MATEMATYKA
(I rok, semestr letni)
2013/2014
1. Definicja iloczynu skalarnego i wzór na iloczyn skalarny (D)*; przykłady.
2. Własności iloczynu skalarnego (D); przykłady.
3. Orientacja układu współrzędnych.
4. Definicja orientacji trójki wektorów.
5. Definicja iloczynu wektorowego i wzór na iloczyn wektorowy (D); przykłady.
6. Własności iloczynu wektorowego (D); przykłady.
7. Pole równoległoboku i trójkąta (D); przykłady.
8. Definicja iloczynu mieszanego i wzór na iloczyn mieszany (D); przykłady.
9. Własności iloczynu mieszanego (D); przykłady.
10. Objętość równoległościanu i ostrosłupa (D); przykłady.
11. Prosta w Ä„ð3 :
- równanie parametryczne w postaci wektorowej (D); przykłady
- odległość punktu od prostej (D); przykłady
- wzajemne położenie dwóch prostych; przykłady
- proste skośne; przykłady
- odległość prostych skośnych (D); przykłady
- kąt między prostymi; przykłady
12. PÅ‚aszczyzna:
- równanie parametryczne w postaci wektorowej (D); przykłady
- równanie ogólne w postaci wektorowej (D); przykłady
- odległość punktu od płaszczyzny (D); przykłady
- wzajemne położenie dwóch płaszczyzn; przykłady
- wzajemne położenie prostej i płaszczyzny; przykłady
- pęk płaszczyzn; przykłady
13. Definicja zbioru liczb zespolonych.
14. Jednostka urojona.
15. Twierdzenie o postaci algebraicznej liczby zespolonej (D).
16. Definicja liczby sprzężonej; przykłady.
17. Własności sprzężenia (D).
18. Postać wektorowa liczby zespolonej; przykłady.
19. Moduł i argument liczby zespolonej; przykłady.
20. Własności modułu (D).
21. Postać trygonometryczna i wykładnicza liczby zespolonej oraz działania na liczbach zespolonych (D).
22. Wzór de Moivre a (D) ; przykłady zastosowania
23. Pierwiastek z liczby zespolonej (D) ; przykłady.
24. Rozwiązywanie równań w zbiorze liczb zespolonych; przykłady.
25. Interpretacje geometryczne zbiorów na płaszczyz
nie zespolonej; przykłady.
26. Definicja funkcji wielu zmiennych; przykłady.
27. Definicja Heinego (Cauchy ego) granicy funkcji wielu zmiennych; przykłady.
28. Ciągłość funkcji wielu zmiennych; przykłady.
29. Pochodna kierunkowa; interpretacja geometryczna; przykłady.
30. Pochodna cząstkowa; interpretacja geometryczna; przykłady.
31. Gradient; przykłady.
32. Wzór na pochodną kierunkową (D) ; przykłady
33. Granica, ciÄ…gÅ‚ość, pochodna kierunkowa, pochodna czÄ…stkowa odwzorowaÅ„ z Ä„ðn w Ä„ðk .
34. Definicja różniczki odwzorowania z Ä„ðn w Ä„ðk .
35. Pochodna odwzorowania z Ä„ðn w Ä„ðk .
36. Twierdzenie o postaci pochodnej odwzorowania z Ä„ðn w Ä„ðk .
37. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych.
38. Twierdzenie o jednoznaczności różniczki (D).
39. Twierdzenie o różniczkowaniu odwzorowania liniowego (D).
40. Twierdzenie o różniczkowaniu odwzorowania złożonego.
41. Twierdzenie o związku różniczki odwzorowania z różniczkami jego składowych.
42. Twierdzenie o działaniach arytmetycznych na różniczkach funkcji wielu zmiennych.
43. Twierdzenie o różniczkowaniu funkcji złożonej wielu zmiennych (D).
44. Twierdzenie o postaci różniczki funkcji wielu zmiennych (D).
45. Pochodna cząstkowa i różniczka II rzędu; przykłady.
46. Twierdzenie o postaci drugiej różniczki funkcji wielu zmiennych.
47. Równości Schwarza.
48. Twierdzenie Taylora.
49. Twierdzenie Taylora z resztÄ… Peano.
50. WK istnienia ekstremum lokalnego funkcji wielu zmiennych (D) ; przykłady.
51. WW istnienia ekstremum lokalnego funkcji wielu zmiennych (D dla n=2,3) ; przykłady.
52. Podział odcinka; przykłady.
53. Definicja sumy całkowej i jej interpretacja geometryczna.
54. Definicja całki oznaczonej i jej interpretacja geometryczna.
55. Własności całki oznaczonej; przykłady.
56. WK istnienia całki oznaczonej (D) i WW istnienia całki oznaczonej.
57. Funkcja górnej granicy całkowania.
58. Twierdzenie Newtona  Leibniza (D) ; przykłady zastosowania.
59. Twierdzenie o całkowaniu przez części (D) ; przykłady.
60. Twierdzenie o całkowaniu przez zmianę zmiennych (D) ; przykłady.
61. Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienia (D) ; przykłady.
62. Zastosowanie całki oznaczonej; przykłady:
- pole figury płaskiej
- długość krzywej
- objętość bryły obrotowej
- pole powierzchni bryły obrotowej
63. Definicja całki niewłaściwej I i II rodzaju; przykłady.
64. Podział prostokąta.
65. Definicja sumy całkowej po prostokącie i jej interpretacja geometryczna.
66. Definicja całki podwójnej po prostokącie i jej interpretacja geometryczna.
67. Własności całki podwójnej; przykłady.
68. Twierdzenie Fubiniego dla całki podwójnej po prostokącie; przykłady zasosowania.
69. Definicja całki podwójnej po obszarze ograniczonym i jej interpretacja geometryczna.
70. Obszar normalny względem osi układu; przykłady.
71. Twierdzenie Fubiniego dla całki podwójnej po obszarze normalnym (D) ; przykłady zastosowania.
72. Obszar regularny na płaszczyz
nie; przykłady.
73. Całka podwójna po obszarze regularnym; przykłady.
74. Definicja przekształcenia obszarów na płaszczyz
nie; przykłady.
75. Definicja jakobianu przekształcenia; przykłady.
76. Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce podwójnej
77. Współrzędne biegunowe; przykłady zastosowania.
78. Zastosowanie całki podwójnej (objętość bryły, pole powierzchni, pole figury płaskiej) ; przykłady
79. Podział prostopadłościanu.
80. Definicja całki potrójnej po prostopadłościanie.
81. Twierdzenie Fubiniego dla całki potrójnej po prostopadłościanie; przykłady zastosowania.
82. Definicja całki potrójnej po obszarze ograniczonym.
83. Obszar normalny względem płaszczyzn układu; przykłady.
84. Twierdzenie Fubiniego dla całki potrójnej po obszarze normalnym; przykłady zastosowania.
85. Obszar regularny w przestrzeni; przykłady.
86. Całka potrójna po obszarze regularnym; przykłady.
87. Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce potrójnej; przykłady zastosowania
89. Współrzędne walcowe; przykłady zastosowania.
80. Współrzędne sferyczne; przykłady zastosowania.
81. Zastosowanie całki potrójnej (objętość bryły) ; przykłady
82. Definicja równania różniczkowego zwyczajnego; przykłady.
83. Definicja rozwiązania równania różniczkowego; przykłady.
84. Definicja zagadnienia początkowego; przykłady.
85. Definicja rozwiązania zagadnienia początkowego; przykłady.
86. Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych; przykłady.
87. Równanie różniczkowe zupełne; przykłady.
88. Równanie różniczkowe liniowe I rzędu; przykłady:
- postać rozwiązania (D)
- MUS
- MPR
89. Równanie różniczkowe liniowe II rzędu o stałych współczynnikach:
- układ fundamentalny
- postać rozwiązania
- MUS
- MPR
90. Definicja łuku regularnego; przykłady.
91. Definicja całki krzywoliniowej niezorientowanej i jej interpretacja fizyczna.
92. Własności całki krzywoliniowej niezorientowanej; przykłady.
93. Twierdzenie o zamianie całki krzywoliniowej niezorientowanej na całkę oznaczoną; przykłady.
94. Długość krzywej; przykłady.
95. Definicja krzywej zorientowanej; przykłady.
96. Definicja pola wektorowego.
97. Definicja całki krzywoliniowej zorientowanej i jej interpretacja fizyczna.
98. Własności całki krzywoliniowej zorientowanej; przykłady.
99. Twierdzenie o zamianie całki krzywoliniowej zorientowanej na całkę oznaczoną; przykłady.
100. Wzór Greena  zastosowanie do liczenia pól figur płaskich.
101. Pole potencjalne; przykłady.
102. Niezależność całki krzywoliniowej zorientowanej od drogi całkowania; przykłady.