Wykład 2. Postacie i algebra liczb zespolonych.
Przypomnijmy sobie definicjÄ™ liczby zespolonej
(definicja 1.3.2. + rysunek).
2.1. Postać algebraiczna liczby zespolonej
Postać algebraiczna liczby zespolonej:
"
z = x + iy, z " C, x, y " R oraz i = -1 jest
jednostkÄ… urojonÄ….
Definicja 2.1.1. Sprzężeniem liczby zespolonej
z = x + iy (x, y " R) nazywamy liczbÄ™ zespo-
lonÄ… z o postaci z = x - iy.
Liczba zespolona sprzężona jest obrazem syme-
trii względem osi Re z.
Własność 2.1.1. Algebra liczb zespolonych
z1, z2, z3 " C w postaci algebraicznej:
1. równość dwóch liczb zespolonych
z1 = z2 Ô! x1 = x2 oraz y1 = y2
2. suma liczb zespolonych (rysunek)
z1 + z2 = x1 + x2 + i y1 + y2
( ) ( )
3. iloczyn liczb zespolonych (rysunek)
z1 · z2 = x1x2 - y1y2 + i x1y2 + x2y1
( ) ( )
4. dodowanie liczb zespolonych jest przemienne
z1 + z2 = z2 + z1
5. i Å‚Ä…czne
z1 + z2 + z3 = z1 + z2 + z3
( ) ( )
6. istnieje element neutralny 0 = 0 + i0, dla
którego
z + 0 = z
7. istnieje liczba przeciwna -z = -x - iy, dla
której
z + (-z) = 0
8. mnożenie liczb zespolonych jest przemienne
z1 · z2 = z2 · z1
9. liczba zespolona 1 = 1 + i0 spełnia rów-
ność
z · 1 = z
10. dla dowolnej liczby z = x + iy = 0 wyraże-

nie
1 x y
= - i
z x2 + y2 x2 + y2
spełnia równość
1
z · = 1
z
1
Dygresja: liczbę mnożymy przez wyraże-
z
z
nie sprzężone, tzn.
z·z
11. mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne
względem dodawania (odejmowania)
z1 · z2 + z3 = z1 · z2 + z1 · z3
( )
12. różnicę liczb zespolonych zapisujemy w po-
staci
z1 - z2 = z1 + (-z2
)
13. iloraz liczb zespolonych określamy jako
z1 1 z2
= z1 · = z1 · jeżeli z2 = 0

z2 z2 z2 · z2
2.2. Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Wprowadz
my dodatkowe pojęcia.
Definicja 2.2.1. Modułem liczby zespolonej
z = x + iy (x, y " R) nazywamy liczbÄ™ rzeczywi-
stą |z| określoną jako

|z| = x2 + y2
Dygresja: Moduł liczby z to długość odcinka -
odległość punktu z od początku układu współ-
rzędnych (rysunek). Moduł |z1 - z2| jest długo-
ścią odcinka łączącego punkty z1, z2.
Własność 2.2.1. Właśności modułów liczb
z1, z2, z3 " C :
1. |z1| = |z1| = |-z1|
2. z1 · z1 = |z1|2
3. |z1 · z2| = |z1| · |z2|

|z1|
4. z1 =
z2 |z2|
5. |z1 + z2| d" |z1| + |z2|
6. ||z1| - |z2|| d" |z1 - z2|
7. |Re z1| d" |z1| |Im z1| d" |z1|
8. |Re z1z2 | d" |z1| |z2|
( )
Definicja 2.2.2. Argumentem liczby zespolonej
z = x + iy = 0 (x, y " R) nazywamy liczbÄ™

Ć " R, która spełnia poniższy układ równań
Å„Å‚
x
òÅ‚
cos Ć =
|z|
.
y
ół
sin Ć =
|z|
Definicja 2.2.3. Argumentem głównym liczby
zespolonej nazywamy argument określony przez
definicję 2.2.2., który jest ograniczony do prze-
działu 0 d" Ć < 2Ą (lub -Ą < Ć d" Ą). Argument
główny oznaczamy przez arg z.
Zależność pomiędzy Ć i arg z jest następująca:
Ć = arg z + 2kĄ, dla k " Z
Dygresja: Argument liczby zespolonej jest miarÄ…
kąta zorientowanego od dodatniej części osi
rzeczywistej do wektora wodzÄ…cego tej liczby.
(rysunki z modułem i argumentem)
Własność 2.2.2. Jeżeli z = 0 jest dowolną liczbą

zespolonÄ… to:
1. arg z = 2Ć - arg z
( )

arg z + Ä„ dla 0 d" arg z < Ä„
2. arg (-z =
)
arg z - Ä„ dla Ä„ d" arg z < 2Ä„

1
3. arg = 2Ä„ - arg z
z
Własność 2.2.3. Jeżeli z1, z2 " Csą liczbami ze-
spolonymi w postaci trygonometrycznej to:
1. arg z1z2 = arg z1+arg z2+2kĄ dla k = 0
( )
lub k = -1

n
2. arg z1 = n arg z + 2kĄ dla k " Z

z1
3. arg = arg z1 - arg z2 + 2kĄ dla k = 0
z2
lub k = -1, o ile z2 = 0

Definicja 2.2.4. Każdą liczbę zespoloną z można
przedstawić w postaci
z = |z| cos Ć + i sin Ć ,
( )
którą nazywamy postacią trygonometryczną. (ry-
sunek)
Własność 2.2.4. Algebra liczb zespolonych z1, z2
w postaci trygonometrycznej
(z1 = |z1| cos Ć1 + i sin Ć1 ,
( )
z2 = |z2| cos Ć2 + i sin Ć2 ):
( )
1. z1 = z2 Ô! |z1| = |z2| oraz Ć1 = Ć2 + 2kÄ„
dla k " Z - równość liczb
2. z1·z2 = |z1| |z2| cos Ć1 + Ć2 + i sin Ć1 + Ć2
[ ( ) ( )]
- iloczyn liczb
|z1|
z1
3. = [ ( ) ( )]
cos Ć1 - Ć2 + i sin Ć1 - Ć2 -
z2
|z2|
iloraz liczb dla założonej z2 = 0.

Dygresja: Mnożąc liczby zespolone w postaci
trygonometrycznej mnożymy ich moduły, a ar-
gumenty dodajemy. DzielÄ…c liczby zespolonej
w postaci trygonometrycznej dzielimy ich mo-
duły, a argumenty odejmujemy.
2.3. Postać wykładnicza liczby zespolonej
Definicja 2.3.1. Każdą liczbę zespoloną z " C
można zapisać w postaci
z = |z| eiĆ
zwaną postacią wykładniczą (rysunek), gdzie
|z| jest modułem tej liczby, a Ć jest jej argumen-
tem.
Własność 2.3.2. Algebra liczb zespolonych z1, z2
w postaci wykładniczej (z1 = |z1| eiĆ1,
z2 = |z2| eiĆ2):
1. z1 = z2 Ô! |z1| = |z2| oraz Ć1 = Ć2 + 2kÄ„
(k " Z) - równość dwóch liczb
2. z1 = |z1| e-iĆ1 - liczba sprzężona
3. -z1 = |z1| ei(Ć1+Ą)
n
4. z1 = |z1| ei(nĆ) - potęgowanie liczby
( )n
5. z1 · z2 = |z1| |z2| ei(Ć1+Ć2) - mnożenie liczb
|z1|
z1
6. = ei(Ć1-Ć2) - dzielenie liczb
z2
|z2|
Przypomnienie - funkcje trygonometryczne
1. Narysuj wszystkie funkcje trygonometryczne
i dokładnie opisz osie wykresu w zakresie
Ć " 0, 2Ą .
2. Wstaw w tabelkę odpowiednie wartości funk-
cji
1 1 1 1 2 3 5
Ć 0 Ą Ą Ą Ą Ą Ą Ą Ą
6 4 3 2 3 4 6
sin Ć
cos Ć
tgĆ
ctgĆ
7 5 4 3 10 7 11
Ć Ą Ą Ą Ą Ą Ą Ą 2Ą
6 4 3 2 6 4 6
sin Ć
cos Ć
tgĆ
ctgĆ
3. Przypomnij sobie co to jest koło trygonome-
tryczne? Wypisz wzory redukcyjne.
4. Na ćwiczeniach wykorzystuj następujące wzory:
cos2 Ć+sin2 Ć = 1, cos2 Ć-sin2 Ć = cos 2Ć
i wiele innych.
Literatura
" Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN,
Warszawa 1976.
" Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, CzÄ™-
stochowa 2001.
" Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.
" Kiełbasiński A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.
" Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.
" Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN,
Warszawa 1975.
" Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.