PODSTAWY
ELEKTRODYNAMIKI
Ćwiczenie 14
Pola na granicy ośrodków.
Warunki brzegowe.
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Pola występujące w ośrodku pierwszym oznaczone są indeksem 1, zaś w ośrodku
drugim indeksem 2.
Wersor skierowany jest z ośrodka pierwszego do drugiego.
W celu wyznaczenia pola w ośrodku drugim pole w ośrodku pierwszym należy rozłożyć
na składową w kierunku normalnym i stycznym do granicy. Relacje (związki) pomiędzy
składowymi pól w obu ośrodkach mają postać:
1 2
- =
- = 0
- = 0
- = ×
gdzie jest gęstością powierzchniową ładunku zgromadzonego na granicy ośrodków,
zaś jest gęstością liniową prądu powierzchniowego płynącego po granicy.
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Zad. 1. Rozłożyć wektor = 2,11,5 na składową w kierunku wersora = , , 0
i prostopadłą do wersora .
RozwiÄ…zanie:
" "
Iloczyn skalarny ° = = = 10 jest (liczbÄ…) rzutem wektora na kierunek
wyznaczony przez wektor .
Pomnożenie tego rzutu przez wektor tworzy wektor
= ° = 10 , , 0 = 6,8,0 .
||
Wyznaczenie składowej prostopadłej sprowadza się do obliczenia różnicy
= - = [-4,3,5].
||
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Równanie płaszczyzny a wektor normalny
Płaszczyznę w przestrzeni jednoznacznie określa wektor normalny = [ , , ] oraz punkt
( , , ) leżący w tej płaszczyz
nie. Dla dowolnego punktu ( , , ) należącego do
pÅ‚aszczyzny zachodzi relacja ° = 0 (wektory sÄ… prostopadÅ‚e). StÄ…d
, , ° - , - , - = 0, czyli:
+ + + (- - - ) = 0
Przykład
Znajdz
wersor normalny do płaszczyzny 2 - 2 + + 5 = 0.
RozwiÄ…zanie:
Wektor normalny = 2, -2,1 , zatem wersor normalny = Ä… = Ä… , - , .
| |
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Zad. 2. Rozłóż dany wektor pola na składową normalną i styczną do zadanej powierzchni
(a) wektor: = 1,2,3 , płaszczyzna: = 5,
(b) wektor: = 5 - 2 - 6 , płaszczyzna: + + = 0.
RozwiÄ…zanie (a):
W pierwszym kroku wyznaczamy wektor normalny do płaszczyzny:
= [0,1,0].
Wersor normalny wyznaczamy z relacji
= Ä… .
| |
Jeżeli nie jest to sprecyzowane w treści zadania znak możemy przyjąć dowolnie  wybieramy  + .
Zatem
= [0,1,0].
Składową normalną wyznaczamy z relacji
= ° = 2 0,1,0 = [0,2,0].
Natomiast składową styczną ze związku
= - = [1,0,3]
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
(b) wektor: = 5 - 2 - 6 , płaszczyzna: + + = 0.
RozwiÄ…zanie (b):
Podobnie jak w punkcie (a) rozpoczynamy od wyznaczenia wektora normalnego
= [1,1,1].
Długość wektora normalnego | | = 3 . Przyjmując znak  + do określenia
wersora normalnego = Ä… , otrzymujemy
| |
= , , .
Składowa normalna:
= ° = - , , = [-1, -1, -1],
Składowa styczna:
= - = [6, -1, -5].
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Zad. 3. Dana jest powierzchnia graniczna = , rozdzielająca dwa ośrodki: w
półprzestrzeni > powietrze (1) oraz materiał (2) o parametrach = 2 i = 3 w
półprzestrzeni < . Na granicy zgromadzony jest ładunek powierzchniowy = .
Określić pola w ośrodku (2), jeżeli w ośrodku (1) pola mają postać: = 0,3,0 oraz
= 1, -2,0 .
RozwiÄ…zanie:
Równanie płaszczyzny ma postać - + = 0, zatem wektor normalny = [-1,1,0] .
W tym przypadku ( skierowany z ośrodka 1 do 2) = - = , - , 0 ,
y
wówczas
1
= ° = - , - , 0 = - , , 0
= , , 0 .
2
x
Zatem, składowa styczna w drugim ośrodku
= = , , 0 .
- =
Składową normalną wyznaczamy z relacji
- = 0
- = .
- = 0
- = ×
StÄ…d
3 = + = - , , 0 + , - , 0 = , - , 0 ,
więc = , - , 0 . Ostatecznie = + = 2,1,0 .
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Podobnie postępujemy z polem magnetycznym,
= ° = , - , 0 = , - , 0
Oraz
= - , - , 0 .
- =
- = 0
Zgodnie z warunkami brzegowymi
- = 0
= = - , - , 0
- = ×
Oraz
W zadaniu: = 0
= .
StÄ…d
= = , - , 0 .
Ostatecznie
1 5
= + = , - , 0 .
4 4
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Zad. 4. Płaszczyzna = 5 jest brzegiem ośrodka o parametrach = 2 i = 3 . Po
płaszczyz
nie płynie prąd powierzchniowy w kierunku osi 0y. Pole magnetyczne w powietrzu
(półprzestrzeń x > 5), tuż przy granicy z ośrodkiem wynosi = 3, 11,2 . Znajdz
gęstość
liniową prądu powierzchniowego płynącego po granicy, wiedząc że wartość natężenia pola
magnetycznego w obu ośrodkach jest taka sama.
RozwiÄ…zanie: y
2 1
Z równani pł. - 5 = 0 wynika, że = [1,0,0] .
W zadaniu wersor = - = -1,0,0 ,
zatem = - 3 -1,0,0 = [ 3, 0,0] oraz = 0,11,2 .
x
Składową normalną pola w drugim ośrodku wyznaczamy z relacji = .
StÄ…d = , 0,0 .
- =
- = 0
Zgodnie z warunkami zadania = 0, , 0 , więc
- = 0
- = ×
= + × = 0,11,2 + = 0,11,2 + .
0 0
-1 0 0
PodsumowujÄ…c = + = , 11,2 +
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Równa wartość natężenia pola w obu ośrodkach oznacza, że | | = | |.
StÄ…d
+ 11 + 2 + = 3 + 11 + 2 .
Wówczas
2 + = .
Ostatecznie otrzymujemy dwa rozwiÄ…zania:
= 0, , 0
lub
= 0, - , 0 .
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej