-1-
ALGEBRA WEKTORÓW I TENSORÓW.
Iloczyn skalarny dwóch wektorów.
r
r
a = [a1, a2, a3] b = [b1, b2,b3]
r r
r r
a Å" b = a Å" b Å" cos ¸ = a1 Å" b1 + a2 Å" b2 + a3 Å" b3
r r
r r
a Å" b = b Å" a
r r
r r
a Å" b = 0 jeżeli aÄ„"b
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów.
r
r r
c = a × b = [a2Å"b3 -a3Å"b2, a3Å"b1-a1Å"b3, a1Å"b2 -a2Å"b1]
r r
r r r
c = a Å" b Å" sin ¸ = pole powierzchni równolegÅ‚oboku utworzonego przez a i b
r
c jest prostopadły do płaszczyzny
r
r
utworzonej przez a i b
r
r r
a , b i c tworzą układ prawoskrętny
r r r
r r
a × b = 0 jeżeli a Q% b
r r
r r
a × b = -b × a
Iloczyn mieszany trzech wektorów.
a1 a2 a3
r r
r r r r
(a × b) Å" c = ( a Å" b Å"sin ¸ )Å"( c Å" cos Ć ) = det b1 b2 b3
c1 c2 c3
pole podstawy · wysokość
Iloczyn mieszany jest równy objętości
r
równoległościanu utworzonego przez a ,
r
r
b i c wziętej ze znakiem  + , jeżeli
wektory te tworzą układ prawoskrętny lub
ze znakiem  - , jeżeli wektory te tworzą
układ lewoskrętny
r
r r
(a × b) Å" c = 0 jeżeli dowolne dwa wektory sÄ… do siebie równolegÅ‚e
r r r r r r
r r r r r r r r r r r r
(a × b) Å" c = (b × c) Å" a = (c × a) Å" b = -(a × c) Å" b = -(b × a) Å" c = -(c × b) Å" a
-2-
Podwójny iloczyn wektorowy trzech wektrów.
r r r
r r r r r r
(a × b) × c = (a Å" c) Å" b - (a Å" b) Å" c
Tensory.
A11 A12 A13
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚A
A = A22 A23śł = [ A ]3×3 tensor (macierz kwadratowa 3×3)
ij
21
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ A32 A33ûÅ‚
śł
ðÅ‚A31
A11 A21 A31
îÅ‚ Å‚Å‚
T ïÅ‚A
A = A22 A32 śł = [ A ]3×3 tensor transponowany powstaje przez zamianÄ™
ji
12
ïÅ‚ śł
i-tego wiersza i j-tej kolumny
ïÅ‚ A23 A33 ûÅ‚
śł
ðÅ‚A13
T
Jeżeli A = A ( A = A ), to tensor A jest symetryczny
ij ji
T
Jeżeli A = - A ( A = - A ), to tensor A jest antysymetryczny
ij ji
Każdy tensor można przedstawić jako sumę tensora symetrycznego i antysymetrycznego
1 1
s a s T
A = A + A A = ( A + A ) = [ A + A ]3×3
ij ji
2 2
1 1
a T
A = ( A - A ) = [ A - A ]3×3
ij ji
2 2
Tensor jednostkowy i delta Kroneckera
1 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 1 0śł , I = ´ , ´ ij= Å„Å‚ 1 i = j
I =
òÅ‚ 0 i `" j
ïÅ‚ śł
ół
ïÅ‚ śł
ðÅ‚0 0 1ûÅ‚
3
Åšlad tensora tr A = Aii
"
i=1
Iloczyn skalarny wektora i tensora.
3

c = A · a c = Aij Å" a każdy wiersz A mnożony jest skalarnie przez wektor a
i
" j
j=1
3

d = a · A d = Å" Aji wektor a jest mnożony skalarnie przez kolejne kolumny A
i
"a j
j=1

Jeżeli A jest symetryczny to mnożenie jest przemienne A · a = a · A
-3-
Pojedynczy iloczyn skalarny tensorów.
3
C = A · B C = Ai k Å"Bk j każdy wiersz A mnożony jest skalarnie przez kolejne kolumny B
ij
"
k=1
T T T
C = B · A
Podwójny iloczyn wewnętrzny dwóch tensorów .
3 3
A : B = AijÅ"Bji suma iloczynów elementów obu tensorów
""
i=1 j=1
Diada (iloczyn zewnętrzny) dwóch wektorów.

C = a b Cij = ai Å"bj
Macierz transformacji do obróconego układu współrzędnych.
cosÄ…11 cosÄ…12 cosÄ…13
îÅ‚ Å‚Å‚
ąij  kąt między i-tą osią starego układu współrzędnych
ïÅ‚cosÄ… cosÄ…22 cosÄ…23śł = [cosÄ…ij]3×3 ( x1, x2, x3 ) a j-tÄ… osiÄ… nowego ukÅ‚adu współrzÄ™dnych
R =
21
ïÅ‚ śł
2 2 2
ïÅ‚ śł ( x1, x2, x3 )
cosÄ…32 cosÄ…33ûÅ‚
ðÅ‚cosÄ…31
T
R Å" R = I
Transformacja wektora i tensora do obróconego układu współrzędnych.
r2 T r
T
2
transformacja prosta a = R Å" a A = R Å" AÅ" R
r r2
T
2
transformacja odwrotna a = R Å" a A = R Å" A Å" R
Jeżeli tensor A jest symetryczny, to obrót układu współrzędnych nie wpływa na:
1) ślad tensora tr A,
2) podwójny iloczyn wewnętrzny tensora A : A ,
3) wyznacznik tensora det(A) .
2
Ponadto zawsze można znalez
ć taki obrót starego układu współrzędnych, że Aij =0 dla i`" j w
nowym obróconym układzie współrzędnych.
-4-
OPERATORY RÓŻNICZKOWE I TEORIA POLA
Operator Hamiltona (nabla).
îÅ‚ " " " Å‚Å‚ îÅ‚ " 1 " " Å‚Å‚
" = , , " = , ,
ïÅ‚"x "y "z śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚"r r "¸ "z ûÅ‚
współrzędne prostokątne współrzędne cylindryczne
Operator Laplace a (laplasjan).
"2 "2 "2 1 " ëÅ‚ " öÅ‚ 1 "2 "2
" = + + " = ìÅ‚r ÷Å‚ + +
ìÅ‚ ÷Å‚
"x2 "y2 "z2
r "r íÅ‚ "r Å‚Å‚ r2 "¸2 "z2
współrzędne prostokątne współrzędne cylindryczne
Pole skalarne.
Jeżeli każdemu punktowi P pewnego zbioru X przyporzÄ…dkujemy skalar Õ to mówimy, że na
zbiorze X zostaÅ‚o okreÅ›lone pole skalarne Õ = Õ(P) . Jeżeli P=(x,y,z) to Õ = Õ(x, y, z) .
Przykłady pól skalarnych: ciśnienie, gęstość, temperatura itp.
Równanie Õ(x,y,z)=const okreÅ›la powierzchniÄ™ ekwiskalarnÄ….
Pole wektorowe.
r
Jeżeli każdemu punktowi P pewnego zbioru X przyporządkujemy wektor a to mówimy, że
r r r
v
na zbiorze X zostało określone pole wektorowe a = a(P) . Jeżeli P=(x,y,z) to a = a(x, y, z) .
Przykłady pól wektorowych: prędkość płynu, pole sił masowych.
Gradient pola skalarnego.
Gradient pola skalarnego Õ = Õ(x, y, z) wyznacza pole wektorowe o postaci grad Õ = "Õ .
Jeżeli wektor o dÅ‚ugoÅ›ci jednostkowej %5Å„ = [cos Ä…,cos²,cos Å‚] wyznacza pewien kierunek w
przestrzeni ( Ä…,², Å‚ to kÄ…ty zawarte miÄ™dzy tym kierunkiem a osiami ukÅ‚adu współrzÄ™dnych)
to, wówczas pochodna pola skalarnego w tym kierunku dana jest wzorem
"Õ "Õ "Õ "Õ
= %5Å„ Å" grad Õ = cos Ä… + cos² + cos Å‚ .
"s "x "y "z
Pochodna pola skalarnego osiÄ…ga maksimum równe grad Õ , jeżeli wektory %5Å„ i grad Õ sÄ…
zgodne co do kierunku i zwrotu.
Interpretacja całkowa gradientu pola skalarnego.
1
grad Õ(P) = lim n dS
+"+"Õ Ć
V P
V
S
Przejście graniczne dokonuje się tak, że objętość kontrolna V, której brzegiem jest
$
powierzchnia zamknięta S, zbiega do punktu P. Wektor jednostkowy n jest prostopadły do
-5-
różniczkowej powierzchni dS. Skalar Õ ma pod znakiem caÅ‚ki sens funkcji wagowej, dziÄ™ki
czemu wektor grad Õ zawsze wskaże kierunek najszybszego wzrosty Õ w punkcie P.
Niezerowy wektor grad Õ(P) jest prostopadÅ‚y do powierzchni Õ = const , która przechodzi
przez punkt P.
Rotacja pola wektorowego.
r r
Rotacja pola wektorowego a = a(x, y, z) = [ax (x, y, z), ay (x, y, z), az (x, y, z)] wyznacza pole
wektorowe o postaci
îÅ‚
öÅ‚ öÅ‚
r r ëÅ‚ "az "ay "ax "az "ay "ax Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚, ëÅ‚
rot a = " × a = - ÷Å‚, - ìÅ‚ - ÷łśł .
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"y "z "z "x "x "y
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Interpretacja całkowa rotacji.
r 1 r
Ć
n Å" rot a(P) = lim Å" t dL
+"a Ć
SP
S
L
Przejście graniczne dokonuje się tak, że powierzchnia S, której brzegiem jest krzywa
$
zamknięta L, zbiega do punktu P. Wektor jednostkowy n jest prostopadły do S w punkcie P,
zaś wektor jednostkowy t$ jest styczny do różniczkowego odcinka dL.
r
r
v
Jeżeli rot a = 0 w każdym punkcie pola wektorowego a to takie pole wektorowe nazywa się
v
polem potencjalnym (bezwirowym) i istnieje takie pole skalarne Õ, że a = grad Õ , zaÅ› caÅ‚ka
wzdłuż krzywej łączącej dwa punkty A i B nie zależy od kształtu tej krzywej i jest równa
różnicy potencjaÅ‚u Õ w punktach A i B.
r
Ć
grad Õ Å" tĆ dL = Õ(B) - Õ(A)
+"a Å" t dL = +"
AB AB
r r
CaÅ‚ka Å" tĆ dL wyraża pracÄ™ wykonanÄ… w polu siÅ‚ a wzdÅ‚uż drogi od A do B.
+"a
AB
Dywergencja pola wektorowego.
r
v
Dywergencja pola wektorowego a = a(x, y, z) wyznacza pole skalarne dane wzorem
"ax "ay "az
v v
div a = " Å" a = + +
"x "y "z
Interpretacja całkowa dywergencji
r 1 r
div a(P) = lim Ć
+"+"a Å" n dS
V P
V
S
Przejście graniczne dokonuje się w ten sposób, że objętość kontrolna V, której brzegiem jest
$
powierzchnia zamknięta S, zbiega do punktu P. Wektor jednostkowy n jest prostopadły do
różniczkowej powierzchni dS.
-6-
v v
CaÅ‚ka Å" n dS okreÅ›la wypadkowy strumieÅ„ pola wektorowego a przepÅ‚ywajÄ…cy przez
+"+"a Ć
S
powierzchniÄ™ S.
v v
Jeżeli div a = 0 w każdym punkcie pola wektorowego a , to takie pole wektorowe nazywa się
polem bezz
ródłowym (selenoidalnym).
Pochodna substancjalna (materiałowa).
D " r " " " "
= + u Å" " = + ux + uy + uz
Dt "t "t "x "y "z
r r
u = u(x, y, z,t) = [ux ,uy ,uz ] to wektor prędkości płynu.
Duży gradient wektora prędkości płynu.
îÅ‚ Å‚Å‚
"ux "uy "uz
ïÅ‚ śł
"x "x "x
ïÅ‚"u "uy "uz śł
r
x
ïÅ‚ śł
Grad u =
ïÅ‚ "y "y "y śł
ïÅ‚"ux "uy "uz śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ "z "z "z ûÅ‚
Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego.
r r
Ć
+"+"a Å" n dS = +"+"+"div a dV
S V
v
Powierzchnia S jest brzegiem objętości kontrolnej V, a jest polem wektorowym klasy C1
$
określonym w obszarze V, n jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni
różniczkowej dS i skierowanym na zewnątrz obszaru V.
Twierdzenie Stokesa.
r
v
a Å" tĆ dL = a Å" n dS
+" +"+"rot Ć
L S
r
Krzywa L jest brzegiem powierzchni S, a jest polem wektorowym klasy C1 określonym w
$
obszarze V zawierającym powierzchnię S, n jest wektorem jednostkowym prostopadłym do
dS, t$ jest wektorem jednostkowym równoległym do różniczkowego odcinka dL.
Niektóre zależności rachunku operatorów różniczkowych.
r r r r r r
" Å" (Õ a) = "Õ Å" a + Õ (" Å" a) " × (Õ a) = Õ (" × a) + "Õ × a
r r 1 r r r r r r
(a Å" ") a = "(a Å" a) - a × (" × a) " Å" (" × a) = div(rot a) = 0
2
r r r
" × ("Õ) = rot(gradÕ) = 0 "a = "(" Å" a) - " × (" × a)