Wykład 1. Wielomiany, rozkład na ułamki pro-
ste. Wprowadzenie do liczb zespolonych.
1.1. Pojęcie ciała liczbowego
Zakładamy, że znamy pojęcia: liczby naturalnej
(n " N), całkowitej (z " Z), wymiernej (q " Q) i
rzeczywistej (r " R).
Otóż, w dowolnym zbiorze X jest wykonywane
działanie (np. dodawanie, odejmowanie, etc.)
jeżeli dla każdej pary liczb x1, x2 należących
do X ich wynik należy również do X.
Przykładowo w zbiorze N jest wykonywalne do-
dawanie i mnożenie, ponieważ suma i iloczyn
sÄ… zawarte w N. Pytanie: czy dzielenie jest wy-
konalne na zbiorze N?
Definicja 1.1.1. Każdy zbiór liczb, który zawiera
więcej niż jedną liczbę i w którym wykonalne
są wszystkie cztery działania, oprócz dzielenia
przez zero, nazywamy ciałem liczbowym K.
Definicja 1.1.2. Wielomianem stopnia
n " N *" {0} względem ciała K (np. ciała liczb
rzeczywistych) nazywamy funkcjÄ™ W : K K
określoną
W (x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0
gdzie ak " K dla 0 d" k d" n oraz an = 0.

Zbiór wszystkich wielomianów względem ciała
K oznaczamy przez K[x] i nazywamy pierście-
niem wielomianów względem ciała K.
Własność 1.1.1. (suma, różnica, iloczyn wielo-
mianów) Dla każdej pary wielomianów W1, W2
z pierścienia K[x] istnieją następujące działa-
nia
W1 Ä… W2 (x) = W1(x) Ä… W2(x)
( )
W1 · W2 (x) = W1(x) · W2(x)
( )
Własność 1.1.2. (podzielność wielomianów) Dla
każdej pary wielomianów W1, W2 = 0 z pier-

ścienia K[x] można jednoznacznie wyznaczyć
wielomiany P (iloraz) i R (reszta) z K[x], które
spełniają warunek
W1(x) = W2(x) · P (x) + R(x)
oraz stopień R (reszty) jest mniejszy od stopnia
W2 (dzielnika).
Jeżeli R(x) a" 0, to mówimy, że wielomian W1
dzieli siÄ™ przez W2.
Własność 1.1.3. (definicja 1.1.3 pierwiastka wie-
lomianu) LiczbÄ™ x0 nazywamy pierwiastkiem wie-
lomianu W , jeżeli W x0 = 0.
( )
Własność 1.1.4. (twierdzenie 1.1.1 Bezout) Liczba
x0 jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieje wielomian Q taki, że
W (x) = x - x0 Q(x)
( )
Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian
x - x0 jest równa W x0 .
( )
Własność 1.1.5. (definicja 1.1.4 pierwiastka wie-
lokrotnego) Liczba x0 jest k-krotnym pierwiast-
kiem wielomianu W wtedy, gdy istnieje taki wie-
lomian Q, że
W (x) = x - x0 Q(x) oraz Q x0 = 0
( )k ( )
1.2. Rozkład wielomianu na ułamki proste
Definicja 1.2.1. FunkcjÄ… wymiernÄ… Q(x) " K[x]
względem zmiennej x " K nazywamy iloraz
W1(x)
Q(x) =
W2(x)
gdzie W1, W2 " K[x] sÄ… wielomianami. Przy
czym W2(x) = 0 (cecha ciała - patrz definicja

1.1.1.). Jeżeli stopień W1 jest mniejszy od stop-
nia W2to takÄ… funkcjÄ™ nazywamy funkcjÄ… wy-
mierną właściwą.
Definicja 1.2.2. Ułamkiem prostym względem
ciała K nazywamy funkcję wymierną o postaci
W1(x)
W2(x)
[ ]n
przy czym W1, W2 " K[x], W2 jest wielomia-
nem pierwszym w K i stopień W1 jest mniejszy
od stopnia W2.
Własność 1.2.1. (definicja 1.2.3. określająca ro-
dzaje rzeczywistych ułamków prostych) Jeżeli
założymy, że K = R to:
" ułamkiem prostym I rodzaju nazywamy rze-
czywistÄ… funkcjÄ™ wymiernÄ… o postaci
A
, gdzie a, A " R, n " N
x + a
( )n
" natomiast ułamkiem prostym II rodzaju bę-
dziemy nazywać
Ax + B
n
, gdzie b, c, A, B " R, n " N
x2 + bx + c
przy czym " = b2 - 4c < 0
Twierdzenie 1.2.1. (o rozkładzie funkcji wymier-
nej na ułamki proste) Każdą funkcję wymierną
właściwą i rzeczywistą można przedstawić za
pomocą sumy rzeczywistych ułamków prostych.
Własność 1.2.2. Jeżeli funkcja wymierna wła-
ściwa jest postaci
W1(x)
1 r 1 s
an x - x1 . . . x - xr x2 + b1x + c1 . . . x2 + bsx + cs
( )k ( )k ( )l ( )l
gdzie k1+. . .+kr jest sumą rzeczywistych ułam-
ków prostych I rodzaju oraz l1+. . .+lr jest sumą
rzeczywistych ułamków prostych II rodzaju to
" czynnikowi x - xi odpowiada suma ki
( )ki
ułamków prostych I rodzaju w postaci
Ai 1 Ai 2 Ai k
+ + . . . +
x - xi (
x - xi x )ki
)2 ( - xi
gdzie Ai 1, Ai 2, . . . , Ai k " R dla 1 d" i d" r
lj
" czynnikowi x2 + bjx + cj odpowiada suma
lj ułamków prostych II rodzaju w postaci
Bj 1x + Cj 1 Bj 2x + Cj 2 Bj ljx + Cj lj
+ +. . .+
j
x2 + bjx + cj (
x2 + bjx + cj x2 + bjx + cj
)2 ( )l
gdzie
Bj 1, Bj 2, . . . , Bj lj, Cj 1, Cj 2, . . . , Cj lj " R
dla 1 d" j d" s.
Wniosek 1.2.1. Jeżeli funkcja wymierna Q(x)
jest niewłaściwa to korzystamy z własności 1.1.2.
(czyli dzielimy przez siebie wielomiany W1(x) i
W2(x) - jest to dzielenie z resztą), a następnie
korzystamy twierdzenia 1.2.1.
Wniosek 1.2.2. Aby znalez
ć wartości współczyn-
ników przedstawionych we własności 1.2.2. do-
konuje się porównania wielomianów.
1.3. Liczby zespolone
Definicja 1.3.1. Ciałem liczb zespolonych C bę-
dziemy nazywać takie ciało, które zawiera jedno
z ciał liczb rzeczywistych R oraz równanie
i2 = -1 ma w ciele C co najmniej jedno roz-
wiązanie i C jest najmniejszym ciałem spełnia-
jącym powyższe warunki.
Definicja 1.3.2. LiczbÄ… zespolonÄ… nazywamy upo-
rzÄ…dkowanÄ… parÄ™ liczb rzeczywistych z = (x, y),
gdzie z " C i x, y " R.
Często zapisujemy liczbę zespoloną w postaci
algebraicznej z = x + iy, gdzie x = Re(x + iy)
oznacza część rzeczywistą i y = Im(x + iy) jest
"
częścią urojoną liczby zespolonej. i = -1 jest
nazwana jedynkÄ… urojonÄ….
Przykładowa postać: z = 2 + 3i.
Na płaszczyz
nie w układzie ortokartezjańskim liczba
zespolona reprezentuje punkt o współrzędnych
(x, y) (rysunek).
Własność 1.3.1. Dwie liczby zespolone
z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 mają następującą
aksjomatykÄ™:
1. są sobie równe, tzn. z1 = z2 wtedy, gdy
x1 = x2 i y1 = y2
2. ich suma jest równa
z1 + z2 = x1 + x2 + y1 + y2 i
( ) ( )
3. ich iloczyn określa się w następujący spo-
sób
z1 · z2 = x1x2 - y1y2 + x1y2 + y1x2 i
( ) ( )
Literatura
" Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN,
Warszawa 1976.
" Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, CzÄ™-
stochowa 2001.
" Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.
" Kiełbasiński A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.
" Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.
" Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN,
Warszawa 1975.
" Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.