Wykład 13. Klasyfikacja powierzchni stopnia
drugiego w R3.
Definicja 13.1.1. (Zamiana układu współrzęd-
nych) Translację (przesunięcie) w przestrzeni R3
określamy jako
ńł
2
�ł
�ł x = x - x0
�ł
2
,
y = y - y0
�ł
�ł
2
ół
z = z - z0
gdzie x, y, z są współrzędnymi dowolnego punktu
P w pierwotnym układzie współrzędnych (sta-
2 2 2 2
rym), x , y , z są współrzędnymi punktu P w prze-
suniętym układzie współrzędnych (nowym), na-
tomiast x0, y0, z0 są współrzędnymi punktu P0
(początku nowego układu współrzędnych) okre-
ślonymi względem pierwotnego układu współ-
rzędnych Oxyz. (rysunek)
Definicja 13.1.2. (Obrót układu współrzędnych)
Mając dane cosinusy kierunkowe (patrz: dygre-
2 2 2
sja w definicji 10.1.2.) nowych osi Ox , Oy , Oz
względem osi pierwotnych Ox, Oy, Oz
2 2 2
Ox Oy Oz
Ox cos ą1 cos ą2 cos ą3
Oy cos �1 cos �2 cos �3
Oz cos ł1 cos ł2 cos ł3
otrzymujemy wzory na obrót układu współrzęd-
nych
ńł
2
�ł
�ł x = x cos ą1 + y cos �1 + z cos ł1
�ł
2
.
y = x cos ą2 + y cos �2 + z cos ł2
�ł
�ł
2
ół
z = x cos ą3 + y cos �3 + z cos ł3
2 2 2
Dygresja: W przypadku obrotu układu Ox , Oy , Oz
do układu Ox, Oy, Oz (czyli odwrotnie niż po-
przednio) otrzymujemy
ńł
2 2 2
�ł
�ł x = x cos ą1 + y cos ą2 + z cos ą3
�ł
2 2 2
.
y = x cos �1 + y cos �2 + z cos �3
�ł
�ł
2 2 2
ół
z = x cos ł1 + y cos ł2 + z cos ł3
Dygresja: Możemy jeszcze podać wyznacznik
przekształcenia jako


cos ą1 cos ą2 cos ą3


" = cos �1 cos �2 cos �3



cos ł1 cos ł2 cos ł3
lub


cos ą1 cos �1 cos ł1


" = cos ą2 cos �2 cos ł2 ,



cos ą3 cos �3 cos ł3
który jest niezmiennikiem przekształcenia.
Definicja 13.1.3. Położenie dowolnego układu
2 2 2
współrzędnych Ox , Oy , Oz względem układu
Ox, Oy, Oz można określić za pomocą trzech
kątów Eulera (rysunek):
1. kąta nutacji � zawartego między dodatnimi
2
częściami osi Oz i Oz (0 d" � < Ą),
2. kąta precesji � zawartego między dodat-
nią częścią osi Ox i prostą l utworzoną przez
2 2
przesunięcie płaszczyzn Oxy i Ox y i jest li-
czony w kierunku od osi Ox do Oy
(0 d" � < 2Ą),
3. kąta obrotu właściwego Ć, który zawarty jest
2
pomiędzy osią Ox i prostą l i jest liczony w
2 2
kierunku od osi Ox do Oy (0 d" Ć < 2Ą).
Dygresja: Kosinusy kierunkowe można wyzna-
czyć za pomocą kątów Eulera jako
ńł
�ł
cos ą1 = cos � cos Ć - cos � sin � sin Ć
�ł
cos ą2 = - cos � sin Ć - cos � sin � cos Ć ,
�ł
ół
cos ą3 = sin � sin �
ńł
�ł
cos �1 = sin � cos Ć + cos � cos � sin Ć
�ł
cos �2 = - sin � sin Ć + cos � cos � cos Ć ,
�ł
ół
cos �3 = - sin � cos �
ńł
�ł
cos ł1 = sin � sin Ć
�ł
cos ł2 = sin � cos Ć .
�ł
ół
cos ł3 = cos �
Definicja 13.1.4. Równanie ogólne powierzchni
stopnia drugiego w R3 ma postać
a11x2 + a22y2 + a33z2+
+2a12xy + 2a23yz + 2a13zx+
2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0,
gdzie aij " R (1 d" i d" 4, 1 d" j d" 4) są współ-
czynnikami powierzechni, przy czym a12 = a21,
a13 = a31, a23 = a32, a14 = a41, a24 = a42,
a34 = a43.
Twierdzenie 13.1.1. Następujące wielkości


a11 a12 a13 a14


a21 a22 a23 a24

" = ,

a31 a32 a33 a34


a41 a42 a43 a44


a11 a12 a13


� = a21 a22 a23 ,



a31 a32 a33
S = a11 + a22 + a33,
T = a11a22 + a22a33 + a33a11 - a2 - a2 - a2
12 23 31
są niezmiennikami powierzchni stopnia drugiego.
Dygresja: Niezmienniki oznaczają takie wielko-
ści, które nie zmieniają się podczas zamiany (trans-
lacji) układu współrzędnych i przy obrocie układu
współrzędnych.
Będziemy się zajmować postaciami kanonicz-
nymi wyróżnionych powierzchni stopnia drugiego.
Postać kanoniczna to taka postać, dla której
równanie kanoniczne spełnia następujące wa-
runki:
1. początek układu współrzędnych jest środ-
kiem symetrii powierzchni,
2. osie układu współrzędnych są osiami syme-
trii,
3. płaszczyzny współrzędnych są płaszczyznami
symetrii.
Równania kanoniczne wyróżnionych powierzchni:
1. kula
x2 + y2 + z2 = r2,
gdzie r jest promieniem kuli,
2. elipsoida
x2 y2 z2
+ + = 1,
a2 b2 c2
gdzie a, b, c są półosiami elipsoidy,
3. hiperboloida jednopowłokowa
x2 y2 z2
+ - = 1,
a2 b2 c2
gdzie a, b są półosiami rzeczywistymi, c jest
półosią urojoną, oś Oz jest główną osią sy-
metrii,
4. hiperboloida dwupowłokowa
x2 y2 z2
+ - = -1,
a2 b2 c2
gdzie a, b są półosiami urojonymi, c jest pół-
osią rzeczywistą, oś Oz jest główną osią sy-
metrii,
5. stożek
x2 y2 z2
+ - = 0,
a2 b2 c2
oś Oz jest główną osią symetrii,
6. paraboloida eliptyczna
x2 y2
z = +
a2 b2
7. paraboloida hiperboliczna
x2 y2
z = -
a2 b2
8. walec eliptyczny
x2 y2
+ = 1,
a2 b2
9. walec hiperboliczny
x2 y2
- = 1,
a2 b2
10. walec paraboliczny
y2 = 2px.
Literatura
" Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN,
Warszawa 1976.
" Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Czę-
stochowa 2001.
" Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.
" Kiełbasiński A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.
" Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.
" Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN,
Warszawa 1975.
" Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.