Algebra wektorów
Definicja 1.
Kartezjańskim układem współrzednych prostokątnych (układem ortonor-
¸
malnym lub ortokartezjańskim) nazywamy uporządkowaną trójkę półosi
regularnych wzajemnie do siebie prostopadłych o wspólnym początku i
wspólnej jednostce długości. Stosujemy ozn. OXYZ.
Definicja 2.
Położenie dowolnego punktu P w przestrzeni można określić za pomocą
uporządkowanej trójki liczb nazywanych współrzędnymi punktu P co
zapisujemy
P(xP, yP, zP)
gdzie
xP oznacza współrzędną prostokątną rzutu punktu P na oś OX
yP współrzędną prostokątną rzutu punktu P na oś OY
zP współrzędną prostokątną rzutu punktu P na oś OZ
Wniosek 1.
Wez
my punkty A(x1, y1, z1) i B(x2, y2, z2).
Punkty te wyznaczają w układzie OXYZ odcinek AB, którego długość
wyraża się wzorem

|AB| = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2
Definicja 3 (wektora).
Parę uporządkowaną punktów A i B w przestrzeni nazywamy wektorem
-
-


-
i oznaczamy symbolem AB lub a .
-
-

Zapisujemy AB = [ax, ay, az], gdzie ax, ay, az nazywamy współrzędnymi
-
-

wektora AB w układzie OXYZ i obliczamy z zależności
ax = x2 - x1, ay = y2 - y1, az = z2 - z1
Wniosek 2.
- -
- -

-
Długość wektora AB, ozn. |AB| lub ||, wyraża się wzorem
a

-
-

2
|AB| = a2 + a2 + az
x y
lub

-
-

|AB| = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2
Definicja 4 (sumy wektorów).

-
-
Sumą wektorów = [ax, ay, az] i b = [bx, by, bz] nazywamy wektor, któ-
a
rego współrzędne tworzymy dodając odpowiednie współrzędne składowe

-

-
wektorów a i b , tj. wektor postaci

-

-
a + b = [ax + bx, ay + by, az + bz]
Własności sumy wektorów

- -
- -
1. + b = b + (przemienność)
a a

- -
- - -
-
2. ( + b ) + = a + ( b +) (łączność )
a c c

- -
- -
-
3. + 0 = 0 + = a (element neutralny dodawania wektorów )
a a

-
- -
4. + (-) = 0 (wektor przeciwny)
a a
Definicja 5 (iloczynu wektora przez liczbÄ™).
-
Iloczynem wektora (niezerowego) przez liczbÄ™  " R,  0, nazywamy
a
-
-
wektor  skierowany zgodnie ze skierowaniem wektora a , jeśli  > 0,
a
-
a przeciwnie jeśli  < 0, o długości równej ||||, w postaci
a
-
 = [ax, ay, az]
a

-
Jeśli  = 0 lub a = 0 to iloczyn ten jest wektorem zerowym.
Własności iloczynu wektora przez liczbę
- - -
1. ( + Ä…) =  + Ä…,
a a a
- -
2. (Ä…) = (Ä…),
a a
dla , Ä… " R.
Definicja 6 (kombinacji liniowej n wektorów).

- - -
Wez
my n wektorów a , a , ... , a oraz n liczb 1, 2, ... , n " R.
n
1 2
- - -
Kombinacją liniową wektorów , , ... , nazywamy wektor postaci
a a a
n
1 2
n

- - - -
1 + 2 + ... + n = i
a a a a
n
1 2 i
i=1
Definicja 7 (liniowej zależności i niezależności wektorów).

- - -
Wektory a , a , ... , a nazywamy liniowo zależnymi, jeśli istnieją
n
1 2
n

liczby 1, 2, ... , n, nie wszystkie jednocześnie równe zero (tj. 2 >
i
i=1
0), takie że
n


-
-
i = 0
a
i
i=1

- - -
Jeżeli wektory a , a , ... , a nie są liniowo zależne to są one liniowo
n
1 2
niezależne.
Definicja 8.

-

-
Mówimy, że dwa wektory a i b są kolinearne jeżeli są liniowo zależne,

-

- -
natomiast trzy wektory a , b i c są koplanarne jeśli są one liniowo
zależne.
Wartości i wektory własne
Niech A będzie macierzą nieosobliwą (det A 0) stopnia n.
Dla danej macierzy A szukamy takich wektorów niezerowych X wymia-
ru n × 1, które sÄ… kolinearne z A · X, tj. takich że
A · X =  · X, gdzie  " R
StÄ…d
(A - I)X = 0
Wektor niezerowy X spełniający powyższe równanie istnieje, gdy
det(A - I) = 0
Definicja 9.
Równanie
det(A - I) = 0
nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A, liczby  speł-
niające to równanie wartościami własnymi macierzy A, a wektory nie-
zerowe X spełniające równanie
(A - I)X = 0
nazywamy wektorami własnymi tej macierzy odpowiadającymi ich war-
tościom własnym.
Definicja 10 (rzutu prostokÄ…tnego punktu).
Rzutem prostokÄ…tnym punktu A na oÅ› (skierowanÄ…) S nazywamy punkt
A , w którym prostopadła poprowadzona przez punkt A do osi S przecina
jÄ….
Definicja 11 (rzutu prostokÄ…tnego wektora).
-
-


-
Rzutem prostokÄ…tnym wektora a = AB na oÅ› (skierowanÄ…) S nazywamy
--
-

-
wektor as = A B , którego początek A jest rzutem początku wektora

- -
a , tj. punktu A, natomiast koniec B jest rzutem końca wektora a , tj.
punktu B.
-
-
Oznaczmy przez || długość rzutu wektora a na oś S.
as
Twierdzenie 1.

- -
Długość wektora as będącego rzutem wektora a na oś S jest równa

- -
iloczynowi długości wektora a i kosinusa kąta nachylenia wektora a i
osi S, tj.
- - -
|| = || cos "(, S)
as a a
Definicja 12 (wersora).
Wersorem (lub wektorem jednostkowym) nazywamy wektor o długości
jeden.
Definicja 13 (wersorów układu współrzędnych).
Wektory

i = [1, 0, 0], j = [0, 1, 0], k = [0, 0, 1]
nazywamy wersorami odpowiednio osi OX, OY, OZ w układzie kartez-
jańskim OXYZ.
Definicja 14.

Współrzędnymi kartezjańskimi prostokątnymi wektora a w przyjętym
układzie OXYZ, oznaczanymi przez ax, ay i az, nazywamy współrzędne
tego wektora na kolejnych osiach układu.
Wniosek 3.

Dla dowolnego niezerowego wektora a w układzie kartezjańskim zacho-
dzi zależność

a = [ax, ay, az]
gdzie ax, ay, az oznaczają współrzędne prostokątne wektora w rozważa-
nym układzie.
Piszemy również

i j
a = ax + ay + azk
lub

a = ax[1, 0, 0] + ay[0, 1, 0] + az[0, 0, 1]
Definicja 15 (kątów kierunkowych).

Kątami kierunkowymi wektora a w układzie kartezjańskim OXYZ nazy-
wamy kÄ…ty Ä…, ², Å‚, jakie ten wektor tworzy z kolejnymi osiami ukÅ‚adu,
tj.

Ä… = "(a, OX), ² = "(a, OY), Å‚ = "(a, OZ)
Kosinusy kątów kierunkowych nazywamy kosinusami kierunkowymi wek-

tora a, przy czym
ay
ax az
cos Ä… = , cos ² = , cos Å‚ =

|a| |a| |a|
Wniosek 4.

Dla dowolnego wektora niezerowego a kosinusy kierunkowe spełniają
zależność
cos2 Ä… + cos2 ² + cos2 Å‚ = 1
Iloczyn skalarny wektorów


Niech dane będą wektory niezerowe a = [ax, ay, az] i b = [bx, by, bz].
Definicja 16 (iloczynu skalarnego).


Iloczynem skalarnym dwóch wektorów niezerowych a i b nazywamy licz-
bę równą iloczynowi długości tych wektorów przez kosinus kąta między
tymi wektorami, co zapisujemy


a ć% b = |a| · |b| · cos "(a, b)
Wniosek 5.


Iloczyn skalarny wektorów a i b równy jest sumie iloczynów odpowied-
nich współrzędnych, co zapisujemy


a ć% b = axbx + ayby + azbz
Własności iloczynu skalarnego


1. a ć% b = b ć% a (przemienność)


2. a ć% (b + c) = a ć% b + a ć% c (rozdzielność względem dodawania)


3. (ąa) ć% b = a ć% (ąb) = ą(a ć% b), ą " R


4. a ć% a > 0 dla a 0, a ć% a = 0 dla a = 0
Definicja 17.


Mówimy, że dwa wektory niezerowe a i b są ortogonalne (prostopadłe),


jeśli a ć% b = 0.
Wniosek 1.
Dwa wektory niezerowe są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy
axbx + ayby + azbz = 0 warunek prostopadłości
natomiast są równoległe, gdy istnieje taka liczba  " R,  0, że
ay
ax az
= = =  warunek równoległości
bx by bz
Definicja 18.

Przyjmujemy oznaczenie a ć% a = a2. Liczbę a2 nazywamy kwadratem

skalarnym wektora. Ponadto a2 = |a|2.
Orientacja układu współrzędnych
Definicja 19 (orientacji układu OXY).
Mówimy, że układ ortokartezjański OXY ma orientację dodatnią (orien-
tację w prawo), jeśli przy obrocie przeciwnym do ruchu wskazówek ze-
gara następuje pokrycie osi OY osią OX, natomiast orientację ujemną
(orientację w lewo), jeśli pokrycie to następuje przy obrocie zgodnym z
ruchem wskazówek zegara.
Definicja 20 (orientacji układu OXYZ).
Mówimy, że układ ortokartezjański OXYZ jest zorientowany dodatnio
(ma orientację w prawo), jeśli dla patrzącego z dodatniego kierunku osi
OZ układ OXY jest zorientowany dodatnio, a ujemnie (ma orientację w
lewo), jeśli patrzący z osi OZ widzi układ OXY zorientowany ujemnie.
Definicja 21.
Układ o orientacji dodatniej nazywamy układem prawym, natomiast
układ o orientacji ujemnej nazywamy układem lewym.
Definicja 22.
Przestrzeń mającą orientację nazywamy przestrzenią zorientowaną.
Definicja 23.


Mówimy, że trójka wektorów a, b, c (niekoplanarnych) zaczepionych
w jednym punkcie jest zorientowana zgodnie z orientacjÄ… przestrzeni

(układu ortokartezjańskiego), jeżeli patrząc z końca wektora c obrót


wektora a do pokrycia z wektorem b następuje w tym samym kierunku
jak obrót osi OX do pokrycia z osią OY.
Wniosek 6.


Niech a = [ax, ay, az], b = [bx, by, bz], c = [cx, cy, cz] będą wektorami w
przestrzeni. Wektory te tworzą układ o orientacji zgodnej z orientacją
układu współrzędnych, jeśli


ax ay az
bx by bz > 0

cx cy cz
W przypadku, kiedy podany wyznacznik jest ujemny mówimy, że orien-


tacja układu wektorów a, b i c jest przeciwna do orientacji układu
współrzędnych.
Iloczyn wektorowy wektorów
Definicja 24 (iloczynu wektorowego).

Iloczynem wektorowym pary niezerowych i nierównoległych wektorów a


i b nazywamy wektor, ozn. a × b, o nastÄ™pujÄ…cych wÅ‚asnoÅ›ciach


1. dÅ‚ugość wektora a × b, ozn. |a × b|, jest równa iloczynowi dÅ‚ugoÅ›ci


wektorów a i b oraz sinusa kąta między tymi wektorami, tj.


|a × b| = |a| · |b| · sin "(a, b)


2. wektor a × b jest prostopadÅ‚y do wektorów a i b, tj. a × b Ä„" a i


a × b Ä„" b, skierowany w ten sposób, że orientacja trójki wektorów a,


b i a × b jest zgodna z orientacjÄ… przestrzeni, w której siÄ™ znajdujÄ….


Jeżeli wektory a i b są równoległe lub przynajmniej jeden z nich jest
wektorem zerowym to ich iloczyn wektorowy określamy jako wektor ze-
rowy.
Własności iloczynu wektorowego


1. a × b = -(b × a) (antyprzemienność)


2. a × (b + c) = a × b + a × c (rozdzielność wzglÄ™dem dodawania)


3. (Ä…a) × b = a × (Ä…b) = Ä…(a × b), Ä… " R


4. JeÅ›li a 0 i b 0, to a × b = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a b.
Wniosek 7.

W układzie ortokartezjańskim OXYZ iloczyn wektorowy wektorów a =

[ax, ay, az] i b = [bx, by, bz] wyraża się wzorem


i j k
ax ay az


a × b =


bx by bz
lub


a × b = [aybz - azby, azbx - axbz, axby - aybx]
Wniosek 8 (pole równoległoboku).


Pole równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b jest równe dłu-
gości ich iloczynu wektorowego, tj.


Prown = |a × b|
Wniosek 9 (pole trójkąta).


Pole trójkąta zbudowanego na wektorach a i b jest równe połowie dłu-
gości ich iloczynu wektorowego, tj.
1


P = |a × b|
2
Iloczyn mieszany wektorów
Definicja 25 (iloczynu mieszanego).


Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów a, b i c, ozn.
symbolem abc, nazywamy liczbę równą iloczynowi skalarnemu wektora


a przez wektor równy iloczynowi wektorowemu b × c, tj.


a ć% (b × c)
Wniosek 10.
W ustalonym układzie ortokartezjańskim OXYZ iloczyn mieszany wekto-


rów a = [ax, ay, az], b = [bx, by, bz] i c = [cx, cy, cz] wyraża się wzorem


ax ay az
bx by bz


a ć% (b × c) =

cx cy cz
Własności iloczynu mieszanego


1. a ć% (b × c) = b ć% (c × a) = c ć% (a × b) (przemienność cykliczna)


2. a ć% (b × c) = -c ć% (b × a)
Twierdzenie 2.


Trzy wektory niezerowe a, b i c sÄ… koplanarne wtedy i tylko wtedy, gdy


ich iloczyn mieszany jest równy zero, tj. a ć% (b × c) = 0, co zapisujemy
za pomocÄ… warunku


ax ay az
bx by bz = 0

cx cy cz
Wniosek 11 (objętość równoległościanu).


Objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach a, b i c jest równa
wartości bezwzględnej z iloczynu mieszanego tych wektorów, tj.
Vrown = |abc|
Wniosek 12 (objętość czworościanu).


Objętość czworościanu rozpiętego na wektorach a, b i c jest równa jednej
szóstej wartości bezwzględnej z iloczynu mieszanego tych wektorów, tj.
1
Vczwor = |abc|
6