Wykład 7. Rząd macierzy, macierz odwrotna -
ciÄ…g dalszy.
Przypomnijmy sobie z poprzedniego wykładu de-
finicję rzędu macierzy (def. 6.2.1.). Przypomnijmy
sobie również rodzaje macierzy (def. 5.1.2., a
szczególnie def. 5.1.7.).
7.1. RzÄ…d macierzy
Własność 7.1.1. Własności rzędu macierzy

A = aij m×n :
1. Rząd macierzy nie ulega zmianie jeżeli: prze-
stawimy kolumny (wiersze) w macierzy, po-
mnożymy kolumny (wiersze) przez liczbę różną
od zera, do kolumny (wiersza) dodamy li-
niowÄ… kombinacjÄ™ kolumn (wierszy) pozo-
stałych.
2. 0 d" rzA d" min m, n .
( )
3. jeżeli A jest nieosobliwa (def. 5.1.7.) (co
oznacza, że jest wymiaru n × n) to
rankA = n.

4. rank AT = rankA.
5. jeżeli A = D (tzn. jest macierzą diagonalną
- def. 5.1.2. - pkt. 5) to rzÄ…d macierzy diago-
nalnej będzie równy liczbie jej niezerowych
elementów.

6. MajÄ…c danÄ… macierz blokowÄ… C = cij m×n
(def. 5.1.2. - pkt. 8) składającą się z ma-
cierzy A = akl , B = bkl w
[ ]m1×n1 [ ]m2×n2
układzie

A 0m1×n2
C =
0m2×n1 B
(przy czym m = m1 + m2 i n = n1 + n2)
możemy obliczyć jej rząd według wzoru
rankC = rankA + rankB
Przykłady
Obliczyć rzędy macierzy:
îÅ‚ Å‚Å‚

2 -1 3 -2 4
-1 -1 -2
ïÅ‚ śł
, 4 -2 5 1 7
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1 2
2 -1 1 8 2
7.2. Macierz odwrotna
Ważna dla nas będzie również def. 5.1.6. (do-
pełnienie algebraiczne) oraz definicja macie-
rzy odwrotnej (def. 6.2.2.).
Definicja 7.2.1. MajÄ…c danÄ… macierz kwadra-

towÄ… A = aij n×n , która jest nieosobliwa i ob-
liczając wszystkie jej dopełnienia algebraiczne
według wzoru (def. 5.1.6.)
dij = (-1)i+j det Mij,
gdzie Mij jest macierzą minorów (def. 5.1.2. -
pkt. 10), otrzymujemy macierz dopełnień alge-
braicznych w formie

AD = dij
n×n
Dygresja: Powyższa definicja jest uzupełnieniem
rodzajów macierzy - def. 5.1.2.
Czynnik (-1)i+j w definicji dopełnienia alge-
braicznego tworzy tzn. macierz (siatkę) znaków,
tzn.
îÅ‚ Å‚Å‚
+ - + - . . .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
- + - + . . .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
+ - + - . . .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
- + - + . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
. . . .
.
. . . . .
.
. . . .
Twierdzenie 7.2.1. Jeśli macierz kwadratowa

A = aij n×n jest nieosobliwa to macierz od-
wrotną obliczamy według wzoru
T
1
A-1 = AD .
det A
Dygresja: Powyższa formuła jest uzupełnieniem
definicji 5.1.2. - pkt. 11.
Własność 7.2.1. (własności macierzy odwrot-

nych) Jeżeli macierze A = aij , B = bij są
n×n n×n
odwracalne i Ä… " K\ {0} , n " N to zachodzÄ…
następujące tożsamości:

1
1. det A-1 =
det A
-1 T
2. AT = A-1

3. (Ä…A = A-1
)-1 1
Ä…
-1
4. A-1 = A
5. AB = B-1A-1
( )-1
n
6. An = A-1
( )-1
Przykłady:
MajÄ…c danÄ… macierz

a11 a12
A =
a21 a22
i zakładając, że det A = 0,tzn.

a11a22 - a12a21 = 0 otrzymujemy macierz od-

wrotnÄ…
îÅ‚ Å‚Å‚
a22 -a12
a11a22-a12a21 a11a22-a12a21
ðÅ‚ ûÅ‚
A-1 = .
-a21 a11
a11a22-a12a21 a11a22-a12a21
Dokonujemy sprawdzenia (samodzielnie)
A-1A = AA-1 = I.
Znalez
ć macierze odwrotne do podanych:
îÅ‚ Å‚Å‚

0 0 1
2 1 - i
ïÅ‚ śł
, 1 2 -3
ðÅ‚ ûÅ‚
1 + i 1
0 2 1
Rozwiąż równanie macierzowe:

4 1 2 1
X =
3 1 -2 3
Literatura
" Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN,
Warszawa 1976.
" Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, CzÄ™-
stochowa 2001.
" Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.
" Kiełbasiński A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.
" Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.
" Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN,
Warszawa 1975.
" Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.