-1-
ALGEBRA WEKTORÓW I TENSORÓW.
Iloczyn skalarny dwóch wektorów.
r
r
a = [a1, a2, a3] b = [b1, b2,b3]
r r
r r
a �" b = a �" b �" cos � = a1 �" b1 + a2 �" b2 + a3 �" b3
r r
r r
a �" b = b �" a
r r
r r
a �" b = 0 jeżeli aĄ"b
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów.
r
r r
c = a � b = [a2�"b3 -a3�"b2, a3�"b1-a1�"b3, a1�"b2 -a2�"b1]
r r
r r r
c = a �" b �" sin � = pole powierzchni równoległoboku utworzonego przez a i b
r
c jest prostopadły do płaszczyzny
r
r
utworzonej przez a i b
r
r r
a , b i c tworzą układ prawoskrętny
r r r
r r
a � b = 0 jeżeli a Q% b
r r
r r
a � b = -b � a
Iloczyn mieszany trzech wektorów.
a1 a2 a3
r r
r r r r
(a � b) �" c = ( a �" b �"sin � )�"( c �" cos Ć ) = det b1 b2 b3
c1 c2 c3
pole podstawy � wysokość
Iloczyn mieszany jest równy objętości
r
równoległościanu utworzonego przez a ,
r
r
b i c wziętej ze znakiem  + , jeżeli
wektory te tworzą układ prawoskrętny lub
ze znakiem  - , jeżeli wektory te tworzą
układ lewoskrętny
r
r r
(a � b) �" c = 0 jeżeli dowolne dwa wektory są do siebie równoległe
r r r r r r
r r r r r r r r r r r r
(a � b) �" c = (b � c) �" a = (c � a) �" b = -(a � c) �" b = -(b � a) �" c = -(c � b) �" a
-2-
Podwójny iloczyn wektorowy trzech wektrów.
r r r
r r r r r r
(a � b) � c = (a �" c) �" b - (a �" b) �" c
Tensory.
A11 A12 A13
�ł łł
�łA
A = A22 A23śł = [ A ]3�3 tensor (macierz kwadratowa 3�3)
ij
21
�ł śł
�ł A32 A33�ł
śł
�łA31
A11 A21 A31
�ł łł
T �łA
A = A22 A32 śł = [ A ]3�3 tensor transponowany powstaje przez zamianę
ji
12
�ł śł
i-tego wiersza i j-tej kolumny
�ł A23 A33 �ł
śł
�łA13
T
Jeżeli A = A ( A = A ), to tensor A jest symetryczny
ij ji
T
Jeżeli A = - A ( A = - A ), to tensor A jest antysymetryczny
ij ji
Każdy tensor można przedstawić jako sumę tensora symetrycznego i antysymetrycznego
1 1
s a s T
A = A + A A = ( A + A ) = [ A + A ]3�3
ij ji
2 2
1 1
a T
A = ( A - A ) = [ A - A ]3�3
ij ji
2 2
Tensor jednostkowy i delta Kroneckera
1 0 0
�ł łł
�ł0 1 0śł , I = � , � ij= ńł 1 i = j
I =
�ł 0 i `" j
�ł śł
ół
�ł śł
�ł0 0 1�ł
3
Ślad tensora tr A = Aii
"
i=1
Iloczyn skalarny wektora i tensora.
3

c = A � a c = Aij �" a każdy wiersz A mnożony jest skalarnie przez wektor a
i
" j
j=1
3

d = a � A d = �" Aji wektor a jest mnożony skalarnie przez kolejne kolumny A
i
"a j
j=1

Jeżeli A jest symetryczny to mnożenie jest przemienne A � a = a � A
-3-
Pojedynczy iloczyn skalarny tensorów.
3
C = A � B C = Ai k �"Bk j każdy wiersz A mnożony jest skalarnie przez kolejne kolumny B
ij
"
k=1
T T T
C = B � A
Podwójny iloczyn wewnętrzny dwóch tensorów .
3 3
A : B = Aij�"Bji suma iloczynów elementów obu tensorów
""
i=1 j=1
Diada (iloczyn zewnętrzny) dwóch wektorów.

C = a b Cij = ai �"bj
Macierz transformacji do obróconego układu współrzędnych.
cosą11 cosą12 cosą13
�ł łł
ąij  kąt między i-tą osią starego układu współrzędnych
�łcosą cosą22 cosą23śł = [cosąij]3�3 ( x1, x2, x3 ) a j-tą osią nowego układu współrzędnych
R =
21
�ł śł
2 2 2
�ł śł ( x1, x2, x3 )
cosą32 cosą33�ł
�łcosą31
T
R �" R = I
Transformacja wektora i tensora do obróconego układu współrzędnych.
r2 T r
T
2
transformacja prosta a = R �" a A = R �" A�" R
r r2
T
2
transformacja odwrotna a = R �" a A = R �" A �" R
Jeżeli tensor A jest symetryczny, to obrót układu współrzędnych nie wpływa na:
1) ślad tensora tr A,
2) podwójny iloczyn wewnętrzny tensora A : A ,
3) wyznacznik tensora det(A) .
2
Ponadto zawsze można znalez
ć taki obrót starego układu współrzędnych, że Aij =0 dla i`" j w
nowym obróconym układzie współrzędnych.
-4-
OPERATORY RÓŻNICZKOWE I TEORIA POLA
Operator Hamiltona (nabla).
�ł " " " łł �ł " 1 " " łł
" = , , " = , ,
�ł"x "y "z śł �ł śł
�ł �ł �ł"r r "� "z �ł
współrzędne prostokątne współrzędne cylindryczne
Operator Laplace a (laplasjan).
"2 "2 "2 1 " �ł " �ł 1 "2 "2
" = + + " = �łr �ł + +
�ł �ł
"x2 "y2 "z2
r "r �ł "r łł r2 "�2 "z2
współrzędne prostokątne współrzędne cylindryczne
Pole skalarne.
Jeżeli każdemu punktowi P pewnego zbioru X przyporządkujemy skalar � to mówimy, że na
zbiorze X zostało określone pole skalarne � = �(P) . Jeżeli P=(x,y,z) to � = �(x, y, z) .
Przykłady pól skalarnych: ciśnienie, gęstość, temperatura itp.
Równanie �(x,y,z)=const określa powierzchnię ekwiskalarną.
Pole wektorowe.
r
Jeżeli każdemu punktowi P pewnego zbioru X przyporządkujemy wektor a to mówimy, że
r r r
v
na zbiorze X zostało określone pole wektorowe a = a(P) . Jeżeli P=(x,y,z) to a = a(x, y, z) .
Przykłady pól wektorowych: prędkość płynu, pole sił masowych.
Gradient pola skalarnego.
Gradient pola skalarnego � = �(x, y, z) wyznacza pole wektorowe o postaci grad � = "� .
Jeżeli wektor o długości jednostkowej %5ń = [cos ą,cos�,cos ł] wyznacza pewien kierunek w
przestrzeni ( ą,�, ł to kąty zawarte między tym kierunkiem a osiami układu współrzędnych)
to, wówczas pochodna pola skalarnego w tym kierunku dana jest wzorem
"� "� "� "�
= %5ń �" grad � = cos ą + cos� + cos ł .
"s "x "y "z
Pochodna pola skalarnego osiąga maksimum równe grad � , jeżeli wektory %5ń i grad � są
zgodne co do kierunku i zwrotu.
Interpretacja całkowa gradientu pola skalarnego.
1
grad �(P) = lim n dS
+"+"� Ć
V P
V
S
Przejście graniczne dokonuje się tak, że objętość kontrolna V, której brzegiem jest
$
powierzchnia zamknięta S, zbiega do punktu P. Wektor jednostkowy n jest prostopadły do
-5-
różniczkowej powierzchni dS. Skalar � ma pod znakiem całki sens funkcji wagowej, dzięki
czemu wektor grad � zawsze wskaże kierunek najszybszego wzrosty � w punkcie P.
Niezerowy wektor grad �(P) jest prostopadły do powierzchni � = const , która przechodzi
przez punkt P.
Rotacja pola wektorowego.
r r
Rotacja pola wektorowego a = a(x, y, z) = [ax (x, y, z), ay (x, y, z), az (x, y, z)] wyznacza pole
wektorowe o postaci
�ł
�ł �ł
r r �ł "az "ay "ax "az "ay "ax łł
�ł �ł, �ł
rot a = " � a = - �ł, - �ł - �łśł .
�ł �ł
�ł�ł
�ł �ł �ł �ł
"y "z "z "x "x "y
�ł łł
�ł łł �ł łł
�ł �ł
Interpretacja całkowa rotacji.
r 1 r
Ć
n �" rot a(P) = lim �" t dL
+"a Ć
SP
S
L
Przejście graniczne dokonuje się tak, że powierzchnia S, której brzegiem jest krzywa
$
zamknięta L, zbiega do punktu P. Wektor jednostkowy n jest prostopadły do S w punkcie P,
zaś wektor jednostkowy t$ jest styczny do różniczkowego odcinka dL.
r
r
v
Jeżeli rot a = 0 w każdym punkcie pola wektorowego a to takie pole wektorowe nazywa się
v
polem potencjalnym (bezwirowym) i istnieje takie pole skalarne �, że a = grad � , zaś całka
wzdłuż krzywej łączącej dwa punkty A i B nie zależy od kształtu tej krzywej i jest równa
różnicy potencjału � w punktach A i B.
r
Ć
grad � �" tĆ dL = �(B) - �(A)
+"a �" t dL = +"
AB AB
r r
Całka �" tĆ dL wyraża pracę wykonaną w polu sił a wzdłuż drogi od A do B.
+"a
AB
Dywergencja pola wektorowego.
r
v
Dywergencja pola wektorowego a = a(x, y, z) wyznacza pole skalarne dane wzorem
"ax "ay "az
v v
div a = " �" a = + +
"x "y "z
Interpretacja całkowa dywergencji
r 1 r
div a(P) = lim Ć
+"+"a �" n dS
V P
V
S
Przejście graniczne dokonuje się w ten sposób, że objętość kontrolna V, której brzegiem jest
$
powierzchnia zamknięta S, zbiega do punktu P. Wektor jednostkowy n jest prostopadły do
różniczkowej powierzchni dS.
-6-
v v
Całka �" n dS określa wypadkowy strumień pola wektorowego a przepływający przez
+"+"a Ć
S
powierzchnię S.
v v
Jeżeli div a = 0 w każdym punkcie pola wektorowego a , to takie pole wektorowe nazywa się
polem bezz
ródłowym (selenoidalnym).
Pochodna substancjalna (materiałowa).
D " r " " " "
= + u �" " = + ux + uy + uz
Dt "t "t "x "y "z
r r
u = u(x, y, z,t) = [ux ,uy ,uz ] to wektor prędkości płynu.
Duży gradient wektora prędkości płynu.
�ł łł
"ux "uy "uz
�ł śł
"x "x "x
�ł"u "uy "uz śł
r
x
�ł śł
Grad u =
�ł "y "y "y śł
�ł"ux "uy "uz śł
�ł śł
�ł "z "z "z �ł
Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego.
r r
Ć
+"+"a �" n dS = +"+"+"div a dV
S V
v
Powierzchnia S jest brzegiem objętości kontrolnej V, a jest polem wektorowym klasy C1
$
określonym w obszarze V, n jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni
różniczkowej dS i skierowanym na zewnątrz obszaru V.
Twierdzenie Stokesa.
r
v
a �" tĆ dL = a �" n dS
+" +"+"rot Ć
L S
r
Krzywa L jest brzegiem powierzchni S, a jest polem wektorowym klasy C1 określonym w
$
obszarze V zawierającym powierzchnię S, n jest wektorem jednostkowym prostopadłym do
dS, t$ jest wektorem jednostkowym równoległym do różniczkowego odcinka dL.
Niektóre zależności rachunku operatorów różniczkowych.
r r r r r r
" �" (� a) = "� �" a + � (" �" a) " � (� a) = � (" � a) + "� � a
r r 1 r r r r r r
(a �" ") a = "(a �" a) - a � (" � a) " �" (" � a) = div(rot a) = 0
2
r r r
" � ("�) = rot(grad�) = 0 "a = "(" �" a) - " � (" � a)