Wykład 5. Wyznaczniki, definicja i własności.
Macierze, definicja i własności
5.1. Podstawowe pojęcia
Definicja 5.1.1. (Macierzy) Jeżeli każdej upo-
rzÄ…dkowanej parze liczb naturalnych i, j " N,
gdzie 1 d" i d" m i 1 d" j d" n, przyporzÄ…dkujemy
dowolnÄ… liczbÄ™ aij " K (lub funkcjÄ™) to otrzy-
mamy
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1j . . . a1n
ïÅ‚
ïÅ‚ a21 a22 . . . a2j . . . a2n śł
śł
ïÅ‚ śł
. . . .
. .
ïÅ‚ . . . . . . śł
. .
. . . .
ïÅ‚ śł
A =
ïÅ‚
ai1 ai2 . . . aij . . . ain śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
. . . .
. .
. . . . . .
. .
. . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
am1 am2 . . . amj . . . amn
którą będziemy nazywać macierzą prostokątną
o wymiarze m × n.
Dygresja: Macierze będziemy zazwyczaj ozna-

czać dużymi literami, np. A, B, C lub aij m×n

lub aij .
Przykłady macierzy:

1 2 3 4
A =
0 -3 -2 1

" "
B =
1 + i 1 - 3i 2 + 2 3i

ln x e-2x
X =
tgx - cos x
Definicja 5.1.2. Rodzaje macierzy:
1. Macierz A będziemy nazywać macierzą kwa-
dratowÄ…, gdy m = n. Dodatkowo dla ma-
cierzy kwadratowych m (czy n) nazywa siÄ™
stopniem macierzy. Elementy aii, dla
1 d" i d" n, tworzą główną przekątną ma-
cierzy. Przykłady:
[1] - macierz stopnia pierwszego,

-3 4
- macierz stopnia drugiego
2 -1
2. Macierz zerowa:
îÅ‚ Å‚Å‚
0 0 . . . 0
ïÅ‚ śł
0 0 . . . 0
ïÅ‚ śł
0m×n = ïÅ‚ śł
. . .
.
. . . .
ðÅ‚ . ûÅ‚
. . .
0 0 . . . 0
3. Macierz kwadratowa trójkątna dolna
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 0 0 . . . 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
a21 a22 0 . . . 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
L = a31 a31 a33 . . . 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ . . . . śł
.
. . . . .
.
. . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
an1 an2 an3 . . . ann
4. Macierz kwadratowa trójkątna górna
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 a13 . . . a1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 a22 a23 . . . a2n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
U = 0 0 a33 . . . a3n śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ . . . . śł
.
. . . . .
.
. . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 0 . . . ann
5. Macierz diagonalna
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 0 0 . . . 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 a22 0 . . . 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
D = 0 0 a33 . . . 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ . . . . śł
.
. . . . .
.
. . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 0 . . . ann
6. Macierz jednostkowa
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0 . . . 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 1 0 . . . 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
I = E = 0 0 1 . . . 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ . . . . śł
.
. . . . .
.
. . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 0 . . . 1
Często macierz jednostkową oznaczamy sym-
bolem

1 dla i = j
´ij = ,
0 dla i = j

który nazywamy deltą Kroneckera.
7. Macierz kwadratowa charakterystyczna
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 -  a12 . . . a1n
ïÅ‚
a21 a22 -  . . . a2n śł
ïÅ‚ śł
W () = ïÅ‚ śł
. . .
.
. . . .
ðÅ‚ . ûÅ‚
. . .
an1 an2 . . . ann - 
gdzie  " K jest dowolnÄ… zmiennÄ….
8. Macierz blokowa
îÅ‚ Å‚Å‚
A11 A12 A13 . . . A1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
A21 A22 A23 . . . A2n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
B = A31 A32 A33 . . . A3n śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ . . . . śł
.
. . . . .
.
. . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
Am1 Am2 Am3 . . . Amn
gdzie macierze Ai1, Ai2, . . . , Ain stojÄ…ce w
i-tym wierszu muszą mieć taką samą liczbę
wierszy. Podobnie dla A1j, A2j, . . . , Amj sto-
jące w j-tej kolumnie muszą mieć takie same
liczby kolumn. Często używamy pojęcia ma-
cierzy dołączonej, która jest macierzą blo-
kowÄ….
9. Macierz transponowana powstaje przez za-
mianÄ™ wierszy z kolumnami dla 1 d" i d" m i
1 d" j d" n. Wtedy piszemy AT - co oznacza
macierz transponowaną. Często też nazy-
wamy jÄ… macierzÄ… przestawionÄ…. Np.:


a1
A = a1 a2 , AT =
a2

b11 b12 b11 b21
B = , BT =
b21 b22 b12 b22
10. Macierz minorów - powstaje przez skreśle-
nie wewnÄ…trz macierzy A i-tego wiersza oraz
j-tej kolumny. Przykładowo mając daną ma-
cierz
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 a13
ïÅ‚
A = a21 a22 a23 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
a31 a32 a33
tworzymy przykładowe macierze dopełnień
algebraicznych

a22 a23
M11 = -skreślając 1 wiersz i 1 kolumnę
a32 a33

a11 a13
M32 = -skreślając 3 wiersz i 2 kolumnę
a21 a23
11. Macierz kwadratowa odwrotna A-1, tj. taka
macierz, dla której A-1A = AA-1 = I.
12. Macierz kwadratowa symetryczna - taka ma-
cierz, dla której aij = aji. Dla tej macierzy
zachodzi AT = A.
13. Macierz kwadratowa skośnosymetryczna -
taka macierz, dla której aij = -aji. Dla tej
macierzy zachodzi AT = -A.
14. Macierz kwadratowa nieosobliwa - to pojÄ™-
cie wprowadzimy za chwilÄ™.
15. Macierz kwadratowa ortogonalna, taka ma-
cierz dla której zachodzi
AAT = AT A = I
Przykładowo macierz A jest ortogonalna je-
śli A-1 = AT .
16. Macierz sprzężona to taka macierz złożona
z liczb zespolonych, dla których zachodzi

A = aij
17. Macierz kwadratowa hermitowska - dla niej
aij = aji. W tym przypadku zachodzi rów-
nież A = AT .
18. Macierz unitarna - dla niej mamy AAT = I.
Wobec powyższego AT = A-1
19. Macierze przemienne: AB = BA (należy
pamiętać, że mnożenie macierzy nie jest
przemienne!)
20. ... i wiele innych, np. macierze przekształ-
ceń liniowych, macierze wielopasmowe, ma-
cierze rzadkie itd.
Wprowadzenie do wyznaczników macierzy
Definicja 5.1.3. PermutacjÄ… n-elementowÄ…
(n " N) nazywamy każde różnowartościowe od-
wzorowanie p zbioru {1, 2, . . . , n} na siebie i za-
pisujemy jÄ… w postaci
p = {p1 p2 . . . pi . . . pn} ,
gdzie pi oznacza wartość permutacji dla indeksu
i, 1 d" i d" n. Zbiór wszystkich permutacji
n-elementowych oznaczamy przez Pn.
Dygresja: Istnieje n! różnych permutacji
n-elementowych.

Definicja 5.1.4. Jeśli p = p1 p2 . . . pi . . . pj . . . pn
będzie permutacją n-elementową i dowolna para

pi, pj elementów tej permutacji tworzy inwer-
sjÄ™ (przestawienie) dla
pi > pj oraz i < j
to znak tej permutacji określany jest wzorem
sgn(p) = (-1)k,
gdzie k oznacza liczbę inwersji (nieporządków)
w permutacji p.
Dygresja: Przykładowo dla n = 3 mamy do-
kładnie 6 permutacji
1 2 3, 2 3 1, 3 1 2, 1 3 2, 2 1 3, 3 2 1.
Liczby inwersji (przestawień) dla każdej z nich
wynoszÄ… odpowienio: 0, 2, 2, 1, 1, 3. Wobec
powyższego znaki sgn(p) dla każdej z permu-
tacji wynoszÄ… 1, 1, 1, -1, -1, -1.
Definicja 5.1.5. (Wyznacznika przez permuta-
cje) Wyznacznikiem z macierzy kwadratowej

A = aij nazywamy liczbę określoną wzo-
n×n
rem

det A = sgn(p)a1p1a2p2 . . . anpn
p"Pn

gdzie p = p1 p2 . . . pi . . . pj . . . pn , a sumo-
wanie obejmuje wszystkie permutacje n-elementowe
(a jest ich n!).
Dygresja: Wyznacznik z macierzy kwadratowej
oznaczamy również przez


a11 a12 . . . a1n


a21 a22 . . . a2n

det aij , lub
. . .
.
. . . .
.
. . .


an1 an2 . . . ann
Definicja 5.1.6. (Dopełnienie algebraiczne) Do-
pełnieniem algebraicznym wyróżnionego ele-
mentu aij macierzy kwadratowej A stopnia n
nazywamy liczbÄ™
dij = (-1)i+j det Mij,
gdzie Mij jest macierzą minorów stopnia n - 1
(def. 5.1.2. - pkt. 10).
Twierdzenie 5.1.1. (Rozwinięcie wyznacznika me-
todÄ… Laplace a) Dla zadanej macierzy kwadra-
towej A stopnia n e" 2 wyznacznik tej macierzy
obliczamy następująco:
1. jako suma iloczynów elementów i-tego wier-
sza i ich dopełnień algebraicznych, tzn.
n

det A = aikdik
k=1
Jest to rozwinięcie Laplace a wyznacznika
względem i-tego wiersza.
2. jako suma iloczynów elementów j-tej ko-
lumy i ich dopełnień algebraicznych, tzn.
n

det A = akjdkj
k=1
Jest to rozwinięcie Laplace a wyznacznika
względem j-tej kolumny.
Definicja 5.1.7. (Uzupełnienie def. 5.1.2. - pkt.
14) Macierz kwadratowa A jest nieosobliwa je-
żeli det A = 0.

Dygresja: Nie trudno się domyśleć, że macierz
osobliwa to taka, dla której det A = 0.
5.2. Własności (macierzy i wyznaczników)
Własność 5.2.1. Mnożenie macierzy przez liczbę
oznacza mnożenie każdego jej elementu przez
tÄ… liczbÄ™, tzn.
îÅ‚ Å‚Å‚
Ä…a11 Ä…a12 . . . Ä…a1n
ïÅ‚
ąa21 ąa22 . . . ąa2n śł
ïÅ‚ śł
Ä…A = ïÅ‚ śł
. . .
.
. . . .
ðÅ‚ . ûÅ‚
. . .
Ä…am1 Ä…am2 . . . Ä…amn
Własność 5.2.2. (Metoda Sarrusa) Bezpośred-
nio z definicji wyznacznika (def. 5.1.5.) wynikajÄ…
rozwinięcia wyznaczników stopnia drugiego i trze-
ciego


a11 a12

= a11a22 - a21a22

a21 a22


a11 a12 a13 a11 a12


a21 a22 a23 a21 a22 = a11a22a33+



a31 a32 a33 a31 a32
a12a23a31 + a13a21a32-
a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33
Własność 5.2.3. Podstawowe własności wyznacz-
ników:
1. Wyznacznik macierzy (kwadratowej) jest równy
wyznacznikowi macierzy transponowanej
det A = det AT
2. jeżeli jeden wiersz (lub kolumna) składa się
z samych zer to wyznacznik jest równy zero,
np.


0 b 0 0

= 0, lub = 0

0 d c d
3. przestawienie dwóch wierszy (lub kolumn)
w wyznaczniku zmienia jego znak na prze-
ciwny, np.


a b c d b a

= - = -

c d a b d c
4. jeżeli w wyznaczniku dwie wiersze (lub dwie
kolumny) sÄ… identyczne to wyznacznik jest
równy zero, np.


a b b b

= = 0

a b d d
5. pomnożyć wyznacznik przez liczbę oznacza
pomnożyć jego dowolny wiersz (lub kolumnę)
przez liczbÄ™, np.


a b a b a Ä…b

Ä… = =

c d Ä…c Ä…d c Ä…d
6. wyznacznik o dwóch wierszach (lub kolum-
nach) proporcjonalnych jest równy zero, np.


Ä…a c Ä…a Ä…b

= = 0

Ä…c c a b
7. dodawanie wyznaczników o identycznych
wierszach n - 1 (kolumnach), np.


a b e b a + e b

+ =

c d f d c + f d
8. jeżeli jeden wiersz (lub kolumna) jest liniową
kombinacjÄ… wierszy (lub kolumn) pozosta-
łych to wyznacznik jest równy zero, np.


a d Ä…a + ²d


b e Ä…b + ²e = 0


c f Ä…c + ²f
9. można bezkarnie dodawać (odejmować)
do wiersza (lub kolumny) liniowÄ… kombina-
cję wierszy (lub kolumn) pozostałych, np.


a d g + Ä…a + ²d


b e h + Ä…b + ²e


c f i + Ä…c + ²f
i wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie.
10. jeżeli wyznacznik jest równy zero to jeden z
jego wierszy (lub kolumna) jest liniowÄ… kom-
binacją wierszy (lub kolumn) pozostałych.
Dygresja: Szczególne rodzaje wyznaczników:
1. wyznacznik Vandermonde a


1 x1 x2 . . . xn-1

1 1


1 x2 x2 . . . xn-1
n


2 2


Vn = xi - xj
1 x3 x2 . . . xn-1 =

3

. . .3 .
.
. . . . .
i,j=1 (i>j)
.
. . . .


1 xn x2 . . . xn-1
n n
2. wyznacznik charakterystyczny (patrz def. 5.1.2.
- pkt. 7)


a11 -  a12 . . . a1n


a21 a22 -  . . . a2n

w() = =
. . .
.
. . . .
.
. . .


an1 an2 . . . ann - 

(-1)n n - m1n-1 + m2n-2 - . . . + (-1)nmn ,
gdzie mk jest sumą wszystkich minorów głów-
nych stopnia k macierzy A. Minory główne
to minory, które na swojej głównej przekąt-
nej mają wyłącznie elementy głównej prze-
kÄ…tnej macierzy A, np.
n

m1 = aii i mn = det A.
i=1
3. wyznacznik cykliczny .... - zoabcz w książce
[Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej,
PWN, Warszawa 1975].
Literatura
" Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN,
Warszawa 1976.
" Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, CzÄ™-
stochowa 2001.
" Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.
" Kiełbasiński A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.
" Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.
" Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN,
Warszawa 1975.
" Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.