Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ Rachunek wektorowy 1
Zestaw 12. Rachunek wektorowy.
" Iloczyny wektorów
Niech v1 = [x1, y1, z1], v2 = [x2, y2, z2], v3 = [x3, y3, z3]

iloczyn skalarny: v1 · v2 = |v1| · |v2| · cos( "(v1, v2)) = x1x2 + y1y2 + z1z2

Przez iloczyn skalarny można wyrazić kosinus kąta między danymi wektorami. Dwa wektory są prosto-
padłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny wynosi zero.



i j k

y1 z1 x1 z1 x1 y1

iloczyn wektorowy: v1 × v2 = x1 y1 z1 = , - ,


y2 z2 x2 z2 x2 y2

x2 y2 z2
dÅ‚ugość iloczynu wektorowego |v1 × v2| = |v1| · |v2| · sin( "(v1, v2)), tzn. dÅ‚ugość ta jest równa polu równo-

ległoboku rozpiętego na wektorach v1 i v2;

v1 × v2Ä„"v1, v2; orientacja ukÅ‚adu (v1, v2, v1 × v2) jest zgodna z orientacjÄ… ukÅ‚adu (i, j, k) tzn. ukÅ‚adu

jednostkowych wektorów na osiach współrzędnych


x1 y1 z1


iloczyn mieszany: [v1v2v3] = v1 · (v2 × v3) = v2 · (v3 × v1) = v3 · (v1 × v2) = x2 y2 z2



x3 y3 z3
" Dwa wektory są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współrzędne są proporcjonalne.
1. Sprawdzić, czy punkty: A, B, C leżą na jednej prostej.
a) A(-1, 1, 1), B(2, 1, 0) i C(0, 1, 0)
b) A(0, 2, -1), B(-2, 4, 1) i C(1, 1, -2)
2. Wykazać, że współrzędne środka odcinka są średnimi arytmetycznymi współrzędnych jego końców.
"
3. Dany jest trójkąt o wierzchołkach A(-1, 0), B(3, 0) i C(2, 3). Wyznaczyć kąty tego trójkąta.
4. Znalez
ć kąty wewnętrzne trójkąta o wierzchołkach: A(2, -1, 3), B(1, 1, 1) i C(0, 0, 5).
5. Sprawdzić, czy trójkąt o wierzchołkach A(3, 2, 1), B(-1, 6, 5) i C(5, 3, 2) jest prostokątny.
6. Obliczyć pole trójkąta "ABC, jeśli A(0, 0, 2), B(2, 1, 1) i C(-1, 1, 0).
7. Znalez
ć objętość czworościanu o wierzchołkach A(2, 0, 1), B(1, 3, 2), C(-1, 2, 0) i D(2, 3, 8).
- - -
- -
8. Obliczyć objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach: AB = [0, 0, 1], AC = [-1, 2, 3] i AD = [2, 5, -1].
9. Znalez
ć wektor wiedząc, że jest on prostopadły do wektorów: = [1, 2, -3] i w = [-1, 4, 2] oraz że
u, v
· [4, 5, 1] = -150.
u
10. Wektor = [3, -2, 1] przedstawić w postaci sumy dwóch wektorów, z których jeden jest prostopadły, a
a

drugi równoległy do wektora b = [-1, 4, 5].
" " " " "

11. Obliczyć długość rzutu prostokątnego wektora = [ 2, 3, - 5] na wektor b = [- 8, 0, 5].
a
- - -
- -
12. Sprawdzić, czy wektory AB = [-1, 3, -5], AC = [1, -1, 1] i AD = [4, -2, 0] są współpłaszczyznowe

13. Wektory i b tworzą dwa sąsiednie boki trójkąta. Wyrazić środkowe tego trójkąta przez wektory i b.
a a