Algebra wektorów w przestrzeni R3.
Niech w przestrzeni R3 będzie zadany prostokątny prawoskrętny układ współrzędnych Oxyz.
Mówimy, że punkt M ma współrzędne x1, y1, z1 pisząc
M = (x1, y1, z1) .
Niech P = (x2 , y2 , z2 ) .
Odległość między dwoma punktami M = (x1, y1, z1) i
P = (x2 , y2 , z2 ) określamy wzorem:
d(M , P) = MP = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + ( z2 - z1)2
(jest to długość odcinka MP ).
W szczególności odległość punktu M od początku układu
współrzędnych O = (0, 0, 0) wynosi
d = x12 + y12 + z12 .
Podział odcinka. Jeżeli punkt Q dzieli odcinek MP w stosunku  (tzn.
MQ
= ) , to współrzędne punktu Q = (x3 , y3 , z3 ) określamy
QP
wzorami
x1+x2 y1+y2 z1+z2
x3 = , y3 = , z3 = .
1+ 1+ 1+
W szczególności współrzędne środka S = (x0 , y0 , z0 ) odcinka MP
określamy wzorami
x1+x2 y1+ y2 z1+z2
x0 = , y0 = , z0 = .
2 2 2
r
Wektorem MP (dokładnie: wektorem związanym) nazywamy parę uporządkowaną punktów
r r r
M i P. Punkt M to początek, punkt P to koniec wektora MP . Jeżeli M = P , to wektor MM = 0
nazywamy wektorem zerowym.
r r
Długością (modułem) MP wektora MP nazywamy długość odcinka MP .
r
Kierunkiem wektora MP nazywamy kierunek prostej, do której
odcinek MP jest równoległy.
r
Zwrotem wektora MP nazywamy jedno z dwu możliwych
uporządkowań punktów na prostej l wyznaczonej przez punkty
M i P.
Dwa wektory nazywamy równymi, jeżeli mają tę samą długość, ten sam kierunek i ten sam
zwrot.
Zbiór wszystkich wektorów równych między sobą nazywamy wektorem swobodnym (krótko:
r
r r r
wektorem) i oznaczamy symbolem a, b, ..., u, r, ...
Każdy wektor związany wyznacza jednocześnie pewien wektor swobodny.
r
Współrzędne wektora a = [ax , a , az ] , gdy dany jest początek M = (x1, y1, z1) i koniec
y
P = (x2 , y2 , z2 ) obliczamy następująco: ax = x2 - x1, a = y2 - y1, az = z2 - z1 .
y
r r
2
Stąd długość wektora a = [ax , a , az ] określa wzór a = ax 2 + a + az 2 .
y y
W układzie kartezjańskim Oxyz określamy wektory
jednostkowe, równoległe do poszczególnych osi układu
współrzędnych i mające zwrot zgodny ze zwrotem tych osi.
Nazywamy je wersorami:
r
i = [ 1, 0, 0] ,
r
j = [ 0, 1, 0],
r
k = [ 0, 0, 1]
r
Każdy wektor a = [ax , ay , az ] możemy zapisać jako
r
r r
kombinację liniową wersorów i , j, k :
r
r r
r
a = axi + ay j + azk
r
Oznaczmy przez ą, � , ł kąty, jakie tworzy wektor a z odpowiednimi osiami układu
r
współrzędnych. cosą, cos� , cosł to cosinusy kierunkowe wektora a = [ax , a , az ] :
y
ay
ax az
cosą = , cos� = , cosł = .
r r r
a a a
Zachodzi związek: cos2 ą + cos2� + cos2ł = 1.
r r
r r
Przykład. Niech AB = -2i + j + 5k oraz B = (1, -1, 2) . Znalez
ć współrzędne początku A tego
wektora, jego długość i cosinusy kierunkowe.
Jeśli oznaczymy A = (x1, y1, z1) , to 1- x1 = -2, -1- y1 =1, 2 - z1 = 5
Stąd x1 = 3, y1 = -2, z1 = -3, czyli A = (3, - 2, - 3) ;
r
30 30 30
- 2 1 5
AB = (-2)2 +12 + 52 = 30 ; cosą = = - , cos� = = , cosł = = .
15 30 6
30 30 30
Suma dwóch wektorów:
r
r
Jeżeli a = [ax , a , az ] , b = [bx , by , bz ] ,
y
r
r
to a + b = [ax + bx, ay + by, az + bz ]
Iloczyn wektora przez liczbę  :
r r
Jeżeli a = [ax , a , az ] , to a = [ax , a , az ] .
y y
r r
r r
Przykład. Wyznaczyć 5a - 3b jeżeli a = [3, - 2, 1] i b = [2, 3, - 2].
r r
r r
r
5a - 3b = [ 15, -10, 5] + [ - 6, - 9, 6] = [ 9, -19, 1 1] = 9i - 19 j + 11k .
r r
Uwaga. Wektory a i a są równoległe i mają ten sam zwrot gdy  > 0 , a przeciwne zwroty, gdy
 < 0 .
r
1
Uwaga. Mnożąc wektor a przez liczbę otrzymamy wektor jednostkowy (wersor) o zwrocie
r
a
r r
r r
a a
wektora a : =1 . Współrzędnymi wektora są cosinusy kierunkowe wektora a .
r r
a a
r
r r
6
a
Przykład. Jeżeli a = [3, -1, 6] , to a = 9 +1+ 6 = 16 = 4 i wtedy wektor = [ 3 , -1 , ]
r
4 4 4
a
jest wektorem jednostkowym (o długości 1).
Iloczyn skalarny dwóch wektorów.
r
r
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów a i b nazywamy liczbę równą iloczynowi długości tych
wektorów przez cosinus kąta zawartego między nimi:
r r r
r r r
a o b = a �" b �" cos "(a,b)
r
r r
Zauważmy, że dla wersorów i , j, k mamy:
r r
r r r r
i o j = 1�"1�" cos90o = 0 , i o k = 0 , j o k = 0 ,
r r
r r r r
i o i = 1�"1�"cos0o = 1, j o j = 1, k o k =1.
r r r
r r r r
r
Jeżeli więc a = [ax, ay , az ] = axi + ay j + azk , b = [bx,by, bz ] = bxi + by j + bzk , wtedy
r r r r
r r r r r r r r r r r
r
a o b = (axi + ay j + azk ) o (bxi + by j + bzk ) = axbxi o i + axbyi o j + axbzi o k + aybx j o i +
r r r r r
r r r r r
+ ayby j o j + aybz j o k + azbxk o i + azbyk o j + azbzk o k = axbx + ayby + azbz.
Iloczyn skalarny dwóch wektorów obliczamy więc też wg wzoru:
r
r
a o b = axbx + ayby + azbz
r
r
Nieznany cosinus kąta między wektorami a i b możemy wyznaczyć ze wzoru
r
r
r
r
a o b
cos "(a,b) =
r
r
a �" b
Własności iloczynu skalarnego wektorów:
r r r 2 r r r
1. a o a = a (czyli a = a o a ),
r r r r r
r r r
2. a o b = 0 �! a = 0 (" b = 0 (" a Ą" b ,
r r
r r
3. a o br= b o a (iloczyn skalarny jest przemienny),
r
r r r r r
4. a o (b + c) = a o b + a o c (rozdzielność mnożenia skalarnego względem dodawania wektorów),
r r r
r r r
5. (ma) o b = a o (mb) = m(a o b) .
r
r r r r r r r
v v
Ą
Przykład. Niech a = u + 3w, b = 2u - w , u = 2 , w =1, "(u, w) = .
3
r r r
r r r
Obliczyć a o b , a , b , cos "(a,b) .
Rozwiązanie:
r
r r r r r r r r r r r
v v
a o b = (u + 3w) o (2u - w) = 2u o u - u o w + 6w o u - 3w o w =
r r r v
1
= 2�" 4 + 5u o w - 3�"1 = 5 + 5�" 2�"1�" cos "(u, w) = 5 +10 �" = 10.
2
r r r r r r
v v v v v
1
a = (u + 3w) o (u + 3w) = u o u + 6u o w + 9w o w = 4 + 6�" 2 �" + 9 = 19 .
2
r
r r r r r
v v v v v
1
b = (2u - w) o (2u - w) = 4u o u - 4u o w + w o w = 16 - 4 �" 2 �" +1 = 13 .
2
r
r
10 10
cos "(a,b) = = H" 0,6363 .
19�" 13 247
Przykład. Iloczyn skalarny wykorzystywany jest w fizyce, np. przy obliczaniu pracy:
r r
Ciało przesuwa się pod działaniem siły F o wektor S . Interesuje
r
nas praca L tej siły wzdłuż przesunięcia S . Pracę wykonuje
r
składowa Fs .
r r r r r r
L = Fs �" S = F �" S �" cosą = F o S
Praca jest równa iloczynowi skalarnemu wektora siły przez wektor
przesunięcia.
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów w przestrzeni R3.
r r
r r
Iloczyn wektorowy wektorów a i b oznaczamy symbolem: a �b
Definicja.
r r r r r
r r r r
Jeżeli a `" 0 i b `" 0 i a nie jest równoległy do b , to a �b = c , przy czym
r
r r r
1o. c Ą" a i c Ą" b ,
r r
r r r
2o. c = a �" b �"sin "(a,b) ,
r
r r
3o. układ wektorów a,b,c jest prawoskrętny (zorientowany zgodnie z układem kartezjańskim Oxyz).
Geometrycznie długość iloczynu
r
r
wektorowego a �b jest równa ilości
jednostek pola równoległoboku
r
r Przypomnijmy, że pole
zbudowanego na wektorach a i b .
równoległoboku S = a �" h
h
ale , więc ,
= sin � h = b �" sin�
b
skąd .
S = a �" b �" sin�
Własności iloczynu wektorowego:
r r
r r
1. b � a = -a �b (antyprzemienność),
r r r r r r
r r r
2. a �b = 0 jeśli a = 0 lub b = 0 lub a b ,
r r r
r r r
3. (ma)� b = a � (mb) = m(a � b) ,
r r
r r r r r
4. a � (b + c) = a � b + a � c (rozdzielność mnożenia wektorowego względem dodawania wektorów),
r
r r
Zauważmy, że dla wersorów i , j, k mamy:
r r r
r r r r
i � i = j � j = k � k = 0 ;
r r r
r r r r r r
i � j = k , j � k = i , k � i = j ,
r r r
r r r r r r
j � i = -k , k � j = -i , i � k = - j .
r
r
Współrzędne iloczynu wektorowego wektorów a = [ax, ay, az ] i b = [bx ,by , bz ] najwygodniej
jest obliczać wg następującego wzoru, w którym wykorzystujemy symboliczny wyznacznik:
r
r r
i j k
r r
ay az r r ax ay
ax az
r
a �b = ax ay az = i - j + k
by bz bx by
bx bz
bx by bz
Przykład. Dane są trzy punkty w przestrzeni R3: M = (1, 2, -1) , P = (3, 2, 2) , Q = (2, 1, 1) .
r r
Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów MP i MQ . Wyznaczyć pole trójkąta o wierzchołkach
M, P, Q.
r r
Mamy tu MP = [2, 0, 3], MQ = [1, -1, 2].
r
r r
i j k
r r r r
r r r r
0 3 2 3 2 0
MP � MQ = 2 0 3 = i - j + k = 3i - j - 2k = [3, -1, - 2] .
-1 2 1 2 1 -1
1 -1 2
r r
14
1 1
S"MPQ = MP � MQ = 9 +1+ 4 = .
2 2 2
Uwaga.
r
r
Dla wektorów na płaszczyz
nie R2: a = [ax, ay ], b = [bx,by ], pole równoległoboku zbudowanego
na tych wektorach obliczamy wg wzoru:
ax ay
S =% %.
bx by
Przykład. Iloczyn wektorowy ma zastosowanie w fizyce do obliczania np. momentu siły.
r r
Obliczyć moment siły F = [3, 2, 1] względem punktu P = (2, 2, 3) . Siła F
zaczepiona jest w punkcie Q = (1, 2, 0) .
r
r r
i j k
r r r r
r r
MP (F) = PQ � F = [-1, 0, - 3]�[3, 2, 1] = -1 0 - 3 = 6i - 8 j - 2k = [6, -8, - 2].
r
(wektor PQ to
3 2 1
ramię siły)
Iloczyn mieszany trzech wektorów.
r
r r
Niech a = [ax, ay , az ] , b = [bx , by , bz ] , c = [cx,cy, cz ] . Iloczyn mieszany tych trzech wektorów
rr
r
zapisujemy symbolicznie abc . Zachodzą równości:
rr r r
r r r r r
abc = (a � b) o c = a o (b � c)
ax ay az
rr
r
abc = bx by bz
cx cy cz
Iloczyn mieszany trzech wektorów jest równy zero jeżeli:
a) co najmniej jeden z tych wektorów jest zerowy,
b) dwa z tych wektorów są równoległe (są kolinearne),
c) wszystkie trzy wektory są równoległe do jednej płaszczyzny (są komplanarne).
Interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego wektorów:
r
r r
Wartość bezwzględna iloczynu mieszanego trzech wektorów a,b,c
jest równa ilości jednostek objętości równoległościanu zbudowanego
na tych wektorach.
(V = S �" h ( S oznacza pole podstawy),
p p
r
r r
S = a � b , h = c �" cosł ,
p
r r rr
r r r r r
V = S �" h = a � b �" c �" cosł = (a � b) o c = abc ).
p
r
r r
Objętość czworościanu zbudowanego na wektorach a,b,c :
rr
r
1
Vczw = abc .
6
Zadanie. Dane są punkty M = (0, 1, 0) , P = (2, 1, 1) , Q = (3, 2, 2) , S = (0, 3, 1) .
Wyznaczyć objętość czworościanu o wierzchołkach MPQS .
Do zapamiętania.
r r r r
r r
Niech a = [ax, ay , az ] `" 0 , b = [bx,by, bz ] `" 0 , c = [cx,cy, cz ] `" 0 .
r r
r r
a Ą" b �! a ob = 0 �! axbx + ayby + azbz = 0 ;
r r r r
r r ax ay az r
a b �! a �b = 0 �! = = �! a = mb dla pewnego m `" 0 ;
bx by bz
ax ay az
r rr
r r r
a,b,c są współpłaszczyznowe (komplanarne) �! abc = bx by bz = 0 .
cx cy cz