Politechnika Świętokrzyska
Metody obliczeniowe
Grupa: 3ID13B
A117. Paweł Markiewicz
Dawid Majka
Różniczkowanie numeryczne - Różnica centralna
Jak wiadomo wartością pochodnej funkcji f(x) w danym punkcie jest współczynnik
kierunkowy prostej stycznej do danej funkcji w tym właśnie
punkcie. Przedstawia to poniższy rysunek.
Zaznaczyłem na nim także odcinek łączący 2 punkty f(x-dx) oraz f(x+dx) - jest to tzw.
różnica centralna. W metodzie tej wykorzystuje się przybliżenie że odcinek ten jest
równoległy do stycznej w punkcie f(x ), a więc kąt pochylenia tego odcinak i stycznej są takie
i
same. W wyniku tej metody otrzymujemy szereg punktów odpowiadających wartością (w
przybliżeniu) do wartości pochodnej w tych punktach F'(x) (do wartości dokładnej).
W przypadku gdy funkcja f(x) jest przedstawiona w postaci dyskretnej tzn. za pomocÄ… pewnej
ilości n punktów (x,f(x)) to w przypadku tej metody otrzymamy n-2 punkty wartości
pochodnej tej że funkcji. Jest to związane z tym iż dla pierwszego jak i ostatniego punktu nie
mamy poprzedniego jak i następnego punktu, którego moglibyśmy wykorzystać do naszych
obliczeń.
Tak obliczone wartości pochodnej w punktach można poddać dalszej obróbce, a mianowicie
aproksymacji lub interpolacji uzyskując w ten sposób równanie pochodnej. Równanie to w
zależności od wybranej metody może być przedstawione w postaci wielomianu lub funkcji
trygonometrycznych ewentualnie ich kombinacji.
Shemat Hornera - Obliczanie wartości wielomianu
Shemat Hornera jest najczęściej wykorzystywanym algorytmem do obliczania wartości
wielomianu, szczególnie w przypadku wielomianów wysokiego stopnia.
W metodzie tej wykorzystuje się przekształcenie wzoru tradycyjnego w inną postać
umożliwiającą szybsze wyznaczenie szukanej wartości. A mianowicie:
Jest to nic innego jak proces wyciągania x jako części wspólnej przed nawias, a następnie wyznaczanie
wartości tych nawiasów.
Ułamki łańcuchowe - obliczanie wartości pierwiastków kwadratowych
Ułamki łańcuchowe są to ułamki o piętrowym mianowniku rozwijane w nieskończoność o
charakterze cyklicznym. Poniższy rysunek pokazuje przykład takiego ułamka rozwiniętego
dla pierwiastka z liczby 3, oraz zapis skrócony, dla kilku innych liczb. W dziale Cyferki >>
znajduje się liczba pierwiastek z 2 rozwinięta w postaci takiego ułamka.
Poniższa funkcja pozwala na obliczanie ułamków łańcuchowych skończonych - o skończonej liczbie
ogniw.
2. Implementacja różniczkowania metodą Taylor a
ZADANIE nr: R
Przykład zadany (Implementacja w Python):
y = [ 0.000000, 0.198669, 0.389418, 0.564642, 0.717356, 0.841471, 0.932039]
tmp = [0, 0, 0, 0, 0]
h=0.2
for j in range(6):
for i in range(5-j):
y[i]=y[i]-y[i+1]
 tmp[j]=y[i]
wynik=(1/h)*(tmp[0]+((1/2)*tmp[1])+((1/3)*tmp[2])+((1/4)*tmp[3])+((1/5)*tmp
[4]))
print('Wynik: ',wynik)
blad=abs(1-wynik)
print('Blad: ', blad)
import time
3. Bibliografia
·ð http://galaxy.uci.agh.edu.pl/~ttward/numer/Ca%B3kowanie%20i%20r%F3%BFniczkowanie%
20numeryczne.pdf
http://progs-jp.w.interia.pl/numerki4.htm