Wykład 11. Prosta i płaszczyzna w R3.
W przestrzeni R3 mamy dany punkt P0 x0, y0, z0
( )
-

-

oraz wektor n = A, B, C = 0 .
[ ]
Definicja 11.1.1. Równanie płaszczyzny Ą prze-
chodzÄ…cej przez punkt P0 x0, y0, z0 i prosto-
( )
-

padłej do wektora n = A, B, C przyjmuje
[ ]
postać:
-
- -
Ą : ( - r ć% n = 0,
r )
0
-

gdzie r = x, y, z jest wektorem wodzÄ…cym
[ ]
(zaczepionym) punktów przestrzeni, zaś
-

r = x0, y0, z0 jest wektorem wodzÄ…cym (za-
[ ]
0
-

czepionym) punktu P0 x0, y0, z0 . Wektor n
( )
nazywamy wektorem normalnym płaszczyzny Ą.
(rysunek)
Definicja 11.1.2. Rodzaje równań płaszczyzny:
1. w postaci normalnej
Ä„ : A x - x0 +B y - y0 +C z - z0 = 0
( ) ( ) ( )
Dygresja: Jest to rozwinięcie równania wek-
torowego podanego w definicji 11.1.1. Na-
leży zauważyć, że musi być spełniony waru-
nek
A2 + B2 + C2 > 0.
2. w postaci ogólnej
Ä„ : Ax + By + Cz + D = 0,
gdzie D = - ( )
Ax0 + By0 + Cz0 i oczywi-
ście A2 + B2 + C2 > 0.
3. w postaci parametrycznej (rysunek)
Å„Å‚
ôÅ‚
x = x0 + A1s + A2t
òÅ‚
Ä„ : y = y0 + B1s + B2t , s, t " R,
ôÅ‚
ół
z = z0 + C1s + C2t
gdzie P0 x0, y0, z0 jest punktem należą-
( )

-
cym do Ä„, natomiast u = A1, B1, C1 i
[ ]
1
-

u = A2, B2, C2 są wektorami (niewspół-
[ ]
2
liniowymi), na których rozpięta jest płaszczy-
zna Ä„.
4. przechodzÄ…cej przez trzy punkty P1 x1, y1, z1 ,
( )
P2 x2, y2, z2 , P3 x3, y3, z3 (rysunek)
( ) ( )


x y z 1


x1 y1 z1 1

Ä„ : = 0

x2 y2 z2 1


x3 y3 z3 1
5. w postaci odcinkowej (rysunek)
x y z
Ä„ : + + = 1,
a b c
gdzie a, b, c = 0 są długościami odcinków

(ze znakiem), które odcina płaszczyzna Ą
na osiach 0x, 0y, 0z.
W przestrzeni R3 mamy dany punkt P0 x0, y0, z0
( )
-

-

oraz wektor k = A, B, C = 0 .
[ ]
Definicja 11.1.3. Równanie prostej l przecho-
dzÄ…cej przez punkt P0 x0, y0, z0 i wektor
( )
-

k = A, B, C przyjmuje postać:
[ ]
-

- -

l : r = r + k t, t " R,
0
-

gdzie t jest parametrem, r = x, y, z jest wek-
[ ]
torem wodzącym (zaczepionym) punktów le-
-

żących na prostej l, natomiast r = x0, y0, z0
[ ]
0
jest wektorem wodzÄ…cym (zaczepionym) punktu
-

P0 x0, y0, z0 . Wektor k = A, B, C (leżący
( ) [ ]
na prostej) będziemy nazywać wektorem kie-
runkowym protej. (rysunek)
Definicja 11.1.4. Rodzaje równań prostej:
1. w postaci parametrycznej
Å„Å‚
ôÅ‚
x = x0 + At
òÅ‚
l : y = y0 + Bt , t " R,
ôÅ‚
ół
z = z0 + Ct
2. w postaci kierunkowej (rysunek)
x - x0 y - y0 z - z0
l : = =
A B C
(prosta przechodzi przez punkt P0 x0, y0, z0
( )
i jest równoległa do wektora kierunkowego

-
k = A, B, C )
[ ]
3. w postaci krawędziowej (rysunek)

A1x + B1y + C1z + D1 = 0
l : ,
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
gdzie prosta l jest krawędzią przecięcia się
dwóch płaszczyzn Ą1 : A1x + B1y + C1z +
D1 = 0 i Ä„2 : A2x + B2y + C2z + D2 =
-

0. Wektor kierunkowy prostej k = A, B, C
[ ]
można obliczyć ze wzoru
-

- -

k = n × n ,
1 2
- -

gdzie n = A1, B1, C1 , n = A2, B2, C2
[ ] [ ]
1 2
są odpowiednio wektorami normalnymi płasz-
czyzn Ä„1 i Ä„2.
Dygresja: Należy rozważyć wzajemne przejścia
pomiędzy różnymi postaciami płaszczyzn (pro-
stych).
Literatura
" Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN,
Warszawa 1976.
" Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, CzÄ™-
stochowa 2001.
" Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.
" Kiełbasiński A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.
" Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.
" Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN,
Warszawa 1975.
" Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.