WEKTORY
3.1 Wektory i skalary
Wektory
" Wielkości, które mają zarówno wartość
jak i kierunek
" Przykłady: przemieszczenie, prędkość,
przyspieszenie
Skalary
" Wielkości, które mają tylko wartość
" Przykłady: czas, prędkość, temperatura,
odległość
3.1 Wektory i skalary (cd.)
Strzałka jest graficznym symbolem wektora.
Øð DÅ‚ugość strzaÅ‚ki wyraża wartość wektora
Øð Grot strzaÅ‚ki oznacza kierunek wektora
Czasami wektory sÄ… oznaczane pogrubionÄ… czcionkÄ…, jak
np.: wektor a. Czasami są oznaczane strzałką na górze,
np.: rð
a
3.2 Geometryczne dodawanie wektorów
Wektor a i wektor b mogą być dodane geometrycznie, w wyniku
czego otrzymujemy sumÄ™ wektorowÄ…, wektor s.
Rysujemy drugi wektor b w taki sposób, aby jego początek był
końcem pierwszego wektora a (nie zmieniając kierunku wektorów).
Sumą wektorową jest wektor s łączący początek wektora a z końcem
(grotem) wektora b.
3.2 Geometryczne dodawanie wektorów (cd.)
Własności:
(przemienność dodawania)
(łączność dodawania)
(odejmowanie wektorów)
3.3 Przykład
3.4 Składowe wektorów
Składową wektora wzdłuż osi jest rzut tego wektora ta daną oś.
Proces znajdowania składowych wektora nazywamy jego rozkładem
na składowe.
W przestrzeni 3-wymiarowej istnieją trzy składowe wektora wzdłuż
każdej osi: x, y i z.
3.4 Składowe wektorów (cd.)
Składowe wektora znajdujemy korzystając z trójkąta prostokątnego.
3.5 Przykład
3.6: Sztuka rozwiązywania zadań
Kąty mierzymy względem dodatniego
Aby znalez
ć składowe
kierunku osi x, przy czym kÄ…t jest
Aby nie popełnić
wektora należy znać
dodatni, jeśli liczy się go w kierunku
błędu najlepiej
definicje funkcji
przeciwnym do kierunku ruchu
zawsze liczyć kąty
trygonometrycznych i ich
wskazówek zegara, a ujemny, jeśli liczy
względem
funkcji odwrotnych..
siÄ™ go w kierunku zgodnym z kierunkiem
dodatniego kierunku
Oceń wyniki otrzymane
ruchu wskazówek zegara.
osi x.
na kalkulatorze.
Jednostkami kÄ…ta sÄ… stopnie oraz radiany.
3.7 Wektory jednostkowe
Wektorem jednostkowym
nazywamy wektor o długości
równej 1, skierowany w określonym
kierunku.
Wektory jednostkowe dodatnich
kierunków osi x, y i z oznaczamy
odpowiednio jako Ć Ć
i , 5
,k
rð
Dlatego też wektor o składowych
a
ax i ay, w kierunkach osi x i y,
może być przedstawiony w postaci
sumy wektorowej:
rð
a =ð a iĆ +ð a 5

x y
3.8 Dodawanie wektorów na składowych
Jeśli
wówczas
Dwa wektory są równe, jeśli ich odpowiednie składowe są sobie
równe.
Procedura dodawania wektorów ma również zastosowanie
podczas odejmowania wektorów.
Zatem:
gdzie
3.9 Przykład
3.10 Przykład
Uwaga:
3.11 Wektory a prawa fizyki
Swoboda wyboru układu odniesienia
Związki pomiędzy wektorami nie
zależą od położenia początku
układu współrzędnych i kierunku
jego osi.
Związki miedzy wielkościami
fizycznymi również nie zależą od
wyboru układu współrzędnych .
3.12 Mnożenie wektorów
A. Mnożenie wektora przez skalar
Mnożenie wektora przez skalar zmienia
wartość, ale nie kierunek:
rð rð
a xs =ð sa
3.12 Mnożenie wektorów (cd.)
B. Mnożenie wektora przez wektor: iloczyn skalarny
Iloczyn skalarny dwóch
wektorów oznaczamy:
Jest on definiowany jako:
Tutaj, a i b sÄ… opowiednio
modułami wektorów a i b,
a f jest kątem pomiędzy
tymi wektorami.
Prawa strona równania jest
wielkością skalarną.
3.12 Mnożenie wektorów (cd.)
C. Mnożenie wektora przez wektor: iloczyn wektorowy
Reguła prawej dłoni pozwala nam
Iloczyn wektorowy wektorów
wyznaczyć kierunek wektora c.
a i b oznaczamy jako:
Jego wynikiem jest wektor c,
o długości:
Tutaj a i b są wartościami
(modułami) odpowiednio
wektorów a i b, a f jest
mniejszym z dwóch kątów
między wektorami a i b.
3.13 Mnożenie wektorów;
iloczyn wektorowy zapisany za pomocą wektorów jednostkowych:
Zauważmy:
3.14 Przykład
3.15 Przykład