Wykład 4. Wielomiany zespolone. Podstawowe
twierdzenie algebry.
4.1. Wielomiany zespolone
Definicja 4.1.1. Wielomianem zespolonym jed-
nej zmiennej stopnia n " N *" {0} będziemy na-
zywać odwzorowanie W : C C określone
wzorem
W (z) = bnzn + bn-1zn-1 + . . . + b1z + b0,
gdzie bk " C dla 0 d" k d" n i bn = 0. Liczby bn

nazywamy współczynnikami wielomianu.
Zbiór wielomianów zespolonych nazywamy pier-
ścieniem wielomianów zespolonych i oznaczamy
przez C[z].
Dygresja: Dla wielomianów zespolonych obo-
wiązują również te własności, które podano dla
wielomianów rzeczywistych (wykład 1).
(przykłady wielomianów zespolonych)
4.2. Podstawowe twierdzenie algebry
Twierdzenie 4.2.1. Każdy wielomian z pierście-
nia C[z] ma co najmniej jeden pierwiastek ze-
spolony.
(dowód można znalez
ć w literaturze podanej
do wykładów)
Własność 4.2.1. (O reprezentacji wielomianu
zespolonego przez iloczyn dwumianów)
1. Każdy wielomian zespolony stopnia n " N
ma dokładnie n pierwiastków zespolonych
(razem z pierwiastkami wielokrotnymi).
2. Każdy wielomian zespolony stopnia n " N,
mający zj pierwiastków zespolonych o krot-
nościach kj (kj " N dla 1 d" j d" m) oraz
k1 + k2 + . . . + km = n, można przedstawić
w postaci
W (z) = bn z - z1 z )k2 ( )km
( )k1 ( - z2 . . . z - zm
gdzie bn " C jest współczynnikiem tego wie-
lomianu.
Własność 4.2.2. Jeżeli W jest wielomianem o
współczynnikach rzeczywistych to liczba zespo-
lona z0 jest l-krotnym pierwiastkiem wielomianu
W wtedy i tylko wtedy, gdy liczba z0 jest pier-
wiastkiem l-krotnym tego wielomianu.
Uzupełnienie wiadomości o rozkładzie funkcji
wymiernej na ułamki proste.
Definicja 4.2.1. Zespolonym ułamkiem prostym
nazywamy nazywamy funkcję wymierną zespo-
loną o postaci
A
(z + a)n
gdzie A, a, z " C, n " N.
Dygresja: Powyższa definicja jest uzupełnieniem
własności 1.2.1. (definicji 1.2.3.) podanej na
pierwszym wykładzie.
Twierdzenie 4.2.1. (uzupełnienie własności 1.2.2.
o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)
Każda funkcja wymierna zespolona jest sumą
zespoloną ułamków prostych o postaci
W1(z)
bn z - z1 z )k2 ( )km
( )k1 ( - z2 . . . z - zm
gdzie k1 + k2 + . . . + km jest sumą zespolo-
nych ułamków prostych, przy czym dowolnemu
czynnikowi z - zi (1 d" i d" m) odpowiada
( )ki
suma ułamków prostych o postaci
Ai ki
Ai 1 Ai 2
+ + . . . +
z - zi
z )2 z )ki
( - zi
( - zi
dla Ai 1, Ai 2, . . . , Ai ki " C.
Literatura
" Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN,
Warszawa 1976.
" Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Czę-
stochowa 2001.
" Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.
" Kiełbasiński A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.
" Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.
" Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN,
Warszawa 1975.
" Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.