GEOFIZYKA STOSOWANA  wykład 4
Rozchodzenie się fal sejsmicznych w ośrodku dwuwarstwowym.
Dwie warstwy
- górna: prędkość fali V1, miąższość h
- dolna: prędkość fali V2, miąższość nieskończona
y
ródło wzbudzenia i detektor drgań umieszczone są na górnej
powierzchni pierwszej warstwy w odległości x od siebie.
x
z
ródło detektor
fala bezpośrednia
V1
h
fala odbita
fala ugięta
"
V2
fala bezpośrednia (DIR)
Propaguje po najkrótszej drodze - odcinku linii prostej łączącej
z
ródło z detektorem
x
V1
h
"
V2
Czas po jakim fala wzbudzona w chwili t = 0 dotrze do detektora
jest równy:
x
tDIR =
V1
fala odbita (RFL)
Fala odbita od granicy drugiej warstwy (fala refleksyjna)
 przechodzi przez warstwę pierwszą do granicy, po odbiciu
ponownie przechodzi przez górną warstwę docierając do
detektora:
kąt padania równa się kątowi odbicia,
drogi do i od granicy odbijającej są sobie równe,
punkt odbicia leży pod punktem środkowym odcinka X.
x
x/2 x/2
V1
h
dd
V2
2
x
�# ś#
2 �" + h2 1
ś# ź#
2
2
(x2 + 4h2)
�# #
tRFL = =
Czas propagacji jest równy:
V1 V1
fala ugięta (RFR)
Fala ugięta na granicy ośrodka drugiego (fala refrakcyjna):
przechodzi przez warstwę pierwszą padając na granicę warstwy
drugiej pod kątem krytycznym Śi ,
ulega załamaniu o 900 i porusza się po granicy warstwy drugiej z
prędkością V2,
do detektora dociera fala która powstaje na granicy ośrodków w
takim punkcie aby jej promień tworzył z normalną do płaszczyzny
kąt Śi.
x
V1
h
"
V2
Powstawanie fali czołowej na granicy refrakcyjnej
x
fala czołowa
V1
h
fala ugięta (refrakcyjna)
"
V2
V2
x
d d
h h
Śi
V1
Śi
I III
II
x  2d
V2
Droga fali składa się z trzech odcinków:
h
odcinka I - o długości przebywanego z prędkością V1
cosŚi
2hsinŚi
x -
odcinka II - o długości przebywanego z prędkością V2
cosŚi
h
odcinka III - o długości
cosŚi przebywanego z prędkością V1 �"
Pamiętając, że sin Śi = V1 / V2 możemy wyrazić
cosŚi poprzez prędkości fal V1 i V2:
V22 -V12
V12 V22 -V12
cosŚi = 1- sin2 Śi = 1- = =
V22 V22 V2
czas przejścia fali od z
ródła do detektora:
�# ś#
1 h 1 2 �" hsinŚi ź#
ś#
tRFR = 2 �" + x -
V1 cosŚi V2 ś# cosŚi ź#
�# #
po uwzględnieniu wartości cos Śi
1
2
2h(V22 -V12)
x
tRFR = +
V2 V1 �"V2
co można zapisać jako
x
tRFR = +t
V2 0
Funkcję opisującą zależność czasu dojścia fali do detektora
od jego odległości od z
ródła nazywamy hodografem fali.
Hodograf fali bezpośredniej jest linią prostą o nachyleniu
1/ V1 przechodzącą przez początek układu :
x
t =
DIR
V1
Hodograf fali odbitej jest hiperbolą mającą wierzchołek przy
odległości x=0 dla której czas propagacji t(0) = 2h / V1
1
2
(x2 + 4h2)
tRFL =
V1
Hodograf fali ugiętej jest linią prostą o nachyleniu 1/ V2
przecinającą oś czasu w punkcie t0
1
2
x
2h(V22 -V12)
1 1
tRFR = +t0 gdzie
t0 = = 2h -
V1 �"V2 V12 V22
V2
t(x)
DIR
RFL
RFR
t0
2h/V1
x
0
xkr xcross
Powstanie fali ugiętej zachodzi dopiero gdy kąt padania jest równy
kątowi krytycznemu więc funkcja tRFR (x) określona jest dla x e" xkr .
2hV1
xKR =
V22 -V12
Odcinek dla którego 0 d" x d" xKR - strefa cienia dla fali refrakcyjnej
Hodografy fali bezpośredniej i ugiętej przecinają się dla x = xcross.
Aby obliczyć xcross przyrównujemy czasy dojścia obu fal.
xcross xcross
= + t0
V1 V2
1 1
-
V12 V22
t0 V2 + V1
xcross = = 2h = 2h �"
1 1
V2 - V1
�# ś#
1 1
-
ś# - ź#
ś#
V1 V2
V1 V2 ź#
�# #
Porównując hodografy tych trzech fal stwierdzimy że:
" dla x < xCROSS najkrótszy czas propagacji ma fala
bezpośrednia i ona rejestrowana jest jako pierwsza.
" dla x = xCROSS fala bezpośrednia i fala refrakcyjna mają
identyczny czas propagacji
" dla x > xCROSS jako pierwsza do detektora dociera fala
refrakcyjna
" fala refleksyjna zawsze dociera do detektora dopiero po
tych dwóch falach, za wyjątkiem punktu x = xkryt, do
którego fala odbita i ugięta propagują po tej samej
drodze i z taką samą prędkością.
t(x) RFL
DIR
RFR
x
0 xkr xcross
SEJSMIKA REFRAKCYJNA
Sejsmika refrakcyjna to metoda określania
budowy ośrodka na podstawie pomiarów czasu
propagacji fal ugiętych na powierzchniach
granicznych warstw budujących dany ośrodek.
Warunkiem obserwowania fal ugiętych jest wzrost
prędkości fal sejsmicznych z głębokością, gdyż
tylko wtedy może zachodzić zgodnie z prawem
Snelliusa ugięcie o kąt 900 na granicy warstw
różniących się prędkością fal.
A. Ośrodek z jedną granicą uginającą zalegającą poziomo.
Czas przejścia fali ugiętej ze z
ródła do odbiornika odległego o  x :
1
2
x 2h(V22 -V12)
x 2h cosi xsin Ś 2h cos Ś
t = + = + = + Ś = i
V2 V1 �"V2 V2 V1 V1 V1
Punkt przecięcia przedłużenia linii hodografu fali refrakcyjnej
z osią czasu dla x = 0 oblicza się ze wzoru:
1
2
2h(V22 -V12)
t0 =
V1 �"V2
Wyznaczając hodograf fali refrakcyjnej w wyniku pomiarów
możemy wykorzystać go do wyliczenia głębokości zalegania
granicy refrakcyjnej oraz prędkości fali w warstwie granicznej.
PW G G G G G G G G
Prędkość fali w warstwie
V1 przypowierzchniowej:
h
"x1
V1 =
"t1
V2
Prędkość fali w warstwie
t(x)
drugiej (graniczna):
"x2
V2 =
"t2
"t2
t0
głębokość zalegania granicy:
"t1
V1V2 �" t0
h =
1
2
2(V22 -V12)
x
"x1 "x2
B. Ośrodek trójwarstwowy z dwoma granicami
refrakcyjnymi zalegającymi poziomo.
PW G
Ś1
Ś1
V1
h1
V2
Ś2 Ś2 h2 Ś2 Ś2
V3
Czas dojścia fali ugiętej na dolnej granicy refrakcyjnej:
2h1 2h2 x - 2h1tgŚ1 - 2h2tgŚ2
t = + +
V1 cosŚ1 V2 cosŚ2 V3
Wartość kątów Ś1 i Ś2 możemy obliczyć z prawa Snelliusa:
1
V2 V2
2
sin Ś2 = cosŚ2 = (1- sin2 Ś2) tgŚ2 =
V3
V32 -V22
sin Ś1 V1
=
sin Ś2 V2
skąd:
V1 V2 V1 V1
sin Ś1 = sin Ś2 �" = �" =
V2 V3 V2 V3
V32 -V12
V1
cos Ś1 = tgŚ1 =
V3
V32 -V12
V1
sinŚ1 =
V3
V2
sinŚ2 =
V3
Wzór na hodograf fali ugiętej na dolnej warstwie
�# ś# �# ś#
x 2h1 ś# 1 V1 2h2 ś# 1 V2
ź# ź#
t = + - �" tgŚ1ź# + - �" tgŚ2 ź# =
V3 V1 ś# cosŚ1 V3 V2 ś# cosŚ2 V3
�# # �# #
x 2h1 �# 1 sin2Ś1 ś# 2h2 �# 1 sin2Ś2 ś#
ś# ź# ś# ź#
= + - + -
V3 V1 ś# cosŚ1 cosŚ1 ź# V2 ś# cosŚ2 cosŚ2 ź#
�# # �# #
1 sin2 Ś 1- sin2 Ś cos2 Ś
ponieważ:
- = = = cosŚ
cosŚ cosŚ cosŚ cosŚ
2h1 cosŚ1 2h2 cosŚ2
x
więc:
t = + +
V3 V1 V2
Jest to równanie prostej o nachyleniu 1/V3 , przecinającej
oś czasu dla x = 0 w punkcie:
2h1 cosŚ1 2h2 cosŚ2
ti = t01 + t02 = +
V1 V2
Porównanie hodografu fali ugiętej na dolnej granicy refrakcyjnej
z hodografem fali ugiętej na górnej granicy.
2h1 V22 -V12
x 2h1cos i x
t(g) = + = +
V2 V1 V2 V1 V2
2h1 V32 -V12 2h2 V32 -V22
x
t(d ) = + +
V3 V1 V3 V2 V3
współrzędna punktu do którego obie fale docierają równocześnie:
2 2
x
2h1 V2 -V12 2h1 V32 -V12 2h2 V32 -V2
x
- = - -
V2 V3 V1 V2 V1 V3 V2 V3
2 2
h1 V2 -V12 h1 V32 -V12 h2 V32 -V2 ś#
2V2V3 �#
ś# ź#
x'cross = - -
V3 -V2 ś# V1V2 V1V3 V2V3 ź#
�# #
Dla x>x cros jako pierwsza do odbiornika dociera fala ugięta
na granicy dolnej
Interpretacja hodografów refrakcyjnych dla
"x1
układu trzech warstw z poziomymi granicami
V1 =
t(x)
"t1
"x2
V2 =
"t2
"x3
"t3
V3 =
"t3
"x3
V1
Ś1 = arcsin
"t2
t02
V3
V2
"x2
Ś2 = arcsin
V3
t01
V1 t01
h1 =
"t1
2cosŚ1
V2(t02 - t01)
h2 =
2cosŚ2
0
x
"x1
xcross x cross
C. Ośrodek wielowarstwowy z granicami refrakcyjnymi
zalegającymi poziomo.
Rozważania przeprowadzone dla ośrodka trójwarstwowego możemy
uogólnić na ośrodek wielowarstwowy.
Hodograf fali ugiętej na granicy n-tej warstwy opisuje wzór:
n-1
x 2hi cosŚi
tn = +
"
Vn i=1 Vi
Zarejestrowany hodograf dla całego odcinka x będzie się składał z
odcinków o malejącym nachyleniu równym 1/Vi a ich przedłużenia
dla x = 0 będą wyznaczały czasy t0i. Możemy więc wyznaczać Vi i hi
kolejno analogicznie jak w przypadku trójwarstwowym.
"xi Vi
t(x)
Vi = Śi = arcsin
t04
"ti Vn
t03
Vi(t0,i - t0,i-1)
t02
hi =
2cosŚi
t01
x
D. Ośrodek dwuwarstwowy  granica płaska, nachylona
x
h1
i
ą
V1
�
i
h2
V2
� < 10o
"
Równanie hodografu:
h1 h2 x - h1 tg(ą)- h2 tg(� )
t = + +
V1cos(ą) V1cos(� ) V2
Nachylenie hodografu fali ugiętej nie jest w tym przypadku równe
1/ V2 lecz 1/ V2p, gdzie V2p nazywamy prędkością pozorną.
SG
h2
ą = (i + � )
h1
i-�
i+�
� = (i - � )
�
hodograf fali propagującej  pod upad granicy
x sin(i + � ) h1cos(i + � ) h2 cos(i - � )
t+ = + +
V1 V1 V1
S G
h1
ą = (i - � )
i-�
h2
i+�
� = (i + � )
�
hodograf fali propagującej  z upadem granicy
x sin(i - � ) h1cos(i - � ) h2 cos(i + � )
t- = + +
V1 V1 V1
Hodografy t+ i t- mają nachylenie oraz czasy t0 równe:
1 sin(i + � ) 1
+
t+ : = t0 = (h1cos(i + � )+ h2 cos(i - � ))
+
V1 V1
VP
1 sin(i - � ) 1
-
t- : = t0 = (h1cos(i - � )+ h2 cos(i + � ))
-
V1 V1
VP
dla małych kątów upadu można przyjąć h1 H" h2 = h, skąd:
x sin(i + � ) 2hcos i cos�
t+ = +
V1 V1
z
h
x sin(i - � ) 2hcos i cos�
t- = +
�
V1 V1
z = h cos �
i wyrazić t0 poprzez  z :
2hcos i cos � 2z cos i
t0 = =
h z
V1 V1
�
Aby określić położenie granicy oraz rzeczywistą prędkość
graniczną należy wykonać pomiary dla przebiegu fali w obu
kierunkach zamieniając ze sobą miejscami punkt wzbudzenia i
punkt odbioru. Jest to metoda  hodografów zbieżnych .
t-(x) t+(x)
TW TW
"t+
"t-
"x- "x+
t0+
"t1 t0-
"t2
"x1 "x2
x
W2
V1
V1
�
V2
Ponieważ czas przebiegu fali z W1 do W2 musi być taki
sam jak z W2 do W1 więc hodograf t+(W2) = t-(W1) = TW
Z wykresu wyznaczamy:
"x+ "x-
"x1
"x2
V1A +V1B
+ -
VP = , VP = V1A = V1B =
V1 =
+ -
"t2
"t "t
"t1
2
t0+ t0-
1 sin(i + � ) V1
= i + � = arcsin
+ +
V1 �!
VP V
1 sin(i - � ) V1
= i - � = arcsin
- -
V1
VP V
-
+
V1t0
V1t0
�# ś#
h2 = 1
h1 =
ś#arcsin V1 + arcsin V1 ź#
i =
2cos i cos �
2cos i cos�
ś#
2
V2+ V2- ź#
�# #
�# ś#
1
ś#arcsin V1 - arcsin V1 ź#
� =
ś#
2
V2+ V2- ź#
V1
�# #
V2 =
sini
E. Ośrodek wielowarstwowy o nachylonych granicach
Równanie hodografu dla promienia ugiętego pod kątem 900 na granicy
n-tego ośrodka:
xsin�1 n-1 i (cosąi +cos�i)
tn = +
"h
V1 Vi
i=1
Vi  prędkość fali w i-tej warstwie
hi  miąższość i-tej warstwy pod punktem wzbudzenia
ąi  kąt jaki w i-tej warstwie tworzy z pionem promień fali propagującej w dół
�i  kąt jaki w i-tej warstwie tworzy z pionem promień fali propagującej w górę
AB
V1
1
�i
Vi
ąi i
n-1
ąn-1 Vn-1 �n-1
Vn
�i  arcsin (V1/ Vi)
�i  kąt upadu i-tej warstwy
warstwa wznosi się w kierunku od A do B
�i = �i - �
ąi = �i + �
i
i
warstwa zapada w kierunku od A do B
�i = �i + �i
ąi = �i - �i
F. Granica refrakcyjna z uskokiem
W przypadku gdy granica refrakcyjna przecięta jest uskokiem o
zrzucie "z na hodografie obserwujemy przesunięcie równoległe
części hodografu.
"z << h
t02
t01
"T = t02 - t01
V1 V1V2
h
"z E" "T
V22 -V12
"z
V2
Metody badania przebiegu płaskich granic refrakcyjnych
I. Metoda hodografów zbieżnych
Metoda hodografów
zbieżnych pozwala na
wyznaczenie przebiegu
granicy na odcinku CD.
Głębokość granicy pod
S1 S2 S1 i S2 wyznacza się
ekstrapolując przebieg
granicy poza odcinek
CD
C
D
II. Metoda hodografów rozbieżnych
Polega ona na pomiarach czasu
dojścia fali do punktów
położonych po obu stronach
centralnego punktu wzbudzenia.
Parametry granicy uginającej
wyznacza się, podobnie jak dla
GkL GkP
hodografów zbieżnych, z równań
obu gałęzi hodografu.
S
Metoda hodografów rozbieżnych
pozwala na wyznaczenie
C
D
E
przebiegu granicy na odcinku CD
F
i EF. Głębokość granicy pod S
wyznacza się interpolując
przebieg granicy na odcinku DE.
III. Metoda hodografów nabieżnych
Równanie j-tego hodografu:
W metodzie tej zestaw punkt
wzbudzenia  geofony przesuwa się
2z cos i
x sin(� + i)
j
t = +
w całości o stały krok "x.
j
V1 V1
2z cos i
j
t0 j =
V1
Gdy granica nie jest nachylona
t02
t01
wówczas czasy t0j dla każdego
hodografu będą takie same.
"x
z1
Gdy granica jest nachylona
z2
wówczas czasy t0j dla każdego
hodografu będą różne.
�
z2  z1 = "xsin�
Interpretacja hodografów nabieżnych
�# ś#
"x sin(i + � ) sin(i - � )ź#
ś#
"t = t02 - t01 = �" 2sin� cos i = "xś# -
V1 V1 V1 ź#
�# #
sin(i + � ) 1 sin(i - � ) 1
= =
+ -
V1 V1
Vp Vp
Z hodografów odczytujemy:
t01 t02
"t 1 1
= -
- +
"x
V V
1 p p
"t
oraz - i obliczamy:
Vp
"x
1 1 "t
= -
+ -
"x
Vp Vp
Dalsza interpretacja przebiega jak
w metodzie hodografów zbieżnych
Ciągłe profilowanie refrakcyjne
Aby uzyskać hodograf na odcinku wielokrotnie
przekraczającym długość rozstawu pomiarowego stosujemy
metodykę podobną jak w metodzie hodografów nabieżnych.
Przemieszczamy cały zestaw pomiarowy o odcinek "x tak by
kilka ostatnich geofonów na odcinku poprzednim stały się
początkowymi geofonami na odcinku następnym.
S1 G1 G2 Gk Gn-k Gn
S2 G1 G2 Gk Gn-k Gn
S3 G1 G2 Gk Gn-k Gn
"x "x
Uzyskujemy serię hodografów. Dla każdego kolejnego hodografu
wyliczamy poprawkę na podstawie czasów pierwszych
"ti(i = 1,2...p)
wejść w powtarzających się punktach.
t-(x)
H1 H2
H3 H4 Hp
x
K
1
(
"ti = [tni-)K + j - tij+1]
poprawka dla i-tego hodografu:
"
K
j=1
K- liczba geofonów pokrywających się na sąsiednich odcinkach
Czasy dla poszczególnych hodografów modyfikujemy dodając
kolejne poprawki:
i-1
t(i) (x) = t(i)(x)+
""tj
popr
j=1
Otrzymujemy w rezultacie zbiorczy hodograf tpopr(x) dla całego profilu
t-(x) Hp
H4
H3
H2
H1
x
Wykonując pomiary w kierunku odwrotnym otrzymujemy dwa
długodystansowe hodografy zbieżne.
t-(x)
x
Hodografy te można interpretować dla granic płaskich jak i niepłaskich