LABORATORIUM Z PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN
ĆWICZENIE NR 3
WYZNACZANIE NIEOGRANICZONEJ WYTRZYMAA
OÅšCI PODSTAWY Z
BA
NA ZM
CZENIE DLA NAPR
śEC
GN
CYCH ÃF lim
Ã
Ã
Ã
1. Cel ćwiczenia
a) Zapoznanie się z metodą wyznaczania nieograniczonej wytrzymałości podstawy zęba na
zmęczenie dla naprę\
eÅ„ gnÄ…cych ÃF lim na stanowisku mocy zamkniÄ™tej;
b) Wyznaczenie rodziny krzywych zmęczeniowych oraz wartości nieograniczonej
wytrzymałości podstawy zęba na zmęczenie dla naprę\
eń gnących dla
Ã
Flim
prawdopodobieństwa zniszczenia P = 1% (wg dwóch metod).
2. Wprowadzenie
Podstawowym parametrem koniecznym do przeprowadzenia obliczeń sprawdzających
wytrzymałość zmęczeniową podstawy zęba na złamanie wg PN-ISO 6336/3 jest dopuszczalne
naprÄ™\
enie u podstawy zÄ™ba ÃFPlim dla zakresu nieograniczonej wytrzymaÅ‚oÅ›ci zmÄ™czeniowej dla
prawdopodobieństwa uszkodzenia P = 1% (czasem dopuszczalne naprę\
enie u podstawy zęba
dla zakresu ograniczonej wytrzymałości zmęczeniowej dla prawdopodobieństwa
Ã
FPN
uszkodzenia P = 1% ). Dopuszczalne naprÄ™\
enia u podstawy zÄ™ba ÃFPlim i ÃFPN odpowiednio dla
zakresu nieograniczonej i ograniczonej wytrzymałości na zmęczenie wyznacza się dla danej
nieograniczonej wytrzymałości podstawy zęba na zmęczenie dla naprę\
eń gnących się .
Ã
Flim
Wg PN-ISO 6336 wartością jest obliczeniowe naprę\
enie zginajÄ…ce u podstawy
Ã
Flim
zęba, jakie mo\
e przenieść materiaÅ‚ bez zÅ‚amania zÄ™ba przez co najmniej NF lim = 3 Å" 106 bazowej
liczby cykli obciÄ…\
enia przy zginaniu odzerowo tętniącym (rys. 1).
Dopuszczalne naprÄ™\
enia i oblicza się ze wzorów [1]:
à Ã
FPlim FPN
Y
= Ã Flim ST Y´relT Y RrelT Y X (1)
Ã
FPlim
S
Fmin
1
F
ëÅ‚ 3 Å" öÅ‚
106 m
= à ìÅ‚ ÷Å‚ (2)
Ã
FPN FPlim
ìÅ‚ ÷Å‚
N
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie:
- nieograniczona wytrzymałość zmęczeniowa podstawy zęba, tj. graniczna wartość trwale
Ã
Flim
przenoszonego miejscowego tętniącego naprę\
enia gnącego u podstawy zęba przy cykli
N
Flim
(wyznaczona doświadczalnie wg niniejszego ćwiczenia),
- współczynnik korekcji naprę\
eń,
Y ST
- minimalny wymagany współczynnik bezpieczeństwa ze względu na wytrzymałość
S
Fmin
podstawy zęba,
- względny współczynnik wra\
liwości na działanie karbu,
Y ´relT
- względny współczynnik stanu powierzchni obliczanego koła w odniesieniu do wymiarów
Y RrelT
2
kół-próbek,
- współczynnik wielkości koła zębatego,
Y X
N - liczba cykli obciÄ…\
enia w zakresie ograniczonej wytrzymałości na zmęczenie odpowiadająca
naprÄ™\
eniu,
- współczynnik kierunkowy pochylonej części wykresu Wöhlera we współrzÄ™dnych
m
F
logarytmicznych - mF = tg Ä… (z wykresu).
Rys. 1. Zakresy wytrzymałości statycznej ( N < NS ) i zmęczeniowej (ograniczonej ( NS d" N < Nlim ) i
nieograniczonej ( N e" Nlim )) podstawy zęba
Znając wartość dopuszczalnego naprę\
enia u podstawy zęba oraz współczynnika
Ã
FPlim
kierunkowego mF mo\
na wyznaczyć tak\
e dopuszczalne naprÄ™\
enie dla zakresu wytrzymałości
statycznej (rys. 1).
Ã
FPS
Np. dla stali nawęglanych, węgloazotowanych lub tylko hartowanych powierzchniowo,
azotowanych, \
eliw sferoidalnych i \
eliw szarych dla zakresu ograniczonej wytrzymałości na
zmÄ™czenie = 104 < N d" N Flim = 3 Å"106 dopuszczalne naprÄ™\
enie dla zakresu
N
S
wytrzymałości statycznej oblicza się ze wzoru
Ã
FPS
1 1
à Ã
FPS FPS
= ctg Ä… = lg = 0,2876 lg , (3)
ëÅ‚ öÅ‚
m à Ã
F N FPlim FPlim
Flim
lg ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
N
íÅ‚ S Å‚Å‚
gdzie
- teoretyczna graniczna liczba cykli, wg PN-ISO NF lim = 3 Å" 106 ,
N
Flim
- liczba cykli odpowiadajÄ…ca naprÄ™\
eniu .
N Ã
S FPS
Norma PN-ISO 6336/5 dopuszcza kilka ró\
nych sposobów wyznaczania nieograniczonej
wytrzymałości zmęczeniowej w zale\
ności od wybranej metody obliczania wytrzymałości zębów
kół zÄ™batych. I tak dla najdokÅ‚adniejszej metody A konieczne jest wyznaczenie wykresu Wöhlera
z badań rzeczywistych par kół zębatych w rzeczywistych warunkach eksploatacyjnych. Następna
metoda B stosowana jest dla dokładniejszych obliczeń, więc wymaga ona tak\
e danych
wytrzymałościowych uzyskanych z badań kół-próbek na specjalnych stanowiskach mocy
zamkniętej lub w ostateczności na pulsatorach. Dla pozostałych mniej dokładnych metod C i D
 3
wystarczają wartości nieograniczonej wytrzymałości na zmęczenie uzyskane z badania płaskich
próbek z karbem lub bez karbu (gładkich) przy zginaniu tętniącym.
Istnieje bardzo du\
o metod wyznaczania wykresu zmÄ™czeniowego Wöhlera dla próbek lub
rzeczywistych elementów maszyn. Ogólnie mo\
na je podzielić na badania przyspieszone (np.
Locati), standardowe (klasyczne) i pełne (statystyczne). Badania przyspieszone pozwalają na
wyznaczenie krzywej zmęczeniowej i wartości nieograniczonej wytrzymałości z mniejszą lub
większą dokładnością w stosunkowo krótkim czasie. Badanie standardowe umo\
liwia określenie
krzywej zmÄ™czeniowej oraz granicy wytrzymaÅ‚oÅ›ci ÃF lim tylko dla prawdopodobieÅ„stwa
zniszczenia zmęczeniowego równego 50%. Wykorzystując natomiast wyniki pełnych badań
zmęczeniowych mo\
na wyznaczyć rodzinę krzywych zmęczeniowych oraz wartości
nieograniczonej wytrzymałości na zmęczenie dla dowolnego prawdopodobieństwa
Ã
FlimP
zniszczenia P , odchylenie standardowe nieograniczonej wytrzymałości , średnią wartość
SÃ
Flim
lg N oraz odchylenie standardowe logarytmu trwałości na dowolnym poziomie naprę\
eń wraz z
funkcją rozkładu wytrzymałości nieograniczonej lub trwałości na dowolnym poziomie naprę\
eń.
W zale\
ności od wymagań co do jakości danych dla materiału na koła zębate mo\
na wybrać
dowolną metodę badań, przy czym projekt PN-ISO 6336/5 klasyfikuje wszystkie materiały wg
trzech stopni jakości: ML, MQ i ME (najni\
sza, średnia i najwy\
sza).
Do obliczeń sprawdzających wytrzymałość przekładni zębatych zalecana jest metoda B, tak
więc w niniejszym ćwiczeniu wyznaczenie wytrzymałości zmęczeniowej przeprowadza się dla
kół-próbek na stanowisku mocy zamkniętej (rys. 2).
Norma PN-ISO 6336/5 przewiduje następujące standardowe wymiary koła-próbki i standardowe
warunki robocze:
moduÅ‚ m = 3 ÷ 5 mm (YX = 1), przyjÄ™to m = 3 mm ,
kÄ…t pochylenia linii zÄ™ba ² = 0° ( = 1),
Y
²
zarys odniesienia wg ISO 53
szerokość wieÅ„ca b = 10 ÷ 50 mm , przyjÄ™to b = 18 mm ,
klasa dokładności wykonania: 4 do 7 wg ISO 1328 (PN-79/M-88522), przyjęto 6 klasę,
współczynnik korekcji naprę\
eń Y ST = 2 ,
parametr karbu qST = 2,5 (Y´relT = 1) ,
wysokość chropowatoÅ›ci przy podstawie zÄ™ba = 10 µm ( = 1),
R R
z RrelT
współczynniki obcią\
enia = KFÄ… = KF² = 1 .
K
A
4
Rys. 2. Schemat stanowiska badawczego (mocy zamkniętej)
1-przekładnia badana, 2-przekładnia zamykająca, 3-wałki skrętne, 4-wałek wejściowy,
5-sprzęgło napinające, 6-koła-próbki badane
W stanowisku mocy zamkniętej własnej konstrukcji zastosowano odległość osi a = 100 mm ,
dzięki czemu jest ono tak\
e wykorzystywane do badania wytrzymałości boku zęba na zmęczenie
stykowe (pitting) ÃHlim . PozostaÅ‚e parametry kół-próbek do badania wytrzymaÅ‚oÅ›ci podstawy zÄ™ba
na zmęczenie dla naprę\
eń gnących przyjęto następujące: z1 = 29 , z2 = 37 , x1 = 0 ,
Ã
Flim
x2 = 0,349 .
3. Metoda standardowa wyznaczania ÃF lim
Ã
Ã
Ã
Badanie standardowe na uzyskanie krzywej zmęczeniowej (dla zakresu ograniczonej
trwałości) na złamanie zmęczeniowe wymaga przeprowadzenia do 15 prób zmęczeniowych. W
pierwszej próbie zakłada się poziom naprę\
enia Ã1 = (0,5 ÷ 0,6)Rm . NastÄ™pny poziom zale\
y od
liczby cykli niszczących N1 pierwszego koła-próbki. W przypadku gdy N1 < 105 cykli wtedy
zaleca się przyjmować naprę\
enie dla drugiej próby Ã2 = Ã1 - 20 MPa , a w przeciwnym
przypadku Ã2 = Ã1 + 20 MPa . NaprÄ™\
enie trzeciej próby dobiera się zale\
nie od liczby cykli
niszczących pierwszej N1 i drugiej próbki N2 . Je\
eli N1 (lub N2 ) = 5 Å"104 ÷ 2 Å"105 cykli to
H" 0,8 Ã1 (albo H" 0,8 Ã2 ), natomiast je\
eli N1 (lub N2 ) > 2 Å" 105 to H" 0,9 Ã1 (albo
à à Ã
3 3 3
H" 0,9 Ã2 ). Kolejny czwarty poziom naprÄ™\
enia określa się na podstawie wyników poprzedniej
Ã
3
próby. Mianowicie je\
eli ząb trzeciej próbki wyłamał się zmęczeniowo przy liczbie cykli
N3 < 3 Å" 106 , to Ã4 = Ã3 - (20 ÷ 30)MPa . Je\
eli nie wyłamał się do granicznej (bazowej) liczby
cykli = 3 Å"106 , to przyjmuje siÄ™ Ã4 = 0,5 Å"(Ã1 + Ã3 ) dla przypadku gdy Ã1 > Ã2 , albo
N
Flim
Ã4 = 0,5 Å"(Ã1 + Ã2 ) gdy Ã2 > Ã1 . Poniewa\
wartość naprę\
enia Ã4 jest ju\
bliska wartości
nieograniczonej wytrzymałości zmęczeniowej , więc naprę\
enie dla piątego koła-próbki
Ã
Flim
przyjmuje siÄ™ na poziomie Ã5 = 0,5 Å"(Ã3 + Ã4 ), przy czym przy naprÄ™\
eniu Ã3 lub Ã4 powinna
ulec zniszczeniu zmęczeniowemu tylko jedna z poprzednich próbek przed osiągnięciem bazowej
liczby cykli. GranicÄ… nieograniczonej wytrzymaÅ‚oÅ›ci zmÄ™czeniowej (bazowÄ…) ÃF lim
odpowiadającą 50% prawdopodobieństwu zniszczenia jest rzędna punktu przecięcia się
 5
wyznaczonej linii trwaÅ‚oÅ›ci zmÄ™czeniowej wykreÅ›lonej w ukÅ‚adzie współrzÄ™dnych lg ÃF - lg NF
(lub rzadziej ÃF - lg NF ) z prostÄ… (pionowÄ…) lg N = lg N .
F F lim
Poniewa\
metoda ta nie pozwala na wyznaczenie granicy nieograniczonej wytrzymałości
zmÄ™czeniowej (bazowej) ÃF lim odpowiadajÄ…cej innemu ni\
50% prawdopodobieństwu
zniszczenia, więc nadaje się tylko do badań materiałów przeznaczonych na elementy maszyn
mniej odpowiedzialnych od kół zębatych, czyli takich gdzie wystarczy właśnie 50%
prawdopodobieństwo zniszczenia.
4. Metoda wyznaczania ÃF lim wg badaÅ„ peÅ‚nych (statystycznych)
Ã
Ã
Ã
Wyniki badań zmęczeniowych podlegają du\
ym rozrzutom i to tym większym im mniejszy
jest poziom naprÄ™\
enia. Głównymi przyczynami tego zjawiska są ró\
nice w mikrostrukturze
próbek, i to nawet pochodzących z tego samego wytopu oraz ró\
nice w ich technologii wykonania
oraz warunków badania. Dlatego te\
w celu uzyskania pełnych charakterystyk wytrzymałości i
trwałości zmęczeniowej materiału lub rzeczywistego elementu (dla dowolnych
prawdopodobieństw zniszczenia) nale\
y przeprowadzać badania statystyczne tj. badania większej
liczby próbek.
Planowanie takich badań oraz następna analiza wyników sprowadza się do następujących
etapów [2, 3]:
1) określenie parametrów metody badań (liczby poziomów), wybór stanowiska i wymiarów kół-
próbek,
2) planowanie badań (dobór odpowiedniej liczby kół-próbek w zale\
ności od wymaganej
dokładności badań),
3) wykonanie badań zmęczeniowych,
4) opracowanie wyników badań (analityczne bądz
wykreślne),
5) graficzne przedstawienie wyników badań (wykreślenie pełnego wykresu zmęczeniowego dla
ró\
nych prawdopodobieństw zniszczenia).
Do otrzymania rodziny krzywych zmęczeniowych badania nale\
y prowadzić przynajmniej na
pięciu poziomach naprę\
eń. W przeciwieństwie do badań standardowych, tutaj zaczyna dobierać
się wartości naprę\
eń od poziomu minimalnego. I tak minimalne naprę\
enia ustala siÄ™ tak, aby do
granicznej liczby cykli uzyskano (5 ÷ 15)% prób pozytywnych (zakoÅ„czonych wyÅ‚amaniem
N
Flim
zęba). Drugi poziom powinien zapewnić ju\
(40 ÷ 60)% wyników pozytywnych. NastÄ™pnie ustala
się maksymalną wartość naprę\
enia wykorzystujÄ…c ograniczenie na minimalnÄ… liczbÄ™ cykli
Ns = 104 i pozostałe poziomy naprę\
eń rozdziela się równomiernie w przedziale zawartym
między poziomem drugim i ostatnim. Wyniki tych badań umo\
liwiają wykreślenie rodziny
krzywych rozkÅ‚adu trwaÅ‚oÅ›ci we współrzÄ™dnych P - lg NF z parametrem ÃF (uwaga oÅ›
rzÄ™dnych P jest normalnÄ… siatkÄ… prawdopodobieÅ„stwa [2, 3, 5]) a nastÄ™pnie lg ÃF - lg NF (z
parametrem P ) [2, 3, 4].
Rodzinę charakterystyk nieograniczonej wytrzymałości zmęczeniowej odpowiadających
ró\
nym prawdopodobieństwom zniszczenia P (PN-ISO 6336 wymaga wartości dla
Ã
Flim
P = 1% ) wyznaczają rzędne punktów przecięcia się wyznaczonych linii trwałości zmęczeniowej
z prostÄ… pionowÄ… lg N = lg N .
F F lim
W trakcie badań zmęczeniowych wszystkie koła-próbki bada się na tym samym stanowisku,
kontrolując co pewien czas stabilność zadawanych poziomów naprę\
enia. Kryterium dla
6
wyznaczenia krzywych zmęczeniowych jest całkowite zmęczeniowe wyłamanie się zęba zębnika.
Mając na uwadze wpływ pittingowania się powierzchni zębów na ich wytrzymałość na złamanie,
nale\
y wykluczać z badań te pary kół-próbek, na zębach których sumaryczna powierzchnia
zniszczenia przekroczy 2% sumy czynnej powierzchni bocznej zębów współpracującej pary.
Innym powodem odrzucenia koła-próbki jest wystąpienie jamek pittingu na jednym zębie o
powierzchni przekraczajÄ…cej 8% jego czynnej powierzchni lub te\
pojawienie siÄ™ wykruszania
zęba w miejscu przełomu zmęczeniowego, czyli przy podstawie zęba.
5. Statystyczne opracowanie wyników badań
5.1. Analityczny sposób wyznaczenia wykresu zmęczeniowego w ujęciu probabilistycznym
Wykresy zmęczeniowe materiałów lub części maszyn w półlogarytmicznym lub logarytmicznym
układzie współrzędnych są w przybli\
eniu liniami prostymi, dzięki czemu opracowanie wyników
badań zmęczeniowych prowadzi się w ramach liniowych zale\
ności między rozpatrywanymi
parametrami. Zakłada się przy tym, \
e naprÄ™\
enia lub ich logarytmy są wielkościami
zdeterminowanymi, narzucanymi przy planowaniu badań. Wtedy logarytmy liczby cykli są
wielkościami losowymi o normalnym rozkładzie prawdopodobieństwa. Dla ustalenia zale\
ności
między naprę\
eniem lub logarytmem naprÄ™\
enia a logarytmem trwałości stosuje się analizę
regresji [2, 3, 4].
Równanie teoretycznej linii regresji przedstawia się w postaci (dla podwójnie logarytmicznego
układu współrzędnych):
· = ´ + ² Å"(x - x) (4)
gdzie · = E(Y x) jest warunkowÄ… wartoÅ›ciÄ… oczekiwanÄ… wielkoÅ›ci logarytmu trwaÅ‚oÅ›ci lg N = Y
przy ustalonym logarytmie naprÄ™\
enia lg à = X = x .
Oszacowaniem teoretycznej linii regresji jest doświadczalna linia regresji o równaniu
Y = a + b Å"(x - x) (5)
gdzie stałe regresji a i b wynoszą (dla m poziomów naprę\
enia i ni prób na i -tym poziomie
naprÄ™\
enia, i = 1,K, m ):
m m
- x) Å" yi
" yi "(xi
i=1 i=1
a = y = , b = , (6)
m
m
2
- x)
"(xi
i=1
ni
m
yi
"
"xi
j=1
i=1
x = , yi = , (7)
m ni
yi = lg Ni , xi = lg à . (8)
i
 7
Zało\
oną liniowość krzywej regresji sprawdza się za pomocą następującej zale\
ności:
2
F = s2 , (9)
s2
1
gdzie - uśredniona wariancja z próby, - wariancja dla doświadczalnej linii regresji
s2 s2
1 2
m ni
m
2
2
(yij - yi )
- Yi )
" "
" (yi
i=1 j=1
= , = . (10)
s2 s2 i=1
1 2
m
m - 2
- m
n
i
"
i=1
Je\
eli obliczona wartość F nie przewy\
sza wartości krytycznej F1-ą (odczytywanej z tablic
m
statystycznych) dla zadanego poziomu istotności ą i stopni swobody = - m oraz
k n
1 i
"
i=1
= m - 2 , to liniowość potwierdza się.
k
2
Uwaga: F = 2,77 dla k1 = 3 , k2 = 58 oraz 1 - Ä… = 5% .
Wtedy powy\
sze dwie wariancje mo\
na zastąpić jedną obliczaną ze wzoru:
2
m ni
(yij - Yi )
"
"
i=1 j=1
= (11)
s2
m
- 2
n
i
"
i=1
wykorzystywaną do określenia wariancji parametrów a i b równania doświadczalnej linii
regresji oraz wartości Y :
s2
s2
= = (12)
s2 s
a b
m
m
2
- x)
"(xi
i=1
2
2 2 2
sY = sa + sb Å"(x - x) . (13)
Hipotezę zerową o istnieniu związku między badanymi wielkościami sprawdza się za pomocą
testu t-Studenta. W tym celu oblicza siÄ™
b
t = , (14)
sb
które porównuje się z wartością tablicową tą,k odpowiadającą poziomowi istotności ą i liczbie
8
m
stopni swobody k = - 2 .
"ni
i=1
Uwaga: dla k > 30 tÄ…,k = z1-Ä… 2 ( z1-Ä… 2 - wg tablicy 1).
Jeśli t e" tą ,k , to hipotezę zerową przyjmuje się.
Przedziały ufności dla parametrów równanie teoretycznej linii regresji oblicza się z zale\
ności:
a - tÄ… 2,k Å" sa < ´ < a + tÄ… 2,k Å" sa , (15)
b - tÄ… 2,k Å" sb < ² < b + tÄ… 2,k Å" sb , (16)
Y - tÄ…/2,k Å" < · < Y + tÄ…/2,k Å" , (17)
s s
Y Y
gdzie - stablicowana wartość, którą zmienna losowa o rozkładzie t-Studenta i parametrze
tÄ…/2, k
(liczbie stopni swobody) k przekroczy z prawdopodobieństwem ą 2 . Do wykreślenia krzywych
zmęczeniowych odpowiadających ró\
nym prawdopodobieństwom zniszczenia (na i-tym
poziomie naprÄ™\
eń) nale\
y skorzystać ze wzoru:
Yi P = Yi + zP Å" si (18)
ni
2
(yi - yi )
" j
j=1
gdzie si2 = , Yi = a + b Å"(xi - x)
ni - 1
zP - kwantyl dla prawdopodobieństwa P (np. z1% = -2,326 , z99% = 2,326 .
Tablica 1. Wartości kwantyla zP dla prawdopodobieństwa P standardyzowanego rozkładu
normalnego i lognormalnego
P % P % P % P %
zP zP zP zP
0 - " 5 -1,645 50 0 97,5 1,960
0,01 -3,719 10 -1,282 60 0,253 99 2,326
0,1 -3,090 20 -0,842 70 0,524 99,5 2,576
0,5 -2,576 30 -0,524 80 0,842 99,9 3,090
1 -2,326 40 -0,253 90 1,282 99,99 3,719
2,5 -1,960 95 1,645 1 + "
5.2. Wykreślny sposób wyznaczenia wykresu zmęczeniowego w ujęciu probabilistycznym
W związku z wprowadzaniem nowych norm ISO do obliczania wytrzymałości kół zębatych
walcowych i sto\
kowych (odpowiednio ISO 6336 i ISO 10300) konieczne jest wyznaczanie
wytrzymaÅ‚oÅ›ci zmÄ™czeniowej kół-próbek ÃF lim1% dla 1 % prawdopodobieÅ„stwa zniszczenia.
Parametr ten jest rzędną punktu przecięcia się nachylonej prostej wykresu zmęczeniowego
odpowiadającej 1 % prawdopodobieństwu zniszczenia oraz prostej pionowej równej bazowej
liczbie cykli NF limb = 3 Å" 106 .
 9
Jedna z metod wyznaczania prostej nachylonej wykresu zmęczeniowego odpowiadająca
dowolnemu prawdopodobieństwu zniszczenia (oczywiście ró\
nemu od 50 %) opiera siÄ™ na
wykorzystaniu kwantyla potrzebnego prawdopodobieÅ„stwa w równoÅ›ci Yi P = Yi + zP Å" si (podanej
w poprzednim rozdziale). Bardziej praktyczna metoda polega na wykreślaniu na podstawie
wyników badań zmęczeniowych charakterystyk w układzie P% - lg NF ( P% -
prawdopodobieństwo zniszczenia) z parametrem poziomu naprę\
enia ÃF  rys. 3 [2, 4].
Rys. 3. Siatka prawdopodobieństwa dla rozkładu normalnego logarytmów trwałości
zmęczeniowej
Rzędnymi punktów wyznaczających rozkłady trwałości dla poszczególnych poziomów naprę\
eń
ÃF sÄ… prawdopodobieÅ„stwa zniszczenia koÅ‚a  próbki wyznacza siÄ™ ze wzoru [2, 3]:
i - 0,5
P = Å" 100 % , (19)
n
gdzie i jest liczbą porządkową próby, n - liczbą próbek badanych na danym poziomie naprę\
eń
ÃF . Kolejnemu prawdopodobieÅ„stwu wyznaczonemu z powy\
szego wzoru odpowiada logarytm
liczby cykli do zniszczenia uporządkowanych w szereg wartości rosnących dla tego samego
poziomu naprÄ™\
enia:
lg Ni d" lg Ni+1 . (20)
Mając taki wykres rozkładów logarytmów trwałości, w którym oś rzędnych ma podziałkę
prawdopodobieństw odpowiadających rozkładowi normalnemu [2, 5], mo\
na ju\
w prosty sposób
wykreślić właściwy wykres zmęczeniowy odpowiadający zadanemu prawdopodobieństwu
zniszczenia (rys. 4) [2, 3, 4].
10
Rys. 4. Wykres zmęczeniowy w ujęciu probabilistycznym
Uwaga: mo\
liwe jest tak\
e wykreślenie wykresu dla dwu lub trójparametrowego rozkładu
Weibulla trwałości zmęczeniowej [2, 5].
6. Literatura
1. Drewniak J.: Komputerowo wspomagane projektowanie przekładni zębatych, Wyd. Filii PA

w Bielsku-Białej, Bielsko-Biała 2000
2. Drewniak J.: Probabilistyczny model obliczeniowy trwałości zmęczeniowej elementów i
zespołów maszyn, Zeszyty Naukowe Politechniki A
ódzkiej, Filii w Bielsku-Białej, 7, 1992
3. Drewniak J., Tomaszewski J.: Badanie wytrzymałości zmęczeniowej materiałów na koła
zębate wg zaleceń normy ISO/DIS 6336/5, cz. 1, Wyznaczanie nieograniczonej
wytrzymałości podstawy zęba na zmęczenie dla naprę\
eń gnących à ; Zeszyty Naukowo-
F lim
Techniczne OBR REDOR, Bielsko-Biała, 1996
4. Drewniak J. (red.)., Laboratorium badania przekładni zębatych. Wydawnictwo PA
Filii
w Bielsku-Białej 2000
5. Smirnow M.N., Statistić eskie metody obrabotki rezul tatow mechanic eskich ispytanij.
Mas inostroenie. Moskwa 1985
6. Benjamin J. R., Cornell C. A.: Rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna i
teoria decyzji dla in\
ynierów, WNT Warszawa 1977
7. Müller L. PrzekÅ‚adnie zÄ™bate-badania, WNT Warszawa 1974
8. Kocańda S., Szala J.: Podstawy obliczeń zmęczeniowych, PWN 1985
9. Niezgodziński M. E., Niezgodziński T.: Obliczenia zmęczeniowe elementów maszyn, PWN,
Warszawa 1973
 11
7. Instrukcja wykonania ćwiczenia
Wyznaczenie nieograniczonej wytrzymałości podstawy zęba na zmęczenie dla naprę\
eń
gnÄ…cych ÃF lim dla dowolnego prawdopodobieÅ„stwa zniszczenia P przeprowadza siÄ™ wg
następujących punktów:
a) zapoznanie się z zało\
eniami badań (materiał kół-próbek, obróbka cieplno-chemiczna,
dokładność badań)  wpisanie danych do formularza pomiarowego, zapoznanie się z
zasadą działania stanowiska mocy zamkniętej, zapoznanie się z instrukcją BHP na
stanowisku, przygotowanie stanowiska do badań (sprawdzenie stanu kół zębatych w
skrzynce zamykajÄ…cej i Å‚o\
ysk tocznych, wałków, śrub mocujących, wymiana oleju w
skrzynkach badanej i napędzającej),
b) przyjęcie liczby próbek do badań zgodnie z planowaniem badań n = 60 ,
c) przyjęcie wartości naprę\
eń poszczególnych poziomów, np. dla kół-próbek wykonanych
ze stali 17HNM: Ã5 = 1150 MPa , Ã1 = 550 MPa , Ã2 = 700 MPa , Ã3 = 850 MPa ,
Ã4 = 1000 MPa , obliczenie momentów napinajÄ…cych sprzÄ™gÅ‚o stanowiska
odpowiadajÄ…cych naprÄ™\
eniom poszczególnych poziomów,
d) rozdziaÅ‚ caÅ‚kowitej liczby próbek na poszczególne poziomy (okreÅ›lenie ½i ) 
równomierny ( ½i = 0,2 dla i = 1,K,5 ) lub nierównomierny symetryczny (bardziej
prawidłowy),
n1 n5 n2 n4 n3
½1 = ½5 = = = 0,25 , ½2 = ½4 = = = 0,2 , ½3 = = 0,1,
n n n n n
e) przeprowadzenie badań zmęczeniowych kół próbek począwszy od poziomu najni\
szego
do poziomu najwy\
szego, zapisywanie wyników badań w tabeli 1 formularza
pomiarowego,
f) wykreślenie krzywych zmęczeniowych w ujęciu probabilistycznym (dwoma sposobami),
g) opracowanie formularza pomiarowego, analiza uzyskanych wyników i opracowanie
wniosków z badań.
12
Formularz pomiarowy
1. Parametry kół-próbek
moduł m =
liczba zębów zębnika z1 = liczba zębów koła z2 =
szerokość wieńca zębnika b1 = szerokość wieńca koła b2 =
współczynnik przesunięcia zębnika x1 = współczynnik przesunięcia koła x2 =
klasa dokładności wykonania
materiał
obróbka cieplno-chemiczna
protokół pomiarów metrologicznych
2. Wyniki badań zmęczeniowych
Tablica 2. Wyniki badań zmęczeniowych
Trwałość próbki nr na i -tym poziomie obcią\
eń
Poziom naprÄ™\
eÅ„ Ãi
Lp.
Ã1 = Ã2 = Ã3 = Ã4 = Ã5 =
1
2
3
4
5
6
7 xxxxxxxxxxx
8 xxxxxxxxxxx
9 xxxxxxxxxxx
10 xxxxxxxxxxx
11 xxxxxxxxxxx
12 xxxxxxxxxxx
13 xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx
14 xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx
15 xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx
 13
3. Wyznaczenie krzywej zmęczeniowej
3.1. Sposób analityczny
Tablica 3. Tablica pomocnicza do analitycznego wyznaczenia krzywej zmęczeniowej
Ãi Ni xi yi xi - x (xi - x)yi Yi yi - Yi
Suma XXXXX XXXX XXXX
X
2 2
m m
- x) = - Yi ) =
"(xi "(yi
i=1 i=1
Obliczenia pozostałe:
równanie doświadczalnej linii regresji:
.............................................................................................................................
przedział ufności dla teoretycznej linii regresji:
.............................................................................................................................
wyznaczenie równań kwantylnej krzywej zmęczeniowej dla P = 0,01 :
.............................................................................................................................
wyznaczenie nieograniczonej wytrzymałości podstawy zęba na zmęczenie dla naprę\
eń
gnÄ…cych ÃF lim odpowiadajÄ…cej prawdopodobieÅ„stwu zniszczenia P = 0,01 oraz P = 0,5 :
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
wykreślenie rozkładów logarytmów trwałości zmęczeniowych na siatce
prawdopodobieństwa dla rozkładu normalnego:
14
wykreślenie wykresu zmęczeniowego w ujęciu probabilistycznym:
3.2. Sposób wykreślny
Sposób ten omówiony jest w punkcie 5.2 instrukcji ćwiczenia.
wykreślenie wykresu P% = f (lg N) - (jak na rys. 3)
wykreślenie wykresu zmęczeniowego w ujęciu probabilistycznym:
porównanie wykresów, weryfikacja wyników obliczeń:
Rys. 5. Rysunek pomocniczy z siatką prawdopodobieństwa dla rozkładu normalnego
Data wykonania badania: ImiÄ™ i nazwisko Podpis
Wykonawca badań:
ZatwierdzajÄ…cy:
Opracował: J. Drewniak