Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne
Matematyka
Semestr II
Ćwiczenia
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
1
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Przedmiot: MATEMATYKA
Kierunek: Mechatronika
Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa
Rozkład zajęć w czasie studiów Studia pierwszego stopnia
Liczba godzin Liczba godzin
Liczba tygodni Punkty
Semestr w tygodniu w semestrze
w semestrze kredytowe
W Ć L S Ł W Ć L S
II 15 1 2 45 15 30 4
Związki z innymi przedmiotami:
fizyka,
mechanika techniczna,
wytrzymałość materiałów,
podstawy konstrukcji maszyn,
elektrotechnika i elektronika,
automatyka i robotyka,
metrologia i systemy pomiarowe.
Zakres wiedzy do opanowania
Po wysłuchaniu wykładów przewidywanych programem oraz wykonaniu ćwiczeń student
powinien:
Znać
1) Definicje i podstawowe twierdzenia dotyczące zbioru liczb zespolonych, macierzy,
wyznaczników i układów równań liniowych.
2) Rachunek wektorowy, równania płaszczyzny i prostej w przestrzeni R3.
3) Definicje i podstawowe twierdzenia dotyczące wszechstronnego badania przebiegu
zmienności funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.
4) Podstawowe zagadnienia dotyczące rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych.
5) Podstawy rachunku całkowego (całka nieoznaczona, całka oznaczona, całki niewłaściwe,
całki wielokrotne i krzywoliniowe).
6) Kryteria zbieżności szeregów liczbowych, podstawowe twierdzenia dotyczące szeregów
funkcyjnych.
7) Sposoby rozwiązywania wybranych typów równań różniczkowych zwyczajnych
pierwszego i drugiego rzędu.
8) Elementy rachunku prawdopodobieństwa, podstawy statystyki matematycznej.
Umieć
1) Wykonywać działania na liczbach zespolonych i macierzach, obliczać wyznaczniki oraz
rozwiązywać układy równań liniowych metodą macierzową, za pomocą wzorów Cramera
oraz w oparciu o twierdzenie Kroneckera-Capellego.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
2
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2) Przeprowadzać wszechstronne badanie funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.
3) Wyznaczać całki nieoznaczone, obliczać całki oznaczone, podwójne, potrójne
i krzywoliniowe, stosować rachunek całkowy w geometrii i przedmiotach technicznych.
4) Wyznaczać ekstrema lokalne i warunkowe funkcji wielu zmiennych, badać zbieżność
szeregów liczbowych i funkcyjnych, rozwijać funkcje w szereg Taylora.
5) Rozwiązywać wybrane typy równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych
pierwszego i drugiego rzędu.
6) Obliczać prawdopodobieństwo zdarzeń losowych, wyznaczać estymatory i przedziały
ufności, stosować testy statystyczne do weryfikacji hipotez statystycznych.
Treść zajęć dydaktycznych
Nr Liczba godzin
Tematy i ich rozwinięcie
tematu Razem W Ć L S
Semestr II
1. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej rzeczywistej: 10 10
wyznaczanie całek nieoznaczonych za pomocą metody
całkowania przez części i metodą zamiany zmiennych,
wyznaczanie całek funkcji wymiernych, niewymiernych i
trygonometrycznych; obliczanie całek oznaczonych w oparciu
o twierdzenie Newtona-Leibniza; obliczanie pól figur
płaskich, objętości i pól powierzchni brył obrotowych,
długości łuku krzywej płaskiej.
2. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych: 8 8
wyznaczanie błędów wartości funkcji za pomocą różniczki
zupełnej, obliczanie przybliżonych wartości funkcji,
rozwijanie funkcji dwóch zmiennych według wzoru Taylora,
obliczanie ekstremów lokalnych, globalnych i warunkowych
funkcji dwóch zmiennych.
3. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych: obliczanie 6 6
całek podwójnych i potrójnych w obszarach normalnych,
obliczanie całek krzywoliniowych, obliczanie całek
krzywoliniowych za pomocą wzoru Greena, obliczanie pól
figur płaskich i objętości brył za pomocą całek wielokrotnych.
4. Szeregi liczbowe i funkcyjne: badanie zbieżności szeregów 6 6
liczbowych za pomocą kryteriów d Alemberta, Cauchy ego,
Leibniza oraz kryteriów porównawczego i całkowego,
obliczanie promieni i przedziałów zbieżności szeregów
potęgowych, obliczanie całek nieelementarnych za pomocą
rozwinięcia funkcji podcałkowych w szereg Taylora.
Razem 30 30
I. Metody dydaktyczne
Przedmiot jest realizowany w formie wykładów i ćwiczeń rachunkowych na I i II roku
studiów. Pomoce dydaktyczne stanowią:
- literatura podstawowa i uzupełniająca do wykładów i ćwiczeń rachunkowych,
- dzienniczki studentów.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
3
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
II. Forma i warunki zaliczenia przedmiotu
II-1. Forma i warunki zaliczenia ćwiczeń rachunkowych
- obecność studenta na ćwiczeniach,
- uzyskanie pozytywnych ocen z 2 sprawdzianów pisemnych w ciągu semestru
przeprowadzonych w terminach uzgodnionych ze studentami,
- zaliczenie z oceną.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
4
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
CAAKA NIEOZNACZONA
CII 1
1. Metody całkowania:
- całkowanie przez części
- całkowanie przez podstawianie
2. Całkowanie funkcji wymiernych
Całkowanie przed podstawienie (zamiana zmiennych)
f (x)dx = f [g(t)] g'(t)dt , gdzie x = g(t) .
+" +"
Przykład
x2
a) x2 +1dx ; b) dx .
+"x +"xe
Rozwiązanie
2
a) Podstawiamy x2 +1 = t , stąd x2 +1 = t oraz 2xdx = 2tdt , czyli xdx = tdt .
3
t3 ( x2 +1)
2
Otrzymujemy x2 +1dx = x2 +1xdx = dt = + C = + C .
+"x +" +"t 3
3
x2 = t
2
dt 1 1 1
x2 t t
b) dx = 2xdx = dt = = dt = et + C = ex + C .
+"xe +"e 2 2 +"e 2
2
dt
xdx =
2
Całkowanie funkcji wymiernych
Funkcje wymierne całkujemy stosując metodę podaną w [WII 1] (rozkład na sumę ułamków
prostych).
Przykład
x +1 x3 +1
a) dx ; b) dx .
+" +"
(x -1)(x + 3)2 x2 + x - 2
Rozwiązanie
a) Funkcję podcałkową rozkładamy na sumę ułamków prostych.
x +1 A B C
a" + + ,
2 2
x
(x -1) (x + 3) -1 x + 3
(x + 3)
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
5
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
stąd x +1 a" (A + B)x2 + (6A + 2B + C)x + 9A - 3B + C.
Porównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach x:
ł
x2 : A + B = 0
ł
x1 : 6A + 2B + C = 1żł
x0 : 9A - 3B - C = 1ł
ł
1 1 1
Rozwiązując układ równań mamy: A = , B = - , C = , więc
8 8 2
x +1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
dx = dx - dx + dx = ln x -1 - ln x + 3 - + C =
+" 2 +" +" +" 2 2
8 x -1 8 x + 3 2 8 8
(x -1)(x + 3) (x + 3) 2(x + 3)
1 x -1 1
= ln - + C.
8 x + 3 2(x + 3)
x3 +1 3x -1 x2 3x -1 x2
ł łdx
b) I = dx = x -1+ dx = - x + I1
+" +"ł x2 + x - 2 ł = 2 - x + +"
x2 + x - 2 x2 + x - 2 2
ł łł
3x -1 3x -1
I1 = dx = dx .
+" +"
x2 + x - 2 (x -1)(x + 2)
3x -1
Funkcję wymierną rozkładamy na sumę ułamków prostych:
(x -1)(x + 2)
3x -1 A B
= + , stąd po pomnożeniu przez (x -1)(x + 2) mamy
(x -1)(x + 2) x -1 x + 2
3x -1 = A(x + 2) + B(x -1) , czyli 3x -1 = (A + B)x + 2A - B .
Porównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach x:
ł
x1 :A + B = 3
2 7
stąd A = , B = ,
żł
x0 :2A - B = -1ł 3 3
3x -1 2dx 7dx 2 7
I1 = dx = + = ln x -1 + ln x + 2 + C .
+" +" +"
(x -1)(x + 2) 3(x -1) 3(x + 2) 3 3
x2 2 7
Ostatecznie I = - x + ln x -1 + ln x + 2 + C
2 3 3
Zadania
1. Znalezć podane całki nieoznaczone (całkowanie przez części):
a) xe2 xdx ; b) x ln xdx ; c) x2 sin xdx .
+" +" +"
2. Znalezć podane całki nieoznaczone (metoda zamiany zmiennych):
sin x 1 dx
ł ł
3
a) dx ; b) x + 1+ 2sin x cos xdx .
+" +"łln ln x ł x ; c) +"
x ł łł
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
6
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
3. Znalezć podane całki funkcji wymiernych:
dx dx (x3 + 3)dx
a) ; b) ; c) .
+" +" +"
x3 - x x(x2 +1) (x +1)(x2 +1)
Odpowiedzi:
3
1 1 2
ł
2
1. a) xe2x - e2 x ł + C ; b) x (3ln x - 2) + C ; c) - x2 cos x + 2xsin x + 2cos x + C .
ł ł
2 2 9
ł łł
4
3
1 3(1+ 2sin x)
2. a) - 2cos x + C ; b) ln2 x + ln ln x + C ; c) + C .
2 8
x
1 1
3. a) - ln x + ln x -1 + ln x +1 + C ; b) ln + C ; c)
2 2
1+ x2
x + 2 x +1
+ 2arctgx + ln + C .
4
2(x2 +1)
x2 +1
Literatura: Z. Roz. 4, ż 1, 2, 3, 4.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
7
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
CAAKOWANIE FUNKCJI NIEWYMIERNYCH
C II 2 I TRYGONOMETRYCZNYCH
1. Całkowanie funkcji niewymiernych.
2. Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Całkowanie funkcji niewymiernych
Funkcje niewymierne całkujemy w oparciu o metody podane w [WII 2].
Przykład
Znalezć podane całki nieoznaczone:
dx x + 2
a) ; b) dx ; c) 1- x2 dx .
+" +"
x2 + 2x + 3 x2 + 2x + 5
Rozwiązanie
dx
a) Korzystamy ze wzoru = ln x + x2 + k + C .
+"
x2 + k
Sprowadzamy trójmian kwadratowy x2 + 2x + 3 do postaci kanonicznej:
x2 + 2x + 3 = (x +1)2 + 2
x +1 = t
dx dx dt
2
2
= = = = ln t + t + 2 + C = ln x +1+ (x +1) +
+" +" +"
2 2
dx = dt
x2 + 2x + 3 t + 2
(x +1) + 2
b) Stosujemy metodę współczynników nieoznaczonych.
x + 2 dx
I = dx = a x2 + 2x + 5 + .
+" +"
x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5
Po zróżniczkowaniu obu stron otrzymujemy
x + 2 a(x +1)
= + ,
x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5
stąd x + 2 a" ax + a + , więc a = 1, = 1. Zatem
dx dx
2
I1 = = = ln x +1+ (x +1) + 4 + C .
+" +"
2
x2 + 2x + 5
(x +1) + 4
Ostatecznie I = x2 + 2x + 5 + ln x +1+ x2 + 2x + 5 + C .
c)
x = sin t
1- x2 dx = = 1- sin2 t costdt = cos2 t costdx = cost "costdt =
+" +" +" +"
dx = costdt
1+ cos2t 1 1 sin 2t 1
łt ł
2
= tdt = dt = (arcsin
+"cos +" +"(1+ cos2t)dt = 2 ł + 2 ł + C = 2 x + x 1- x2)+ C
2 2
ł łł
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
8
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Funkcje trygonometryczne całkujemy w oparciu o metody podane w [WII 2].
Przykład
Znalezć podane całki nieoznaczone funkcji trygonometrycznych:
dx
3
a) ; b) xcos2 xdx ; c)
+" +"sin +"cos3x cos5xdx .
sin x
Rozwiązanie
a) Stosujemy podstawienie uniwersalne [WII 2]
x
tg = t
2dt
2
2
dx 2t dt x
1+ t
= sin x = = = = ln t + C = ln tg + C .
+" 2 +" +"
2t
sin x 1+ t t 2
2
2dt
1+ t
dx =
2
1+ t
b) Funkcja podcałkowa jest nieparzysta względem sin x , więc podstawiamy
cos x = t , - sin xdx = dt .
3 2 2 2
(1- cos2 x)cos2 xsin xdx = (1- t ) t (- dt) =
+"sin x cos2 xdx = +"sin x " cos2 x "sin xdx = +" +"
t5 t3 cos5 x cos3 x
4 2
= (t - t )dt = - + C = - + C.
+"
5 3 5 3
ą + ą -
c) Korzystamy ze wzoru na sumę cosinusów: cosą + cos = 2cos cos .
2 2
cos2x + cos8x
Mamy cos3x cos5x = , stąd
2
1 1 sin 2x sin8x
ł ł
+"cos3xcos5xdx = 2 +"(cos2x + cos8x)dx = 2 ł 2 + 8 ł + C .
ł łł
Zadania
1. Znalezć podane całki funkcji niewymiernych:
1 x +1 dx 2x +1
a) dx ; b) ; c) dx ; d) x2 - 2x -1dx .
+" +" +" +"
x x x2
x - x2
2. Znalezć podane całki funkcji trygonometrycznych:
sin x dx
3
a) .
+"1+ sin x dx ; b) +"sin 2xsin 5xdx ; c) +"sin xdx ; d) +"
4 + sin2 x
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
9
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Odpowiedzi
x +1
1. a) - 2 + ln1+ 2x - 2 x2 + x + C ; b) 2ln x + 3 + 3ln x -3 + C ; c)
x
2x +1 -1 2x +1 1
ln - + C ; d) (x -1) x2 - 2x -1 - ln x -1+ x2 - 2x -1 + C .
x 2
2x +1 +1
1 1 1 1
2. a) - tgx + x + C ; b) sin8x + sin 4x + C ; c) - cos x + cos3 x + C ; d)
cos x 16 8 3
ł ł
5 5
arctgł tgxł + C .
ł ł
10 2
ł łł
Literatura: Z. Roz. 4, ż 5, 6.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
10
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
CII 3
CAAKI NIEWAAŚCIWE
1. Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju
2. Całki niewłaściwe drugiego rodzaju
Całki niewłaściwe obliczamy na podstawie definicji podanych w [WII 4].
Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju.
Przykład
2 1
dx dx
Obliczyć całki niewłaściwe pierwszego rodzaju: a) ; b) .
+" +"
xln2 x (x -1)2
1 0
Rozwiązanie
2 2
2
dx dx 1 ł 1 1 ł
ł
= limł- + ł = + "
a) = lim = limł- ł
ł
+" +" ł
0+ 0+ 0+
x ln2 x x ln2 x ln x 1+ ln 2 ln(1+ )ł , ponieważ
ł łł
ł łł
1 1+
1
lim = + " , tak więc całka jest rozbieżna.
0+
ln(1+ )
ln x = t
dx dt 1 1
1
= = = - + C = - + C .
+" +"
dx = dt
xln2 x t2 t ln x
x
1 1-
1-
dx dx 1 1
b) = lim = limł ł = limł -1ł = + " - całka jest rozbieżna.
ł ł ł ł
+" 2 +" 2
0+ 0+ 0+
0
(x -1) (x -1)
ł1- x łł ł łł
0 0
Całki niewłaściwe drugiego rodzaju.
Przykład
+ " 1
dx x
Obliczyć całki niewłaściwe drugiego rodzaju: a) ; b) dx .
+" +"
x2 + 2x + 5 x2 + 2
1 - "
Rozwiązanie
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
11
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
" A
dx dx
a) = lim ,
+" +"
A "
x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5
1 1
x +1
dx dx 1 dx
= t = 1 dt = 1 arctgt + C =
= = =
2
+" +" 2 +" 2 +" 2
x2 + 2x + 5 4 2 t +1 2
(x +1) + 4
x +1
ł ł
dx = 2dt
+1
ł ł
2
ł łł
1 x +1
= arctg + C.
2 2
"
A
dx 1 x +1 1 A +1 1 Ą Ą Ą
ł ł
= lim arctg = limłarctg - arctg1ł = - ł
= ,
ł ł ł
+"
A " A "
x2 + 2x + 5 2 2 1 2 2 2 2 4 8
ł łł ł łł
1
czyli całka jest zbieżna.
1 1
x x 1
b) dx = lim dx = lim [ln3 - ln(B2 + 2)]= - " , więc całka jest
+" +"
B- " B- "
x2 + 2 x2 + 2 2
- " B
rozbieżna.
x2 + 2 = t
x 1 dt 1 1
dx = 2xdx = dt = = ln t + C = ln(x2 + 2) + C ,
+" +"
x2 + 2 2 t 2 2
dt
xdx =
2
1
1
x 1 1
dx = ln(x2 + 2) = [ln3 - ln(B2 + 2)]
|
+"
B
x2 + 2 2 2
B
Zadania
1. Obliczyć całki niewłaściwe pierwszego rodzaju:
2 1 1
dx dx
2
a) ; b) ln xdx ; c) .
+" +"x +"
3
x -1
x
1 0 0 - x2
2. Obliczyć całki niewłaściwe drugiego rodzaju:
+ " + " + "
dx x
a) ; b) dx ; c) xsin xdx .
+" +" +"
x2 + x (1+ x)2
1 1 0
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
12
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Odpowiedzi
3 1 1 Ą
1. a) ; b) - ; c) Ą . 2. a) ln 2 ; b) + ; c) rozbieżna.
2 9 2 4
Literatura: Z. Roz. IV, ż 9.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
13
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
CII 4 ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE CAAKI OZNACZONEJ
1. Pole figury płaskiej
2. Długość łuku
3. Objętość bryły obrotowej
4. Pole powierzchni bryły obrotowej
Pole figury płaskiej
Przykłady
1. Obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami: y = ex , y = ln x , x = 1, x = e .
Rozwiązanie
Rys. 1
e e e e
e
x x
D = (ex - ln x)dx = dx - xdx . dx = ex = ee - e ,
+" +"e +"ln +"e
1
1 1 1 1
e f '(x)=1, f (x)= x 1
e e e
1
+"ln xdx = g(x)= ln x, g'(x)= 1 = x ln x 1 - +"x " x dx = xln x 1 - x 1 =
1 0
x
= elne - ln1-(e -1)= e - e +1 =1.
Ostatecznie D = ee - e -1.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
14
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2. Znalezć pole figury zawartej między parabolą y = -x2 + 4x - 3 i stycznymi do niej w
punktach A(0, 3) i B(3, 0).
Rozwiązanie
Znajdujemy punkty przecięcia paraboli z osiami 0x i 0y
0x: y = 0 ! -x2 + 4x - 3 = 0 ! x = 3 lub x = 1 Parabola przecina oś 0x w punktach B(3, 0)
( )
oraz C(1, 0); 0y: x = 0 ! y = -3. Parabola przecina oś 0y w punkcie A(0, 3).
Rys. 2
Znajdujemy równania stycznych do paraboli w punktach A, B. y - y0 = f (x0 )(x - x0 )
y2 = (-x2 + 4x - 3)2 = -2x + 4
a) Równanie stycznej lA w punkcie A: f 2 (0) = 4 więc lA: y = 4x - 3 .
b) Równanie stycznej lB w punkcie B: f 2 (3) = -2 więc lB : y = -2x + 6 .
Pole S danej figury jest sumą pól S1 i S2 (rys. 2). Styczna lA przecina oś 0x w punkcie
3 3
ł
Eł , 0ł, ponadto styczne lA i lB przecinają się w punkcie D , 3ł. Pole S1 równa się
ł ł ł ł
ł łł ł łł
4 2
różnicy pól trapezu krzywoliniowego 0AC i trójkąta prostokątnego 0AE S1 = S0 AE - S"0 AE .
1
1
ł ł
3 1 x3 9 5
S1 = - -x2 + 4x - 3 dx - 3" " = -ł- + 2x2 - 3xł - =
( )
+"
4 2 3 8 24
ł łł 0
0
Pole S2 równa się różnicy pól trójkata EDB i trapezu krzywoliniowego ograniczonego daną
parabolą dla x " 1, 3
S2 = S"EDB - SEWB (rys. 2)
3
ł ł
ł3- 3 1 27 x3 27 4 49
ł"3" 3
S2 = ł
ł ł - (- x2 + 4x - 3)dx = - ł- + 2x2 - 3xł = - =
+" ł
4 2 8 3 1 8 3 24
ł łł
ł łł
1
5 49 9
S = S1 + S2 = + = [j.kw.]
24 24 4
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
15
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Długość łuku krzywej płaskiej
Przykład
Znalezć długość łuku krzywej x = a(2cost - cos2t), y = a(2sin t - sin 2t), a > 0
t "< 0,2Ą > (kardioida).
Rozwiązanie
Krzywa określona jest w postaci parametrycznej, x = t , y = t w przedziale
( ) ( )
2 2
ą, , , "C1 ą, = 2 t + 2 t dt .
( ) ( )
( ) [ ] [ ]
+"
ą
Korzystamy z podanego wzoru
2
2 2
x'= a(- 2sint + 2sin 2t), y'= a(2cost - 2cos2t), (x') = 4a2(sin t - 2sin t sin 2t + sin 2t),
2
(y') = 4a2(cos2 t - 2 cost cos 2t + cos2 2t),
2 2
2 2
(x') + (y') = 4a2[(sin t + cos2 t)- 2(sin t sin 2t + cost cos 2t) + (sin 2t + cos2 2t)]=
t t
2
= 4a2[1- 2cos(2t - t)+1]= 4a2(2 - 2cost) = 8a2(1- cost) = 8a2 " 2sin = 16a2 sin2 .
2 2
2Ą 2Ą 2Ą
2Ą
t t t t
ł
2
= 16a2 sin dt = 4a sin dt = 4a dt = 4ał- 2cos = -8a(cosĄ - cos 0) =
ł ł
+" +" +"sin 2
2 2 2 0
ł łł
0 0 0
= -8(-1-1) = 16a.
Objętość bryły obrotowej
Przykład
Obliczyć objętość bryły utworzonej przez obrót dokoła osi OX wykresu funkcji:
f (x) = ln x przedziale < 1,e > ;
Rozwiązanie
Objętość V bryły utworzonej przez obrót dokoła osi 0x krzywej określonej równaniem
b
2
y = f x w przedziale a, b , f x e" 0, f "C a, b : V = Ą f x dx .
( ) ( ) ( )
( ) [ ]
+"
a
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
16
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ln x = t, x = et
e 1
dx = etdt
2 2 2
V = Ą xdx = = Ą etdt = Ą(t et - 2tet + 2et )1 = Ą(e - 2).
+"ln +"t
0
x = 1, t = 0
1 0
x = e, t = 1
f '(t) = et , f (t) = et ,
2 2 t 2
= t et - 2 dt = t et - 2(tet - et )+ C .
+"t etdt = g(t) = t 2 +"te
, g'(t) = 2t
f '(t) = et , f (t) = et ,
t t
+"te dt = g(t) = t, g'(t) = 1 = tet - +"e dt = tet - et + C ,
Pole powierzchni bryły obrotowej
Przykład
Obliczyć pole powierzchni kuli utworzonej przez obrót dookoła osi OX łuku okręgu
x2 + y2 = R2, R > 0, 0 d" x d" R .
Rozwiązanie
Pole powierzchni P bryły utworzonej przez obrót dokoła osi 0x krzywej
określonej równaniem y = f x w przedziale a, b , f x e" 0, f x "C1 a, b :
( ) ( ) ( ) ( )
b
2
P = 2Ą 1+ f 2 x f x dx .
( ) ( )
[ ]
+"
a
- x
x2 + y2 = R2 , stąd y = R2 - x2 dla y e" 0 i x "< 0, R > , y'=
R2 - x2
R R
x2 R2 - x2 + x2
P = 2" 2Ą 1+ " R2 - x2 dx = 4Ą " R2 - x2 dx =
+" +"
R2 - x2 R2 - x2
0 0
R R
R
R
= 4Ą " R2 - x2 dx = 4ĄR = 4ĄR x = 4ĄR2 [ j3].
+" +"dx
0
R2
0 - x2
0
Zadania
1. Obliczyć pole figury zawartej między osiami współrzędnych a krzywą y = ln x w
przedziale < 0,1 >
2. Obliczyć długość łuku paraboli półsześciennej o równaniu y2 = x3 w przedziale < 0,5 > .
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
17
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
x2 y2
3. Obliczyć objętość beczki powstałej przez obrót dookoła osi OX łuku elipsy + =1
9 4
dla x "< -2,2 > .
4. Obliczyć pole powierzchni P pasa kulistego powstałego przez obrót dookoła osi OX łuku
okręgu x2 + y2 = R2 dla x"< x1, x2 >, - R < x1 < x2 < R.
Odpowiedzi
335 368
1. 1; 2. ; 3. Ą ; 4. 2ĄR(x2 - x1) .
27 27
Literatura: Z. Roz. IV, ż 10.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
18
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
CII 5 GRANICA FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
Definicja granicy funkcji dwóch zmiennych (wg Heinego)
'"
lim f x, y = g ! Pn , Pn `" P0 lim Pn = P0 ! lim f Pn = g
( ) ( ) ( )
xx0 n " n "
y y0
Przykład
2xy
Wykazać, że nie istnieje grania funkcji lim .
x0
x2 + y2
y0
Rozwiązanie
Wykażemy, że granica funkcji nie istnieje na podstawie definicji granicy według Heinego.
1 1 1
ł
Rozpatrzmy ciąg punktów Pn ł , : lim Pn = P0(0,0), gdyż lim = 0 .
ł ł
n "
n n n
n "
ł łł
1 1 2
2 " "
n n n2
Wówczas lim f (Pn ) = lim = lim = 1. Następnie rozpatrzmy ciąg punktów
n " n " n "
1 1 2
+
n2 n2 n2
1
2 " 0 "
1 1
ł ł
n
Pn 'ł0, , lim Pn 'ł0, = P0(0,0), lim f (Pn ') = lim = 0 .
ł ł ł ł
n " n " n "
1
n n
ł łł ł łł
02 +
n2
Ponieważ dla dwóch różnych ciągów punktów Pn i Pn ' odpowiadające im ciągi wartości
funkcji f (Pn ) i f (Pn ') dążą do dwóch różnych granic, więc granica funkcji nie istnieje.
Przykład
Wyznaczyć granice funkcji:
x
y3 - x3 y
ł
a) lim ; b) limł1+ .
ł ł
x2 x "
y - x x
ł łł
y2 y3
Rozwiązanie
a) Korzystamy z definicji Heinego. Bierzemy dowolny ciąg punktów (Pn (xn , yn )) taki, że
Pn `" Po (0,0) i lim Pn = Po .
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
19
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
yn3 - xn3 y3 - x3
Stąd lim f (Pn ) = lim = lim(yn 2 + yn xn + xn 2)= 12 , zatem lim =12 .
x2
yn - xn y - x
y2
y
x
ł łł
łł ł y śł
ł ł
x ą
ł śł
y 1 1
ł ł
ł
b) limł1+ = limłł1+ = e3 , ponieważ limł1+ = e .
ł ł ł ł
śł
x " x " ł ł ą "
x ą
ł łł ł łł
y3 y2
łł x ł śł
y
ł śł
ł łł
ł ł
Zadania
Wyznaczyć granice funkcji:
x3 - y3 x2 y 2
a) lim ; b) lim ; c) lim(x + 3y)sin .
x0 x2 x0
x - y xy + 5 y
y0 y1 y0
Odpowiedzi
4
a) 0 ; b) ; c) 0
7
Literatura: Z. Roz. VI, ż 1-3.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
20
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
CII 6 POCHODNE CZSTKOWE
1. Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
Przykłady
1. Na podstawie definicji [WII6] wyznaczyć pochodne cząstkowe funkcji z = f (x, y) = x2 y
w punkcie P0 (x0, y0) (x0 " R, y0 > 0).
Rozwiązanie
2
2
(x0 + "x) y0 - x0 2 y0
"f (x0 + "x) - x02 x02 + 2x0"x + "
(x0, y0 ) = lim = y0 lim = y0 lim
"x0 "x0 "x0
"x "x "x "x
y0 lim(2x0 + "x)= y0 " 2x0 = 2x0 y0
"x0
x02 y0 + "y - x02 y0 2 y0 + "y - y0 ( y0 + "y - y0 )( y0
"f
(x0, y0)= lim = x0 "y0 = lim
lim
"y0 "y0
"y "y "y
"y( y0 + "y +
y0 + "y - y0 1 x02 x0 2
2
= x0 2 "y0 = =
lim
"y0
"y( y0 + "y + y0 )= x0 lim y0 + "y + y0 y0 + y0 2 y0
2. Wyznaczyć pochodne cząstkowe funkcji:
x
x y
a) z = y ; b) z = y .
Rozwiązanie
a) Wyznaczając pochodne cząstkowe traktujemy funkcję z jako funkcję jednego argumentu (tego
względem, którego wyznaczamy pochodną).
"z "z
x x-1
= y ln y , (pochodna funkcji wykładniczej) , = xy . (pochodna funkcji potęgowej)
"x "y
x x
-1
"z 1
y y
b) = z'x = y ln y " = y ln y (ze wzoru na pochodną funkcji wykładniczej)
"x y
Aby wyznaczyć pochodną cząstkową względem y (pochodna logarytmiczna) logarytmujemy
obie strony, a następnie różniczkujemy względem y .
x
x 1 "z x x 1
y
ln z = ln y ,ln z = ln y , " = - "ln y + " .
y z "y y2 y y
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
21
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Następnie mnożymy obustronnie przez z i otrzymujemy
x x
-2
ł
"z x xln y ł ł x xln y ł
"z
y y
= zł - ł = y ł - ł . Ostatecznie = z'y = xy (1- ln y).
ł
"y y2 y2 ł ł y2 y2 ł "y
ł łł ł łł
2. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
x
Wyznaczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji z = y
Rozwiązanie
"z "z
x-1
= z'x = yx ln y, = z'y = xy ,
"x "y
"2z " "z
ł ł
x x
= = z"xx (y ln y)ln y = y ln2 y,
ł ł
"x2 "x "x
ł łł
"2z " "z 1
ł ł
x x-1
= = (xyx-1)ln y + y = xyx-1 ln y + yx-1 = y (xln y +1),
ł ł
"y"x "y "x y
ł łł
ł ł
"2z " "z
x-2
= ł ł = z"yy = x(x -1) y ,
ł ł
"y2 "y "y
ł łł
ł ł
"2z " "z
x-1 x-1
= ł ł = z"xy =1" y + x " y ln y = yx-1(1+ xln y).
ł ł
"x"y "x "y
ł łł
Oczywiście z"yx = z"xy (twierdzenie Schwarza).
Zadania
1. Na podstawie definicji wyznaczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji
x
y
z = f (x, y) = e w punkcie P0 (x0, y0 ) .
2. Wyznaczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji:
arctgy
y
a) z = ; b) z = arcsin(xy2 ) ; c) z = [sin(xy)] .
1+ x2
3. Wyznaczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji:
a) z = sin2(3x - 4y); b) z = y2ex ; c) z = xln y
Odpowiedzi
arctgx 1 y2 2xy
2. a) z'x = -2x , z'y =
2
(1+ x2)(1+ y2); b) z'x = 1- x2 y4 , z'y = x2 y4 -1 ; c)
(1+ x2)
y-1 y
z'x = y2 cos(xy)"[sin(xy)] , z'y = [sin(xy)] [ln(sin(xy))+ xyctg(xy)].
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
22
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2. a) z"xx =18cos2(3x - 4y), z"yy = 32cos2(3x - 4y), z"xy = -24cos2(3x - 4y) .
xln y ln x
b) z"xx = y2ex, z"yy = 2ex, z"xy = 2yex ; c) z"xx = ln y(ln y -1)xln y-2, z"yy = (xln y ln x -1),
y2
xln y-1
z"xy = (1+ ln xln y).
y
Literatura: Z. Roz. VI, ż 4, 8.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
23
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
RÓŻNICZKA ZUPEANA. RÓŻNICZKI ZUPEANE
CII 7
WYŻSZYCH RZDÓW
1. Różniczka zupełna funkcji dwóch zmiennych
Różniczkę zupełną wyznaczamy na podstawie definicji podanej w [WII8].
"f "f
df (x0, y0 ) = (x0, y0 )dx + (x0, y0 )dy ,
"x "y
przy założeniu, że istnieją pochodne cząstkowe funkcji f w punkcie P0 (x0, y0 ) .
Przykłady
1. Obliczyć różniczkę zupełną funkcji z = f (x, y) = exy w punkcie P0 (1,1) , gdy dx = 0,2 ,
dy = 0,15 .
Rozwiązanie
Wyznaczamy funkcję różniczkę zupełną:
dz = df (x, y) = yexydx + xexydy . Stąd df (1,1) = e "0,2 + e"0,15 = 0,35e .
2. Obliczyć przybliżoną wartość liczby 1,093,98 .
Rozwiązanie
y
Dana liczba jest wartością funkcji f (x, y) = x w punkcie P(1,09;3,98).
Przyjmujemy x0 = 1, y0 = 4 , "x = 1,09 -1 = 0,09 , "y = 3,98 - 4 = -0,02 , ponadto
f (x0 , y0 ) = f (1,4) = 1. Wyznaczamy pochodne cząstkowe funkcji f (x, y) oraz ich wartości
w punkcie P0(1,4).
"f "f "f "f
y-1 y
(x, y) = yx , (x, y) = x ln x , (1,4) = 4 , (1,4) = 0 .
"x "y "x "y
1,093,98 H" 1+ 4 " 0,09 + 0 "(- 0,02) = 1,36 .
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
24
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2. Zastosowanie różniczki zupełnej w rachunku błędów.
Przykład
Objętość V stożka jest funkcją długości promienia podstawy R i wysokości H .
Wyznaczyć błąd względny objętości V , jeżeli błędy względne R i H są dane.
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzorów podanych w [WII8].
1
V = ĄR2H
3
Maksymalny błąd bezwzględny "V objętości wynosi:
"V "V
"V = "R + "H , gdzie "R , "H oznaczają błędy bezwzględne wielkości R, H,
"R "H
"V 1 2 1
= ĄR2 , więc "V H" ĄRH"R + R2"H ,
"H 3 3 3
"V
Błąd względny objętości V = , błędy względne wielkości R oraz H są równe
V
"R "H
odpowiednio R = , H = . Stąd mamy
R H
2 1
ĄRH ĄR2"H
"V "R "H
3 3
V = = " "R + = 2 + = 2R + H
1 1
V R H
ĄR2H ĄR2H
3 3
Różniczki zupełne wyższych rzędów
Różniczki zupełne wyższych rzędów wyznaczamy w oparciu o wzory podane w [WII8].
Przykład
Wyznaczyć różniczkę zupełną drugiego rzędu funkcji f (x, y) = exy .
Rozwiązanie
"2 f 2"2 f "2 f
2
d f = dx2 + dxdy + dy2 .
"x2 "x"y "y2
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
25
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Pochodne cząstkowe II rzędu wyznaczamy na podstawie definicji podanych w [WII7]
"z "z
= z'x = yexy , = z'y = xexy ,
"x "y
"2 z "2 z
= z''xx = y2exy , = z''yy = x2exy ,
"x2 "y2
"2 z
= z''xy = exy + yexy " x = exy(1+ xy)
"y"x
"2 z
= z''xy = exy + xexy " y = exy(1+ xy).
"x"y
2
Więc d f = y2exydx2 + 2exy(1+ xy)dxdy + x2exydy2 .
Zadania
1. Obliczyć różniczkę zupełną funkcji f (x, y) = x3 y2 w punkcie P0 (1,2) przyjmując
dx = 0,1, dy = 0,3.
2
2. Wyznaczyć różniczkę zupełną d f funkcji f (x, y) = x ln y .
3. Objętość V ostrosłupa ściętego o wysokości H i podstawach, których pola są równe P i
1
Q oblicza się ze wzoru V = (P + PQ + Q)H . Oszacować błąd względny "V objętości V
6
, jeżeli błędy względne pomiarów P,Q, H wynoszą odpowiednio P,Q,H .
Odpowiedzi
2 x
2
1. 2, H ; 2. d f = dxdy - dy2
y y2
ł ł ł ł
H 1 Q H 1 P
ł1+ łP + ł1+ łQ +V H
dV =
ł ł ł ł
6 2 P 6 2 Q H
ł łł ł łł
Literatura: Z. Roz. VI, ż 6, 8.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
26
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
CII 8
EKSTREMA FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
1. Ekstrema lokalne
Ekstrema lokalne znajdujemy korzystając z twierdzenia podanego w [WII9].
Przykład
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x, y) = z = x3 - 6xy + 3y2 .
Rozwiązanie
1. Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji f
"z "z
= 3x2 - 6y , = 6y - 6x .
"x "y
"z
ńł
ł"x = 0
ńł - 6y = 0
x1 = 0, y1 = 0,
3x2
ł
, stąd
ł"z czyli ł
x2 = 2, y2 = 2.
6y - 6x = 0
ół
ł = 0
ł
ół"y
Punkty stacjonarne: P1(0,0),P2(2,0) .
6x - 6
"2z "2z "2z
2. = 6x, = -6, = 6 , W (x, y) =
"x2 "x"y "y2 - 6 6
Następnie obliczamy wartość wyróżnika W w punktach P1, P2 .
0 - 6
W (P1) = W (0,0) = = -36 < 0 , więc funkcja f nie ma ekstremum w punkcie P1.
- 6 0
12 - 6
W (P2 ) = W (2,2) = = 36 > 0 , więc w punkcie P2 (2,0) funkcja f ma ekstremum
- 6 6
lokalne.
"2z "2z
Z nierówności (P2 ) = (2,2) =12 > 0 , wynika, że jest to minimum lokalne.
"x2 "x2
xmin = 2, ymin = 0, zmin = f (2,0) = 8, Pmin (2,0,8).
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
27
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2. Ekstrema globalne (wartość najmniejsza i wartość największa).
Sposób znajdowania ekstremów globalnych pokazano w [WII9].
Przykład
Znalezć najmniejszą i największą wartość funkcji z = sin x + sin y + cos(x + y) w obszarze
ńł Ą Ą
ł
D = (x, y): 0 d" x d" ,0 d" y d" .
ł żł
2 2
ł
ół
Rozwiązanie
Rys.1
Wyznaczamy punkty stacjonarne leżące wewnątrz obszaru D.
z'x = cos x - sin(x + y), z'y = cos y - sin(x + y)
z'x = 0
ńł cos x
ńł - sin(x + y) = 0
, stąd
łz' = 0 ! ł
y
ółcos y - sin(x + y) = 0
ół
cos x = cos y , więc x = y dla (x, y)" D oraz cos x - sin 2x = 0 czyli
1 Ą
cos x - 2sin x cos x = 0 , cos x(1- 2sin x) = 0 ; cos x = 0 lub sin x = , x = (nie jest
2 2
punktem wewnętrznym D),
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
28
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Ą Ą
x = , y = . Jedynym punktem stacjonarnym wewnętrznym należącym do zbioru D jest
6 6
Ą Ą
ł
więc punkt P0 ł , . Obliczamy wartość funkcji z w punkcie P0 oraz w wierzchołkach
ł ł
6 6
ł łł
Ą Ą Ą Ą
ł ł
kwadratu D tj. w punktach 0(0,0), Ał ,0ł , Bł , , Cł0, : z(O) = z(0,0) = 1
ł ł ł ł ł ł
2 2 2 2
ł łł ł łł ł łł
Ą Ą Ą Ą Ą 3
ł
z(P0 ) = zł , = sin + sin + cos = ,
ł ł
6 6 6 6 3 2
ł łł
Ą Ą Ą
z(A) = zł ,0ł = sin + sin 0 + cos = 1,
ł ł
2 2 2
ł łł
Ą Ą Ą Ą
ł
z(B) = zł , = sin + sin + cosĄ = 1,
ł ł
2 2 2 2
ł łł
Ą Ą Ą
ł
z(C) = zł0, = sin 0 + sin + cos = 1.
ł ł
2 2 2
ł łł
Następnie wyznaczamy punkty, w których funkcja z może mieć ekstrema znajdujące się na
brzegu kwadratu D.
Ą
OA : 0 < x < , y = 0 ,
2
z = sin x + cos x , z'x = cos x - sin x ,
Ą
z'x = 0 gdy cos x = sin x stąd x = .
4
Ą
Otrzymaliśmy punkt P1ł ,0ł . Obliczamy wartość funkcji z w punkcie P1 .
ł ł
4
ł łł
Ą
z(P1) = zł ,0ł = 2 .
ł ł
4
ł łł
Ą Ą Ą
ł
AB : x = , 0 < y < , z = 1+ sin y + cosł y + ;
ł ł
2 2 2
ł łł
stąd z = 1+ sin y - sin y = 1 (funkcja stała).
Ą Ą Ą
ł
CB : 0 < x < , y = , z = 1+ sin x + cosł x + , z = 1+ sin x - sin x = 1 (funkcja stała).
ł ł
2 2 2
ł łł
Ą
OC : x = 0 , 0 < y < , z = sin y + cos y ,
2
Ą Ą
z'y = cos y - sin y , z'y = 0 gdy cos y = sin y , stąd y = . Otrzymaliśmy punkt P2 ł0, ł .
ł ł
4 4
ł łł
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
29
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Ą
ł
Obliczamy wartość funkcji z w punkcie P2 . z(P2 ) = zł0, = 2 .
ł ł
4
ł łł
Ostatecznie funkcja przyjmuje w kwadracie D wartość najmniejszą równą 1 na boku AB
3
oraz w wierzchołku C, natomiast wartość największą równą w punkcie wewnętrznym P0
2
.
Zadania
1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:
y
2
2
a) f (x, y) = e4x-x - y2 ; b) f (x, y) = e (x2 + y)
2. Znalezć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x, y) = 4x2 + y2 + 2x - y w obszarze
ograniczonym elipsą 4x2 + y2 =1.
Odpowiedzi
2
ł
1. a) Pmax(2,0,e4); b) Pmin ł0,- 2,- ł
.
ł
e
ł łł
ł ł
2 2
ł- 1 1
ł
ł ł, 1
2. M =1+ 2 w punkcie ,- m = - w punkcie , .
ł ł
ł ł
4 2 2 4 2
ł łł
ł łł
Literatura: Z. Roz. VI, ż 10.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
30
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
CAAKI WIELOKROTNE
CII 9
1. Całka podwójna
2. Całka potrójna
1. Całka podwójna
Przykład
Obliczyć całki podwójne funkcji z = f (x, y) w obszarze ograniczonym liniami:
y3
a) f (x, y) = , y = x3 ; b) f (x, y) = xy , y2 = 4x + 4 , y = 2x - 2 ;
x2
c) f (x, y) = 4 - x2 - y2 , x2 + y2 d" 4 .
Rozwiązanie
a) Obszar D ograniczony danymi krzywymi jest obszarem normalnym względem osi Ox
D :0 d" x d"1, x3 d" y d" x2.
Zamieniamy całkę podwójną na całkę iterowaną.
1 x2 1
ł
y3 y3 ł 1 1 y4 x2 1 ł ł
1 x8 x12 ł 1
dxdy = dyłdx = " dx = ł - (x6 - x10)dx =
+"+" +"ł +" +" +" łdx = +"
ł
x2 x2 ł 0 x2 4 x2 ł 4 4 4
x3 0 ł
łł
D 0 0
x3
ł łł
ł ł
1 x7 x11 1 1 1 1 1
ł ł
ł = .
= - ł = - ł
ł
ł ł
4 7 11 0 4 7 11łł 77
ł
ł łł
ńł
y2 = 4x + 4
b) Rozwiązując układ równań wyznaczamy współrzędne punktów B i C (rys.
ł
y = 2x - 2
ół
1)
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
31
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Rys. 1
y2 - 4
Obszar całkowania Dy zawarty między łukiem paraboli x = oraz odcinkiem prostej
4
y + 2
x = normalny względem osi OY jest opisany nierównościami:
2
2
y - 4 y + 2
Dy : d" x d" , - 2 d" y d" 4 .
4 2
Zamieniamy całkę podwójną na całkę iterowaną:
y+2
y + 2
ł ł
4 4 4
2
ł ł łł ł2 ł ł2 łł
yx2 2 y y + 2 y2 - 4
ł
xydx dy = dy = ł śłdy =
ł ł - ł ł
+"+"xydxdy = +"ł +" +" +" ł ł
y2 - 4
2 2 2
ł ł ł
Dy -2 -4
-2 -2
y2
ł
ł ł łł łł ł 4 łł śł
ł 4 łł
4
4
4
ł ł
1 1 y6 16y3 1
ł
= (- y5 +12y3 +16y2) dy = - + 3y4 + ł = 13 .
+" ł ł
32 32 6 3 - 2 2
ł łł
-2
c) Dokonamy zamiany zmiennych x, y zmiennymi r, : x = r cos , y = r sin
( r, - współrzędne biegunowe punktu (x, y)).
Jakobian przekształcenia
cos - r sin
D(x, y)
I(r,) = = = r .
D(r,) sin r cos
Obszar D (koło o środku w początku układu współrzędnych i promieniu 2) jest obrazem
prostokąta " : 0 d" r d" 2 , 0 d" d" 2Ą .
2 2 2 2
4 - x2 - y2 dxdy = 4 - r cos2 - r sin rdrd = 4 - r rdrd =
+"+" +"+" +"+"
D " "
2Ą 2
ł ł
2
łd,
= 4 - r rdr
+"ł+"
ł ł
0 ł 0 łł
3
2
3
2 2 2
(4 - r )
t
4 - r = t,4 - r = t ,
2 2
4 - r rdr = = - dt = - + C = - + C ,
+" +"t
3 3
rdr = -tdt
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
32
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
3
2 2
(4 - r ) 2
8
2
4 - r rdr = - = ,
+"
3 0 3
0
2Ą
2Ą
8 8 16Ą 16Ą
2
d = = , więc 4 - x2 - y dxdy = .
+" +"+"
3 3 0 3 3
0 D
2. Całka potrójna
Przykład
Obliczyć całki potrójne:
dxdydz
a)
3
+"+"+"(x + y + z +1) , &! jest czworościanem ograniczonym płaszczyznami
&!
x = 0, y = 0.z = 0, x + y + z = 1;
2
b) (x2 + y2 + z ) dxdydz , gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchniami
+"+"+"
V
x2 + y2 + z2 d"1, z > 0 .
Rozwiązanie
a)
Obszar &! jest obszarem normalnym
względem płaszczyzny
OXY (rys. 2)
&! : 0 d" x d" -1
0 d" y d" 1- x
0 d" z d"1- x - y
Rys. 2
Zamieniamy całkę potrójną na całkę iterowaną:
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
33
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
1 1-x 1-x- y
dxdydz dz
= ( )dy]dx =
+"+"+"(x + y + z +1)3 +"[ +" +" 3
(x + y + z +1)
&! 0 0 0
1-x- y 1 1-x
1- x - y ł
dz 1 1 1 1 1
ł- +
= = - = - + =
+" 3 2 2 +"[ +"
ł
0 8 8
(x + y + z +1) 2(x + y + z +1) 2(x + y +1) 2(x + y +1)
0 0 0 ł
1-x
ł ł 1- x
1 1 ł 1 1 łł 1 1 1
ł- +
ł
=
+" 2
ł łdy = ł- 8 y - 2(x + y +1)śł 0 = - 8 (1- x) - 4 + 2(x +1) =
8
2(x + y +1)
ł ł
0 ł łł
1
1
ł 3 1 1 ł 3 1 1 5 1
ł- 3 1 1
ł
= + x +
+"ł- 8 8 2(x +1) łdx = ł 8 x + 16 x2 + 2 ln x +1 ł 0 = - 8 + 16 + 2 ln 2 = -16 + 2 ln 2.
ł ł
ł łł
ł łł
0
b) Zmienne x, y, z zastępujemy zmiennymi r,,Ś , gdzie x = r cos cos Ś ,
Ą Ą
y = r cos sin Ś , z = r sin , 0 d" r d" + ", - d" d" , 0 d" Ś d" 2Ą .
2 2
Współrzędne r,,Ś nazywamy współrzędnymi sferycznymi punktu o współrzędnych
prostokątnych x, y, z . Jakobian przekształcenia
x'r x'Ś x'
D(x, y, z)
2
I(r,Ś,) = = y'r y'Ś y' = r cos .
D(r,Ś,)
z'r z'Ś z'
Obszar V (górna półkula) jest obrazem prostopadłościanu &! .
Ą
2 2 2
&!: 0 d" r d"1, 0 d" d" , 0 d" Ś d" 2Ą . Ponieważ x2 + y + z = r , więc
2
łĄ łł
1 2Ą
2
ł ł
ł
2 4
(x2 + y2 + z2)dxdydz = " r2 cos drddŚ =
+"+"+" +"+"+"r +" +"ł +"r cosdŚłdśłdr =
ł ł ł śł
V &! 0 ł 0 łł
ł0 śł
ł ł
Ą Ą
ł ł ł ł
1 1 R Ą 1
2 2
ł ł ł ł
2Ą
4 4 4 4
= cos "Ś d dr =
ł
2
+"ł+"r +"ł+"2Ąr cosd łdr = +"2Ąr sin 0 dr = +"2Ąr dr =
0
ł 0 0
0 0 ł ł ł 0 0
ł łł ł łł
2Ąr5 1 2Ą
= = .
5 0 5
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
34
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadania
1. Obliczyć całkę podwójną funkcji f w obszarze D ograniczonym liniami:
1
a) f (x, y) = x2 + y2 , D : y = x2, y2 = x ; b) f (x, y) = , D :x2 + y2 - x = 0 .
1- x2 - y2
2. Obliczyć całki potrójne:
&! :0 d" x d" 1,
a) + y + z)dxdydz , 0 d" y d" 2,
+"+"+"(x
&!
0 d" z d" 3,
&! :0 d" x d"1,
b)
+"+"+"zdxdydz, 0 d" y d"1- x,
&!
0 d" z d" 1- x2 - y2 .
Odpowiedzi
33 1
1. a) ; b) Ą - 2 ; 2. a) 18 ; b) .
140 24
Literatura: Z. Roz. VII, ż 1, 2.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
35
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
CAAKI KRZYWOLINIOWE
CII 10
1. Całka krzywoliniowa nieskierowana
2. Całka krzywoliniowa skierowana
3. Twierdzenie Greena.
1. Całka krzywoliniowa nieskierowana
1. Jeżeli funkcja z = f x, y jest ciągła na krzywej regularnej
( )
2 2
: x = t , y = t , t " ą, , wówczas f x, y ds = f t , t 2 t + ' t dt
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ] [ ] [ ]
+" +"
ą
2. Jeżeli funkcja z = f x, y jest ciągła na krzywej
( )
b
2
: y = g x , g x "C1 a, b , wówczas f x, y ds = f x, g x " 1+ g2 x dx
( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ] [ ]
( )
+" +"
a
Przykład
Obliczyć dane całki krzywoliniowe nieskierowane:
2
a) + y2)ds , gdzie jest okręgiem o równaniu x = 2cost , y = 2sin t , 0 d" t d" 2Ą ,
+"(x
b) yds , gdzie jest łukiem paraboli y = x , dla 0 d" x d"1.
+"
Rozwiązanie
a) Korzystamy ze wzoru na zamianę całki krzywoliniowej na całkę oznaczoną.
x(t) = 2cost , x'(t) = -2sin t , y(t) = 2sin t, y'(t) = 2cost
2Ą
2 2
+"(x + y2 )ds = +"(4cos t + 4sin2 t) 4sin2 t + 4cos2 tdt =
0
2Ą 2Ą
2Ą
2
+"4(cos t + sin2 t) 4(sin2 t + cos2 t)dt = 8+"dt = 8t 0 =16Ą.
0 0
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
36
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
b) Zamieniamy całkę krzywoliniową nieskierowaną na całkę oznaczoną.
1
: y = x , y'= , x" 0,1 .
2 x
3
2
1 1
1
2
ł 1 ł 1 (4x +1) 5 5 -1
yds = x " 1+ ł ł dx = 4x +1dx = = .
+" +" +"
2 12 0 12
2 x
ł łł
0 0
2. Całka krzywoliniowa skierowana
P x, y dx + Q x, y dy = P t , t 2 t + Q t , t 2 t dt
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ [ ] [ ] }
+" +"
L ą
Przykład
Obliczyć dane całki krzywoliniowe skierowane:
a) - y2 )dx + 2xydy , gdzie jest odcinkiem łączącym punkty A(1,1) i B(2,2) .
+"(x
ł ł
x2 ł
2 2
ł
b) + x ln y) dx + + 6xłdy , po okręgu (x - 2) + (y - 2) = 1 skierowanym dodatnio.
+"(2y ł
2y
ł łł
L
c) - y)dx + (x + y)dy , gdzie jest elipsą o równaniach x = a cost , y = bsin t ,
+"(x
0 d" t d" 2Ą .
Rozwiązanie
a) Zamieniamy całkę krzywoliniową na całkę oznaczoną.
: x(t) = t, y(t) = t , 1d" t d" 2, dx = dt , dy = dt ,
2 2
ł ł
t2 t3 2 23
ł ł
- y2 )dx + 2xydy = - t2 )dt + 2t2dt = + t2 )dt = + = .
+"(x +"(t +"(t ł ł
2 3 1 6
ł łł
1 1
x2 x x
'
b) P(x, y) = 2y + x ln y , Q(x, y) = + 6x , Py' (x, y) = 2 + , Qx(x, y) = + 6 .
2y y y
Korzystamy ze wzoru Greena (p.2).
ł ł ł x x ł
x2 ł
+"(2y + x ln y)dx + ł 2y + 6xłdy = +"+"ł y + 6 - 2 - y łdxdy = +"+"4dxdy = 4+"+"dxdy = 4 D = 4Ą ,
ł ł ł
ł łł ł łł
L D D D
2 2
gdyż D jest kołem (x - 2) + (y - 2) d" 1 o promieniu 1, więc D = Ą .
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
37
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
c) Korzystamy z twierdzenia Greena [WII11]
ł "Q "P ł
y)dx + Q(x, y)dy =
+"P(x, +"+"ł "x - "y łdxdy.
ł ł
ł łł
D
"P "Q
P(x, y) = x - y, = -1, Q(x, y) = x + y, =1,
"y "x
+"(x - y)dx + (x + y)dy = +"+"2dxdy = 2 D = 2Ąab, ponieważ pole elipsy D = Ąab.
D
Zadania
1. Obliczyć dane całki krzywoliniowe nieskierowane:
a) x2 + y2 ds , gdzie jest krzywą o równaniach parametrycznych: x = cost + t sin t,
+"
y = sin t - t cost , 0 d" t d" 2Ą ;
2
b) + y2 )ds , gdzie jest okręgiem o równaniu x2 + y2 - x = 0.
+"(x
2. Obliczyć dane całki krzywoliniowe skierowane:
x2 y2
a) + xdy, gdzie jest elipsą o równaniu + =1 skierowaną ujemnie względem
+"xydx
g 4
swego wnętrza;
3
b) -11y)dx + (4x - cos y)dy , gdzie jest okręgiem o równaniu x2 + y2 = 4.
+"(2x
Odpowiedzi
2
(1+ 4Ą )3 -1
Ą
1. a) ; b) . 2. a) - 6Ą ; b) 60Ą .
3 2
Literatura: Z. Roz. VII, ż 3, 4.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
38
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
CII 11 ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE CAAEK
WIELOKROTNYCH I KRZYWOLINIOWYCH
1. Obliczanie pola obszaru płaskiego i objętości bryły za pomocą całki podwójnej.
2. Obliczanie objętości bryły za pomocą całki potrójnej.
3. Obliczanie pola obszaru płaskiego za pomocą całki krzywoliniowej.
Całka podwójna
1. Objętość bryły ograniczonej wykresem nieujemnej i ciągłej funkcji f o podstawie D
będącej obszarem regularnym.
Przykład 1
Obliczyć objętość V bryły V ograniczonej paraboloidą obrotową z = x2 + y2 , płaszczyznami
układu współrzędnych i płaszczyzną x + y - 2 = 0 .
Rozwiązanie
D : 0 d" x d" 2
0 d" y d" 2 - x
Rys. 1
2 2-x 2-x
ł ł
y3 ł 2 - x
ł
U = (x2 + y2)dxdy = (x2 + y2 )dy)dx = (x2 + y2 )dy = x2 y + =
+"+" +"( +" +" ł ł
3 0
ł łł
D 0 0 0
2
(2 - x)3 1 1
= x2 (2 - x) + = (-4x3 +12x2 -12x + 8) |= (-4x3 +12x2 -12x + 8)dx =
+"
3 3 3
0
2
1 8
= (-x4 + 4x3 - 6x2 + 8x) = [j3].
3 0 3
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
39
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2. Pole obszaru płaskiego
Całka
+"+"1"dxdy = +"+"dxdy przedstawia z definicji pole obszaru D .
D D
Przykład 2
Obliczyć za pomocą całki podwójnej pole D obszaru D ograniczonego krzywymi y = x2 i
y2 = x (parabole, rys. 2).
D : 0 d" x d"1,
x2 d" y d" x.
1 x
D = =
+"dxdy +"( +"dy)dx =
D 0 x
1 1
x
=
+"(y x2 )dx = +"( x - x2 )dx =
0 0
Rys. 2
3
ł ł
2
ł
2x x3 ł 1 1
= - = [ j3].
ł ł
3 3 0 3
ł ł
ł łł
3. Całka potrójna
Jeżeli funkcja f (x, y, z) a"1 w obszarze &! to całka
+"+"+"1dxdydz = +"+"+"dxdydz przedstawia z
&! &!
definicji objętość V tego obszaru.
Przykład 3
Za pomocą całki potrójnej obliczyć V bryły V z przykładu 1.
Rozwiązanie
0 d" x d"1
V : 0 d" y d" 2 - x
0 d" z d" x2 + y2
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
40
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2 2-x x2 + y2 2 2-x
x2 + y2
V = ( dz)dy]dx = (z )dy]dx =
+"+"+"dxdydz = +"[ +" +" +"[ +"
0
V 0 0 0 0 0
2 2-x
8
= (x2 + y2 )dy]dx = [ j3].
+"[ +"
3
0 0
Całka krzywoliniowa skierowana
Jeżeli jest brzegiem obszaru normalnego względem osi Ox ,Oy D , skierowanego dodatnio
względem niego, to pole D tego obszaru wyraża się wzorem
1
D = ydx + xdy. (a)
+"-
2
Przykład
Obliczyć pole elipsy o równaniach parametrycznych x = a cost , y = bsin t ,
a > 0,b > 0,0 d" t d" 2Ą.
Rozwiązanie
x'= -asint , y'= bcost
Całkę krzywoliniową (a) zamieniamy na całkę oznaczoną i otrzymujemy pole elipsy:
2Ą 2Ą 2Ą
1 1 1
2
D =
+"[(-bsin t)(-asin t) + acost "bcost]dt = 2 ab +"(sin t + cos2 t)dt = 2 ab +"dt =
2
0 0 0
2Ą
1 1
= abt = ab " 2Ą = Ąab [ j2 ].
2 0 2
Zadania
1. Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
z = x + y + 4 , y2 = 4x , x = 0, y = 0, z = 0 , y > 0 .
2. Za pomocą całki potrójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
y = x, y = 2 x, z = 0, x + z = 6.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
41
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
3. Za pomocą całki krzywoliniowej, skierowanej obliczyć pole kardioidy o równaniach
x = 2cost - cos2t, y = 2sint -sin 2t, t " 0, 2Ą .
Odpowiedzi
4 48
1. 84 ; 2. 6 ; 3. 6Ą .
15 5
Literatura: Z. Roz. VII, ż 1-4.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
42
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
CII 12 SZEREGI LICZBOWE
1. Szeregi liczbowe o wyrazach nieujemnych
Zbieżność szeregów o wyrazach nieujemnych badamy na podstawie kryteriów zbieżności
podanych w [WII 13]
Przykład
Zbadać zbieżność szeregów:
n2
n
" " " "
n 1 1
a) ; d) .
ł ł
"3n n! ; b) "ł 3n+1 ł ; c) " "
n
+ 2 n2 + 4n + 7 nln2 n
ł łł
n=1 n=1 n=1 n=2
Rozwiązanie
a) Stosujemy kryterium d Alemberta.
n
n+1 n
an+1 (n +1) 3n n! (n +1) (n +1)3n n! 1 n +1
ł ł
q = lim = lim = lim = lim =
ł ł
n " n "
an 3n+1(n +1) !nn n " 3n "3" n!(n +1)nn n " 3 n
ł łł
n
1 1 e
ł1+ ł
= lim = <1
ł ł
n "
3 n 3
ł łł
więc szereg jest zbieżny.
b) Stosujemy kryterium Cauchy ego.
n2 n
n +1 n +1
ł ł
n n
q = lim an = lim = limł ł = 0 < 1, więc szereg jest zbieżny.
ł ł ł ł
n " n " n "
3n + 2 3n + 2
ł łł ł łł
c) stosujemy kryterium porównawcze
1 1 1 1 1
= = < <
2 2
n2 + 4n + 7 (n2 + 4n + 4)+ 3 n2
(n + 2) + 3 (n + 2)
"
1
Ponieważ jest zbieżny, więc rozpatrywany szereg jest zbieżny, czyli
"
n2
n=1
"
1
< + "
"
n2 + 4n + 7
n=1
d) Stosujemy kryterium całkowe.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
43
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zbadamy zbieżność całki niewłaściwej.
" A
1 1
dx = lim dx . Wyznaczamy całkę nieoznaczoną.
+" +"
A "
xln2 x xln2 x
2 2
ln x = t
1 1 1 -1
1
dx = = dt = - + C = + C , więc
+" +"
dx = dt
xln2 x t2 t ln x
x
"
A
1 -1 -1 1 1
ł
dx = limł ł = limł + = .
ł ł ł ł
+"
A " A "
xln2 x ln x 2 ln A ln 2 ln 2
ł łł ł łł
2
Całka niewłaściwa jest zbieżna, więc również dany szereg jest zbieżny.
2. Szeregi o wyrazach dowolnych
Przykład
Zbadać zbieżność szeregów:
" "
n
n+1
a)
"(-1) n(n+12) , b) "cosną .
+ 2n
n=1 n=1
Rozwiązanie
a) Szereg jest szeregiem naprzemiennym, więc do badania jego zbieżności zastosujemy
kryterium Leibniza [WII 13].
ł n +1 ł n +1
Ciąg ł ł jest malejący oraz lim = 0 , więc szereg jest zbieżny. Szereg wartości
ł ł
n(n + 2) n(n + 2)
ł łł
"
n +1 n +1 n 1
bezwzględnych jest postaci . Ponieważ > =
"
n(n + 2) n(n + 2) n(n + 2) n + 2
n=1
" "
1 n +1
oraz jest rozbieżny, więc na podstawie kryterium porównawczego jest
" "
n + 2 n(n + 2)
n=1 n=1
również rozbieżny.
"
n
n+1
Ostatecznie
"(-1) n(n+12) jest zbieżny warunkowo.
+
n=1
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
44
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
b) Jest to szereg liczbowy o wyrazach dowolnych. Zbadamy bezwzględną zbieżność tego
szeregu.
"
cos ną
Szereg wartości bezwzględnej jest postaci . Do badania zbieżności tego szeregu
"
2n
n=0
wygodnie jest zastosować kryterium porównawcze.
cos ną
1
d" ,n " N .
2n 2n
1
jest szeregiem geometrycznym zbieżnym, więc szereg wartości bezwzględnych jest
"
2n
również zbieżny. Wynika stąd, że dany szereg jest bezwzględnie zbieżny.
Zadania
1. Zbadać zbieżność szeregów o wyrazach nieujemnych:
2n
n
" " " "
n 1
a) .
ł ł
"3n n! ; b) "ł 2n+1 ł ; c) "3 1+1 ; d) "
n
+1łł n=1 n
ł n n +1
n=1 n=1 n=1
2. Zbadać zbieżność szeregów:
n+1
" " "
-1) n
n+1
a)
"(3n +1 ; b) "cosną ; c) "(-1) n2 +1
3n
n=1 n=1 n=1
Odpowiedzi
1. a) rozbieżny; b) zbieżny; c) zbieżny; d) zbieżny.
2. a) zbieżny warunkowo; b) zbieżny bezwzględnie; c) rozbieżny.
Literatura: Z. Roz. V, ż 1, 2.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
45
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
SZEREGI FUNKCYJNE
CII 13
1. Zbieżności jednostajne szeregu funkcyjnego.
2. Szeregi potęgowe. Promień zbieżności szeregu potęgowego.
Zbieżności jednostajne szeregu funkcyjnego
Zbieżność jednostajną szeregu funkcyjnego badamy w oparciu o kryterium Weierstraussa
[WII 14].
Przykład
"
cos(x + n)
Zbadać jednostajną zbieżność szeregu .
"
n3
n=1
Rozwiązanie
Korzystamy z kryterium Weierstrassa.
cos(x + n)
1
Dla dowolnego x " R i dowolnego n " N zachodzi nierówność d" .
n3 n3
"
1
Majoranta tego szeregu tj. szereg liczbowy jest zbieżny, więc dany szereg funkcyjny
"
n3
n=1
jest zbieżny jednostajnie dla każdego x " R . Ponieważ wyrazy tego szeregu są funkcjami
ciągłymi, więc również jego suma jest funkcją ciągłą.
Szeregi potęgowe. Promień zbieżności szeregu potęgowego.
Promień zbieżności szeregu potęgowego wyznaczamy stosując wzory podane w [WII 14]
Przykłady
1. Obliczyć promień zbieżności szeregów potęgowych
3n
n
" "
ł
a)
ł ł
"nx3 ; b) "ł 2nn+1łł xn .
n
"
ł
n=1 n=1
Rozwiązanie
an+1 n3n n 1 1
a) g = lim = lim = lim = ,więc r = = 3.
n "
an n " (n +1)3n+1 n " 3(n +1) 3 g
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
46
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
3n 3
n n 1 1
ł ł
n
n
b) g = lim an = lim = limł ł = , więc r = = 8.
ł ł ł ł
n " n "
2n +1łł n "ł 2n +1łł 8 g
ł
"
2n
2. Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregu potęgowego
"ln n xn .
n=1
Rozwiązanie
Wyznaczamy promień zbieżności szeregu.
an+1 2n+1 ln n 2ln n ln n
g = lim = lim = lim = 2 , ponieważ lim = 1
n " n "
an n " ln(n +1)2n n " ln(n +1) ln(n +1)
"
ł łł
[ 1
ł śł
"
ł ł
H
ln x x +1
x
gdyż lim = lim = lim = 1.
n " x " x "
1
ln(x +1) x
x +1
1 1 1 1
ł ł
Promień zbieżności r = = , zatem szereg jest zbieżny w przedziale otwartym ;
ł ł
g 2 2 2
ł łł
ł- 1 1 1
ł ł
oraz jest rozbieżny w zbiorze ",- ł ł ł
*" , "ł . Zbadamy zbieżność szeregu dla x = -
ł
2 2 2
ł łł ł łł
1 1
oraz x = . Dla x = - otrzymujemy szereg liczbowy naprzemienny.
2 2
n
ł- 1
ł
2n "
ł ł
n
" "
2 (-1) 1 1
ł ł
ł łł
= . Ponieważ ciąg jest malejący oraz lim = 0 , więc na
ł ł
" "
n "
ln n ln n ln n ln n
ł łł
n=2 n=2
podstawie kryterium Leibniza otrzymany szereg naprzemienny jest zbieżny, stąd dany szereg
1 1
jest zbieżny dla x = - . Dla x = otrzymujemy szereg liczbowy o wyrazach dodatnich.
2 2
n
1
2n "ł ł "
ł ł
"
2 1
ł łł
= .
" "
ln 2 ln n
n=2 n=2
"
1 1 1
Ponieważ > dla n e" 2 oraz jest rozbieżny, więc na podstawie kryterium
"
ln n n n
n=1
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
47
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
"
1
porównawczego wnioskujemy, że jest rozbieżny. Ostatecznie dany szereg potęgowy
"
ln n
n=2
1 1
ł
jest zbieżny w przedziale - , .
ł
2 2
łł
Zadania
1. Obliczyć promień zbieżności szeregu:
n
" " " "
xn 6n n!
a) ; b) xn ; c) xn ; d) xn .
" " " "10n
nn (n +1)n
n + 3
n=1 n=1 n=1 n=1
2. Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych:
n
" "
3
n+1
a)
"(-1) xn ; b) "(-n) xn .
n
n=1 n=1
Odpowiedzi
1 1 ł 1 1
1. a) 1; b) + " ; c) ; d) ; 2. a) (-1,1 > ; b) ł- , .
ł
e 10 3 3
ł
Literatura: Z. Roz. V, ż 3, 4.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
48
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
SZEREG TAYLORA
CII 14
1. Szereg Taylora
2. Szereg Maclaurina
1. Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora
W [WII 15] podano twierdzenie Taylora oraz rozwinięcie w szereg Maclaurina wybranych
funkcji. Ponadto podano zastosowanie szeregu Taylora do całkowania funkcji.
Przykład
Korzystamy z rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji (1+ x)ą podanego w [WII 15]:
ą (ą -1) ą (ą -1)(ą - 2)
(1+ x)ą =1+ąx + x2 + x3 + ... dla -1< x <1.
2! 3!
1
3
Ponieważ 1+ x = (1+ x)3 , więc mamy
1
1 x 2 x2 2"5 x3 2"5"8 x4
3
f (x) = 1+ x = (1+ x)3 =1+ - " + " - " + ... szereg jest zbieżny
3 1! 32 2! 33 3! 34 4!
dla -1< x <1.
2. Zastosowanie szeregu Taylora
Przykłady
1
sin x
1. Obliczyć całkę dx z dokładnością do 0,001.
+"
x
0
Rozwiązanie
sin x
Całka nieoznaczona dx jest całką nieelementarną, więc najpierw rozwiniemy funkcję
+"
x
sin x
podcałkową w szereg Maclaurina, a następnie otrzymany szereg będziemy całkowali
x
wyraz po wyrazie .
x3 x5 x7
Korzystamy z rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji sin x = x - + - + ..., x" R.
3! 5! 7!
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
49
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ł ł
sin x 1 x3 x5 x7 ł x2 x4 x6
ł
Stąd = x - + - +...ł =1- + - + ... .
ł
x x 3! 5! 7! 3! 5! 7!
ł łł
1 1
ł ł ł ł
sin x x2 x4 x6 x3 x5 x7 1
dx = ł ł
+" +"ł1- 3! + 5! - 7! + ...łdx = ł x - 3"3! + 5"5! - 7 "7! + ...ł 0 =
ł ł
x
ł łł ł łł
0 0
1 1 1 1 1 1
=1- + - + ... =1- + - + ...
3"3! 5"5! 7 "7! 18 600 35280
Biorąc sumę trzech pierwszych składników popełniamy błąd bezwzględny " spełniający
nierówność
1
1 sin x
" < < 0,0005 , stąd dx H" 0,946.
+"
35280 x
0
2. Obliczyć wartość przybliżoną całki
1
+"cos x2dx biorąc 2 wyrazy rozwinięcia funkcji podcałkowej w szereg i podać dokładność
0
przybliżenia.
Rozwiązanie
Korzystamy z podanego rozwinięcia funkcji cos x w szereg Maclaurina a następnie
podstawiamy x2 za x.
n
x2 x4 x6 (-1) x2n x4 x8 x12
cos x = 1- + - + ... + + ... , stąd cos x2 =1- + - + ....
2! 4! 6! (2n) ! 2! 4! 6!
1 1
ł ł ł ł
x4 x8 x12 ł x5 x9 ł 1 1 1
x2dx =
+"cos +"ł1- 2! + 4! - 6! + ...łdx = ł x - 5"2! + 9" 4! -...ł 0 =1- 5"2! + 9" 4! -...
ł ł
ł łł ł łł
0 0
1
1
x2dx H"1- = 0,9 .
+"cos
5"2!
0
1 1
Błąd bezwzględny " spełnia nierówność " = = < 0,01.
9" 4! 216
Zadania
1. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcje:
a) f (x) = 2x ; b) f (x) = 1+ x
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
50
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
1
-x2
2. Obliczyć całkę dx z dokładnością do 0,001.
+"e
0
Odpowiedzi
ln 2 ln2 2 lnn-1 2
1. a) 2x =1+ " x + " x2 +...+ xn-1 +..., x" R.
1! 2! (n -1)!
1 x 1 x2 1"3 x3 1"3"5 x4
b) 1+ x =1+ " - " + " - " + ...
2 1! 22 2! 23 3! 24 4!
Szereg zbieżny dla -1< x <1. 2. 0,747 .
Literatura: Z. Roz V, ż 6, 7.
Projekt Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
51
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
II sem matematyka wykladyII sem jezyk ang156 2002 II sem diesel YESI kolos II semMatematyka sem IIwięcej podobnych podstron