Struktury algebraiczne.
Rozważmy dwa niepuste zbiory X i Y.
Przez parę uporządkowaną nazywamy parę (a,b) złożoną z elementów
a " X oraz b "Y , w której wiadomo, który element jest pierwszy, a który
drugi.
Mówimy wówczas, że a jest poprzednikiem, zaś b następnikiem pary
uporzÄ…dkowanej (a,b).
Iloczynem kartezjańskim zbioru X i zbioru Y nazywamy zbiór wszystkich par
uporządkowanych (a,b) takich, że a " X oraz b "Y , tzn. zbiór
Å„Å‚ëÅ‚
ôÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ ôÅ‚
X ×Y = a,böÅ‚;a"X '"b"YüÅ‚.
òÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ żł
ôÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem. Działaniem
dwuargumentowym wewnętrznym nazywamy każdą funkcję
f : X × X X
Zbiór X z wprowadzonym działaniem wewnętrznym  *  oznaczamy jako
parÄ™ (X,*).
Działanie  *  nazywamy :
a) Å‚Ä…cznym, gdy '" (a " b) " c = a " (b " c),
a,b,c"X
b) przemiennym, gdy '" a " b = b " a.
a,b"X
Jeżeli (" '" e " a = a " e = a , to element e " X nazywamy elementem
e"X a"X
neutralnym względem działania  *
Przykład. W zbiorze R, liczb rzeczywistych, elementem neutralnym
względem dodawania jest 0, zaś elementem neutralnym względem mnożenia
jest 1.
TWIERDZENIE. Jeżeli w zbiorze X określone jest działanie wewnętrzne  * 
i e jest elementem neutralnym względem tego działania, to jest to element
jedyny.
W zbiorze X, w którym określone jest działanie  *  posiadające element
neutralny e, element a'" X nazywamy elementem symetrycznym do elementu
a " X względem działania  *  , jeżeli '" (" a'"a = a " a'= e
a"X a'
"X
TWIERDZENIE. Jeżeli w zbiorze X określone jest działanie łączne  * 
majÄ…ce element neutralny e , i dla dowolnego elementu a " X istnieje element
symetryczny a'" X , to element ten jest jedyny,
Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i K.
FunkcjÄ™ g : K × X X , która każdej parze (k, a)" K × X
przyporządkowuje pewien element g(k, x) ze zbioru X nazywamy działaniem
zewnętrznym w zbiorze X.
Strukturą algebraiczną określoną na zbiorze A nazywamy każdy zespół
(A, K1,..., Kn ; f1,..., fm, g1,..., gn )
złożony ze zbioru A, z pewnej liczby działań wewnętrznych f1,..., fm w
zbiorze A oraz z pewnej liczby działań zewnętrznych g1,..., gn określonych w
zbiorze A za pomocą zbiorów K1,..., Kn .
Parę (G,o)nazywamy grupą, jeżeli G jest niepustym zbiorem, w którym
okreÅ›lone jest dziaÅ‚anie wewnÄ™trzne o : G × G " (a,b) a a o b = c " G,
mające wymienione niżej własności:
- jest Å‚Ä…czne '" (a o b) o c = a o (b o c),
a,b,c"G
- ma element neutralny (" '" e o a = a o e = a,
e"G a"G
- każdy element a " G ma element symetryczny a'"G
Jeżeli dodatkowo dziaÅ‚anie  Ë% jest przemienne grupÄ™ (G,o) nazywamy
przemiennÄ… lub abelowÄ….
Uporządkowaną trójkę (P,+,*), gdzie P jest niepustym zbiorem P
wyposażonym w dwa działania wewnętrzne oznaczone przez + i * nazywamy
pierścieniem jeżeli
1.(P,+) jest grupÄ… abelowÄ…,
2.(P,*) jest półgrupą tzn. jest to zbiór P z działaniem łącznym,
3.drugie działanie jest rozdzielne względem pierwszego
Inaczej
1. (P,+) jest grupÄ… abelowÄ…
" + : P×P " (a,b) a a+b = c " P
" '" (a + b) + c = a + (b + c),
a,b,c"P
" (" '" 0 + a = a + 0 = a, Element neutralny 0 pierwszego działania
0"P a"P
nazywamy zerem pierścienia,
" '" (" a + (-a) = 0. Element symetryczny do a
a"P -a"P
względem pierwszego działania nazywamy elementem przeciwnym i
oznaczamy symbolem -a.
" '" a + b = b + a.
a,b"P
2.(P,*) jest półgrupą
" * : P×P " (a,b) a a*b = c " P
" '" (a *b) *c = a *(b *c),
a,b,c"P
3. drugie działanie jest rozdzielne względem pierwszego
'" (a +b)*c = a*c +b*c
Å„Å‚
ôÅ‚
a,b,c"P
òÅ‚
'"
ôÅ‚a,b,c"Pc*(a +b) = c*a + c*b
ół
Pierścień (P,+,*) nazywamy
" przemiennym jeżeli drugie działanie jest przemienne '" a *b = b * a,
a,b"P
" pierścieniem z jednością lub pierścieniem unitarnym, jeżeli istnieje w nim
element neutralny drugiego działania (" '" 1* a = a *1 = a.
1"P a"P
Element neutralny drugiego działania oznaczamy przez 1
i nazywamy jednością pierścienia.
Co najmniej dwuelementowy pierścień (K,+,*), w którym (K\{0},*) jest
grupą, nazywamy ciałem i oznaczamy analogicznie jak pierścień tzn. (K,+,*).
Oznacza to, że dla każdego x"(K\{0},*) istnieje takie
x-1"(K\{0},*), że x -1*x = x*x -1 = 1, czyli po usunięciu ze zbioru K elementu
neutralnego pierwszego działania, każdy z pozostałych elementów tego zbioru
ma element symetryczny względem drugiego działania.
Jeżeli w ciele (K,+,*) drugie działanie jest przemienne, to ciało nazywamy
przemiennym.
W ciele (K,+,*), równanie x + a = 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie -a,
podobnie równanie a*x = 1, ma dokładnie jedno rozwiązanie a -1. Można więc
powiedzieć, że w ciele istnieje odejmowanie i dzielenie.
Przykłady. Ciałami przemiennymi ze względu na dodawanie i mnożenie są
zbiory wszystkich liczb
1.wymiernych Q
2.rzeczywistych R
3.zespolonych C.
Przestrzeń liniowa.
Przy podanych wyżej oznaczeniach przestrzenią liniową nad ciałem K
nazywamy czwórkę (L,+,K, " ), gdzie:
1. para (L,+) jest grupÄ… abelowÄ…
2. trójka (L,K, " ) jest zbiorem L wyposażonym w działanie zewnętrzne nad
ciałem K tj. takie, które dowolnej parze (a,ą), gdzie a "K i ą " L,
przypisujemy element aÄ… " L tzn. (Ä…,a) a Ä…a "L,
3. oba działania dodawanie w zbiorze L i mnożenie zewnętrzne, spełniają
cztery warunki zgodnoÅ›ci : dla dowolnych a,b"K i dowolnych Ä…,²"L
" a " (Ä…+²) = a " Ä… + a " ² rozdzielność mnożenia przez skalar wzglÄ™dem
dodawania wektorów
" (a+b) " ą = a " ą + b " ą rozdzielność mnożenia przez wektor względem
dodawania skalarów
" a " (b " ą) = (ab) " ą "łączność"
" 1 " ą = ą jedność ciała K jest jednością mnożenia
zewnętrznego.
Przykład. Zbiór wektorów w przestrzeni R3 z dodawaniem wektorów i mnożeniem
wektora przez liczbę rzeczywistą, jest przestrzenią liniową nad ciałem R liczb
rzeczywistych.
MACIERZE
Niech dane bÄ™dÄ…: ciaÅ‚o liczbowe (K,+,Å"), oraz zbiory {1, 2,...,m} i {1,
2,... ,n}.
MacierzÄ… nazywamy funkcjÄ™
f : {1, 2,..., m} × {1, 2,... , n} " (i, k) f(i, k) = aik " K ,
czyli skończony dwuwskaz
nikowy ciąg elementów aik.
Macierz zapisujemy w postaci tablicy prostokÄ…tnej
îÅ‚a11 a12 ..... a1n Å‚Å‚
ïÅ‚a
a22 ..... a2n śł
21
ïÅ‚ śł
..... ..... ..... ..... lub symbolicznie [aik ]( . Symbol (m,n)
ïÅ‚ śł
m,n)
ïÅ‚..... ..... ..... .....śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ am2 ..... amn ûÅ‚
śł
ðÅ‚a
m1
określa wymiar macierzy (na pierwszym miejscu liczba wierszy, na
drugim liczba kolumn).
Dwie macierze tego samego wymiaru
A = [aik](m,n) i B = [bik](m,n) są równe, jeżeli
dla każdego i "{1,2,...,m} i dla każdego k " {1,2,...,n} mamy
aik = bik .
Symbolem Kroneckera nazywamy funkcjÄ™
1 gdy i = k
Å„Å‚
´ik = , i,k"N.
òÅ‚
ół0 gdy i `" k
Macierz kwadratowÄ… A =[aik](n,n) nazywamy:
" diagonalnÄ…, gdy jest postaci D =[´ikaik](n,n)
" skalarnÄ…, gdy jest postaci S = [´ika](n,n)
" jednostkowÄ…, gdy jest postaci 1 = [´ik](n,n)
" symetryczną, jeżeli dla każdego i,k"{1,2,...,n} aik = aki
" skośnie symetryczną, jeżeli dla każdego i,k"{1,2,...,n} aik = -aki
(macierz skośnie symetryczna ma na głównej przekątnej same zera)
Symbolem 1 oznaczać będziemy macierze jednostkowe dowolnego
stopnia np.
îÅ‚1 0 0Å‚Å‚
îÅ‚1 0Å‚Å‚
ïÅ‚0 1 0śł.
[1],
ïÅ‚0 1śł,
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚0 0 1ûÅ‚
MacierzÄ… transponowanÄ… AT macierzy A nazywamy macierz
AT = [aik]T(m,n) = [aki] (n,m) .
Działania
na
macierzach.
Dodawanie macierzy.
SumÄ… macierzy A =[aik](m,n) i macierzy B = [bik](m,n) nazywamy
macierz
C = [cik](m,n) ,
gdzie
cik = aik + bik
dla każdego i " {1,2,...,m} i każdego k " {1,2,...,n}.
Odejmowanie macierzy. Różnicą macierzy A =[aik](m,n) i macierzy B
= [bik](m,n) nazywamy macierz
C= [cik](m,n) ,
gdzie
cik = aik - bik
dla każdego i " {1,2,...,m} i każdego k " {1,2,...,n}.
Mnożenie macierzy przez liczbę.
Iloczynem macierzy A = [aik] przez liczbÄ™ Ä… " K nazywamy macierz
Ä…·A = [Ä…·aik],
dla każdego i " {1,2,...,m} i każdego k " {1,2,...,n}.
Mnożenie macierzy.
Iloczynem macierzy A =[aij](m,p) przez macierz
B = [bjk](p,n) nazywamy macierz
C = [cik](m,n),
gdzie
p
cik =
"a bjk = ai1b1k + ai2b2k + ... + aipbpk
ij
j =1
dla każdego i " {1,2,...,m} i każdego k " {1,2,...,n}
Własności działań na macierzach.
1. Dodawanie macierzy jest przemienne A + B = B + A.
2. Dodawanie macierzy jest Å‚Ä…czne (A + B) + C = A + (B + C).
3. A + X = A Ò! X = 0.
4. A + Y = 0 Ò! Y = -A.
5. Mnożenie macierzy przez liczbę jest przemienne
a Å" A = A Å" a,
dla każdego a"š
6. a Å" (A + B) = a Å" A + a Å" B, dla każdego a"š
7. (a + b) Å" A = a Å" A + b Å" B, dla każdego a,b"š
8. a Å" (b Å" A) = (ab) Å" A = b Å" (a Å" A), dla każdego a,b"š
9. 1 Å" A = A
10. a Å" (A Å" B) = (a Å" A) Å" B = A Å" (a Å" B) = (A Å" B) Å" a, dla każdego a"š
11. (A Å" B) Å"C = A Å" (B Å"C) mnożenie macierzy jest Å‚Ä…czne
12. A Å"1 = 1Å" A
13. (A Ä… B) Å" C = A Å" C Ä… B Å" C, C Å" (A Ä… B) = C Å" A Ä… C Å" B Å" mnożenie
macierzy jest rozdzielne względem dodawania
14. A Å" B `" B Å" A mnożenie macierzy nie jest przemienne
15. (AT )T = A
16. (A Å" B)T = BT Å" AT
Wyznaczniki. Wyznacznikiem nazywamy funkcjÄ™ przyporzÄ…dkowujÄ…cÄ…
każdej macierzy kwadratowej A = [aik](n,n) stopnia n o elementach z
ciała K pewien element tego ciała - oznaczany przez det A - która to
funkcja określona jest przez warunki:
1. dla n = 1, det[a11] = a11,
n
2. dla n >1 detA =
1k
"a A* ,
1k
k =1
gdzie wyrażenie A*ik = (-1)i+kAik, nazywamy dopełnieniem
algebraicznym elementu aik, zaś wyrażenie Aik - nazywane
podwyznacznikiem wyznacznika det A, odpowiadajÄ…cym elementowi aik,
- jest wyznacznikiem stopnia n-1 powstałym z wyznacznika det A, przez
skreślenie w nim i-tego wiersza i k-tej kolumny. Oprócz oznaczenia
detA wyznacznik macierzy A zapisujemy również jako A (rzadko), lub
też podobnie jak macierz w tablicy
a11 a12 k = 2
= a1k A1k *a1k A1k * =
"
a21 a22 k =1
= a11(-1)2 A11 + a12 (-1)3 A12 = a11a22 - a12a21
TWIERDZENIE LAPLACE A. Wartość wyznacznika macierzy
kwadratowej A równa jest sumie iloczynów kolejnych elementów
dowolnego wiersza (kolumny) przez odpowiadajÄ…ce tym elementom
dopełnienia algebraiczne. Suma iloczynów kolejnych elementów
dowolnego wiersza (kolumny) przez odpowiednie dopełnienia
algebraiczne innego wiersza (kolumny) jest zawsze równa zero.
Własności wyznaczników.
1.(det A)T = det AT = det A.
2.Jeżeli w wyznaczniku zamienimy miejscami dwa dowolne wiersze
(kolumny), to wartość wyznacznika zmieni się na przeciwną.
3.Aby wyznacznik pomnożyć przez liczbę należy wszystkie elementy
dowolnego wiersza (kolumny) pomnożyć przez tę liczbę.
4.Jeżeli w wyznaczniku wszystkie elementy znajdujące się nad (lub pod)
diagonalą są równe zeru, to wartość wyznacznika równa jest
iloczynowi elementów diagonali. O takim wyznaczniku mówimy, że ma
postać trójkątną.
5.Jeżeli w wyznaczniku
a) wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) są równe zeru lub
b) dwa wiersze (kolumny) sÄ… identyczne lub
c) wszystkie elementy pewnego wiersza ( kolumny ) sÄ…
proporcjonalne do odpowiednich elementów innego wiersza
(kolumny) lub d) pewien wiersz
(kolumna) jest kombinacją liniową pozostałych wierszy (kolumn) to
wartość wyznacznika równa jest zeru.
6.Jeżeli w wyznaczniku do elementów pewnego wiersza (kolumny)
dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone
przez jedną i tę samą liczbę, to wartość wyznacznika nie ulegnie
zmianie.
7.Wyznacznik jest różny od zera wtedy i tylko wtedy, gdy jego wiersze
(kolumny) są liniowo niezależne.
8.TWIERDZENIE CAUCHY'EGO. Jeżeli A i B są macierzami tego samego
stopnia to
det(A·B) = detA·detB
Macierz nieosobliwa, macierz odwrotna, macierz ortogonalna.
Macierz kwadratowÄ… A nazywamy
" nieosobliwÄ… , gdy detA `" 0,
" osobliwÄ… , gdy detA = 0.
Macierzą dołączoną AD macierzy kwadratowej A = [aik](n,n)
nazywamy transponowaną macierz dopełnień algebraicznych A*ik
odpowiadajÄ…cych elementom aik macierzy A
AD = [A*ik]T.