Maria Kotełko
Mechanika
i Wytrzymałość
Materiałów
                                       
Zadanie nr 32 - Dostosowanie kierunku Automatyka i Robotyka
do prowadzenia studiów niestacjonarnych
(z wykorzystaniem e-learningu)
Część I - Mechanika
Wykład 4.
1. Tarcie i prawa tarcia
2. Stożek tarcia
3. Tarcie cięgien  wzór Eulera
4. Tarcie przy toczeniu się ciał
2
Mechanika i &
Zjawisko tarcia Jeżeli będziemy powoli zwiększać siłę S, dojdziemy do stanu,
w którym równowaga nie będzie już możliwa. Zatem widzimy,
że wielkość siły tarcia jest ograniczona i nie może przekroczyć
pewnej maksymalnej wartości.
Q
Potencjalny
S = T
kierunek ruchu
S
m�
T= m�N
N = Q
3
Mechanika i &
Prawa tarcia (Coulomb i Moren)
1. Siła tarcia jest niezależna od wielkości stykających się ze sobą powierzchni i zależy jedynie od ich rodzaju.
2. Wielkość siły tarcia dla ciała znajdującego się w spoczynku może zmieniać się od zera do wartości
maksymalnej proporcjonalnej do nacisku normalnego N.
T Ł� m� �� N
ź - współczynnik tarcia statycznego ( spoczynkowego).
Gdy siła tarcia osiąga wartość maksymalną, tzn. tarcie jest całkowicie rozwinięte, mamy:
T =� m� �� N
3. W przypadku, gdy ciało ślizga się po powierzchni, siła tarcia skierowana jest zawsze przeciwnie do kierunku
ruchu. Wielkość jej zaś nie zależy ( w przybliżeniu) od prędkości poślizgu.
ó�
T =� m� �� N
ź - współczynnik tarcia kinetycznego
Tk jest w spoczynku. T
4
Mechanika i &
S
Układ równań równowagi w zagadnieniach tarcia
W przypadku ciała, którego wymiary są pomijalnie małe i sprowadza się je do punktu materialnego siły działające
na ciało można w przybliżeniu potraktować jako układ sił zbieżnych.
Q
S = T
n
��P =� 0 �� T =� S
ix
m�
i=�1
T= m�N
N = Q
n
��P =� 0 �� N =� Q
iy
i=�1
T =� m� �� N
5
Mechanika i &
n
Równia pochyła
��P =� 0 �� T =� Q ��sina�
ix
i=�1
y
n
��P =� 0 �� N =� Q ��cosa�
iy
Q
i=�1
Q cosa� Q sina�
x
T =� m� �� N ��Q��sina� =� m� ��Q��cosa�
T= m�N m�
a�
N
m� =� tga�
a�
R = Q
Jeżeli kąt a� jest zmienny i równia jest nachylona pod takim kątem a�, przy którym ciało zaczyna się zsuwać,
wówczas kąt ten nazywamy granicznym, a tangens a� jest równy współczynnikowi tarcia m�. Schemat ten wyjaśnia
sens fizyczny współczynnika tarcia oraz pojęcia kąta tarcia.
6
Mechanika i &
Kąt tarcia i stożek tarcia
Maks ymalny kąt międz y reakcją R a ki erunkiem
normalnej do powierzchni styku naz ywamy kątem
tarcia.
2Ć
Q
f� =� arctgm�
S = T
R
T
W
N
Miejsce geometryczne możliwych kierunków reakcji R, a więc i wypadkowej W
nazywamy stożkiem tarcia. Aby ciało sztywne pozostawało w równowadze
reakcja R musi leżęć w ewnątrz lub na pow ierzchni stożka tarcia. 7
Mechanika i &
Tarcie cięgien
T
ds = rdj�
dj�
j�
S2
S1
a�
r
Rozpatrzmy przypadek tarcia cięgna (np. liny) o bęben (koło). Cięgno znajduje się w płaszczyz
nie prostopadłej do
osi bębna. Ponieważ między powierzchnią bębna a powierzchnią cięgna występuje tarcie, to S1 jest różne od S2 .
Zakładamy S2 > S1 oraz że siła S osiągnęła maksimum, przy którym możliwa jest jeszcze równowaga.
8
Mechanika i &
Tarcie cięgien  wzór Eulera dla cięgien
Równania równowagi względem osi t i n:
dj�/2
S+dS dj�/2 S ��cos(�dj� / 2)�-�(�S +� dS)�cos(�dj� / 2)�+� dT =� 0
dj�
S2
dN -� S ��sin(�dj� / 2)�-�(�S +� dS)�sin(�dj� / 2)�=� 0
dT dN S
a� j�
S1
Po uwzględnieniu, że dla elementarnych kątów
dj� �� 0 �� cos (dj�/2) @� 1 i sin(dj�/2) �� 0
dj�/2
otrzymujemy zależności między elementarną siłą
tarcia dT oraz przyrostem siły dS:
j�
S2 >� S1 dj�
dT =� dS
dT=m�dN
dT =� m� �� dN
dN =� Sdj�
9
Mechanika i &
dj�/2
S+dS dj�/2
dj�
S2
dT dN S
a� j�
S1
dj�/2
j�
dT =� dS
S2 >� S1 dj�
dT =� m� �� dN
dT=m�dN
dN =� Sdj�
dS =� dT =� m� �� dN =� m� �� Sdj�
dS
dS
=� m� ��dj�
=� m� ��dj�
lnS =� m� ��j� +�C1
S �� ��
S
S =� C��em�j�
10
Mechanika i &
dj�/2
S+dS dj�/2
dj�
S2
dT dN S
a� j�
S1
S =� C �� em�j�
dj�/2
j�
S2 >� S1 dj�
dT=m�dN
Stałą całkowania C wyznaczamy z warunku: dla j� = 0 siła S = S1 skąd C = S1 oraz dla
j� = a� S = S2 otrzymujemy wartość siły S2 dla kąta opasania walca a� oraz współczynnika tarcia m�:
S2 =� S1 ��em�a�
Wzór Eulera dla cięgien
11
Mechanika i &
Opór przy toczeniu się ciał
Warunek równowagi momentów względem p. A:
r
Pr =� Nf
P
Pozostałe warunki równowagi:
G
P =� m�G N =� G
T A
N
- współczynnik oporu przy toczeniu [mm]
f
f
-Koło zacznie się toczyć
<� m�
- warunek, aby nie było poślizgu
P Ł� m�G
r
(bez poślizgu)
f
P Ł� G
- warunek, aby koło nie potoczyło się
f
r
>� m�
- Najpierw nastąpi poślizg
r
12
Mechanika i &