Wykład 13. Klasyfikacja powierzchni stopnia
drugiego w R3.
Definicja 13.1.1. (Zamiana układu współrzęd-
nych) Translację (przesunięcie) w przestrzeni R3
określamy jako
Å„Å‚
2
ôÅ‚
ôÅ‚ x = x - x0
òÅ‚
2
,
y = y - y0
ôÅ‚
ôÅ‚
2
ół
z = z - z0
gdzie x, y, z są współrzędnymi dowolnego punktu
P w pierwotnym układzie współrzędnych (sta-
2 2 2 2
rym), x , y , z są współrzędnymi punktu P w prze-
suniętym układzie współrzędnych (nowym), na-
tomiast x0, y0, z0 są współrzędnymi punktu P0
(początku nowego układu współrzędnych) okre-
ślonymi względem pierwotnego układu współ-
rzędnych Oxyz. (rysunek)
Definicja 13.1.2. (Obrót układu współrzędnych)
MajÄ…c dane cosinusy kierunkowe (patrz: dygre-
2 2 2
sja w definicji 10.1.2.) nowych osi Ox , Oy , Oz
względem osi pierwotnych Ox, Oy, Oz
2 2 2
Ox Oy Oz
Ox cos Ä…1 cos Ä…2 cos Ä…3
Oy cos ²1 cos ²2 cos ²3
Oz cos Å‚1 cos Å‚2 cos Å‚3
otrzymujemy wzory na obrót układu współrzęd-
nych
Å„Å‚
2
ôÅ‚
ôÅ‚ x = x cos Ä…1 + y cos ²1 + z cos Å‚1
òÅ‚
2
.
y = x cos Ä…2 + y cos ²2 + z cos Å‚2
ôÅ‚
ôÅ‚
2
ół
z = x cos Ä…3 + y cos ²3 + z cos Å‚3
2 2 2
Dygresja: W przypadku obrotu układu Ox , Oy , Oz
do układu Ox, Oy, Oz (czyli odwrotnie niż po-
przednio) otrzymujemy
Å„Å‚
2 2 2
ôÅ‚
ôÅ‚ x = x cos Ä…1 + y cos Ä…2 + z cos Ä…3
òÅ‚
2 2 2
.
y = x cos ²1 + y cos ²2 + z cos ²3
ôÅ‚
ôÅ‚
2 2 2
ół
z = x cos Å‚1 + y cos Å‚2 + z cos Å‚3
Dygresja: Możemy jeszcze podać wyznacznik
przekształcenia jako


cos Ä…1 cos Ä…2 cos Ä…3


" = cos ²1 cos ²2 cos ²3



cos Å‚1 cos Å‚2 cos Å‚3
lub


cos Ä…1 cos ²1 cos Å‚1


" = cos Ä…2 cos ²2 cos Å‚2 ,



cos Ä…3 cos ²3 cos Å‚3
który jest niezmiennikiem przekształcenia.
Definicja 13.1.3. Położenie dowolnego układu
2 2 2
współrzędnych Ox , Oy , Oz względem układu
Ox, Oy, Oz można określić za pomocą trzech
kątów Eulera (rysunek):
1. kÄ…ta nutacji ¸ zawartego miÄ™dzy dodatnimi
2
częściami osi Oz i Oz (0 d" ¸ < Ä„),
2. kÄ…ta precesji È zawartego miÄ™dzy dodat-
nią częścią osi Ox i prostą l utworzoną przez
2 2
przesunięcie płaszczyzn Oxy i Ox y i jest li-
czony w kierunku od osi Ox do Oy
(0 d" È < 2Ä„),
3. kąta obrotu właściwego Ć, który zawarty jest
2
pomiędzy osią Ox i prostą l i jest liczony w
2 2
kierunku od osi Ox do Oy (0 d" Ć < 2Ą).
Dygresja: Kosinusy kierunkowe można wyzna-
czyć za pomocą kątów Eulera jako
Å„Å‚
ôÅ‚
cos Ä…1 = cos È cos Ć - cos ¸ sin È sin Ć
òÅ‚
cos Ä…2 = - cos È sin Ć - cos ¸ sin È cos Ć ,
ôÅ‚
ół
cos Ä…3 = sin ¸ sin È
Å„Å‚
ôÅ‚
cos ²1 = sin È cos Ć + cos ¸ cos È sin Ć
òÅ‚
cos ²2 = - sin È sin Ć + cos ¸ cos È cos Ć ,
ôÅ‚
ół
cos ²3 = - sin ¸ cos È
Å„Å‚
ôÅ‚
cos Å‚1 = sin ¸ sin Ć
òÅ‚
cos Å‚2 = sin ¸ cos Ć .
ôÅ‚
ół
cos Å‚3 = cos ¸
Definicja 13.1.4. Równanie ogólne powierzchni
stopnia drugiego w R3 ma postać
a11x2 + a22y2 + a33z2+
+2a12xy + 2a23yz + 2a13zx+
2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0,
gdzie aij " R (1 d" i d" 4, 1 d" j d" 4) są współ-
czynnikami powierzechni, przy czym a12 = a21,
a13 = a31, a23 = a32, a14 = a41, a24 = a42,
a34 = a43.
Twierdzenie 13.1.1. Następujące wielkości


a11 a12 a13 a14


a21 a22 a23 a24

" = ,

a31 a32 a33 a34


a41 a42 a43 a44


a11 a12 a13


´ = a21 a22 a23 ,



a31 a32 a33
S = a11 + a22 + a33,
T = a11a22 + a22a33 + a33a11 - a2 - a2 - a2
12 23 31
sÄ… niezmiennikami powierzchni stopnia drugiego.
Dygresja: Niezmienniki oznaczajÄ… takie wielko-
ści, które nie zmieniają się podczas zamiany (trans-
lacji) układu współrzędnych i przy obrocie układu
współrzędnych.
Będziemy się zajmować postaciami kanonicz-
nymi wyróżnionych powierzchni stopnia drugiego.
Postać kanoniczna to taka postać, dla której
równanie kanoniczne spełnia następujące wa-
runki:
1. początek układu współrzędnych jest środ-
kiem symetrii powierzchni,
2. osie układu współrzędnych są osiami syme-
trii,
3. płaszczyzny współrzędnych są płaszczyznami
symetrii.
Równania kanoniczne wyróżnionych powierzchni:
1. kula
x2 + y2 + z2 = r2,
gdzie r jest promieniem kuli,
2. elipsoida
x2 y2 z2
+ + = 1,
a2 b2 c2
gdzie a, b, c są półosiami elipsoidy,
3. hiperboloida jednopowłokowa
x2 y2 z2
+ - = 1,
a2 b2 c2
gdzie a, b są półosiami rzeczywistymi, c jest
półosią urojoną, oś Oz jest główną osią sy-
metrii,
4. hiperboloida dwupowłokowa
x2 y2 z2
+ - = -1,
a2 b2 c2
gdzie a, b są półosiami urojonymi, c jest pół-
osią rzeczywistą, oś Oz jest główną osią sy-
metrii,
5. stożek
x2 y2 z2
+ - = 0,
a2 b2 c2
oś Oz jest główną osią symetrii,
6. paraboloida eliptyczna
x2 y2
z = +
a2 b2
7. paraboloida hiperboliczna
x2 y2
z = -
a2 b2
8. walec eliptyczny
x2 y2
+ = 1,
a2 b2
9. walec hiperboliczny
x2 y2
- = 1,
a2 b2
10. walec paraboliczny
y2 = 2px.
Literatura
" Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN,
Warszawa 1976.
" Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, CzÄ™-
stochowa 2001.
" Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.
" Kiełbasiński A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.
" Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.
" Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN,
Warszawa 1975.
" Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.