Typowe pytania:
tw. dot. rozwiązywalności ukł. równań liniowych
jak określamy kąt między prostą (podaj jej równania parametryczne) a plaszczyzną (podaj jej
rownanie ogólne)? Podaj warunki na to, aby prosta i plaszczyzna byly:
A równoległe
B prostopadle
Podaj def poch. czÄ…stk. f(x,y) funkcji z=f(x,y) w punkcie P(x,y) wraz z interpretacjÄ… geom
def min i max
def całki podwójnej funkcji z=f(x,y) po prostokącie coś tam
Podaj dwa zastosowania geom calki podwójnej
podaj interpretację geom całki krzywoliniowej nieskierowanej
Podaj wzór postaci tryg l. zesp. "z" wyjaśniając występujące w nim symbole. jak wykonujemy
mnożenie i dzielenie liczb zesp jeśli podane są one w post tryg. podaj odpowiednie wzory
Wykłady
Wyznaczniki:
1. IstniejÄ… tylko dla macierzy kwadratowych
2. Jest to taka liczba, że:
" det [a]=a
" dla macierzy stopnia k Ä…1 :
n
det A= śą-1źąkƒÄ… j akj M
"
kj
k=1
Własności wyznaczników:
1. Przestawienie dwóch wierszy lub kolumn powoduje zmianę znaku wyznacznika na
przeciwny
2. Wyznacznik nie zmieni się jeśli do wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (inną
kolumnę) pomnożony(ą) przez stałą.
3. Pomnożenie jednego wiersza (kolumny) wyznacznika przez stałą jest równoważne z
pomnożeniem tego wyznacznika przez tę stałą
1 0 ... 0
0 1 ... 0
Macierz I[ n×n ]= jest elementem neutralnym ze wzglÄ™du na mnożenie
... ... ... ...
[ ]
0 0 ... 1
" [ A]n×n A[ n×n]"I[n×n ]=I[ n×n]"A[n×n ]=A[n× n] ;
macierzy, tzn. jest
Minor stopnia r macierzy A - wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia r powstałej z
macierzy A poprzez skreślenie śąm-rźą jej wierszy i śąn-rźą jej kolumn.
Liczbę r nazywamy rzędem macierzy A jeśli istnieje jej niezerowy minor stopnia r zaś
wszystkie minory stopni wyższych niż r są równe zero.
Rśą Aźą=rzśą Aźą=r
Uwagi:
1. Macierz zerowa A=[0] ma rzÄ…d 0.
0 0 ... 0
0 0 ... 0
A=
... ... ... ...
[ ]
0 0 ... 0
2. RzÄ…d macierzy jednowierszowej lub jednokolumnowej o co najmniej jednym
elemencie różnym od zera jest równy 1.
3. Rząd macierzy A i rząd macierzy są równe
AT
rz śą Aźą=rz śą AT źą
rz śą A[m ×n]źą=min śąm , nźą
4.
RzÄ…d macierzy nie ulegnie zmianie, gdy wykonamy jednÄ… z operacji na wierszach lub kolumnach:
1. przestawienie dwóch wierszy (kolumn)
//niezerowy minor co najwyżej zmieni znak ale na pewno pozostanie niezerowy
2. dowolny wiersz (kolumnę) pomnożymy przez dowolną liczbę różną od zera
//niezerowy minor zostanie pomnożony przez tę liczbę ale na pewno pozostanie niezerowy
3. do dowolnego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez
dowolną stałą
//niezerowy minor pozostanie niezerowy
Element kierunkowy  pierwszy niezerowy element w dowolnym niezerowym wierszu macierzy
Rodzaje macierzy:
1 0 ... 0
0 1 ... 0
" diagonalna A[ m×n]=
... ... ... ...
[ ]
0 0 ... 1
" osobliwa det A=0
" odwrotna
Jeśli macierz A jest nieosobliwa, tzn. A
" A-1 (odwrotna do macierzy ), że
A[ n×n]"A-1 ]= A-1 ]"A[ n×n]=I[ n×n ]
[ n×n [n×n
0 0 ... 0
0 0 ... 0
" zerowa A=
... ... ... ...
[ ]
0 0 ... 0
a1 x21 ... xm1
0 a2 ... xm2
A=
" trójkątna
... ... ... ...
[ ]
0 0 ... an
Ä… pierwsza niezerowa kolumna zawiera element kierunkowy I wiersza
ą każdy następny wiersz ma element kierunkowy w kolumnie dalszej niż poprzedni
ą wiersze zerowe stoją poniżej wierszy niezerowych
a1 x1ƒÄ…a2 x2ƒÄ…...ƒÄ…an xn=b
Równanie postaci śą1źą nazywamy równaniem liniowym n
zmiennych, gdzie:
" śąa1,a2,... , anźą śą x1, x2,... , xnźą
współczynniki przy niewiadomych
" b wyraz wolny
śą xÚ1, xÚ2,... , xÚnźą
Rozwiązanie równania śą1źą  uporządkowany układ (ciąg) liczb spełniających
równanie śą1źą .
Rozwiązać równanie  znalez
ć wszystkie jego rozwiązania /czyli wszystkie ciągi -elementowe
n
śą xÚ1, xÚ2,... , xÚnźą
Rodzaje równań liniowych:
" (nie)jednorodne b=0 ( b`"0 )
Układ m równań liniowych o niewiadomych ma postać:
n
a11 x1ƒÄ…a12 x2ƒÄ…...ƒÄ…a1n xn=b1
a21 x1ƒÄ…a22 x2ƒÄ…...ƒÄ…a2n xn=b2
śą2źą
...
{ }
am1 x1ƒÄ…am2 x2ƒÄ…...ƒÄ…amn xn=bm
Rodzaje układów równań liniowych:
b1=b2=...=bn=0 "bi`"0
" (nie)jednorodny wszystkie ( , i=1, 2, ... , m )
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
A=
Macierz postaci: nazywamy macierzą współczynników układu śą2źą .
... ... ... ...
[ ]
am1 am2 ... amn
a11 a12 ... a1n b1
a21 a22 ... a2n b2
[ A ,b]=
Macierz postaci: nazywamy macierzą uzupełnioną.
... ... ... ... ...
[ ]
am1 am2 ... amn bm
b1
b2
B=
Jednokolumnową macierz nazywamy kolumną wyrazów wolnych.
...
[ ]
bm
x1
x2
X =
JednokolumnowÄ… macierz nazywamy kolumnÄ… niewiadomych.
...
[ ]
xm
Wtedy ukÅ‚ad śą2źą możemy zapisać jako AÅ"X =B
śą xÚ1, xÚ2,... , xÚnźą
Rozwiązanie układu równań śą2źą  uporządkowany układ (ciąg) liczb
spełniających układ równań śą2źą .
Rozwiązać układ równań śą2źą  znalez
ć wszystkie jego rozwiązania /czyli wszystkie ciągi -
n
śą xÚ1, xÚ2,... , xÚnźą
elementowe
Przestrzeń n-wymiarowa w - zbiór wszystkich uporządkowanych układów n liczb
!n
rzeczywistych śąn‡Ä…1źą .
śą x1, x2,... , xnźą x1, x2,... , xn
Układy nazywamy punktami przestrzeni , a liczby -
!n
współrzędnymi prostokątnymi tych punktów.
śąa1, a2,... , anźą
- odległość dwóch punktów A i B
d = śąa1ƒÄ…b1źą2ƒÄ…śąa2-b2źą2ƒÄ…...ƒÄ…śąan-bnźą2
ćą
AB
śąb1,b2,... , bnźą
w przestrzeni
!n
Qśą P0 ; rźą P0śąa1,a2,... , anźą
Otoczenie punktu o promieniu r to zbiór wszystkich punktów
P śą x1, x2,... , xnźą d "ąr
, dla których
P P
0
S śą P0 ; rźą P0śąa1,a2,... , anźą
Sąsiedztwo punktu o promieniu r to zbiór wszystkich punktów
P śą x1, x2,... , xnźą 0"ąd "ąr
, dla których
P0 P