Materiał pomocniczy do ćw. 2 z Elektrodynamiki (P. Kowalczyk)
1 Funkcja liniowa
Funkcją nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi danego zbioru, zwanego dziedziną,
jednej (i tylko jednej) konkretnej wartości z innego zadanego zbioru (zwanego przeciwdziedziną).
Funkcja liniowa (której wykresem jest prosta) najczęściej zapisywana jest w postaci kierunkowej
y = ax + b. Rozważmy dwa punkty należące do tej prostej A(xA, yA) i B(xB, yB) (patrz rys. 1).
Zachodzi dla nich relacja yA = axA + b oraz yB = axB + b. Tangens kÄ…ta jaki prosta tworzy z osiÄ…
odciętych x jest równy współczynnikowi kierunkowemu a. Wynika to bezpośrednio z następujących
yB-yA (axB +b)-(axA+b)
przekształceń tan ą = = = a. Parametr b jest równy wartości funkcji w
xB-xA xB-xA
punkcji x = 0 i nazywa się parametrem przesunięcia.
y
y2
y
y1
x

x
x1 x2
Rysunek 1: Funkcja liniowa
Przykłady
1. Znajdz
równanie prostej przechodzącej przez punkt P (1, 3) tworzącej z prostą y = 1/2x + 1
kÄ…t Ä„/4.
RozwiÄ…zanie:
Rozważmy dwie proste o kątach nachylenia do osi rzędnych wynoszących odpowiednio ą1 oraz
ą2. Ich współczynniki kierunkowe sa wówczas równe a1 = tan ą1 oraz a2 = tan ą2. Oznaczmy
przez Õ kÄ…t pomiÄ™dzy prostymi Õ = Ä…2 - Ä…1. KorzystajÄ…c ze wzoru na tangens różnicy kÄ…tów
a2-a1
tan Õ = . StÄ…d znajÄ…c współczynnik kierunkowy (a1) jednej z prostych wyznaczyć
1+a1a2
a1+tan Õ
można współczynnik prostej nachylonej pod kÄ…tem wiÄ™kszym o Õ a2 = . W zadaniu
1-a1 tan Õ
musimy rozważyć dwa przypadki Õ+ = Ä„/4 oraz Õ- = -Ä„/4. Odpowiednio w każdym z
przypadków dla a1 = 1/2 otrzymujemy a2+ = 3 oraz a2- = -1/3. Współczynniki przesunięcia
w obu wariantach wyznaczyć można podstawiając współrzędne punktu A do równań prostych
y+ = 3x + b+ oraz y- = -1/3x + b-. Ostatecznie y+ = 3x oraz y- = -1/3x + 4
2. Znajdz
równanie stycznej do paraboli y = x2 w punkcie x0 = 1.
RozwiÄ…zanie:
Podstawiając do równania paraboli zadane x0 wyznaczyć można drugą współrzędną punktu
styczności y0 = 1. Jednak, znajomość tych współrzędnych nie wystarczy do jednoznacznego
wyznaczenia równania stycznej. Obierzmy zatem drugi punkt leżący na paraboli o współrzęd-
nej odciętej zwiększonej o pewną wartość h x1 = x0 + h = 1 + h, wówczas y1 = 1 + 2h + h2.
Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez te punkty wyraża zatem relacja a(h) =
y1-y0
2h+h2
= = 2+h, a jego wartość uzależniona jest od wyboru h. Otrzymany w ten sposób
x1-x0 h
współczynnik kierunkowy nie jest jednoznaczny i w zależności od zadanej wartości h będzie
przyjmował różne wartości. Dla przypadku gdy h 0, współczynnik kierunkowy stanie się
1
współczynnikiem kierunkowym prostej stycznej a = 2. Pozostaje jeszcze wyznaczyć wartość
współczynnika b. Otrzymujemy ją podstawiając do równania y = 2x + b współrzędne x0 i y0.
Ostatecznie styczna ma postać y = 2x - 1.
3. Wyznacz współczynnik kierunkowy stycznej do paraboli y = x2 w dowolnym punkcie x0.
RozwiÄ…zanie:
Podobnie jak w poprzednim przykładzie obieramy dwa punkty leżące na paraboli o odciętych
x0 i x1 = x0 + h oraz rzędnych równych odpowiednio y0 = x2 i y1 = x2 + 2x0h + h2.
0 0
Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez te punkty wyraża relacja a(h, x0) =
y1-y0 2x0h+h2
= = 2x0+h. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, gdy h 0, współczynnik
x1-x0 h
kierunkowy stanie się współczynnikiem kierunkowym prostej stycznej a(x0) = 2x0. Warto tu
zwrócić uwagę, że współczynnik kierunkowy stycznej wyraża charakter zmienności funkcji,
tzn. wartość współczynnika jest duża w punktach w których funkcja jest szybkozmienna,
natomiast bliska zeru w punktach gdzie funkcja zmienia siÄ™ wolno.
2 Pochodna funkcji jednej zmiennej - interpretacja i zastosowanie
Geometrycznie pochodna funkcji interpretowana jest jako współczynnik kierunkowy prostej stycznej
do funkcji. Dla zadanej funkcji f(x) wybieramy punkt do niej należący (x0, f(x0)). W celu określenia
współczynnika nachylenia stycznej obieramy dodatkowo drugi punkt (również należący do krzywej
f(x)) o współrzędnych (x0 + "x, f(x0 + "x)) (patrz rys. 2). Współczynnik kierunkowy prostej
przechodzącej przez te punkty wyraża się następującym wzorem (ilorazem różnicowym):
"f f(x0 + "x) - f(x0)
a = = , (2.1)
"x "x
i jest on oczywiście zależny od doboru przyrostu "x. Gdy "x 0 rozważana prosta staje się stycz-
f(x)
f(x + x)
0
f
f(x )
0
x
x
x x + x
0 0
Rysunek 2: Interpretacja graficzna pochodnej funkcji
ną do funkcji f(x) w punkcie x0, a otrzymany współczynnik kierunkowy nazywany jest pochodną
funkcji
f(x0 + "x) - f(x0) df
a = lim = (x0) = f (x0). (2.2)
"x0 "x dx
Warto zaznaczyć, że istnieją też inne równoważne definicje pochodnej
f(x0 + "x) - f(x0)
f (x0) = lim
"x0 "x
f(x0 + "x/2) - f(x0 - "x/2)
= lim
"x0 "x
f(x0) - f(x0 - "x)
= lim . (2.3)
"x0 "x
2
2.1 Gradient jednowymiarowy
Wartość pochodnej w danym punkcie informuje o charakterze zmienności funkcji w tym punkcie.
Dodatnia wartość pochodnej oznacza, że funkcja rośnie, zaś ujemna, że funkcja maleje. Nie tylko
znak pochodnej jest istotny, dodatkowo jej wartość mówi o tempie wzrostu lub spadku funkcji.
Własność ta wykorzystana jest w operatorze różniczkowym nazywanym gradientem. Gradient w
przestrzeni jednowymiarowej definiowany jest w następujący sposób:
df
gradf(x) = (x)ix. (2.4)
dx
Wynikiem działania tego operatora na funkcję jest pole wektorowe, przyporządkowujące każdemu
punktowi dziedziny wektor wskazujący kierunek najszybszego wzrostu funkcji (patrz przykłady).
2.2 Różniczka funkcji jednej zmiennej
Różniczką nazywamy nieskończenie małą zmianę wartości funkcji df, która wynika z nieskończenie
małej zmiany argumentu dx:
df = f (x)dx. (2.5)
Powyższa relacja jest wykorzystywana do wyznaczania przybliżonej wartości funkcji, w przypadku
gdy znana jest wartość funkcji w jej niedalekim sąsiedztwie. Zakładając, że znamy wartość funkcji
w punkcji x0, przybliżona wartość funkcji w punkcie odległym o "x wyraża się wzorem:
f(x0 + "x) H" f(x0) + f (x)"x. (2.6)
Przykłady
1. KorzystajÄ…c z definicji, wyznacz pochodnÄ… funkcji f(x) = xn.
RozwiÄ…zanie:
Wartości funkcji w punktach x0 i x0 + "x wynoszą odpowiednio f(x0) = xn i f(x0 + "x) =
0

n
n
(x0+"x)n = xn-k"xk Podstawiając te wartości do definicji pochodnej otrzymu-
k=0 0
k

n
n

xn-k"xk
0
k=1
k
n
n
jemy f (x0) = lim"x0 = lim"x0 k=1 xn-k"xk-1 = nxn-1.
0 0
"x
k
2. W arkuszu tektury o wymiarach 210×297mm (A4) wyciÄ™to kwadraty w czterech narożnikach
i sklejono ją w taki sposób, że powstało pudełko bez wieczka. Określ jaka powinna być długość
boku kwadratu, aby pojemność pudełka była największa.
RozwiÄ…zanie:
Objętość pudełka opisuje relacja V (x) = (210 - 2x)(297 - 2x)x, gdzie x jest długością boku
kwadratu. Ponieważ argument x należy do przedziału (0, 105) i na obu krańcach przedziału
wartość pola jest zerowa, to wewnątrz przedziału istnieje punkt, w którym jest ona najwięk-
sza. Punkt ten wyznaczyć można poprzez znalezienie xmax dla którego pochodna z objętości

w funkcji x będzie równa zero V (x) = 12x2 - 2028x + 62370 oraz V (xmax) = 0. Ostatecz-
"
169Ä… 7771
nie znajdujemy dwa punkty x = spełniające warunek zerowania się pochodnej.
2
"
169- 7771
Jednakże tylko jeden należy do zadanego przedziału xmax = H" 40.4mm.
2
3. Wyznacz wymiary beczki o pojemności V0 = 200l tak aby była ona najtańsza i najlżejsza
(miała najmniejsze pole powierzchni całkowitej). Zakładamy, że beczka jest w przybliżeniu
walcem.
RozwiÄ…zanie:
3
Pole powierzchni całkowitej walca wyraża się wzorem P (r, h) = 2Ąrh + 2Ąr2, gdzie r jest
promieniem podstawy, zaś h wysokością walca. Ustalona objętość determinuje relację po-
2V0
między promieniem i wysokością V0 = Ąr2h, stąd P (r) = 2Ąr2 + . Ponieważ argument
r
r należy do przedziału (0, ") i na obu krańcach przedziału wartość pola jest nieskończo-
na, to wewnątrz przedziału istnieje punkt, w którym jest ona najmniejsza. Podobnie jak w
poprzednim przykładzie punkt ten wyznaczyć można poprzez znalezienie rmin dla którego po-
2V0
chodna pola całkowitego będzie równa zero P (r) = 4Ąr - oraz P (rmin) = 0. Ostatecznie
r2

3 V0
rmin = H" 3.17dm.
2Ä„
4. Wyznacz wyrażenie na gradient funkcji f(x) = x3/15 - 3x2/5 + x + 2 oraz oblicz i zaznacz
na wykresie gradient w punktach x = 0, 1, 2, . . . , 6.
RozwiÄ…zanie:
Gradient funkcji f(x) ma postać gradf(x) = (x2/5 - 6x/5 + 1)ix (patrz rys. 3).
3
2
1
0
-1
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
x
Rysunek 3: Funkcja i jej gradient.
"
5. Określ przybliżoną wartość wyrażenia 3.98.
RozwiÄ…zanie:
"
1
"
Wprowadzamy funkcję pomocniczą f(x) = x, której pochodna ma postać f (x) = .
2 x
Korzystając z relacji (2.6), przy założeniu x0 = 4 oraz "x = -0.02 , otrzymujemy f(3.98) H"
f(4) - 0.02f (4) = 1.995.
3 Funkcja wielu zmiennych
Dziedzinę dla funkcji wielu zmiennych stanowią punkty należące do przestrzeni wielowymiarowej:
dla funkcji dwóch zmiennych dziedziną jest pewien obszar powierzchni (dwuwymiarowej), zaś dla
funkcji trzech zmiennych dziedzina jest pewna objętość. Na rys. 4 przedstawiono wykres funkcji
dwóch zmiennych z = f(x, y) - każdemu punktowi na płaszczyz
nie xy przyporzÄ…dkowana jest pewna
wartość liczbowa z.
3.1 Pochodne czÄ…stkowe - interpretacja i zastosowanie
Pochodna czÄ…stkowa po zadanej zmiennej, liczona jest identycznie jak pochodna zwyczajna przy
założeniu, że wszystkie pozostałe zmienne przyjmują ustaloną wartość (traktowane są jak parame-
try). Pochodne cząstkowa funkcji f(x, y) definiuje się następująco: pochodna cząstkowa po zmiennej
x
"f f(x0 + "x, y0) - f(x0, y0)
(x0, y0) = lim . (3.7)
"x "x0 "x
4
f(x)
z
y
x
Rysunek 4: Funkcja dwóch zmiennych f(x, y) = 10 - 3x2 - y2
oraz pochodna czÄ…stkowa po zmiennej y
"f f(x0, y0 + "y) - f(x0, y0)
(x0, y0) = lim . (3.8)
"y "y0 "y
Przykłady
1. Wyznacz pochodne czÄ…stkowe funkcji f(x, y) = 1 - x2/6 - y2/6 w punktach: A(-2, -2),
B(0, -2), C(2, -2), D(-2, 0), E(0, 0), F (-2, 2) .
RozwiÄ…zanie:
"f "f
Pochodne czÄ…stkowe funkcji wynoszÄ… odpowiednio (x0, y0) = -x0/3 oraz (x0, y0) =
"x "y
-y0/3. Zatem (patrz rys. 5):
A B C D E F
"f
2/3 0 -2/3 2/3 0 2/3
"x
"f
2/3 2/3 2/3 0 0 -2/3
"y
3.2 Gradient wielowymiarowy
W przypadku dwuwymiarowym gradient definiuje siÄ™ jako:
"f "f
gradf(x, y) = ix + iy. (3.9)
"x "y
Na rysunku 5 przedstawiono gradient funkcji f(x, y) = 1-x2/6-y2/6 w kilku wybranych punktach
- gradf(x, y) = -x/3ix -y/3iy. Jak widać (podobnie jak w przypadku jednowymiarowym) gradient
wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji.
Definicję (3.9) łatwo uogólnić na przypadek trójwymiarowy:
"f "f "f
gradf(x, y, z) = ix + iy + iz. (3.10)
"x "y "z
5
3
2
1
0
-1
-2
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
Rysunek 5: Funkcja i jej gradient.
Przykłady
1. Oblicz gradient funkcji f(x, y, z) = x + xy + xyz.
RozwiÄ…zanie:
Gradient funkcji f(x, y, z) ma postać gradf(x, y, z) = (1 + y + yz)ix + (x + xz)iy + xyiz
2. Oblicz gradient funkcji f(x, y, z) = xy2z3 w punkcie (1, 2, -1).
RozwiÄ…zanie:
Gradient funkcji f(x, y, z) ma postać gradf(x, y, z) = y2z3ix + 2xyz3iy + 3xy2z2iz. Wartość
gradientu w zadanym punkcie wynosi gradf(1, 2, -1) = -4ix - 4iy + 12iz.
3.3 Różniczka zupełna
Różniczką zupełną nazywamy nieskończenie małą zmianę wartości funkcji df, która wynika z nie-
skończenie małych zmian jej argumentów. Dla funkcji trzech zmiennych:
"f "f "f
df = dx + dy + dz (3.11)
"x "y "z
Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym relacja ta może być wykorzystywana do wyznacza-
nia przybliżonej wartości funkcji, w przypadku gdy znana jest wartość funkcji w jej niedalekim
sÄ…siedztwie.
4 Całka Riemanna - interpretacje i zastosowania
b
Całka oznaczona f(x)dx interpretowana jest jako pole zawarte pomiędzy krzywą f(x) a osią Ox
a
na przedziale (a, b).
b-a
Przybliżoną wartość całki otrzymuje się sumując pola N prostokątów o podstawie "x =
N
i wysokościach f(a), f(a + "x), f(a + 2"x),..., f(b - 2"x), f(b - "x) (lub w zwartej formie
hi = f(a + "x(i - 1)), i = 1, 2, 3, ..., N)
6
y
-0.5
-0.5
0
0
-1
0.25
-1
0.25
0.5
0.5
-0.5
0
0.75
0.75
0
-0.5
0.25
0
0.75
0.5
0.25
-0.5
-0.5
0.5
0.75
0
0.5
0
-1
0.25
0.25
-1
-0.5
0
-0.5
f(x)
y
1 2 3 N
x x
a b
Rysunek 6: Całkowanie
b
f(x)dx H" f(a)"x + f(a + "x)"x + f(a + 2"x)"x + ... + f(b - 2"x)"x + f(b - "x)"x
a
= "x [f(a) + f(a + "x) + f(a + 2"x) + ... + f(b - 2"x) + f(b - "x)] (4.12)
Dowód:
F (x0+"x)-F (x0)
Gdy "x 0 (N ") możemy napisać f(x0) = lim , gdzie F (x) jest funkcją
"x
"x0
pierwotną funkcji f(x). Wówczas f(x0)"x = F (x0 + "x) - F (x0), zaś
b
f(x)dx = f(a)"x + f(a + "x)"x + f(a + 2"x)"x + ... + f(b - 2"x)"x + f(b - "x)"x =
a
= [F (a + "x) - F (a)] + [F (a + 2"x) - F (a + "x)] + [F (a + 3"x) - F (a + 2"x)] +
+... + [F (b - "x) - F (b - 2"x)] + [F (b) - F (b - "x)] = F (b) - F (a) (4.13)
4.1 Całka podwójna - interpretacja
Całka podwójna często interpretowana jest jako objętość bryły o podstawie S określonej granicami
całkowania. Zakłada się przy tym, że funkcja podcałkowa jest w tym obszarze dodatnia.
Przykład
1. Na rysunku 7 pokazano wykres funkcji f(x, y) = 10 - 3x2 - y2 określonej na powierzchni

x " (0, 1)
S : . Oblicz objętość bryły o podstawie S i określonej granicami całkowania.
y " (0, 2)
RozwiÄ…zanie:
Objętość bryły otrzymanej w ten sposób wyniesie:
îÅ‚ Å‚Å‚
2 1
46
ðÅ‚
V = f(x, y)ds = f(x, y)dxdy = f(x, y)dxûÅ‚ dy = (4.14)
3
S S 0 0
4.2 Całka potrójna - interpretacja
Całkę potrójną interpretować można na kilka sposobów np. wynikiem całki jest masa bryły zaj-
mującej objętość V , gdy założymy że funkcja podcałkowa reprezentuje gęstość objętościową masy.
Równie często wynik całki potrójnej reprezentować może całkowity ładunek zawarty w obszarze
V , wówczas funkcja podcałkowa określa gęstość objętościową ładunku. Do przedstawienia wykresu
7
z
y
x
Rysunek 7: Objętość ograniczona funkcją dwóch zmiennych f(x, y) = 10 - 3x2 - y2
funkcji trzech zmiennych należałoby użyć przestrzeni czterowymiarowej. Na rysunku 8 przedstawio-
Å„Å‚
ôÅ‚
x " (0, x0)
òÅ‚
no jedynie przykładowy obszar całkowania V : y " (0, y0) , na którym zdefiniowana jest funkcja
ôÅ‚
ół
z " (0, z0)
f(x, y, z).
z
z0
V
y0 y
x0
x
Rysunek 8: Objętość, po której wykonywane jest całkowanie
Przykład
Å„Å‚
ôÅ‚
x " (0, 1)
òÅ‚
1. Przyjmując że funkcja f(x, y, z) = xy + z, określona na objętości V : y " (0, 2) , opisuje
ôÅ‚
ół
z " (0, 3)
gęstość objętościową masy, wyznacz całkowitą masę bryły.
RozwiÄ…zanie:
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ üÅ‚
3 1
òÅ‚ 2 żł
ðÅ‚
m = f(x, y, z)dv = f(x, y, z)dxûÅ‚ dy dz = 12 (4.15)
ół þÅ‚
V 0 0 0
8