Algebra Wyklad 1doc

Materiały do wykładu z Algebry z geometrią analityczną
Przygotowane na podstawie skryptu : T. Jurlewicz, Z. Skoczylas- Algebra liniowa 1.
Definicje, twierdzenia, wzory, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2003
Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2003
Wykład I.
1.1. Macierze podstawowe definicje.
Definicja 1.1. Macierzą wymiaru m � n , gdzie m, n " N nazywamy prostokątną tablicę
zło\oną z mn liczb ustawionych w m wierszach i n kolumnach.
a11 a12 ... a1 j ... a1n
�ł łł
�ła a22 ... a2 ... a2n śł
21 j
�ł śł
�ł śł
M M O M O M
A = i ty wiersz
�ł
ai1 ai 2 ... aij ... ain śł
�ł śł
�ł śł
M M O M O M
�ł śł
�ła am2 ... amj . . amn śł
m1
�ł �ł
j ta kolumna
Przykłady macierzy.
1 0 3
�ł łł
1 6 0
�ł łł
�ł2
1. A = 5 7śł , B =
�ł4 5 9śł
�ł śł
�ł �ł
�ł śł
�ł4 4 3�ł
2. Za pomocą macierzy podać:
a) Opis poło\enia pionków na szachownicy w grze w warcaby, szachy.
b) Zapis odległości między n miastami.
c) Zapis eksportu, importu między k państwami.
Macierze oznaczamy zwykle du\ymi literami alfabetu.
Element aij le\y na przecięciu i tego wiersza i j tej kolumny macierzy.
Rodzaje macierzy
1. Macierz, której wszystkie elementy są równe 0 nazywamy macierzą zerową
2. Macierz, której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn nazywamy macierzą
kwadratową. Liczbę wierszy (kolumn) nazywamy wówczas stopniem macierzy.
Elementy macierzy, które maja ten sam numer wiersza co kolumny, tworzą główną
przekątną.
3. Macierz kwadratową stopnia n, której wszystkie elementy nie stojące na głównej
przekątnej są równe 0 nazywamy macierzą diagonalną. Je\eli macierz diagonalna ma
na przekątnej wszystkie elementy równe 1, to nazywa się macierzą jednostkową. i
oznaczamy ją przez In.
4. Macierz kwadratowa A o elementach aij stopnia n nazywa się symetryczną, je\eli dla
ka\dego i,j mamy aij = aji.
5. Macierze, których wszystkie elementy nad przekątną lub pod przekątną są równe 0
nazywamy macierzą trójkątną.
1.2. Działania na macierzach.
Definicja 1.2. Suma i ró\nica macierzy.
Niech A = [aij], B = [bij] będą macierzami wymiaru m � n . Sumą (ró\nicą) macierzy A i B
nazywamy macierz C C = [cij] , której elementy są określone wzorem:
cij = aij + bij , ( cij = aij - bij ).
Piszemy wtedy C=A+B (C=A-B).
Przykład 1.2. Obliczyć sumę i ró\nicę macierzy:
1
�ł - 2 9
łł �ł-1 4 - 5
łł
A = .
�ł5 6 0śł, B = �ł śł
2 3 6
�ł �ł �ł �ł
Definicja 1.3. Iloczyn macierzy przez liczbę
Niech A = [aij] będzie macierzą wymiaru m � n oraz niech ą będzie liczbą. Iloczynem
macierzy A przez liczbę ą nazywamy macierz B = [bij], której elementy są określone
wzorem bij = ąaij
Własności działań na macierzach.
Niech A, B, C będą macierzami tego samego wymiaru oraz niech ą, �, będą liczbami Wtedy
1. A+ B = B + A, 2. A+ (B+C) = (A + B) + C
3. A + 0 = 0 + A = A 4. A + (-A) = 0
5. ą( ę + ł ) = ąę + � ł 6. (ą + � ) ę = ąę + � ę
7. 1 ę = ę 8. (ą�) ę = ą (�ę).
Przykład 1.3. Dla macierzy ę, ł obliczyć
a) 5(ę + 2ł) + 4 (2ę - ł),
b) Rozwiązać równanie 3(A+X) + 5(3X+B) = A B.
Definicja 1.4. Iloczyn macierzy
Niech A = [aij], B = [bij] będą macierzami wymiaru m � n , n � k , odpowiednio. Iloczynem
macierzy A B nazywzmy macierz C = C = [cij], której elementy są określone wzorem:
n
cij = bmj .
"aim
m=1
Przykład 1.4. Obliczyć iloczyny par macierzy:
1 0
�ł łł
1
�ł łł
�ł2 3 śł
1
�ł - 2 9
łł �ł-1 2
łł
�ł2śł
a) A =
�ł5 6 0śł, B = �ł śł , b) A = �ł0 -1śł, B = �ł śł.
�ł śł
3 - 4
�ł �ł �ł �ł
�ł
�ł4 - 2śł
�ł5śł
�ł
�ł �ł
Przykład 1.5. Układając i rozwiązując odpowiedni układ równań znalezć rozwiązania
podanych równań macierzowych:
3 3
�ł łł
1 0
�ł łł
�ł2 śł, �ł 0 6 3łł �" X = �ł6 0 łł , c) X �" �ł1 0łł = �ł1 0łł �" X .
a) X �"
�ł2 3śł = �ł 3 śł b) �ł-1 - 2 1śł �ł1 - 2śł �ł1 1śł �ł2 1śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł - 3�ł �ł
�ł0 śł
Przykład 1.6 Dane są macierze
3 2 3
�ł łł
1 0 6 1 2
�ł łł
�ł śł
1 5 4
�ł0 3 2 4 1śł
�ł śł
�ł śł, B = �ł10 9 11śł ,
A =
�ł śł
5 2 7 2 2
�ł śł
7 6 6
�ł1 4 0 2 0śł
�ł śł
�ł �ł
�ł śł
2 3 2
�ł �ł
gdzie element aik macierzy A oznacza ilość sztuk towaru Tk, którą chce kupić klient Ki ,
natomiast element bkj macierzy B oznacza cenę towaru Tk w sklepie Sj. Obliczyć iloczyn
AB a z otrzymanego wyniku odczytać
a) kwotę, jaką zapłaciłby klient K3 w sklepie S2 ;
b) kwotę, jaką zapłaciliby łącznie wszyscy klienci w sklepie S1;
c) numer sklepu, w którym klient K4 zapłaciłby najmniej.
Własności iloczynu macierzy.
(zakładamy, \e wymiary macierzy pozwalają na wykonanie poni\szych działań)
1. A (B+C) = AB + AC
2. ( A+B)C = AC + BC.
3. A (ąB) = (ąA) B.
Przykład 1.7. Rozwiązać równanie macierzowe.
2 0 0 5 0 0
�ł łł �ł łł �ł- 3 0 6
łł
�ł0 �ł0 �ł śł
X 2 0śł - 5 0śł X = 0 9 3 .
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł śł
�ł0 0 2�ł �ł 0 5�ł �ł 0 15 -12�ł
�ł0 śł �ł
Definicja 1.5. Transpozycja macierzy.
Niech A = [aij] będzie macierzą wymiaru m � n . Macierzą transponowaną do macierzy A
nazywamy macierz B = [bij] wymiaru n � m , której elementy są określone wzorem
bij = a .
ji
Własności transpozycji.
(zakładamy, \e wymiary macierzy pozwalają na wykonanie poni\szych działań):
1. (A + B)T = AT + BT , 2.(AT )T = A, 3.(AB)T = BT �" AT , 4.(Ar )T = (AT )r .

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Algebra I wyklad
Algebra I wyklad
Algebra I wyklad
Algebra I wyklad
Algebra I wyklad
Algebra I wyklad
001 Algebra wyklady
Algebra I wyklad
Algebra I wyklad
Algebra wykład zasady zaliczenia, informacje ogólne
Algebra I wyklad
Algebra I wyklad
Algebra I wyklad
Algebra I wyklad
Algebra I wyklad
Algebra I wyklad

więcej podobnych podstron