KMiI ATH, B-B Wektory 1
Geometria analityczna, notatki do wykładów.
Wektory i działania na wektorach
Definicja 1. (Przestrzeń R3)
Przestrzenią R3 nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych trójek (x, y, z) liczb rzeczy-
wistych;
def
R3 = (x, y, z): x, y, z " R .
Uwaga. Przestrzeń R3 będziemy interpretować geometrycznie na 3 sposoby.
1) Jako zbiór wszystkich punktów P = (x, y, z) w przestrzeni.
-
2) Jako zbiór wszystkich wektorów zaczepionych OP (tzw. wektorów wodzących punktu P
przestrzeni) o wspólnym początku O = (0, 0, 0) i końcu w punkcie P = (x, y, z). Wektory
def
wodzące punktów będziemy oznaczali zwykle przez r, r0, r1 itd. Wektor 0 = (0, 0, 0) nazy-
def
wamy wektorem zerowym, a wektor -u = (-x, -y, -z) wektorem przeciwnym do wektora
u = (x, y, z).
3) Jako zbiór wektorów swobodnych w przestrzeni. Przez wektor swobodny u rozumiemy
zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w różnych punktach, które mają ten sam kierunek,
zwrot oraz długość co wektor u.
Definicja 2. (Punkty wspóliniowe i współpłaszczyznowe)
1. Mówimy, że punkty A, B, C, . . . przestrzeni R3 są współliniowe, gdy istnieje prosta, do
której należą te punkty (każde dwa punkty zawsze są współliniowe).
2. Mówimy, że punkty K, L, M, N, . . . przestrzeni R3 są współpłaszczyznowe, gdy istnieje
płaszczyzna, do której należą wszystkie te punkty (każde trzy punkty zawsze są współpłasz-
czyznowe).
Definicja 3. (Wektory współliniowe i współpłaszczyznowe)
1. Mówimy, że wektory a, b są współliniowe, gdy istnieje prosta, do której równoległe są
oba te wektory. Wektory współliniowe nazywamy także wektorami równoległymi; piszemy
wówczas a b. Wektor zerowy jest równoległy do dowolnego wektora.
2. Mówimy, że wektory a, b, c są współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, w której
zawarte sÄ… te wektory (po zaczepieniu ich w jednym punkcie). Wektor zerowy wraz z dowol-
nymi dwoma wektorami są zawsze współpłaszczyznowe.
Definicja 4. (Działania na wektorach)
Niech u = [x, y, z], w = [x1, y1, z1], v = [x2, y2, z2] oraz niech Ä… " R.
Sumę wektorów w i v określamy wzorem
def
w + v = [x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2].
Różnicę wektorów w i v określamy wzorem
def
w - v = [x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2].
Iloczyn wektora u przez liczbę rzeczywistą ą określamy wzorem
def
Ä…u = [Ä…x, Ä…y, Ä…z].
KMiI ATH, B-B Wektory 2
Uwaga. Sumę dwóch lub więcej wektorów pomnożonych przez dowolne liczby rzeczywiste
nazywamy kombinacją liniową tych wektorów.
Fakt. (warunki równoległości i współpłaszczyznowości wektorów)
1. Wektory a, b sÄ… równolegÅ‚e wtedy i tylko wtedy, gdy istniejÄ… liczby rzeczywiste Ä…, ²,
z których co najmniej jedna jest niezerowa (co zapisujemy czÄ™sto w sposób: |Ä…| + |²| > 0)
i takie, że Ä…a + ² b = 0. W szczególnoÅ›ci, jeżeli np. a = 0, to wektory a, b sÄ… równolegÅ‚e

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista  taka, że b = a.
2. Wektory a, b, c są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby rzeczywiste
Ä…, ², Å‚ takie, że |Ä…| + |²| + |Å‚| > 0 oraz Ä…a + ² b + Å‚c = 0. w szczególnoÅ›ci, jeżeli a &" b, to
wektory a, b, c są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby rzeczywiste
, µ takie, że c = a + µ b.
Fakt. własności działań na wektorach
Niech a, b, c bÄ™dÄ… dowolnymi wektorami w przestrzeni R3 i niech Ä…, ² bÄ™dÄ… dowolnymi
liczbami rzeczywistymi. Wtedy
1. a + b = b + a, tzn. dodawanie wektorów jest działaniem przemiennym;
2. a + ( b + c) = (a + b) + c, tzn. dodawanie wektorów jest działaniem łącznym;
3. a + 0 = a, tzn. wektor zerowy 0 jest elementem neutralnym dodawania;
4. a + (-a) = 0, tzn. wektor -a jest elementem przeciwnym do wektora a;
5. 1 · a = a ;
6. (Ä…²)a = Ä…(²a) ;
7. (Ä… + ²)a = Ä…a + ²a ;
8. Ä…(a + b) = Ä…a + Ä… b.
Definicja 5. Rzutem prostokÄ…tnym wektora a na prostÄ… s nazywamy wektor, oznaczany
przez as lub Ps(a), o początku i końcu będącymi rzutami prostokątnymi na tę prostą
odpowiednio początku i końca wektora a.
-

Zatem jeśli a = AB i rzutem punktu A na oś s jest A , a rzutem B na oś s jest B , to
-
-
Ps(a) = A B .
Oznaczmy przez sA i sB współrzędne na osi (liczbowej) s odpowiednio punktu A i B .
Definicja 6. Współrzędną wektora a względem osi s (lub inaczej współrzędną na osi),
oznaczaną przez as, nazywamy różnicę współrzędnej końca i początku rzutu as wektora a
na oÅ› s:
as = sB - sA .
Fakt.
1. Rzut prostokątny sumy wektorów a, b na prostą s jest równy sumie rzutów tych wektorów
na tÄ™ prostÄ…:
Ps(a + b) = Ps(a) + Ps( b);
2. Rzut prostokątny iloczynu wektora a przez liczbę  na prostą s jest równy iloczynowi
rzutu tego wektora na tÄ™ prostÄ… przez liczbÄ™ :
Ps(a) = Ps(a).
KMiI ATH, B-B Wektory 3
Uwaga. Podobne własności ma rzut prostokątny wektora na ustaloną płaszczyznę w prze-
strzeni R3, a także ogólniej  rzut równoległy wektora na ustaloną prostą lub płaszczyznę
w R3.
Definicja 7. (ortokartezjański układ współrzędnych w przestrzeni)
Układem ortokartezjańskim współrzędnych w przestrzeni nazywamy trzy ustalone proste
x, y, z (osie liczbowe) przecinające się w jednym punkcie O (mającym współrzędną 0 na
każdej z tych osi), które są wzajemnie prostopadłe. Układ ten oznaczamy przez Oxyz.
Proste Ox, Oy, Oz nazywamy osiami, a płaszczyzny xOy, yOz, xOz płaszczyznami układu
współrzędnych.
Uwaga. W zależności od wzajemnego położenia osi Ox, Oy, Oz układu współrzędnych
wyróżniamy dwie jego orientacje: układ prawoskrętny i układ lewoskrętny.
Definicja 8. (kÄ…ty kierunkowe wektora)
Kątami kierunkowymi wektora a w przyjętym układzie ortokartezjańskim Oxyz nazywamy
kÄ…ty Ä…, ², Å‚, jakie tworzy ten wektor z kolejnymi osiami tego ukÅ‚adu:
Ä… = (Ox, a), ² = (Oy, a), Å‚ = (Oz, a).
Definicja 9. (Ortokartezjańskie współrzędne wektora)
Ortokartezjańskimi (lub kartezjańskimi prostokątnymi) współrzędnymi wektora a w przyję-
tym układzie ortokartezjańskim Oxyz, oznaczanymi przez ax, ay i az, nazywamy współrzędne
tego wektora na kolejnych osiach tego układu. Współrzędne te wyrażają się wzorami
ax = a cos Ä…, ay = a cos ², az = a cos Å‚,
gdzie a jest dÅ‚ugoÅ›ciÄ… wektora a, a Ä…, ², Å‚ sÄ… jego kÄ…tami kierunkowymi.
-

Jeżeli wektor zaczepiony AB o początku A(xA, yA, zA) i końcu B(xB, yB, zB) jest reprezen-
tantem wektora swobodnego a, to współrzędne ortokartezjańskie wektora a mają postać
ax = xB - xA, ay = yB - yA, az = zB - zA.
Fakt. Długość wektora a o współrzędnych ortokartezjańskich ax, ay, az (co zapisujemy a =
[ax, ay, az]) wyraża się wzorem
|a| = a2 + a2 + a2 .
x y z
Uwaga. Czasem zamiast pisać a = [ax, ay, az] piszemy po prostu a = [x, y, z].
Fakt. (własności długości wektora)
Niech a, b będą wektorami w R3 oraz niech ą " R . Wtedy
1. |a| 0, przy czym |a| = 0 Ô! a = 0; 2. |Ä…a| = |Ä…| · |a|;
3. |a + b| |a| + | b|; 4. |a| - | b| |a - b|.
Definicja 10. (wersor)
Wersorem (lub wektorem jednostkowym) nazywamy każdy wektor o długości 1.
KMiI ATH, B-B Wektory 4
Fakt. WspółrzÄ™dne wersora â (w ukÅ‚adzie ortokartezjaÅ„skim) sÄ… równe jego kolejnym kosi-
nusom kierunkowym:
â = [cos Ä…, cos ², cos Å‚].
Wersory osi układu ortokartezjańskiego Oxyz, nazywane też wersorami układu ortokarte-
zjańskiego, oznaczamy odpowiednio przez 1
, ¾ö oraz k, przy czym
1
= [1, 0, 0], ¾ö = [0, 1, 0], k = [0, 0, 1].
Definicja 11. (iloczyn skalarny)
Niech a, b będą dowolnymi wektorami w R3. Iloczyn skalarny wektorów a i b określamy
wzorem:
def
a ć% b = |a| · | b| · cos Õ,
gdzie Õ jest kÄ…tem miÄ™dzy wektorami a i b (0 Õ Ä„).
Uwaga. Znając iloczyn wektorowy i długości wektorów można wyznaczyć kąt między tymi
wektorami:
a ć% b
Õ = arccos .
|a| · | b|
Fakt. Niech a = [ax, ay, az] oraz b = [bx, by, bz] będą wektorami w R3. Wtedy
a ć% b = axbx + ayby + azbz.
Fakt. (własności iloczynu skalarnego)
Niech a, b, c będą dowolnymi wektorami w R3 oraz niech ą " R . Wtedy
1. a ć% b = b ć% a; 2. (ąa) ć% b = ą(a ć% b);
3. a ć% a = |a|2; 4. (a + b) ć% c = a ć% c + b ć% c ;
5. |a ć% b| |a| · | b|; 6. wektory a i b sÄ… prostopadÅ‚e Ð!Ò! a ć% b = 0.
Definicja 12. (orientacja trójki wektorów)
Niech a = [ax, ay, az], b = [bx, by, bz], c = [cx, cy, cz] będą wektorami w R3. Wektory a, b, c
tworzą układ o orientacji zgodnej z orientacją układu współrzędnych, jeżeli
ax ay az
bx by bz > 0.
cx cy cz
Definicja 13. (iloczyn wektorowy)
Niech a i b będą niewspółliniowymi wektorami w R3. Iloczynem wektorowym uporząd-
kowanej pary wektorów a i b nazywamy wektor c oznaczany przez a × b, który speÅ‚nia
następujące 3 warunki:
1. jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach a i b, tj. równa
|a| · | b| · sin Õ,
KMiI ATH, B-B Wektory 5
gdzie Õ jest kÄ…tem miÄ™dzy wektorami a i b;
2. jest prostopadły do obu wektorów a i b
(a × b)Ä„" a, (a × b)Ä„" b ;
3. Orientacja trójki wektorów a, b, a × b jest zgodna z orientacjÄ… ukÅ‚adu współrzÄ™dnych
Oxyz.
Jeżeli jeden z wektorów a, b jest wektorem zerowym lub jeżeli wektory te są współliniowe,
to przyjmujemy, że a × b = 0.
Uwaga. Iloczyn wektorowy jest w rzeczywistości tzw. pseudowektorem, a nie wektorem.
Jego zwrot bowiem zależy od orientacji układu współrzędnych, w przeciwieństwie do zwykłego
wektora.
Fakt. W układzie ortokartezjańskim Oxyz iloczyn wektorowy wektorów a = [ax, ay, az]
i b = [bx, by, bz] wyraża się wzorem
a × b = (aybz - azby)1
+ (azbx - axbz)¾ö + (axby - aybx) k,
gdzie 1
, ¾ö, k sÄ… wersorami ukÅ‚adu współrzÄ™dnych.
Posługując się symbolem wyznacznika iloczyn wektorowy można zapisać następująco:
1
¾ö k
a × b = .
ax ay az
bx by bz
Rozwijając ten zapis wyznacznikowy względem pierwszego wiersza otrzymamy poprzedni
wzór.
Wykorzystując iloczyn wektorowy można obliczyć sinus kąta między niezerowymi wek-
torami:
|a × b|
sin(a, b) = .
|a| · | b|
Fakt. (własności iloczynu wektorowego)
Niech a, b, c będą dowolnymi wektorami w R3 i niech ą " R. Wtedy
1. a × b = -( b × a); 2. (Ä…a) × b = a × (Ä… b) = Ä…(a × b);
3. (a + b) × c = a × c + b × c ; 4. a × ( b + c) = a × b + a × c ;
5. |a × b| |a| · | b| ; 6. wektory a i b sÄ… równolegÅ‚e Ð!Ò! a × b = 0.
Uwaga. Równoległość wektorów można też zapisać potrójną proporcją
ax ay az
= = .
bx by bz
Definicja 14. (iloczyn mieszany trójki wektorów)
Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów (a, b, c) z przestrzeni zorientowanej
R3, oznaczanym przez a bc, nazywamy liczbÄ™ a ć% ( b × c).
KMiI ATH, B-B Wektory 6
Fakt. (interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego)
Objętość V równoległościanu rozpiętego na wektorach a, b, c jest równa (z dokładnością do
znaku) wartości iloczynu mieszanego tych wektorów
V = | a bc |.
Fakt. W układzie ortokartezjańskim Oxyz iloczyn mieszany wektorów a = [ax, ay, az],
b = [bx, by, bz] i c = [cx, cy, cz] wyraża się wzorem
ax ay az
a bc = bx by bz .
cx cy cz
Fakt. Z własności wyznaczników wynikają następujące równości:
1. a b c = b c a = c a b = - b a c = -a c b = -c b a ;
2. a ć% ( b × c) = (a × b) ć% c.
Fakt. (własności iloczynu mieszanego)
Niech a, b, c, d będą wektorami w R3 i niech ą " R. Wtedy
1. (a + b) c d = a c d + b c d ;
2. (Ä…a) b c = Ä…(a b c) ;
3. wektory a, b, c leżą w jednej płaszczyz
nie Ð!Ò! a b c = 0 ;
4. |a b c| |a| · | b| · |c|.