Zadania dodatkowe
Zadanie 1
W oparciu o definicje równości i inkluzji zbiorów oraz korzystając z odpowiednich praw logicznych,
udowodnij:
" × A = ".
Zadanie 2
Podaj kontrprzykłady uzasadniające, że poniższe równości nie zachodzą w ogólnym przypadku. Czy
istnieją takie zbiory A, B, C, dla których równości zachodzą?
(a) A *" (B × C) = (A *" B) × (A *" C),
(b) A )" (B × C) = (A )" B) × (A )" C).
Zadanie 3
Rozważmy zbiór A = {a, b, c, d} i określoną na nim relację
´ = {(a, c), (b, c), (a, a), (d, a), (d, d), (c, a), (b, a)}. Przedstaw reprezentacjÄ™ graficznÄ… tej relacji.
Zadanie 4
Określ warunki jakie muszą spełniać macierze relacji:
(a) antysymetrycznych,
(b) spójnych.
Zadanie 5
Rozważmy zbiór A = {a, b, c, d} i okreÅ›lonÄ… na nim relacjÄ™ ´ danÄ… diagramem (rysunek 12). Przedstaw
tę relację jako zbiór odpowiednich par uporządkowanych.
a b
c d
Rysunek 12
Zadanie 6
Określ, jakie własności ma relacja dana na rysunku 13.
a b
c d
Rysunek 13
Zadanie 7
Relację daną na rysunku 14 zmodyfikuj tak, aby była ona:
(a) zwrotna,
(b) przeciwzwrotna,
(c) symetryczna,
(d) asymetryczna,
(e) antysymetryczna,
(f) przechodnia,
(g) spójna.
a b
c d
Rysunek 14
Zadanie 8
Narysuj graf przykładowej relacji, która:
(a) jest zwrotna i nie jest przechodnia,
(b) jest przeciwzwrotna i nie jest symetryczna,
(c) jest przechodnia i nie jest przeciwzwrotna,
(d) jest asymetryczna i nie jest spójna,
(e) jest antysymetryczna i nie jest zwrotna.
Zadanie 9
Oznaczmy przez ´1 relacjÄ™ zadanÄ… grafem na rysunku 13 oraz przez ´2 relacjÄ™ zadanÄ… grafem na rysunku
14. Narysuj graf relacji będącej złożeniem relacji:
(a) ´1 ż ´1,
(b) ´1 ż ´2,
(c) ´2 ż ´1,
(d) (´1 ż ´2) 1,
(e) (´1 ż ´1) 1.
Zadanie 10
Udowodnij następujące własności charakteryzujące związki między działaniami na relacjach, a ich
rodzajami:
1. Suma dwóch relacji zwrotnych jest relacją zwrotną,
2. Iloczyn dwóch relacji zwrotnych jest relacją zwrotną,
3. Suma dwóch relacji symetrycznych jest relacją symetryczną,
4. Iloczyn dwóch relacji symetrycznych jest relacją symetryczną.