Wykład 9. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.
Przypomnienie o rzędzie macierzy. Przypomnie-
nie definicji układu równań liniowych.
Definicja 9.1.1. Na podstawie definicji 8.1.1. okre-
ślamy jeszcze raz układ równań liniowych jako
Å„Å‚
ôÅ‚ a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b2
.
.
ôÅ‚
.
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
lub w zapisie macierzowym
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n x1 b1
ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n śł ïÅ‚ x2 śł ïÅ‚ b2 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł = ïÅ‚ śł
. . . . .
.
. . . . . .
ðÅ‚ . ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . .
am1 am2 . . . amn xn bm

lub AX = B, gdzie A = aij m×n , X = xj n ,
B = bi .
[ ]m
Dygresja: Układ równań zadany definicją 8.1.1.
da się sprowadzić do powyższego układu rów-
nań. Wtedy macierz A będzie macierzą blo-
kowÄ….
Twierdzenie 9.1.1. (Kroneckera-Capellego) Układ
równań liniowych o n niewiadomych (zadany
definicjÄ… 9.1.1.), ma rozwiÄ…zanie wtedy, gdy rzÄ…d
macierzy współczynników A jest równy rzędowi
macierzy rozszerzonej C = A|B , tzn.
[ ]
rankA = rankC = rank A|B ,
[ ]
przy czym rozwiÄ…zanie ma n-rankA stopni swo-
body.
Dygresja: Macierz rozszerzona C to macierz blo-
kowa (patrz wykład 5, def. 5.1.2. - pkt. 8) o
następującej konstrukcji

C = A|B = aij|bi m×(n+1) .
[ ]
Twierdzenie 9.1.2. (O rodzajach rozwiązań układu
równań liniowych) Układ równań liniowych
AX = B o n niewiadomych, zadany definicjÄ…
9.1.1.:
1. ma dokładnie jedno rozwiązanie jeżeli
rankA = rankC = n (jest układem ozna-
czonym - własność 8.1.1. pkt. 1),
2. nie ma rozwiązań, gdy rankA = rankC (jest

układem sprzecznym - własność 8.1.1. pkt.
2),
3. ma nieskończenie wiele rozwiązań jeżeli
rankA = rankC < n zależnych od n-rankA
parametrów (jest układem nieoznaczonym
- twierdzenie 9.1.1.).
Przykłady rozwiązań układów równań.
Sposoby postępowania z układem nieoznaczonym.
Literatura
" Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN,
Warszawa 1976.
" Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, CzÄ™-
stochowa 2001.
" Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.
" Kiełbasiński A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.
" Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.
" Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN,
Warszawa 1975.
" Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.