Wykład 6. Działania na macierzach. Rząd ma-
cierzy, macierz odwrotna.
6.1. Działania na macierzach
Definicja 6.1.1. W wyniku sumy (różnicy) macie-

rzy A = aij i B = bij o rozmiarach m × n po-

wstaje macierz C = cij m×n , której elementy
określone są wzorem
cij = aij Ä… bij
dla 1 d" i d" m, 1 d" j d" n. Wynik oznaczamy
przez C = A Ä… B.
Definicja 6.1.2. W wyniku pomnożenia macierzy

A = aij m×n przez liczbÄ™ Ä… " K powstaje ma-

cierz C = cij m×n , której elementy okreÅ›lone
sÄ… wzorem
cij = Ä…aij
dla 1 d" i d" m, 1 d" j d" n. Wynik oznaczamy
przez C = Ä…A.
Dygresja: Zobacz wykład 5 - własność 5.2.1.
Własność 6.1.1. (liniowość działań na macier-
zach) Jeżeli macierze A, B, C będą macierzami
tego samego wymiaru, których elementy na-
leżą do tego samego ciaÅ‚a oraz niech Ä…, ² " K
to zachodzą następujące zależności:
1. A Ä… B = B Ä… A
2. A Ä… 0 = 0 Ä… A = A
3. Ä… ( )
A Ä… B = Ä…A Ä… Ä…B
4. 1 · A = A
5. A Ä… B Ä… C = A Ä… B Ä… C
( ) ( )
6. A + (-A) = 0
7. (Ä… Ä… ² A = Ä…A Ä… ²A
)
8. (Ä…² A = Ä… ( )
) ²A
Definicja 6.1.3. W wyniku pomnożenia dwóch

macierzy A = aij m×n (1 d" i d" m, 1 d" j d" n)

i B = bjk (1 d" j d" n, 1 d" k d" o) po-
n×o
wstaje macierz C = cik , której elementy
[ ]m×o
określone są wzorem
n

cik = aijbjk.
j=1
Dygresja: Mnożenie macierzy jest antyprzemienne.
Aby pomnożyć dwie macierze przez siebie to
liczba kolumn w pierwszej macierzy musi być
równa liczbie wierszy w drugiej macierzy.
Własność 6.1.2. Najwygodniej wykonuje się mno-
żenie macierzy przy pomocy schematu Falka:
k - kolumna
îÅ‚ Å‚Å‚
b1k
ïÅ‚ śł
.
.
ïÅ‚ śł
.
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
. . . bjk . . .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
.
.
.
ðÅ‚ ûÅ‚
bnk
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
. .
. .
. .
ïÅ‚ śł
i - wiersz ai1 . . . aij . . . ain śł ïÅ‚ . . . cik . . .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
. .
. .
. .
Własność 6.1.3. Działania z uwzględnieniem ilo-
czynu macierzy są następujące:

1. dla macierzy A = aij m×n , B = bjk n×o i

C = cjk n×o zachodzi
A B Ä… C = AB Ä… AC
( )

2. dla macierzy A = aij m×n , B = bij m×n i

C = cjk n×o zachodzi
A Ä… B C = AC Ä… BC
( )

3. dla macierzy A = aij m×n i B = bjk n×o ,
i Ä… " K zachodzi
A (Ä…B = ) AB
) (Ä…A B = Ä… ( )

4. dla macierzy A = aij m×n , B = bjk n×o i
C = ckl zachodzi
[ ]o×p
AB C = A BC
( ) ( )

5. dla macierzy A = aij m×n , In = ´jk n×o ,

Im = ´kj o×m zachodzi
AIn = ImA = A

6. dla macierzy A = aij n×n i p " N zachodzi
A = A . . . A
( )p

p-razy
Własność 6.1.4. Działania z uwzględnieniem trans-
pozycji macierzy (zobacz wykład 5 - definicja
5.1.2. pkt. 9):

1. dla macierzy A = aij m×n zachodzi
T
AT = A

2. dla macierzy A = aij , B = bij
m×n m×n
zachodzi
A + B = AT + BT
( )T

3. dla macierzy A = aij m×n i Ä… " K zacho-
dzi
(Ä…A = Ä…AT
)T

4. dla macierzy A = aij m×n , B = bjk n×o
zachodzi
AB = BT AT
( )T

5. dla macierzy A = aij i p " N zachodzi
m×n
p
Ap = AT
( )T
Własność 6.1.5. (dla macierzy symetrycznych i
skośnosymetrycznych)

1. dla macierzy kwadratowej A = aij n×n otrzy-
mujemy
A + AT - macierz symetrycznÄ…
A - AT - macierz skośnosymetryczną

2. dla macierzy A = aij m×n otrzymujemy
AAT lub AT A
które są symetryczne

3. dla macierzy kwadratowej A = aij otrzy-
n×n
mujemy

1 1
A = A + AT + A - AT .
2 2
Inaczej mówiąc, każdą macierz kwadratową
można przedstawić jako sumę jej macierzy
symetrycznej i skośnosymetrycznej.
Twierdzenie 6.1.1. (Cauchy ego) Dla macierzy

kwadratowych A = aij n×n , B = bij n×n za-
chodzi
det AB = det A det B
( )
6.2. RzÄ…d macierzy, macierz odwrotna.

Definicja 6.2.1. RzÄ™dem macierzy A = aij m×n
nazywamy maksymalny stopień wyznacznika tej
macierzy różny od zera, a jeżeli jest równy zero
to rząd określa maksymalny stopień podwyznacz-
nika dowolnej macierzy minorów, który jest różny
od zera. RzÄ…d macierzy oznaczamy przez rzA
lub rankA.
Przykład: Rząd macierzy
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -1 0 0
ïÅ‚ śł
A = 0 1 1 0
ðÅ‚ ûÅ‚
1 2 2 0
jest równy rankA = 2 ponieważ


1 -1 0 -1 0 0


0 1 1 = 0 oraz 1 1 0 = 0,


1 1 2 2 2 0
ale już np.


1 -1 1 1


= 0 lub = 0 lub

0 1 1 2


1 0 1 0


= 0 itd. chociaż = 0.

1 2 2 0
Definicja 6.2.2. Dla macierzy kwadratowej

A = aij , która jest nieosobliwa, określa
n×n
się macierz odwrotną A-1 spełniającą nastę-
pujÄ…cy warunek
AA-1 = A-1A = I.
Dygresja: Aby można było dowolną macierz A
odwrócić to musi być ona kwadratowa
i det A = 0.

... ciąg dalszy na kolejnym wykładzie.
Literatura
" Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN,
Warszawa 1976.
" Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, CzÄ™-
stochowa 2001.
" Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.
" Kiełbasiński A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.
" Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.
" Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN,
Warszawa 1975.
" Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.