ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ
Rachunek wektorowy
Zad.1. Obliczyć długości podanych wektorów:
1. a = [ 2, - 1, 5 ] 3. b =[ 3, 5, 2 2 ]

2. P1P2 , jeÅ›li P1(1, 0, - 4) , P2 ( 4, - 5, - 4) 4. d = [cosÕ cosÈ ,sinÕ cosÈ ,sinÈ ], Õ,È " R
.
Zad.2. Obliczyć:
îÅ‚2
1. -4 a + b - 3cłł , jeżeli a = [ 2,4,6],b = [ 0,1, - 2],c = [3, 2,0],
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
2. 2 d - c - a + 3b , jeżeli a = [ 0,1, 3 ],b = [ 2,3,2],c = [ 2,- 2,1], d = [1, - 2,0].
( ) ( )
Zad.3. Zbadać liniową niezależność wektorów:
1. [1,2,3],[ 3, 6, 7 ] 2. [ 0, 0, j ],[ 0, j, 0 ],[ j, 2,1] 3. [ 2, 0,1],[1, 0, 0 ],[ -1, 2,1]
Zad.4. Sprawdzić, czy kolinearne (współliniowe) są wektory:
2 6 10
îÅ‚ Å‚Å‚
1. a = [ 2,1, 0 ],b =[1, 5, 0 ] 2. [1,3, 5],[ 2, 6,10 ] 3. [1,3, 5], , , 4. [1, 2, 3 ],[ 3, 6, 9 ].
ïÅ‚ śł
7 7 7
ðÅ‚ ûÅ‚
Zad.5. Czy podane punkty leżą na jednej prostej?
1. P1(3,8,1) , P2 ( 2, 4, 6) , P3 ( -1, 0, - 2) 2. P(7, - 2, 0) , Q(-1,12, 2) , R( 3, 5,1)
Zad.6. Sprawdzić, czy następujące wektory są komplanarne (współpłaszczyznowe):
1. a = [1,1, 2 ], b =[ 3,1, 0 ], c =[ - 2, - 2, - 4 ] 2. [ 5, 3, 5 ],[ 0, - 3, - 7 ], [ 2,8, -1]
Zad.7. Sprawdzić, czy następujące punkty leżą w jednej płaszczyz
nie?
1. A(-1,5, 2) , B(-1,5, - 9) ,C(1, 2, 3) , D( - 5,11, - 11)
2. A(2, 2, -1) , B(0,1, 5) ,C( -1, 2, 0) , D( 2,1, 3) .
Zad.8. Obliczyć iloczyny skalarne podanych wektorów:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1. u = [ -1,2,- 3], v = [ 2,0,-1] 2. u = 2 , 3, 5 , v = 8,- 27,0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
3. u = i - j + k , v = 3i - 2k .
Zad.9. Obliczyć iloczyny skalarne wektorów: u v , u w, u (-u) , 2w u , jeśli:
1. u = [1,1, 0 ], v = [1, -1, 2 ], w = [ 3, 0, -1] 2. u = i - j + 3k , v = 3i - 2 j + 3k , w = i + j + k .
Zad.10. Obliczyć kąt między wektorami:
1. [ 0, 0,1],[1, 0, 0] 2.. [ 0, 0,1],[ 0,1,1] 3.[ 5, 0, 0],[ 5, 0, 7]
4.. [ 0, -1,1],[1,1, 0] 5. [1, 0,1],[ 0, -1,1] 6. [ 2, 0, - 3],[ - 3, - 5, 2].
Zad.11. Obliczyć iloczyny wektorowe u × v , v ×u , jeÅ›li:
1. u = [1, 2,3], v = [ 3,1, -1] 3. u = [ - 1, 3, 2 ], v = [ 0, 5, 6 ]
2. u = i - j + k , v = -i + 2 j - 3k 4. u = 2i - 2k , v = i - j + 2 k
Zad.12.
1. Niech u = [1,1, 0 ], v = [ m, 4, m ], m " R . Dla jakich wartości parametru m podane wektory:
Ä„
a) są prostopadłe b) są równoległe c) tworzą kąt ?
3
2. Dla jakich wartości m " R wektory [m2 + 1, m,1], [10, 4, m ] są równoległe?
3. Dla jakich wartości m " R wektory [m2 ,-3, 0], [m, m, m + 2 ] są prostopadłe?
Zad.13. Obliczyć iloczyn mieszane ( u , v , w ) wektorów:
1. u = [ - 3,1, - 1], v = [ 4,1,-8 ], w = [ 0,1, 3] 2. u = i + k , v = i - 3 j , w = i + 3 j - 2k
3. u = [ 2,0,1],v = [5, -1, 2 ], w = [ 4,0, - 3] .
Zad.14. Obliczyć:
îÅ‚ îÅ‚
1. a - 2b ×cÅ‚Å‚ × a c b×c ,
( ) ( ) ( )Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚2
2. d ×c × a×d a,b,c b×d ,
( ) ( )Å‚Å‚ îÅ‚( )( )Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
jeżeli a = [3, - 2,1], b = [1, 2, - 2], c = [ -1, - 4,0], d = [ -1,2,0].
Zad.15. Obliczyć dÅ‚ugość wektora a = ( 2 p + q - 4r )× ( p + q - 2r ), gdy p, q, r wzajemnie prostopadÅ‚e
wektory jednostkowe o orientacji zgodnej z orientacją układu.
Zad.16. Obliczyć długości boków trójkąta o wierzchołkach: A(-1, 2, 0) , B(3, - 1, 2) ,C(1, - 2, 0) oraz
sprawdzić, czy jest on trójkątem prostokątnym. Obliczyć pole tego trójkąta.
Zad.17. Obliczyć pole trójkąta:
1. o wierzchołkach A(1, 2, 3) , B(-1, 3, 2) ,C( 4,1, 5) ,
2. o wierzchołkach A(0,1, 4) , B(-3, 2,1) , C( 2,-1, 3) ,
3. rozpiętego na wektorach: u = [ - 2, - 4, 6 ], v = [ - 3, - 3, 4 ],
4. rozpiętego na wektorach: u = [ 4,0, -1],v = [3, 2,1] .
Zad.18. Obliczyć pole równoległoboku:
1. o trzech kolejnych wierzchołkach: A(1, 0,1) , B(-1, 5, 0) , C( 3, - 1, 5) ,
2. o trzech kolejnych wierzchołkach: A(-1, 2,1), B(2, - 2,0),C(0,3, - 4) ,
3. rozpiętego na wektorach: u = [1, 2,3], v = [ 0, - 2,5] ,
4. rozpiętego na wektorach: u = [ 2,1,0], v = [5, -1, 2],
5. o przekÄ…tnych: p = [ 2, 2,0], q = [ -1,- 3, 4],
6. o przekÄ…tnych: p = [ - 2,3,- 4], q = [1, 2, - 6] .
Zad.19. Obliczyć objętość równoległościanu:
1. o wierzchołkach: A(-1,0,1), B(1,3,0), C(3,0,5), A'(1, 2,3) ,
2. o wierzchołkach: A(2,0, 2), B(-1,5,1), C( - 2,1,1), A'(3,0,3) ,
3. rozpiętego na wektorach: u = [1, 1, 1], v = [1, -1, 0], w = [3, -2, 5] ,
4. rozpiętego na wektorach: u = [ 2, 0, 1], v = [ - 3, 4, 2], w = [ -1, 0, -2] .
Zad.20. Obliczyć objętość czworościanu:
1. o wierzchołkach A(3,1,1) , B(1, 4,1) , C(1,1, 7) , D( 3, 4, 9) oraz długość wysokości poprowadzonej z
wierzchołka D,
2. o wierzchołkach A(2,0,1), B(-1, 4,3),C(0, -1, 2), D( - 3,4, 2) ,
3. rozpiętego na wektorach: u = [ 2, 1, 3], v = [ 6, -1, 2 ], w = [ 2, 4, -2 ] ,
4. rozpiętego na wektorach: u = [ 2, 0, 1], v = [3, 4, 2] , w = [ -1, 0, -2].