 0 - a 2ab 0
ðÅ‚
21
îÅ‚
ïÅ‚
3b 8b2
ïÅ‚
ïÅ‚- 3a 0 8a2
ïÅ‚
sym.
ïÅ‚- 21 - 3b 3a 21
ïÅ‚- 3b - 8b2 0 3b 8b2
ïÅ‚

ïÅ‚- 3a 0 - 2b2 3a 0 8a2
K4 =
ïÅ‚
15ab 21 3b - 3a - 21 - 3b - 3a 21
ïÅ‚
ïÅ‚- 3b 2b2 0 3b - 2b2 0 - 3b 8b2
ïÅ‚
3a 0 2a2 - 3a 0 - 8a2 3a 0 8a2
ïÅ‚
ïÅ‚- 21 - 3b 3a 21 3b 3a - 21 3b - 3a 21
ïÅ‚
3b - 2b2 0 - 3b 2b2 0 3b - 8b2 0 - 3b 8b2
ïÅ‚
ïÅ‚
3a 0 - 8a2 - 3a 0 2a2 3a 0 - 2a2 - 3a 0 8a2
ðÅ‚
Uogólnione naprężenia w wybranych punktach wynoszą:
M = D(B Å" d - Ć0 ) (8.35)
Naprężenia od zginania płyty są wyrażone w postaci
12z
à = [Ãx Ãy Äxy]= - M, (8.36)
t3
zaś siły ścinające w postaci:
Rozdział 8  Elementy Płytowe i Powłokowe 128
"Mxx "Myx
Qx = - - ,
"x "y
(8.37)
"Myy "Mxy
Qy = - - .
"y "x
8.2.2. Dostosowany elem ent prostokÄ…tny
Element ten zwany jest często BFS od pierwszych liter nazwisk autorów (Bogner, Fox, Schmit).
Ten czterowęzłowy element ma cztery stopnie swobody w każdym węz
le:
"wi "wi "2wi
di = [di1 di2 di3 ]T = [wi - - ]T (8.38)
"y "x "x"y
Rysunek 8.4 przedstawia przyjęte oznaczenia oraz stopnie swobody węzła i.
b)
a)
di1
z
di3
y
4 3
i
di2
di4
x
1 2
Rys. 8.4. Czworokątny dostosowany element płytowy
Przyjęte siły węzłowe określa wektor pi . :
pi = [pzi Mxi Myi Xxyi]T (8.39)
gdzie Xxyi . jest uogólnioną reakcją (drugi moment siły) odpowiadającą uogólnionemu
przemieszczeniu wi,xy. Tym samym funkcja przemieszczeń wybrana została zwielomianu szesnasto
składnikowego w następujący sposób:
Rozdział 8  Elementy Płytowe i Powłokowe 129
w = C1 + C2x + C3x2 + C4x3
+ C5y + C6xy + C7x2y + C8x3y
(8.40)
+ C9y2 + C10xy2 + C11x2y2 + C12x3y2
+ C13y3 + C14xy3 + C15x2y3 + C16x3y3
Przyjęta funkcja jest zupełną dziesięcio składnikową funkcją, zawierającą wyrażenia 3 stopnia
(nad linią przerywaną), uzupełnioną sześcioma składnikami pod tą linią. W tablicy 8.1 przedstawiono
zestawienie funkcji kształtu odpowiadających wszystkim szesnastu stopniom swobody tego
elementu.
Dalsze rozważania przebiegają podobnie jak w rozdziale poprzednim, dotyczącym elementu
niedostosowanego.
Tablica 8.1 Funkcje kształtu dla elementu BFS
J Nj j Nj
1 (1-3¾2+2¾3)(1-3·2+2·3) 9 (3¾2-2¾3)(3·2-2·3)
2 (1-3¾2+2¾3)(·-2·2+·3)b 10 -(3¾2-2¾3)(·2-·3)b
3 -(¾-2¾2+¾ 3)(1-3·2+2·3)a 11 -(¾2-¾3) (3·2-2·3)a
4 (¾-2¾2+¾ 3)(·-2·2+·3)ab 12 -(¾2-¾3)(·2-·3)ab
5 (3¾2-2¾3)(1-3·2+2·3) 13 (1-3¾2+2¾3)(3·2-2·3)
6 (3¾2-2¾ 3)(·-2·2+·3)b 14 -(1-3¾2+2¾3)(·2-·3)b
7 (¾2-¾3)(1-3·2+2·3)a 15 -(¾-2¾2+¾3)(3·2-2·3)a
8 -(3¾2-¾3)(·-2·2+·3)ab 16 -(¾-2¾2+¾3)(·2-·3)ab
Element BFS charakteryzuje się lepszą zbieżnością w obliczeniach płyt cienkich niż
niedostosowany element MZC. Ponadto zastosowane w nim wielomiany wyższego stopnia w
funkcjach kształtu umożliwiają paraboliczny rozkład sił wewnętrznych (momentów). Zauważmy
jednak, że wprowadzony w nim stopień swobody jako druga mieszana pochodna funkcji ugięcia
powoduje pewne ograniczenia jego zastosowań. W ymagana jest bowiem ciągłość tego parametru,
co w przypadku płyt o skokowo zmiennej grubości nie może być spełnione i element ten nie nadaje
się do tego typu zagadnień.
Rozdział 8  Elementy Płytowe i Powłokowe 130
8.2.3. Elem ent trójkątny
Na koniec tego krótkiego przeglądu elementów płytowych wspomnijmy jeszcze o elemencie
trójkątnym CKZ (Cheung, King, Zienkiewicz). Przyjmuje się w nim trzy węzły i po trzy uogólnione
przemieszczenia w każdym z tych węzłów (rys. 8.5). Stopnie swobody węzła są następujące:
"wi "wi
di = [di1 di2 di3 ]T = [wi - ]T, dla 1=1,2,3 (8.41)
"y "x
W tablicy 8.2 zestawiono założone funkcje kształtu. Funkcje te wyraża się we
współrzędnych naturalnych (polowych).
Tablica 8.2 Funkcje k s z t a łt u dla elementu trójkątnego CKZ
j Nj
1 ¾1+¾12¾2+¾12¾3-¾1¾22-¾1¾32
2 b3(¾12¾2+Ä…)-b2(¾3¾12+Ä…)
3 a3(¾12¾2+Ä…)-a2(¾3¾12+Ä…)
4 ¾2+¾22¾3+¾22¾1-¾2¾32-¾2¾12
5 b1(¾22¾3+Ä…)-b3(¾1¾22+Ä…)
6 a1(¾22¾3+Ä…)-a3(¾1¾22+Ä…)
7 ¾3+¾32¾1+¾32¾2-¾3¾12-¾3¾22
8 b2(¾32¾1+Ä…)-b1(¾2¾32+Ä…)
9 a2(¾32¾1+Ä…)-a1(¾2¾32+Ä…)
Rozdział 8  Elementy Płytowe i Powłokowe 131
¾1¾2¾3
Gdzie oznaczono Ä… = ,a1 = x23,a2 = x31,a3 = x12,
2
b1 = -y23,b2 = -y31,b3 = -y12,
Rys. 8.5. Trójkątny element płytowy
b)
a)
di1
z
di3
y
3
di2
1 2
x
Aby obliczyć współczynniki macierzy B, należy zróżniczkować wyrażenia na Ni.
z powyższej tablicy. Odpowiedni operator różniczkowy L ma znaną już postać (8.27). Informacje
na temat całkowania numerycznego po powierzchni trójkąta (wybór punktów próbnych i wag
kwadratur Gaussa) można znalez
ć w Dodatku B.
8.3. Elem ent trójkątny powłokowy
Zamiast rozważań nad klasycznymi teoriami powłok cienkich spróbujemy uprościć
rozumowanie i analizować dowolne powłoki za pomocą elementów przedstawionych wyżej i w
poprzednich rozdziałach. Przybliżając powłokę przenoszącą zarówno zginanie, jak i siły
membranowe za pomocą płaskich elementów trójkątnych, możemy posłużyć się superpozycją
znanych już elementów: płaskiego CST i płytowego CKZ. Składowe membranowe i składowe
pochodzące od zginania dla obu elementów zaznaczono na rysunku 8.6. Przyjmując tę
kombinację w każdym węz
le mamy pięć stopni swobody w lokalnym układzie współrzędnych.
Rysunek 8.7 przed stawia podział powierzchni powłoki na płaskie elementy trójkątne oraz
definiuje przemieszczenia wyrażone w lokalnym i globalnym układzie współrzędnych. Zauważmy,
że w globalnym układzie w każdym węz
le mamy po sześć stopni swobody (z tego faktu wynikają
pewne komplikacje, które omówimy dalej). Zanim więc dokonamy agregacji elementów
trójkątnych (rys.8.7), musimy dokonać transformacji składowych macierzy, wyrażając je w
globalnym układzie XYZ. Prawo transformacji dla składowych w węz
le i ma postać
Ć
di'= Ridi (i=1,2,3) (8.42)
Rozdział 8  Elementy Płytowe i Powłokowe 132
z
di2
y
3
j
di1
v
u
1 2
x
di3
z
di5
y
3
j
di4
w
1 2
x
Rys. 8.6. Trójkątny element powłokowy jako złożenie
elementu płaskiego i płytowego
W ektor d'i, ma pięć składowych i wyraża przemieszczenia węzła i w układzie lokalnym:
d i= [ d i1 d i2 d i3 d i4 d i5] (8.43)
zaś di. ma ich sześć i są one wyrażone w układzie globalnym w następująco:
di= [ di1 di2 di3 di4 di5] (8.44)
W idzimy więc, że macierz transformacji Ri o wymiarach 5x6 musi mieć następującą postać:
11 12 13 0 0 0
îÅ‚
ïÅ‚ 22 23 0 0 0
21
ïÅ‚
Ć
ïÅ‚
Ri = 31 32 33 0 0 0 (8.45)
ïÅ‚
0 0 0 11 12 13
ïÅ‚
ïÅ‚
0 0 0 21 22 23 (5x6)
ðÅ‚
Macierz ta zawiera cosinusy kierunkowe osi lokalnych (pionowych) w układzie globalnym. Znając
współrzędne węzłów 1 i 2, umiemy określić składowe wektora jednostkowego e'x w układzie
globalnym jako:
x12 x12 x12
11 = , 12 = , 13 = , (8.46)
L12 L12 L12
Podobnie współrzędne punktów 1 i 3 umożliwiają wyznaczenie wektora jednostkowego e13
(rys.8.7b), określonego w kierunku brzegu 1-3
Rozdział 8  Elementy Płytowe i Powłokowe 133
Rys. 8.7. Układy współrzędnych: lokalny i globalny
x13 y13 z13
Cx13 = , Cy13 = , Cz13 = , (8.47)
L13 L13 L13
W spółrzędne wektora jednostkowego w kierunku prostopadłym do płaszczyzny trójkąta, czyli w
kierunku osi z (e'z), są określane jako wynik unormowanego iloczynu wektorowego:
ex,xe13
ez ' = , (8.48)
sin¸
co określa nam składowe 31, 32, 33. W reszcie składowe wektora jednostkowego ey , otrzymujemy
jako
Rozdział 8  Elementy Płytowe i Powłokowe 134
ey '= ez,x Å" ex,, (8.49)
co z kolei określa 21, 22, 23. Podobnie macierz transformacji Ri. służy do wyrażenia składowych
obciążeń w układzie globalnym pi. jako funkcji składowych lokalnych p i.
T
Ć
pi = Ri pi' (8.50)
Taka podmacierz sztywności elementu K ij jest transformowana według następującego prawa:
T
Ć Ć
Kij = Ri K'ij Rj, i=1,2,3; j=1,2,3 (8.51)
Przekształcenie to buduje w układzie globalnym macierz sztywności (6x6) z macierzy (5x5).
Przedstawiony wyżej sposób analizy powłok za pomocą elementów płaskich ma jednak pewne
niedogodności. Przede wszystkim należy podkreślić, że aproksymacja geometrii powierzchni
zakrzywionych elementami płaskimi nigdy nie może być zadowalająca, nawet gdy zastosujemy
bardzo gęsty podział na elementy. Sformułowanie to ma jeszcze inną niedogodność, co wcześniej
sygnalizowaliśmy. Zauważmy bowiem, że macierze sztywności membranowej i zgięciowej
są budowane w lokalnym układzie współrzędnych elementu, pokrywającym się z jego płaszczyzną.
W układzie tym nie następuje sprzężenie obu stanów, ponieważ każdy z nich opisywany jest przez
inne stopnie swobody. Przed agregacją macierze te są transformowane do układu globalnego.
Macierz sztywności w układzie tym ma wymiar 6nx6n, gdzie n jest liczbą węzłów elementu. Jeżeli
sąsiednie elementy (przylegające do siebie) leżą w jednej płaszczyz
nie, to macierz taka jest
osobliwa. Jeżeli elementy sąsiednie tworzyć będą bardzo mały kąt (jak np. mało wyniosłe przekrycia
powłokowe), to macierz układu będzie z
le uwarunkowana. Pojawienie się osobliwości macierzy
sztywności lub jej złe uwarunkowanie prowadzi oczywiście do trudności w rozwiązywaniu układu
równań. W celu usunięcia osobliwości lub poprawienia uwarunkowania macierzy stosuje się szereg
technik. Poniżej omówimy jeden z takich sposobów, który jest łatwy do implementacji komputerowej.
W miejscu na głównej przekątnej, gdzie współczynnik sztywności jest równy zeru (lub jest bardzo
maÅ‚y), wpisuje siÄ™ fikcyjnÄ… sztywność skrÄ™cania K$ . W ten sposób otrzymujemy równanie typu K$·¸z
= 0. W artość K$ musi być na tyle duża, by nie pojawiły się wspomniane trudności, a przy tym na tyle
mała, by nie wpłynęła na pozostałe wyniki. W programach komputerowych wykorzystujących płaskie
elementy powłokowe przyjmuje się często fikcyjne współczynniki sztywności skręcania we wszystkich
elementach, niezależnie od tego, czy są one koplanarle, czy też nie, lub wymaga się od użytkownika
programu, by wskazał w danych
Rozdział 8  Elementy Płytowe i Powłokowe 135
te węzły, w których należy te współczynniki umieścić.
Pomimo trudności stosowania tych elementów do analizy konstrukcji powłokowych elementy te
są nadal często wykorzystywane i w wielu praktycznych zagadnieniach dają wyniki obarczone
małymi błędami.
Zwracamy jednak uwagę Czytelnika na konieczność ostrożnego posługiwania się płaskimi
elementami w analizie powłok małowyniosłych lub w analizie fragmentów konstrukcji leżących
w jednej płaszczyz
nie.
Zadania
1. W yznaczyć współczynniki macierzy we wzorze (8.33).
2. Dla elementu MZC wyznaczyć odpowiednie równoważne siły węzłowe w punkcie l od obciążenia
elementu przedstawionego na rysunku poniżej.
z
y
4
3
q
x
1 2
3. W ykonać zadanie 2 dla siły skupionej P przyłożonej w połowie boku 2-3.
4. Obliczyć K12 dla elementu MZC.
5. Dla elementu BFS obliczyć równoważne siły węzłowe w punkcie 3.
z
y
4
3
q
x
1 2