Wykład 8. Układy równań liniowych, układ Cra-
mera.
8.1. Układy równań liniowych
Definicja 8.1.1. Uogólnionym układem równań
liniowych nazywamy układ o postaci
AX = B,

gdzie A = aij m×n (dla 1 d" i d" m, 1 d" j d" n,
m, n " N oraz aij " K) jest macierzą współczyn-

ników (zwanÄ… macierzÄ… głównÄ…), X = xjk n×p
(dla 1 d" k d" p, p " N oraz xjk " K) jest macie-
rzÄ… niewiadomych i B = bik (dla bik " K)
[ ]m×p
jest macierzą wyrazów wolnych.
Dygresja: Również uogólnionym układem rów-
nań będziemy nazywać układ o postaci
2 2 2
X A = B ,
gdzie nazwy poszczególnych macierzy są toż-
same z def. 8.1.1., natomiast ich rozmiary wyno-

2 2
szÄ… odpowiednio A = aji , X = xkj p×n ,
n×m
2
B = bki .
[ ]p×m
2 2 2
Twierdzenie 8.1.1. Każdy układ X A = B można
zamienić na postać AX = B.
Dowód: Wykorzystajmy własność 6.1.4. - pkt. 4.
Na mocy tej własności mamy
T T T T T
2 2 2 2 2 2
X A = B i dalej A X = B ,
T T
2 2
przy czym A = A, B = B,
T
2
X = X (proszę spojrzeć na rozmiary po-
szczególnych macierzy). Podstawiając otrzymu-
jemy AX = B.
Dygresja: W dalszych rozważaniach będziemy
posługiwać się zapisem AX = B. Rozpisując
nasz uogólniony układ równań w zapisie ma-
cierzowym otrzymujemy
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . a1n x11 . . . x1p b11 . . . b1p
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. . . . . .
. . .
. . . . . . . . .
. . .
. . . . = . .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
am1 . . . amn xn1 . . . xnp bm1 . . . bmp
lub rozpisując na poszczególne równania
Å„Å‚
ôÅ‚ a11x11 + a12x21 + . . . + a1nxn1 = b11
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
a11x12 + a12x22 + . . . + a1nxn2 = b12
.
.
.
ôÅ‚
.
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am1x1p + am2x2p + . . . + amnxnp = bmp
W konsekwencji mamy n·p niewiadomych i m·p
równań.
Definicja 8.1.2. Macierz X nazywamy rozwiÄ…za-
niem uogólnionego układu równań AX = B
wtedy, gdy spełnia ten układ.
Własność 8.1.1. Układ równań AX = B, który:
1. ma dokładnie jedno rozwiązanie jest ukła-
dem oznaczonym,
2. nie ma rozwiązania jest układem sprzecz-
nym.
Definicja 8.1.3. Jeżeli w układzie zadanym de-
finicjÄ… 8.1.1. macierz B jest niezerowa to taki
układ nazywamy układem niejednorodnym. Na-
tomiast jeżeli B = 0m×p to taki ukÅ‚ad nazywamy
układem jednorodnym.
Dygresja: Jednym z rozwiązań układu jedno-
îÅ‚ Å‚Å‚
0 . . . 0
ïÅ‚ śł
. .
.
. . .
.
rodnego AX = 0m×p jest X = . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
0 . . . 0
Definicja 8.1.4. Układ równań liniowych
AX = B
będziemy nazywać uogólnionym układem Cra-

mera wtedy, gdy A = aij n×n bÄ™dzie macie-

rzÄ… kwadratowÄ…, X = xjk n×p , B = bik
[ ]n×p
oraz dodatkowo macierz A będzie nieosobliwa.
Dygresja: Uogólniony układ Cramera jest ukła-
dem oznaczonym.
Definicja 8.1.5. W uogólnionym układzie Cra-
mera przyjmując p = 1 otrzymujemy układ rów-
nań Cramera o postaci AX = B, gdzie

A = aij n×n jest nieosobliwÄ… macierzÄ… współ-

czynników, X = xj n jest wektorem niewiado-
mych i B = bi jest wektorem wyrazów wol-
[ ]n
nych.
8.2. Rozwiązywanie układów równań Cramera
Twierdzenie 8.2.1. Jeżeli układ równań
AX = B
jest układem równań Cramera (lub uogólnio-
nym układem równań Cramera) to posiada on
dokładnie jedno rozwiązanie w postaci
X = A-1B.
Dowód: (na wykładzie zostawić miejsce)

Twierdzenie 8.2.2. Rozwiązanie układu równań
AX = B,
który jest układem Cramera można również okre-
ślić wzorem
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
x1 det C1
ïÅ‚ ïÅ‚
1
x2 śł det C2 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
X = ïÅ‚ śł = ïÅ‚ śł ,
. .
. .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
. .
det A
xn det Cn
gdzie det Cj (dla 1 d" j d" n) oznacza wyznacz-
nik macierzy A, w której j-tą kolumnę zastąpiono
wektorem wyrazów wolnych B.
Dygresja: Konstrukcja macierzy Cj jest następu-
jÄ…ca:
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . b1 . . . a1n
ïÅ‚
a21 a22 . . . b2 . . . a2n śł
ïÅ‚ śł
Cj = ïÅ‚ śł .
. . . .
. .
. . . . . .
ðÅ‚ . . ûÅ‚
. . . .
an1 an2 . . . bn . . . ann
Natomiast wzory
det C1 det C2 det Cn
x1 = , x2 = , . . . , xn =
det A det A det A
nazywamy wzorami Cramera.
Literatura
" Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN,
Warszawa 1976.
" Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, CzÄ™-
stochowa 2001.
" Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.
" Kiełbasiński A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.
" Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.
" Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN,
Warszawa 1975.
" Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.