CAA
KA NIEOZNACZONA - ZADANIA cz.3
zastosowanie metody całkowania przez części
Przykłady


u = 2x v = cos x
1. 2x cos xdx = = 2x sin x - 2 sin xdx == 2x sin x + 2 cos x + c
u = 2 v = sin x


u = x2 v = 4x
4x 4x x24x 2
2. x24xdx = = x2 · - 2x · dx = - x4xdx =
4x
ln 4 ln 4 ln 4 ln 4
u = 2x v =
ln 4


u = x v = 4x
x24x 2 4x 4x x24x 2x4x 2
= = - (x · - dx) = - + 4xdx =
4x
ln 4 ln 4 ln 4 ln 4 ln 4 ln2 4 ln2 4
u = 1 v =
ln 4
x24x 2x4x 2·4x
= - + + c
ln 4 ln2 4 ln3 4


u = sin x v = ex
3. ex sin xdx = = ex sin x - ex cos xdx =
u = cos x v = ex


u = cos x v = ex
= ex sin x - (ex cos x - ex(- sin x)dx) =
u = - sin x v = ex

= ex sin x - ex cos x - ex sin xdx

Otrzymujemy równanie: ex sin xdx = ex sin x - ex cos x - ex sin xdx

Zatem: 2 ex sin xdx = ex sin x - ex cos x / : 2

ex sin x-ex cos x
A stÄ…d mamy ostatecznie: ex sin xdx = + c
2
Zadania
Stosując wzór na całkowanie przez części znalez
ć całki nieoznaczone:

1. x sin xdx = 2. 3x cos xdx = 3. x2 sin xdx =

4. (3x + 2) cos xdx = 5. xexdx = 6. (4 - x)exdx =

7. 3x2exdx = 8. x ln xdx = 9. (3 - 2x)3xdx =
"
x 3
10. x ln xdx = 11. dx = 12. (x5 - ) ln xdx =
cos2 x 4

13. (x3 - x - 1) ln xdx = 14. ln xdx = 15. ln2 xdx =

2x+3 ln xdx
"
16. dx = 17. = 18. (3x - 1)e2xdx =
3
sin2 x
x2

19. ln(3x + 1)dx = 20. x2 sin(x + 1)dx = 21. 5xcos(1-x)dx =
2 2

22. ex cos xdx = 23. ex sin xdx = 24. e2x sin(x - 1)dx =

x
2
25. e cos 2xdx = 26. sin(ln x)dx = 27. cos(ln x)dx =

28. sin 4x cos xdx = 29. sin 2x sin 3xdx = 30. cos(x + 1) cos 2xdx =

x2 sin x
31. x cos2 xdx = 32. 2x sinx dx = 33. dx =
cos3 x
mgr Dorota Grott CNMiKnO PG