Wykład 10. Geometria analityczna w przestrzeni
R3. Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany wek-
torów.
10.1. Podstawowe definicje, własności.
Definicja 10.1.1. Przestrzenią R3 będziemy na-
zywać zbiór uporządkowany (x, y, z) liczb rze-
czywistych
R3 = {(x, y, z) : x, y, z " R} .
(rysunek - przestrzeń kartezjańska - orientacja)
Dygresja: Współrzędne punktu P będziemy ozna-
czać przez P x, y, z , natomiast współrzędne
( )
-

wektora oznaczamy jako a = ax, ay, az . Baza
[ ]

- -
-
w układzie ortokartezjańskim: i , j , k , gdzie
poszczególne wektory są wersorami osi układu
współrzędnych.
Przestrzeń R3 będziemy geometrycznie utożsa-
miać:
" ze zbiorem wszystkich liczby punktów A, B, . . .
rozmieszczonych w tej przestrzeni,
-
-
-

" ze zbiorem wszystkich wektorów r = OP0, . . .
0
mających wspólny początek w punkcie
O(0, 0, 0) - wektory te będziemy nazywać
wektorami zaczepionymi,
" ze zbiorem innych wektorów w przestrzeni,
-
--
-

np. u = P1P0 - te wektory będziemy na-
0
zywać wektorami swobodnymi.
Dla danych punktów P0 x , y , z0 , P1 x1, y1, z1
( ) ( )
-0-
- 0
-

wektor swobodny u = P1P0 wyraża się przez
współrzędne
-

u = ux, uy, uz = x1 - x0, y1 - y0, z - z0 ,
[ ] [ ]
- 1
-
-

natomiast wektor zaczepiony r = OP0 dla punktu
P0 jest określony jako
-

r = rx, ry, rz = x0, y0, z0 . Dowolny wektor
[ ] [ ]
-

u = ux, uy, uz możemy również przedstawić
[ ]
jako
-

- -

-

u = ux i + uy j + uz k ,
- -
-
gdzie i , j , k są wersorami osi układu współ-
rzędnych.
Definicja 10.1.2. Długością dowolnego wektora
-

a = ax, ay, az nazywamy liczbÄ™
[ ]

-
|| = a2 + a2 + a2.
a
x y z
-
Dygresja: Jeżeli długość wektora || jest nieze-
a
rowa to możemy określić kąty kierunkowe tego
wektora jako
ax ay az
cos Ä… = , cos ² = , cos Å‚ = .
- - -
|| || ||
a a a
Ponadto obowiązuje zależność
cos2 Ä… + cos2 ² + cos2 Å‚ = 1.
Własność 10.1.1. Własności długości wektorów,
-

-

a , b " R3:

-
- -
-
1. || e" 0, natomiast || = 0 Ô! a = 0
a a
- -
2. |Ä…| = |Ä…| · || dla Ä… " R
a a

- -
-

-

3. a + b d" || + b
a

- -


- -
4. || - b d" a - b .
a
Definicja 10.1.3. W przestrzeni R3 punkty
P1, P2, . . . , Pn są współliniowe wtedy, gdy leżą
na jednej prostej.
Definicja 10.1.4. W przestrzeni R3 punkty
P1, P2, . . . , Pn są współpłaszczyznowe wtedy, gdy
są zawarte w jednej płaszczyz
nie.
Własność 10.1.2. Działania na wektorach:
-

1. sumę (różnicę) wektorów a = ax, ay, az ,
[ ]
-

b = bx, by, bz określamy następująco (re-
[ ]
guła równoległoboku)
-

-

a Ä… b = ax Ä… bx, ay Ä… by, az Ä… bz
[ ]
-

2. mnożenie wektora u = ax, ay, az przez
[ ]
liczbÄ™ Ä… " R
-
Ä… = [Ä…ax, Ä…ay, Ä…az .
a ]
Własność 10.1.3. Rzut prostokątny L sumy wek-
-

-

torów a , b " R3 na prostą l jest równy sumie
rzutów wektorów na tą prostą, tzn.

- -

-
-
L a + b = L a + L b .
()
-

-

Definicja 10.1.5. Wektory a , b " R3 są współ-
liniowe (kolinearne) wtedy, gdy leżą na jednej
prostej.
Dygresja: Wektory współliniowe będziemy rów-
nież nazywać równoległymi i będziemy ozna-
-
-
||
czać przez a b .
-

-

Definicja 10.1.6. Wektory a , b " R3 sÄ… ortogo-
nalne (prostopadłe) wtedy, gdy rzut jednego
wektora na prostą, w której zawarty jest drugi
wektor, tworzy wektor zerowy.
Dygresja: Wektory ortogonalne będziemy ozna-
-

-

czać przez a Ą" b .
-

- -

Definicja 10.1.7. Wektory a , b , c " R3 sÄ…
współpłaszczyznowe (komplanarne) wtedy, gdy
są zawarte w jednej płaszczyz
nie.
-

- -

Własność 10.1.4. Dla a , b , c " R3 dowol-
nych wektorów oraz dowolnych liczb Ä…, ² " R
zachodzi:
- -

- -

1. a + b = b + a (przemienność)

- -

- - -
-
2. a + b + c = a + b + c (przemien-
ność)
-

- -

3. a + 0 = a (element neutralny)
-

-
-
4. a + a = 0 (element przeciwny)
(-
)
- -

5. 1 · a = a
- -
6. (Ä…²) = Ä… ( )
a ²
a
- - -
7. (Ä… + ²) = Ä… + ²
a a a

- -

-
-
8. Ä… a + b = Ä… + Ä… b
a
10.2. Iloczyn skalarny wektorów.
Definicja 10.2.1. Iloczynem skalarnym dwóch
-

-

wektorów a , b " R3 nazywamy liczbę okre-
śloną wzorem

- -


-
-
a ć% b = || b cos Ć,
a
-

-

gdzie Ć jest kątem między wektorami a i b . (ry-
sunek)
Dygresja: Iloczyn skalarny w sensie interpreta-
cji geometrycznej jest długością drugiego wek-
-

tora ( b ) zrzutowanÄ… na kierunek pierwszego wek-
-
tora ().
a
Twierdzenie 10.2.1. Dla danych wektorów
-

-

a = ax, ay, az b = bx, by, bz iloczyn ska-
[ ] [ ]
larny obliczamy według wzoru
-

-

a ć% b = axbx + ayby + azbz.
Dowód: Wykorzystamy iloczyn skalarny wekto-
rów jednostkowych:
- -
-
ć% i j k

-
i 1 0 0

-
j 0 1 0

-
k 0 0 1

- - - - - -
-
-

a ć% b = ax i + ay j + az k bx i + by j + bz k = .
= axbx + ayby + azbz

Własność 10.2.1. Własności iloczynu skalarnego
-

- -

dla a , b , c " R3 i Ä… " R:

- -

- -
1. a ć% b = b ć% a

- -

-
-
2. ą a ć% b = a ć% b
(Ä…
)

- -

- -
- - -
3. a + b ć% c = a ć% c + b ć% c
- -
-
4. a ć% a = ||2
a

- -
-

-

5. a ć% b d" || b
a
-

-

6. jeżeli a ć% b = 0 to wektory są prostopadłe.
10.3. Iloczyn wektorowy wektorów.
Definicja 10.3.1. Iloczynem wektorowym dwóch
-

-

wektorów a , b " R3 nazywamy taki wektor
-

c " R3, który:
1. jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na
-

-

wektorach a , b (rysunek),
2. długość jest równa polu równoległoboku roz-
-

-

piętego na wektorach a , b (rysunek), tzn.

-


- -
|| = || b sin Ć,
c a
-

gdzie Ć jest kątem pomiędzy wektorami a
-

i b ,
-

- -

3. orientacja wektorów a , b , c jest zgodna
z orientacją układu współrzędnych (rysunek).
Twierdzenie 10.3.1. Dla danych wektorów
-

-

a = ax, ay, az b = bx, by, bz iloczyn wekto-
[ ] [ ]
rowy obliczamy według wzoru

- -
-

i j k

-


-

a × b = ,
ax ay az


bx by bz
- -
-
gdzie i , j , k są wersorami osi układu współ-
rzędnych.
Dygresja: Iloczyn wektorowy wersorów (reguła
trzech palców):
- -
-
× i j k
- - -
-
i 0 k - j
- - -
-
j - k 0 i
- - -
-
k j - i 0
Własność 10.3.1. Własności iloczynu wektoro-
-

- -

wego dla a , b , c " R3 i Ä… " R:

- -

- -

1. a × b = - b × a

- -

-
-
2. Ä… a × b = a × b
(Ä…
)

- -

- -
- - -
3. a + b × c = a × c + b × c

- -

- - - - -

4. a × b + c = a × b + a × c

- -
-

-

5. a × b d" || b
a
- -
-
×
6. jeżeli a b = 0 to wektory są równoległe

-

-
-
7. a × b × c = . . . (wyprowadzić samo-
dzielnie).
10.4. Iloczyn mieszany wektorów.
Definicja 10.4.1. Iloczynem mieszanym trójki wek-
-

- -

torów a , b , c " R3 nazywamy liczbę, którą
określamy wzorem


ax ay az


- - ć%
- -

- - - -
-
a b c = a × b ć% = a b × c = bx by bz .
c


cx cy cz
Dygresja: Można zauważyć, że symbole  krzy-
żyka i  kółka są wymienne. W sensie geome-
trycznym wartość bezwględna z iloczynu mie-
szanego jest równa objętości równoległościanu
-

- -

rozpiętego na wektorach a , b , c , tzn.

-

- -

V = a b c
(rysunek)
Własność 10.4.1. Własności iloczynu mieszanego
- -

- -

dla a , b , c , d " R3 i Ä… " R:

-
-
- -
- -
1. a b c = b c a

-
-
- -
- -
2. a b c = - b a c

- - - - -

-
- - - -
3. a + d b c = a b c + d b c

-
-
- -
- -
4. Ä… b c = Ä… a b c
a


- -
-

- -
-
5. a b c d" || b ||
a c

-
- -

6. jeżeli a b c = 0 to wektory są współ-
płaszczyznowe.
10.5. Podsumowanie.
Własność 10.5.1. Iloczyny skalarny, wektorowy
i mieszany możemy dla R3 określać następują-
cymi wzorami:
3

-

-

" a ć% b = ´ijaibj, gdzie
i,j=1

1 dla i = j
´ij = jest deltÄ… Kroneckera,
0 dla i = j

3

-

-
-
" a × b = µijk aibj, gdzie
e
k
i,j,k=1

- -
-
-

e = i , j , k oraz
k
Å„Å‚
òÅ‚ -1 gdy nieparzysta permutacja i, j, k
µijk = 0 gdy i = j, i = k, j = k, i = j = k
ół
1 gdy parzysta permutacja i, j, k
jest symbolem Ricciego,
3

-

- -
" a b c = µijkaibjck
i,j=1
Własność 10.5.2. Wzajemne położenie wekto-
rów w R3:
-
-
- -
||
" dwa wektory a , b są kolinearne a b (rów-
-
-
-

nolegÅ‚e) wtedy, gdy a × b = 0 ,
- -

- -

" dwa wektory a , b sÄ… ortogonalne a Ä„" b
-

-

(prostopadłe) wtedy, gdy a ć% b = 0,

-
- -

" trzy wektory a , b , c są kamplanarne (współ-
płaszczyznowe) wtedy,

-

-
-
gdy a × b ć% c = 0.
Literatura
" Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN,
Warszawa 1976.
" Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, CzÄ™-
stochowa 2001.
" Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.
" Kiełbasiński A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.
" Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.
" Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN,
Warszawa 1975.
" Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.