Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne
Matematyka
Semestr II
Wykłady
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
1
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Przedmiot: MATEMATYKA
Kierunek: Mechatronika
Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa
Rozkład zajęć w czasie studiów Studia pierwszego stopnia
Liczba godzin Liczba godzin
Liczba tygodni Punkty
Semestr w tygodniu w semestrze
w semestrze kredytowe
W Ć L S Ł W Ć L S
II 15 1 2 45 15 30 4
Związki z innymi przedmiotami:
fizyka,
mechanika techniczna,
wytrzymałość materiałów,
podstawy konstrukcji maszyn,
elektrotechnika i elektronika,
automatyka i robotyka,
metrologia i systemy pomiarowe.
Zakres wiedzy do opanowania
Po wysłuchaniu wykładów przewidywanych programem oraz wykonaniu ćwiczeń student
powinien:
Znać
1) Definicje i podstawowe twierdzenia dotyczące zbioru liczb zespolonych, macierzy,
wyznaczników i układów równań liniowych.
2) Rachunek wektorowy, równania płaszczyzny i prostej w przestrzeni R3.
3) Definicje i podstawowe twierdzenia dotyczące wszechstronnego badania przebiegu
zmienności funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.
4) Podstawowe zagadnienia dotyczące rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych.
5) Podstawy rachunku całkowego (całka nieoznaczona, całka oznaczona, całki niewłaściwe,
całki wielokrotne i krzywoliniowe).
6) Kryteria zbieżności szeregów liczbowych, podstawowe twierdzenia dotyczące szeregów
funkcyjnych.
7) Sposoby rozwiązywania wybranych typów równań różniczkowych zwyczajnych
pierwszego i drugiego rzędu.
8) Elementy rachunku prawdopodobieństwa, podstawy statystyki matematycznej.
Umieć
1) Wykonywać działania na liczbach zespolonych i macierzach, obliczać wyznaczniki oraz
rozwiązywać układy równań liniowych metodą macierzową, za pomocą wzorów Cramera
oraz w oparciu o twierdzenie Kroneckera-Capellego.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
2
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2) Przeprowadzać wszechstronne badanie funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.
3) Wyznaczać całki nieoznaczone, obliczać całki oznaczone, podwójne, potrójne
i krzywoliniowe, stosować rachunek całkowy w geometrii i przedmiotach technicznych.
4) Wyznaczać ekstrema lokalne i warunkowe funkcji wielu zmiennych, badać zbieżność
szeregów liczbowych i funkcyjnych, rozwijać funkcje w szereg Taylora.
5) Rozwiązywać wybrane typy równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych
pierwszego i drugiego rzędu.
6) Obliczać prawdopodobieństwo zdarzeń losowych, wyznaczać estymatory i przedziały
ufności, stosować testy statystyczne do weryfikacji hipotez statystycznych.
Treść zajęć dydaktycznych
Nr Liczba godzin
Tematy i ich rozwinięcie
tematu Razem W Ć L S
Semestr II
1. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej rzeczywistej: 5 5
całka nieoznaczona, podstawowe twierdzenia, metody
całkowania, całkowanie funkcji wymiernych, niewymiernych
i trygonometrycznych, całka oznaczona (definicja według
Riemanna), podstawowe twierdzenia i własności całki
oznaczonej, całki niewłaściwe, zastosowania całki oznaczonej
w geometrii.
2. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych: zbiory 4 4
płaskie, definicja funkcji wielu zmiennych, granica i ciągłość
funkcji dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe, pochodne
funkcji złożonej, różniczka zupełna, pochodne cząstkowe
i różniczki zupełne wyższych rzędów, zastosowanie różniczki
zupełnej w rachunku błędów, wzór, Taylora, ekstrema funkcji
wielu zmiennych.
3. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych: definicja 4 4
i podstawowe własności całki podwójnej w obszarze
normalnym, całka potrójna, zamiana całek wielokrotnych na
całki iterowane, zamiana zmiennych, całki krzywoliniowe,
twierdzenie Greena, zastosowania geometryczne całek
wielokrotnych i całek krzywoliniowych.
4. Szeregi liczbowe i funkcyjne: definicja szeregu liczbowego, 2 2
kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych,
szeregi naprzemienne, szeregi liczbowe warunkowo
i bezwzględnie zbieżne, ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi
potęgowe, szereg Taylora.
Razem 15 15 -
I. Metody dydaktyczne
Przedmiot jest realizowany w formie wykładów i ćwiczeń rachunkowych na I i II roku
studiów. Pomoce dydaktyczne stanowią:
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
3
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
- literatura podstawowa i uzupełniająca do wykładów i ćwiczeń rachunkowych,
- dzienniczki studentów.
II. Forma i warunki zaliczenia przedmiotu
II-1. Forma i warunki zaliczenia wykładów
- obecność studenta na wykładach,
- uzyskanie pozytywnych ocen z 2 sprawdzianów pisemnych w ciągu semestru
przeprowadzonych w terminach uzgodnionych ze studentami,
- egzamin po I semestrze,
- zaliczenie z oceną po II semestrze,
- egzamin po III semestrze.
II-2. Forma i warunki zaliczenia ćwiczeń rachunkowych
- obecność studenta na ćwiczeniach,
- uzyskanie pozytywnych ocen z 2 sprawdzianów pisemnych w ciągu semestru
przeprowadzonych w terminach uzgodnionych ze studentami,
- zaliczenie z oceną.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
4
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
CAAKA NIEOZNACZONA
WII1
1. Definicja całki nieoznaczonej
2. Podstawowe twierdzenia
3. Metody całkowania
4. Całkowanie funkcji wymiernych
1. W rachunku różniczkowym rozwiązywaliśmy następujące zadanie: mając funkcję F(x)
znajdowaliśmy jej pochodną F 2 (x) = f (x). Obecnie rozwiążemy zadanie odwrotne: mając
daną funkcję f (x) będziemy znajdować funkcję F(x), której pochodna równa jest danej
funkcji.
Definicja
Funkcję F(x) taką, że jej pochodna równa się danej funkcji
f (x) dla x "(a, b) tzn. F 2 (x) = f (x)
nazywamy funkcją pierwotną funkcji f (x). Jeżeli dwie funkcje mają w pewnym przedziale
równe pochodne, to mogą różnić się co najwyżej o stałą
ł ł
'"(a, b)
ł
x " f 2 (x) = g2 (x) ! f (x) = g(x) + C, gdzie C - dowolna stałał
ł ł
ł łł
Z twierdzenia tego wynika, że jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną, to dowolna funkcja
pierwotna funkcji f (x) jest postaci G(x) = F(x) +C.
Definicja
Zbiór funkcji pierwotnych danej funkcji f (x) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji
f (x) i oznaczamy ją symbolem f (x)dx = F(x)+C
+"
(czytamy całka f (x) po dx ), gdzie F(x) oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f (x).
Funkcję f (x) nazywamy funkcją podcałkową, a liczbę C stałą całkowania. Wyznaczenie
funkcji pierwotnej nazywamy całkowaniem. Całkowanie jest działaniem odwrotnym do
różniczkowania. Należy jednak podkreślić, że całkowanie jest trudniejsze od
różniczkowania.
Twierdzenie
Każda funkcja ciągła w pewnym przedziale jest w tym przedziale całkowalna.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
5
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Twierdzenie
2
a) f (x)dx = f (x) ; b) f 2 (x)dx = f (x) + C .
[ ]
+" +"
Twierdzenie
Założenie: istnieją funkcje pierwotne funkcji f (x) i g (x).
Teza:
a) czynnik stały można wyłączyć przed znak całki k " f (x)dx = k f (x)dx k "R
+" +"
b) całka sumy równa się sumie całek f (x) + g(x) dx = f (x)dx + g(x)dx
]
+"[ +" +"
2. Metody całkowania
Całkowanie przez części
Jeżeli funkcje f , g "C1 X to f 2 x g x dx = f x " g x f x g2 x dx
( ) ( ) ( ) ( )- ( ) ( )
( )
p
+" +"
Całkowanie przez podstawianie (metoda zamiany zmiennych).
Jeżeli funkcja f jest całkowalna w przedziale (a,b) i funkcja x = g(t)"C1((ą, )) oraz
ą < g(t) < to f (x)dx = f [g(t)]g'(t)dt .
+" +"
3. Całkowanie funkcji wymiernych
Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów.
Fn x
( )
Jeżeli Fn x , Gm x są wielomianami stopnia n i m, gdzie n < m wówczas funkcję
( ) ( )
Gm x
( )
nazywamy funkcją wymierną właściwą, jeżeli natomiast n e" m , to funkcję tę nazywamy
funkcją wymierną niewłaściwą.
Funkcję wymierną niewłaściwą przedstawiamy w postaci sumy wielomianu i funkcji
wymiernej właściwej:
Fn x Rk x
( ) ( )
= Hn-m x + k < m
( ) ( )
Gm x Gm x
( ) ( )
Funkcję wymierną właściwą rozkładamy na sumę ułamków prostych, tzn. funkcji
wymiernych postaci:
An Anx + Bn
, , n "N gdzie " = b2 - 4ac < 0
n n
x
( - a
)
ax2 + bx + c
( )
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
6
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Całkowania ułamków prostych
A
1. dx = A" ln x - a + C ,
+"
x - a
Andx An 1
2. = " + C, n > 1
+" n n-1
1- n
x
( - a x
) ( - a
)
Literatura: P1. Roz. V, ż 5.1.1-5.1.4; P2. Roz. VIII; R. Roz. X, ż 10.1.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
7
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
WII2 CAAKOWANIE FUNKCJI NIEWYMIERNYCH I TRYGONOMETRYCZNYCH
1. Całkowanie funkcji niewymiernych
2. Całkowanie funkcji trygonometrycznych
1. Niech R u, v oznacza funkcję wymierną zmiennych u, v.
( )
ł ł
ax + b
1. x,n
+"Rł cx + d łdx , ad - bc `" 0.
ł ł
ł łł
ax + b
n
Podstawienie (sprowadzamy całkę do całki funkcji wymiernej) = t .
cx + d
2. R x, ax2 + bx + c dx
( )
+"
Podstawienia Eulera (na ogół nieefektywne, prowadzące do skomplikowanych całek
funkcji wymiernych)
ńł
a x ą t, a > 0
ł
łxt
ax2 + bx + c = + c, c > 0
ł
łt x - x1 , " > 0
( )
ł
ół
x1 jeden z pierwiastków trójmianu ax2 + bx + c .
Przypadki szczególne
f 2 x
( )
3. dx , podstawienie f x = t .
( )
+"
f x
( )
dx
4.
+"
ax2 + bx + c
Sprowadzamy trójmian ax2 + bx + c do postaci kanonicznej i otrzymujemy całki typu:
dt t dt
= arc sin + C lub = ln t + t2 + k + C .
+" +"
2
ą
ą - t2 t2 + k
Ax + B dx
( ) 1
5. podstawiamy x - ą =
+"
t
x ax2 + bx + c
( - ą)
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
8
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2. Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Całkę postaci R sin x, cos x dx , gdzie R jest funkcją wymierną zmiennych sin x, cos x
( )
+"
możemy zawsze sprowadzić do całki funkcji wymiernej stosując podstawienie (uniwersalne)
x
tg = t
2
Wówczas sin x, cos x, dx są funkcjami wymiernymi zmiennej t
2t 1- t2 2dt
sin x = , cos x = , dx =
2 2 2
1+ t 1+ t 1+ t
Przypadki szczególne
1. Jeżeli R sin x, cos x = -R sin x, cos x (R jest funkcją nieparzystą względem sin x ),
(-
) ( )
podstawiamy: cos x = t .
2. Jeżeli R sin x, - cos x = -R sin x, cos x (R jest funkcją nieparzystą względem cos x ),
( ) ( )
podstawiamy: sin x = t .
3. Jeżeli R x, - cos x = R sin x, cos x (R jest funkcją nieparzystą względem
(-sin
) ( )
sin x i cos x jednocześnie), podstawiamy: tg x = t .
Literatura: P1. Roz. V, ż 5.1.5, 5.1.6; P2. Roz. VIII.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
9
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
CAAKA OZNACZONA
WII 3
1. Definicja całki oznaczonej
2. Podstawowe własności całki oznaczonej
1. Definicja całki oznaczonej (wg Riemanna)
Niech f będzie funkcją określoną i ograniczoną w przedziale domkniętym a, b .
Dokonujemy podziału "n przedziału a, b (w sposób dowolny) na n podprzedziałów
xi-1, xi , i = 1, 2,..., n o długościach "xi = xi - xi-1. Następnie wybieramy (dowolnie) punkty
( )
n
pośrednie i " xi-1, xi oraz tworzymy sumę n (sumę całkową) n = f i "xi
( )
"
i=1
Ciąg podziałów " przedziału a, b nazywamy normalnym ciągiem podziałów, jeżeli
( )
n
lim n = 0 , gdzie n = max "xi .
n " 1d"id"n
Jeżeli ciąg n jest zbieżny do tej samej granicy, dla każdego ciągu podziałów normalnych
( )
"n , niezależnie od wyboru punktów pośrednich i , to funkcję f x nazywamy
( ) ( )
całkowalną w przedziale a, b , a granicę lim n nazywamy całką oznaczoną funkcji f x
( )
n "
b
w granicach od a do b i oznaczony symbolem f x dx :
( )
+"
a
b
n
lim n = lim f i "xi = f x dx
( ) ( )
"
+"
n " n "
i=1
a
a dolna granica całkowania, b górna granica całkowania.
a b a
Ponadto przyjmujemy, że f x dx = 0 oraz f x dx = - f x dx .
( ) ( ) ( )
+" +" +"
a a b
2. Podstawowe własności całki oznaczonej.
b b
1. Af x dx =A f x dx, A " R
( ) ( )
+" +"
a a
b b b
2. f x + g x = f x dx + g x dx
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]dx +"
+" +"
a a a
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
10
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
b c b
3. f x dx = f x dx + f x dx
( ) ( ) ( )
+" +" +"
a a c
b b
4. Jeżeli f x d" g x dla x " a,b , to f x dx d" g x dx
( ) ( ) ( ) ( )
+" +"
a a
5. Jeżeli f x jest funkcją ciągłą dla x " a,b , to istnieje " a, b takie, że
( )
b
f x dx = f b - a (twierdzenie o wartości średniej)
( ) ( )( )
+"
a
6. Jeżeli f x jest funkcją ciągłą w przedziale a,b oraz F x jest dowolną funkcją
( ) ( )
pierwotną funkcji f x w tym przedziale F2 x = f x , wówczas
( ) ( )
( ) ( )
b
f x dx = F b F a = F x (podstawowy wzór rachunku całkowego wzór
( ) ( )- ( ) ( )b
+"
a
a
Newtona - Leibniza)
7. Wzór na całkowanie przez części dla całki oznaczonej
Jeżeli f x , g x "C1 a,b to
( ) ( )
( )
b b
f 2 x g x dx = f x g x - f x g2 x dx
( ) ( ) ( ) ( )b ( ) ( )
+" +"
a
a a
8. Jeżeli f x jest funkcją ciągłą w przedziale a,b oraz
( )
x = t "C1 ą, , gdzie = a , = b , ponadto t " a,b gdy
( ) (ą) ( ) ( )
( )
t " ą, , wówczas
b
f x dx = f t 2 t dt (zamiana zmiennych w całce oznaczonej)
( ) ( ) ( )
[ ]
+" +"
a ą
Literatura: P1. Roz. V, ż 5.2.1, 5.2.2; P2. Roz. X; R. Roz. X, ż 10.2.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
11
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
CAAKI NIEWAAŚCIWE
WII 4
1. Całka niewłaściwa I rodzaju
2. Całka niewłaściwa II rodzaju
1. Całka niewłaściwa I rodzaju
1.1. Funkcja f jest określona i ograniczona dla x " a, b
)
b b-
oraz lim f x = + " , wówczas f x dx = lim f x dx .
( ) (- " ( ) ( )
)
+" +"
xb- 0+
a a
1.2. Funkcja f jest określona i ograniczona dla x " a, b
(
b b
oraz lim f x = + " , wówczas f x dx = lim f x dx .
( ) (- " ( ) ( )
)
+" +"
xa+ 0+
a a+
2. Całka niewłaściwa II rodzaju
" A
2.1. Funkcja f jest określona i ograniczona dla x " a, " , wówczas f x dx = lim f x dx .
) ( ) ( )
+" +"
A "
a a
2.2. Funkcja f jest określona i ograniczona dla x " - ", b , wówczas
(
b b
f x dx = lim f x dx .
( ) ( )
+" +"
B- "
- " B
2.3. Funkcja f jest określona i ograniczona dla x " "
(- ",
)
+ " c + "
Wówczas f x dx = f x dx + f x dx, c "R .
( ) ( ) ( )
+" +" +"
- " - " c
Całki niewłaściwe nazywamy zbieżnymi, gdy istnieją skończone granice definiujących
je całek oznaczonych. Całki niewłaściwe, które nie są zbieżne, nazywamy całkami
rozbieżnymi.
Literatura: P1. Roz. V, ż 5.2.3.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
12
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
WII 5 ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE CAAKI OZNACZONEJ
1. Pole figury płaskiej
2. Długość łuku krzywej płaskiej
3. Objętość bryły obrotowej
4. Pole powierzchni obrotowej
1. Pole figury płaskiej (rys. 1)
a) y = f x , f x e" 0 , x " a, b
( ) ( )
D: a d" x d" b
0 d" y d" f x
( )
b
D = f x dx
( )
+"
a
Rys. 1
b) y = f x , f x d" 0 , x " a, b (rys.2)
( ) ( )
D: a d" x d" b
f x d" y d" 0
( )
b
D = - f x dx
( )
+"
a
Rys. 2
2. Długość łuku krzywej płaskiej
Niech oznacza długość łuku krzywej płaskiej .
1. Krzywa określona jest równaniem y = f x w przedziale a, b , f x "C1 a, b
( ) ( )
( )
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
13
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
b
2
= 1+ f 2 x dx .
( )
[ ]
+"
a
2. Krzywa określona jest w postaci parametrycznej, x = t , y = t w przedziale
( ) ( )
ą, , , "C1 ą,
( )
2 2
= 2 t + 2 t dt .
( ) ( )
[ ] [ ]
+"
ą
3. Objętość bryły obrotowej
1. Objętość V bryły utworzonej przez obrót dokoła osi 0x krzywej określonej
równaniem y = f x w przedziale a, b , f x e" 0, f "C a, b :
( ) ( )
( )
b
2
V = Ą f x dx
( )
[ ]
+"
a
2. Objętość V bryły utworzonej przez obrót dokoła osi 0x krzywej określonej w postaci
parametrycznej x = t , y = t w przedziale
( ) ( )
ą, , gdzie t e" 0, , "C1 ą, :
( )
( )
2
V = Ą (t)] " (t)dt .
+"[ 2
ą
4. Pole powierzchni obrotowej
1. Pole powierzchni P bryły utworzonej przez obrót dokoła osi 0x krzywej
określonej równaniem y = f x w przedziale
( )
a, b , f x e" 0, f x "C1 a, b :
( ) ( ) ( )
b
2
P = 2Ą 1+ f 2 x f x dx .
( ) ( )
[ ]
+"
a
2. Pole powierzchni P bryły utworzonej przez obrót dokoła osi 0x krzywej
określonej w postaci parametrycznej x = t , y = t w przedziale ą, ,
( ) ( )
gdzie , "C1 ą, , jest funkcją monotoniczną, natomiast
( )
t e" 0 dla t " ą,
( )
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
14
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2 2
P = 2Ą 2 t + 2 t " t dt .
( ) ( ) ( )
[ ] [ ]
+"
ą
Literatura: P1. Roz. V, ż 5.2.2; P2. Roz. XI.
WII 6 FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
1. Funkcja dwóch zmiennych
2. Grania i ciągłość funkcji dwóch zmiennych
1. Funkcja dwóch zmiennych
Niech Z oznacza zbiór punktów P x, y płaszczyzny.
( )
Funkcją dwóch zmiennych z = f x, y x, y określoną w zbiorze Z nazywamy
( ( )
)
przyporządkowanie każdemu punktowi P x, y "Z dokładnie jednej liczby z " R (R zbiór
( )
liczb rzeczywistych) f : Z R
Litery x, y nazywamy argumentami (zmiennymi niezależnymi) z nazywamy wartością
funkcji (zmienna zależna), f jest symbolem funkcji, zbiór Z nazywamy dziedziną funkcji.
Jeżeli dziedzina funkcji f nie jest podana, wówczas przyjmujemy, że jest nią zbiór
wszystkich punktów P x, y ( par liczb x, y), dla których wzór f x, y ma sens (dziedzina
( ) ( )
naturalna).
2. Granica funkcji dwóch zmiennych
Definicje granicy funkcji
1. Definicja granicy funkcji dwóch zmiennych według Cauchy ego
Zakładamy, że funkcja z = f x, y jest określona w zbiorze D oraz P0 x0, y0 "D jest
( ) ( )
punktem skupienia zbioru D.
Liczbę g nazywamy granicą (podwójną) funkcji f x, y w punkcie P0 , jeżeli dla dowolnej
( )
(każdej) liczby > 0 istnieje taka liczba > 0 , że dla każdego punktu P x, y należącego
( )
do sąsiedztwa S0 punktu P0 o promieniu spełniona jest nierówność f x, y g < .
( )-
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
15
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
'"
'"0 ("0
lim f x, y = g ! > > P x, y " D
( ) ( )
xx0
y y0
2 2
0 < x - x0 + y - y0 < ! f x, y g <
( ) ( ) ( )-
2. Zbieżność ciągu punktów
Ciąg punktów Pn xn, yn jest zbieżny do punktu P0 x0, y0 , jeżeli lim xn = x0 i lim yn = y0 .
( ( ) ( )
)
n " n "
Oznaczamy lim Pn = P0 .
n "
3. Definicja granicy funkcji dwóch zmiennych według Heinego
Liczbę g nazywamy granicą (podwójną) funkcji f P = f x, y w punkcie P0 x0, y0 , jeżeli
( ) ( ) ( )
dla każdego ciągu punktów Pn xn, yn Pn "D , Pn `" P0
( ( )
)
zbieżnego do P0 , odpowiadający mu ciąg wartości funkcji f Pn = f xn , yn jest zbieżny
( ) ( )
( ) ( )
do g.
'"
lim f x, y = g ! Pn , Pn `" P0 lim Pn = P0 ! lim f Pn = g
( ) ( ) ( )
xx0 n " n "
y y0
Definicje granicy funkcji według Cauchy ego i Heinego są równoważne.
3. Ciągłość funkcji
Funkcję f (x, y) nazywamy ciągłą w punkcie Po (xo, yo ) , jeżeli lim f (x, y) = f (xo, yo ) , Po
xxo
y yo
należy do dziedziny funkcji.
Literatura: P1. Roz. VI, ż 6.1, 6.2; P2. Roz. XVA.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
16
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
WII 7 POCHODNE CZSTKOWE. POCHODNE CZSTKOWE WYŻSZYCH
RZDÓW
1. Pochodne cząstkowe
2. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
1. Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
Niech funkcja f x, y będzie określona w otoczeniu U0 punktu P0 x0, y0 oraz
( ) ( )
P1 x0 + "x, y0 , P2 x0, y0 + "y "U0 .
( ) ( )
f x0 + "x, y0 f x0, y0
( )- ( )
1. Jeżeli istnieje granica właściwa lim
"x0
"x
to nazywamy ją pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji f x, y względem x w
( )
punkcie P0 x0, y0 i oznaczamy symbolem
( )
"f "f
P0 lub x0, y0 bądz fx2 x0, y0
( ) ( ) ( )
"x "x
f x0, y0 + "y f x0, y0
( )- ( )
2. Jeżeli istnieje granica właściwa lim
"y0
"y
to nazywamy ją pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji f x, y względem zmiennej
( )
y w punkcie P0 x0, y0 i oznaczamy symbolem
( )
"f "f
P0 lub x0, y0 bądz f 2 x0, y0
( ) ( ) ( )
y
"y "y
W praktyce przy obliczaniu (wyznaczaniu) pochodnych cząstkowych korzystamy ze
wzorów na pochodne funkcji jednej zmiennej, zakładając, że druga zmienna jest parametrem
(stałą).
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
17
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
"f "f
Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu pochodnych , nazywamy pochodnymi
"x "y
cząstkowymi rzędu drugiego funkcji f x, y .
( )
" "f "2 f
ł ł
= = fxx2
2
ł ł
ł łł
"x "x
"x2
" "f "2 f
ł ł
= = f 2 2
ł ł
yx
ł łł
"y "x "y"x
ł ł
" "f "2 f
= = fxy2
2
ł ł
"x ł "y łł "x"y
ł ł
" "f "2 f
= = f 2 2
ł ł
"y ł "y łł "y2 yy
Pochodne f 2 2 i fxy2 nazywamy pochodnymi mieszanymi drugiego rzędu. Jeżeli f 2 2 i fxy2 są
2 2
yx yx
ciągłe w obszarze D to są sobie równe (twierdzenie Schwarza).
Pochodnymi cząstkowymi rzędu n nazywamy pochodne cząstkowe pochodnych rzędu n -1.
Funkcję f x, y nazywamy funkcją klasy Cn w zbiorze D f "Cn D , jeżeli ma ona w
( ) ( )
( )
zbiorze D ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu n włącznie.
Literatura: P1. Roz. VI, ż 6.3.1, 6.3.2; P2. Roz. XVB.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
18
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
WII 8 RÓŻNICZKA ZUPEANA. WZÓR TAYLORA.
1. Różniczka zupełna
2. Różniczki zupełne wyższych rzędów
3. Wzór Taylora
1. Różniczka zupełna
Dana jest funkcja z = f x, y mająca pochodne cząstkowe w punkcie P0 x0, y0 oraz punkt
( ) ( )
P x, y . Punkty P0, P należą do dziedziny funkcji f.
( )
Przyrostem funkcji f w punkcie P0 dla przyrostu argumentów "x, "y nazywamy
wyrażenie "f = f x0 + "x, y0 + "y f x0, y0 , gdzie "x = x - x0 , "y = y - y0 .
( )- ( )
"f
Wyrażenie dx f = x0, y0 "x nazywamy różniczką cząstkową funkcji f względem x w
( )
"x
"f
punkcie P0 dla przyrostu argumentu "x , analogicznie wyrażenie d f = x0, y0 "y
( )
y
"y
nazywamy różniczką cząstkową funkcji f względem y w punkcie P0 .
Sumę różniczek cząstkowych funkcji f w punkcie P0 nazywamy różniczką zupełną i
oznaczamy symbolem df x0, y0 (lub df)
( )
"f "f
df x0, y0 = x0, y0 dx + x0, y0 dy
( ) ( ) ( )
"x "y
gdzie dx = "x = x - x0 , dy = "y = y - y0 są różniczkami zupełnymi argumentów x, y.
Różniczką zupełną funkcji n zmiennych f = f x1, x2 , ..., xn nazywamy wyrażenie
( )
n
"f
df =
""x (P0)dxi
i
i=1
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
19
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
gdzie dxi = "xi = xi - x0i , i = 1, 2, ..., n .
Dla małych przyrostów argumentów "x , "y zachodzi następująca równość przybliżona
"f H" df .
Stąd otrzymujemy wzór na przybliżone obliczanie wartości funkcji
"f "f
f x, y H" f x0, y0 + x0, y0 "x + x0, y0 "y
( ) ( ) ( ) ( )
"x "y
gdzie "x = x - x0 H" 0 , "y = y - y0 H" 0 .
2. Różniczki zupełne wyższych rzędów
Zakładamy, że f "C2 D
( )
2
Różniczką zupełną drugiego rzędu funkcji f d f nazywamy różniczkę zupełną
( )
różniczki zupełnej tej funkcji
"2 f "2 f "2 f
2
d f = d df = dx2 + 2 dxdy + dy2
( )
"x2 "y"x "y2
2.2. Zakładamy, że f "Cn D
( )
n
Różniczką zupełną rzędu n funkcji f d f nazywamy różniczkę zupełną różniczki
( )
zupełnej rzędu n -1 tej funkcji
n
n n-1 n
d f = d d f
ł ł
( ), n = 2, 3, ... d f = ł nł "xn-k"yk dxn-kdyk
"ł kłł "n f
k =0
Zapis symboliczny (analogia do dwumianu Newtona)
n
( )
ł "f "f ł
n
d f = dx + dył
ł
ł "x "y łł
gdzie symbol n oznacza pochodną cząstkową n rzędu (odpowiednik n potęgi w
( )
dwumianie Newtona).
3. Wzór Taylora
Zakładamy, że funkcja z = f x, y ma ciągłe pochodne cząstkowe w otoczeniu U0
( )
punktu P0 x0, y0 oraz punkt P x, y "U0 . Wówczas istnieje punkt
( ) ( )
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
20
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
P1 x0 + x, y0 + y "U0 , 0 < < 1 taki, że
( )
2 n-1 n
df P0 d f P0 d f P0 d f P1
( ) ( ) ( ) ( )
f P = f P0 + + +...+ + ,
( ) ( )
1! 2! n
( -1 ! n!
)
gdzie różniczki zupełne obliczane są dla przyrostów dx = x - x0, dy = y - y0 .
Dla n = 2 wzór Taylora jest postaci
"f "f
f x, y = f x0, y0 + x0, y0 dx + x0, y0 dy +
( ) ( ) ( ) ( )
"x "y
ł
1 "2 f "2 f
+ ł x0 + x, y0 + y dx2 + 2 x0 + y, y0 + y dxdy +
( ) ( )
2 "x"y
ł "x2
ł
"2 f
x0 + x, y0 + y dy2 ł
( )
"y2 łł
W przypadku gdy punkt Po (0,0) , wzór Taylora nazywamy wzorem Maclaurina. Dla n =1
wzór Taylora nazywa się wzorem Lagrange a o przyrostach skończonych.
Literatura: P1. Roz. VI, ż 6.3.3.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
21
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
EKSTREMA FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
WII 9
1. Ekstrema lokalne funkcji
2. Wartość największa i najmniejsza funkcji
1. Ekstrema lokalne funkcji.
1. Warunek konieczny istnienia ekstremum
Jeżeli funkcja f x, y ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie P0 x0, y0 i ma
( ) ( )
w tym punkcie ekstremum, to
"f "f
P0 = 0, P0 = 0 .
( ) ( )
"x "x
Punkt P0 nazywamy wówczas punktem stacjonarnym (punktem krytycznym) funkcji
f x, y .
( )
2. Warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremum
Zakładamy, że funkcja f x, y ma w otoczeniu U0 punktu P0 x0, y0 ciągłe pochodne
( ) ( )
cząstkowe drugiego rzędu.
"2 f "2 f
"x"y
"x2
Niech W x, y =
( )
"2 f "2 f
"x"y
"y2
Funkcja f x, y ma w punkcie P0 x, y0 ekstremum, jeżeli spełnione są warunki
( ) ( )
"f "f
1) P0 = 0, P0 = 0
( ) ( )
"x "y
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
22
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2) W P0 > 0 .
( )
ł ł
"2 f "2 f
Ponadto, jeżeli P0 > 0 lub P0 > 0 to funkcja f x, y ma w punkcie P0 x0, y0
ł ł
( ) ( ) ( ) ( )
"x2 ł "y2 łł
"2 f "2 f
minimum, jeżeli P0 < 0 (lub P0 < 0 ), to funkcja f x, y ma w punkcie P0
( ) ( ) ( )
"x2 "y2
maksimum. Jeżeli W P0 < 0 , to funkcja f x, y nie ma ekstremum w punkcie P0 x0, y0 .
( ) ( ) ( )
Jeżeli W P0 = 0, wówczas funkcja f x, y może mieć ekstremum w punkcie P0 x0, y0 lub
( ) ( ) ( )
nie (należy np. badać znak przyrostu wartości funkcji w otoczeniu punktu P0 (definicja)).
2. Wartość największa i najmniejsza funkcji
Funkcja f x, y ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym D = D *" ( brzeg
( )
obszaru D ) przyjmuje wartość największą i wartość najmniejszą (ekstremum absolutne)
w tym obszarze
Sposób znajdowania wartości największej i wartości najmniejszej
a) Znajdujemy punkty stacjonarne leżące wewnątrz obszaru D (nie musimy badać istnienia
ekstremum w tych punktach) oraz obliczamy wartości funkcji f x, y w tych punktach.
( )
b) Wyznaczamy najmniejszą i największą wartość funkcji f x, y na brzegu obszaru D
( )
(badanie przebiegu zmienności funkcji jednej zmiennej).
c) Porównujemy otrzymane w a), b) wartości. Największa (najmniejsza) z nich jest
wartością największą (najmniejszą) w całym obszarze D .
Literatura: P1. Roz. VI, ż 6.4.1, 6.4.2; P2. Roz. XVC, D.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
23
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
CAAKI WIELOKROTNE
WII 10
1. Całka podwójna
2. Całka potrójna
1. Całka podwójna. Definicja
Niech f x, y będzie funkcją ciągłą w obszarze domkniętym D . Obszar D dzielimy w
( )
sposób dowolny na n obszarów częściowych 1, 2, ..., n o polach "1, "2, ..., "n . Niech
di oznacza średnicę obszaru i (największą z cięciw) oraz n = max di , n nazywamy
1d"id"n
średnicą podziału "n obszaru D . Ciąg podziałów "n obszaru D nazywamy normalnym
ciągiem podziałów, jeżeli lim n = 0 .
n "
n
Tworzymy sumę Sn = f Pi "i nazywaną sumą całkową.
( )
"
i=1
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów obszaru D ciąg sum całkowych Sn jest
( )
zbliżony do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów Pi , to granicę tę
nazywamy całką podwójną funkcji f x, y w obszarze D i oznaczamy symbolem
( )
n
f x, y d lub f x, y dxdy, czyli f x, y d = lim f xi , yi "i .
( )
( ) ( ) ( )
"
+"+" +"+" +"+"
n "
i=1
D D D
n 0
2. Całka potrójna
Definicja całki potrójnej jest analogiczna jak definicje całki oznaczonej i całki podwójnej.
Całkę potrójną oznaczamy symbolem
f x, y, z dV lub f x, y, z dxdydz
( ) ( )
+"+"+" +"+"+"
V V
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
24
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zamiana całki potrójnej na całkę iterowaną
Przestrzenny obszar domknięty V określony nierównościami
x
a d" x d" b , ą( ) ( ) ( ) ( )
x d" y d" x , x, y d" z d" x, y
gdzie ą, są funkcjami ciągłymi dla x " a, b oraz , są funkcjami ciągłymi w obszarze
D opisanym dwiema pierwszymi nierównościami, nazywamy obszarem normalnym
względem płaszczyzny 0XY.
Analogicznie określamy obszary normalne względem płaszczyzn 0XZ, 0YZ.
Jeżeli funkcja u = f x, y, z jest ciągła w obszarze Vx , to
( )
b
ńł( x) x, y) ł
ł( łł
ł ł
ł
f x, y, z dxdydz = f x, y, z dzśłdyżłdx
( ) ( )
ł
+"+"+" +" +" +"
ł( śł
łą( ) )
ł
Vx a x x, y
ł ł
ół ł
Literatura: P2. Roz. XVI, XVII.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
25
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
CAAKI KRZYWOLINIOWE
WII 11
1. Całka krzywoliniowa nieskierowana
2. Całka krzywoliniowa skierowana
3. Twierdzenie Greena
1. Całka krzywoliniowa nieskierowana. Definicja
Niech funkcja z = f x, y będzie określona na krzywej regularnej
( )
: x = t , y = t , t " ą, . Przedział ą, dzielimy na n podprzedziałów ti-1, ti
( ) ( )
i = 1, 2, ..., n . Wówczas długość "si i-tego łuku częściowego krzywej
( )
ti
2 2
"si = 2 t + ' t dt
( ) ( )
[ ] [ ]
+"
ti-1
Wybieramy punkty pośrednie i " ti-1, ti oraz tworzymy sumę n :
n
n = f xi, yi "si , gdzie xi = i , yi = i
( ) ( ) ( )
"
i=1
Jeżeli ciąg n jest zbieżny do tej samej granicy, dla każdego ciągu podziałów krzywej ,
( )
niezależnie od wyboru punktów i , to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową
nieskierowaną (pierwszego rodzaju) po krzywej i oznaczamy symbolem f x, y ds tzn.
( )
+"
n
lim n = lim f xi , yi "si = f x, y ds
( ) ( )
"
+"
n " n "
i=1
Związek między całką krzywoliniową a całką oznaczoną
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
26
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
1. Jeżeli funkcja z = f x, y jest ciągła na krzywej regularnej
( )
2 2
: x = t , y = t , t " ą, , wówczas f x, y ds = f t , t 2 t + ' t dt
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ] [ ] [ ]
+" +"
ą
2. Jeżeli funkcja z = f x, y jest ciągła na krzywej
( )
b
2
: y = g x , g x "C1 a, b , wówczas f x, y ds = f x, g x " 1+ g2 x dx
( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ] [ ]
( )
+" +"
a
2. Całka krzywoliniowa skierowana. Definicja
Zakładamy, że dany jest otwarty łuk zwykły skierowany L o przedstawieniu
parametrycznym x = t , y = t , t " ą, zgodnym z kierunkiem tego łuku. Ponadto dane
( ) ( )
są funkcje P x, y , Q x, y określone w każdym punkcie łuku L. Analogicznie jak całkę
( ) ( )
oznaczoną definiujemy całkę krzywoliniową skierowaną pary funkcji x, y ; Q x, y po
( ) ( )
[P ]
łuku L i oznaczamy symbolem P x, y dx + Q x, y dy .
( ) ( )
+"
L
Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę oznaczoną.
Jeżeli funkcje P x, y i Q x, y są ciągłe na łuku L spełniającym podane założenia,
( ) ( )
wówczas całka krzywoliniowa istnieje oraz
P x, y dx + Q x, y dy = P t , t 2 t + Q t , t 2 t dt
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ [ ] [ ] }
+" +"
L ą
Całkę krzywoliniową po krzywej zamkniętej Jordana skierowanej dodatnio (ujemnie)
względem swego wnętrza oznaczamy (odpowiednio)
P x , y dx + Q x , y dy lub P x, y dx + Q x , y dy
P x , y dx + Q x , y dy lub P x, y dx + Q x , y dy
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+" +"
+" +"
3. Twierdzenie (wzór) Greena
Jeżeli funkcje P x, y , Q x, y "C1 w obszarze normalnym D (względem osi 0x, 0y) oraz
( ) ( )
brzeg jest skierowany dodatnio względem wnętrza obszaru, wówczas
ł "Q "P ł
P(x,y)dx + Q(x,y)dy =
+" +"+"ł "x - "y ł
ł łdxdy
ł łł
D
Niezależność całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
27
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zakładamy, że funkcje P(x, y), Q(x, y) spełniają założenia twierdzenia Greena.
)"
Całka krzywoliniowa skierowana P(x, y)dx + Q(x, y)dy nie zależy od drogi całkowania AB
+"
)"
AB
"Q "P
(zależy tylko od punktów A i B) wtedy i tylko wtedy, gdy = w obszarze D.
"x "y
Literatura: P2. Roz. XVIII.
WII 12 ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE CAAEK WIELOKROTNYCH I
KRZYWOLINIOWYCH
1. Interpretacja geometryczna całki podwójnej
2. Zastosowania całki potrójnej do obliczania objętości bryły
3. Interpretacja geometryczna całki krzywoliniowej nieskierowanej.
4. Zastosowanie całki krzywoliniowej skierowanej do obliczania pola figury płaskiej.
1. Interpretacja geometryczna całki podwójnej
Jeżeli funkcja f x, y jest ciągła w obszarze D oraz f x, y e" 0, wówczas całka podwójna
( ) ( )
f x, y d jest objętością V bryły V o podstawie D, ograniczonej powierzchnią będącą
( )
+"+"
D
wykresem funkcji z = f x, y oraz powierzchnią walcową (rys. 1).
( )
Rys. 1
Jeżeli f x, y a" 1 dla x, y "D, wówczas przedstawia pole D obrotu D.
( ) ( )
+"+"d
D
2. Zastosowania całki potrójnej do obliczania objętości bryły
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
28
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Jeżeli f x, y, z a" 1 dla P x, y, z "Vx , to całka potrójna dxdydz jest objętością obszaru Vx
( ) ( )
+"+"+"
Vx
.
3. Interpretacja geometryczna całki krzywoliniowej nieskierowanej
a) Jeżeli f (x, y) =1 całka krzywoliniowa przedstawia długość łuku : = .
+"ds
b) Jeżeli funkcja f jest ciągła na łuku i f (x, y) > 0 to f (x, y)ds przedstawia z definicji
+"
część pola powierzchni walcowej (rys. 2).
Rys. 2
4. Zastosowanie całki krzywoliniowej skierowanej do obliczania pola figury płaskiej.
Jeżeli jest brzegiem obszaru normalnego względem osi Ox ,Oy D , skierowanego dodatnio
1
względem niego, to pole D tego obszaru wyraża się wzorem D = ydx + xdy.
+"-
2
Literatura: P2. Roz. XVI, XVII, XVIII.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
29
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
SZEREGI LICZBOWE
WII 13
1. Szereg liczbowy
2. Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych
3. Szereg naprzemienny
4. Szereg o wyrazach dowolnych
1. Szereg liczbowy
n
Dany jest ciąg an , an " R . Niech Sn = , n "N .
( )
i
"a
i=1
Ciąg Sn nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy symbolem
( )
"
= a1 + a2 +...+an +....
"an
n=1
"
Jeżeli lim Sn = lim a1 + a2 +...+an = S, S " R to szereg nazywamy zbieżnym, a
( )
"an
n=1
liczbę S nazywamy sumą szeregu.
"
Jeżeli nie jest zbieżny, to nazywamy go szeregiem rozbieżnym.
"an
n=1
Warunek konieczny zbieżności szeregu
"
Jeżeli jest zbieżny, to lim an = 0 .
"an
n "
n=1
2. Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych
1. Kryterium d`Alemberta
"
an+1
Jeżeli lim = q , to an > 0 jest zbieżny, gdy q < 1, natomiast rozbieżny, gdy
( )
"an
an
n=1
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
30
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
"
q > 1, jeżeli q = 1 kryterium d`Alemberta nie rozstrzyga o zbieżności .
"an
n=1
2. Kryterium Cauchy`ego
"
n
Jeżeli lim an = q, to an e" 0 jest zbieżny, gdy q < 1, natomiast rozbieżny, gdy
( )
"an
n=1
"
q > 1, jeżeli q = 1 kryterium Cauchy`ego nie rozstrzyga o zbieżności szeregu .
"an
n=1
3. Kryterium porównawcze
Jeżeli 0 d" an d" bn , dla n > n0, n, n0 " N, to
" "
a) ze zbieżności wynika zbieżność ,
"bn "an
n=1 n=1
" "
b) z rozbieżności wynika rozbieżność .
"an "bn
n=1 n=1
4. Kryterium całkowe
Jeżeli funkcja f x jest malejąca i dodatnia dla x " n0, " oraz f n = an dla
( ) ) ( )
"
"
n e" n0, n, n0 "N , to jest zbieżny (rozbieżny) wtedy i tylko wtedy, gdy f x dx jest
( )
"an
+"
n=n0
n0
zbieżna (rozbieżna).
3. Szereg naprzemienny
"
n+1
Szereg postaci
"(-1) an an > 0 nazywamy szeregiem naprzemiennym.
n=1
Kryterium Leibniza zbieżności szeregu naprzemiennego
"
n+1
Jeżeli an jest nierosnący i lim an = 0 , to szereg
( )
"(-1) an jest zbieżny.
n=1
4. Zbieżność bezwzględna (absolutna)
" "
Jeżeli an jest zbieżny, to jest zbieżny.
" "an
n=1 n=1
" "
Szereg nazywamy wówczas bezwzględnie zbieżnym, jeżeli natomiast jest
"an "an
n=1 n=1
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
31
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
"
zbieżny, a an jest rozbieżny, to nazywamy go warunkowo zbieżnym
"
n=1
Literatura: P1. Roz. VII, ż 7.1; P2. Roz. XXII.
WII 14
SZEREGI FUNKCYJNE. SZEREG POTGOWY
1. Ciąg funkcyjny
2. Szeregi funkcyjne. Zbieżność jednostajna
3. Szereg potęgowy. Promień zbieżności szeregu potęgowego.
1. Ciąg funkcyjny
Niech Uo oznacza nieparzysty podzbiór zbioru R (Uo " R) . Ciągiem funkcyjnym ( fn (x)) w
zbiorze Uo nazywamy przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej dokładnie jednej funkcji
określonej w Uo .
f1(x), f2 (x),..., fn (x),..., x "Uo . Funkcję fn (x) nazywamy n -tym wyrazem ciągu ( fn (x)) .
Definicja granicy ciągu funkcyjnego
Uo
lim fn (x) = f (x) ! /\ /\ \ / /\ ( fn (x) - f (x) < )
n " >0 x"Uo n>
Definicja jednostajnej zbieżności ciągu funkcyjnego ( fn (x)) do funkcji f (x)
Uo
lim fn (x) f (x) ! /\ \ / /\ /\ ( fn (x) - f (x) < )
=
n " >0 x"Uo n>
J
(Symbol J pod znakiem równości oznacza zbieżność jednostajną).
2. Szereg funkcyjny
Dany jest ciąg funkcyjny ( fn (x)) dla x"Uo .
Ciąg (Sn (x)) o wyrazach Sn (x) = f1(x) + f2 (x) + ...+ fn (x) nazywamy szeregiem funkcyjnym
"
i oznaczamy symbolem fn (x) lub f1(x) + f2 (x) + ...+ fn (x) + ...
"
n=1
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
32
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
"
Szereg fn (x) nazywamy zbieżnym w Uo jeżeli ciąg (Sn (x)) jest zbieżny w Uo .
"
n=1
Uo
Jeżeli lim Sn (x) = S(x) , to funkcję S(x) nazywamy sumą szeregu.
n "
" "
Jeżeli fn (x) jest zbieżny w Uo to fn (x) nazywamy bezwzględnie zbieżnym w tym
" "
n=1 n=1
zbiorze.
Uo "
Jeżeli lim Sn (x)
"
=S(x) to fn (x) nazywamy jednostajnie zbieżnym w Uo .
n "
J
n=1
Kryterium jednostajnej zbieżności Weierstrassa
Jeżeli istnieje m " N taka, że dla każdego n e" m , n "N i dla każdego x "U0 spełniona jest
"
nierówność fn x d" an oraz szereg liczbowy (majoranta szeregu funkcyjnego) jest
( )
"an
n=1
"
zbieżny, wówczas szereg funkcyjny fn x jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie w
( )
"
n=1
zbiorze U0 .
"
Można wykazać, że jeżeli szereg funkcyjny fn x jest jednostajnie zbieżny w zbiorze U0
( )
"
n=1
do funkcji f x i jego składniki fn x są funkcjami ciągłymi w punkcie x0 "U0 , to suma
( ) ( )
szeregu f x jest funkcją ciągłą w punkcie x0 .
( )
3. Szereg potęgowy
"
n
Szereg funkcyjny postaci x - x0 nazywamy szeregiem potęgowym o środku x0. Ciąg
( )
"an
n=0
"
an nazywamy ciągiem współczynników. Dla x0 = 0 szereg potęgowy jest postaci xn .
( )
"an
n=0
"
Liczbę r " R+ *" 0 taką, że xn jest zbieżny dla x < r , a rozbieżny dla x > r ,
{ }
"an
n=0
nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego.
Wzór na promień zbieżności
an+1
n
Jeżeli istnieje lim = g lub lim an = g, to promień zbieżności r szeregu potęgowego
an
"
xn wyznaczamy ze wzoru
"an
n=0
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
33
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ńł
0, gdy g = + ",
ł
1
ł
r = , gdy 0 < g < + ",
ł
g
ł
ł+ ", gdy g = 0.
ół
Literatura: P1. Roz. VII, ż 7.2.1; P2. Roz. XXIII.
WII 15 SZEREG TAYLORA
1. Szereg Taylora
2. Zastosowania szeregu Taylora
1. Szereg Taylora
Zakładamy, że funkcja f "C " U0 , gdzie U0 jest otoczeniem punktu x0 .
( )
Szeregiem Taylora dla funkcji f w otoczeniu U0 nazywamy szereg potęgowy postaci
n 2 n
(n) (n)
"
2 2 2
f (x0)(x - x0) f (x0)(x - x0) f (x0)(x - x0) f (x0)(x - x0)
= f (x0)+ + + ...+ + ...
"
n! 1! 2! n!
n=0
Szereg Taylora jest zbieżny do funkcji f (funkcja f jest sumą szeregu Taylora) dla tych
wartości x, dla których lim Rn x = 0 , gdzie Rn x jest resztą we wzorze Taylora.
( ) ( )
n "
Szczególnym przypadkiem szeregu Taylora jest szereg Maclaurina (dla x0 = 0 )
n n
( ) ( )
"
f 0 xn f ' 0 x f '' 0 x2 f 0 xn
( ) ( ) ( ) ( )
= f 0 + + +...+ +...
( )
"
n! 1! 2! n!
n=0
Przykłady rozwinięcia w szeregu Maclaurina wybranych funkcji.
'"R
x x2 xn
1. x " ex = 1+ + +...+ + ...
1! 2! n!
n-1
'"R
x3 x5 (-1) x2n-1
2. x " sin x = x - + + ... + + ...
3! 5! (2n -1)!
n
'"R
x2 x4 (-1) x2n
3. x " cos x = 1- + + ... + + ...
2! 4! (2n)!
ą łął łął łął
4. 1+ x = 1+ x + x2 +...+ł ł xn +... dla x " 1 , ą d" -1,
( ) ł ł ł ł (-1,
)
ł1 łł ł2 łł ł n łł
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
34
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
x " -1, 1 , -1 < ą < 0 ,
(
x " -1, 1 , ą > 0 .
2. Zastosowanie szeregu Taylora
Szereg potęgowy danej funkcji, która jest jednocześnie szeregiem Taylora dla tej funkcji,
możemy całkować i różniczkować wyraz po wyrazie .
Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zbieżności szeregu potęgowego, wówczas:
2
x
" " " "
ł ł ł ł
an
1.
n
"a łł " "an "nan
+"ł xnł dx = n +1xn+1 , 2. ł xnł = xn-1
ł ł łł
n=0 n=0 n=0 n=1
0
Szereg dany oraz szeregi całek i pochodnych mają ten sam promień zbieżności.
Powyższe twierdzenia możemy stosować np. do całkowania funkcji, których pierwotne nie są
funkcjami elementarnymi. W tym celu rozwijamy funkcję podcałkową w szereg Taylora
(Maclaurina) i całkujemy wyraz po wyrazie . Szereg Taylora (Maclaurina) możemy
stosować równanie do obliczania przybliżonej wartości funkcji z daną dokładnością.
Rozwijamy funkcję f w szereg Taylora, następnie podstawiając x = x0 ( x0 należy do
wnętrza przedziału zbieżności szeregu) otrzymujemy szereg liczbowy zbieżny do f x0 .
( )
Obliczając przybliżoną wartość f x0 bierzemy sumę tylu wyrazów szeregu liczbowego, aby
( )
otrzymać żądaną dokładność przybliżenia.
Literatura: P1. Roz. VII, ż 7.2.2, 7.2.3; P2. Roz. XXIII.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
35
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
II sem matematyka cwiczII sem matematyka cwiczMatematyka wykladMatematyka 2 wykładTikhonenko O Wykłady ze statystyki matematycznej Wykład 6Mechanika Budowli Sem[1][1] VI Wyklad 04Matematyka 2 wykładwięcej podobnych podstron