15. Zadania z analizy
1. Obliczyć całki nieoznaczone

1 2
(x3/2 - 3x3/4 + x2/5) dx (2 cos x - 5x) dx (2t + 1)2 dt t + dt
t
2. Obliczyć całki oznaczone

Ą 1/3 0 2 7
2
(sin x - tg x) dx (3t + 2)2 dt x(2x + 5) dx |2x - 1| dx |x - 5| dx
0 1 1 1 4
3. Obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykres funkcji, oś x-ów na podanym przedziale.
f(x) = 3x2 + 4; [-1, 1] f(x) = 2 sin x + 3 cos x; [Ą/4, Ą/2] f(x) = |x + 1|; [-2, 0]
4. Obliczyć całki stosując podane podstawienie.

(1 - 5x2)2/310x dx; u = 1 - 5x2 x cos(x2) dx; u = x2 sin3 t cos t dt; u = sin t
"

3
"
"
2t - 3 x
3
x2 x - 1 dx; u = x - 1 dt; u = t2 - 3t + 1 " , dx; u = x + 1
3
(t2 - 3t + 1)2 ( x + 1)5
5. Obliczyć całki

1
"
3x2(x3 + 1)12 dx (1 - x-2)(x + x-1)-3 dx 4 - 3x dx t9 sin t10 dt
0
"

2 " 1
t2 x
"
cos-3 t sin t dt dt t3 3 + t2 dt dx
"
-1 t + 2 0
1 + x
6. Obliczyć całki przez części.

x sin x dx x ln x dx xe-x dx arctg x dx arcsin 3x dx

Ą
"
sin(ln x) dx x ln(x + 1) dx t2 cos t dt cos t dt x sin 5x dx
0
7. Obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykres funkcji i oś x na podanym przedziale.
"
x
"
f(x) = x3 - x; [-2, 1] f(x) = ; [-1, 7] f(x) = tg x; [-Ą/4, Ą/6]
1 + x2
8. Znalez
ć pole obszaru ograniczonego pomiędzy wykresami funkcji.
(a) f(x) = x3, g(x) = x1/3 (b) y = x3 + x, y = 3x2 - x (c) y2 = x, x2 = 6x (d) y2 = 3x, y = x2 - 2x
9. Obliczyć objętość bryły przy podanej informacji o przekrojach.
(a) Podstawa jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych L1 i L2 długości 4. Przekroje prosto-
padłe do L1 są półkolami.
(b) Podstawa jest kołem o promieniu 2, a przekroje prostopadłe do ustalonej średnicy podstawy są
trójkątami równobocznymi.
10. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi x obszaru pod wykresem funkcji na podanym
przedziale.
"
f(x) = 1 + x2; [-1, 2] g(x) = cos x; [0, Ą/6]
11. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót elipsy x2/a2 + y2/b2 = 1 wokół osi x.
12. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi y obszaru pod wykresem funkcji na podanym
przedziale.
" "
" "
f(x) = 1 + x2; [0, 3] g(x) = sin(x2); [ Ą/2, Ą]
13. Pionowy otwór o promieniu 1/2 wydrążono przez środek kuli o promieniu 2. O ile zmniejszyła się
objętość ?