5. RACHUNEK WEKTOROWY
Def.5.1
Przestrzeń R3 - zbiór wszystkich uporządkowanych trójek (x, y, z) liczb rzeczywistych, tj.
R3 =� (x, y, z) : x, y, z ��R .
{� }�
Interpretacja geometryczna przestrzeni R3
Przestrzeń R3 interpretujemy jako:
1.zbiór wszystkich punktów P(x, y, z) w przestrzeni.
Elementy przestrzeni R3 nazywamy punktami i oznaczamy
dużymi literami alfabetu tj. A, B, C, P, Q itd.
Liczby x, y, z nazywamy wtedy współrzędnymi punktu P(x, y, z) .
��
2. zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w przestrzeni.
a =� OP
Wektory te mają wspólny początek O(0,0,0) , a końce w punktach
��
P(x, y, z) . Wektor nazywamy wektorem wodzącym punktu P.
OP
W tej interpretacji elementy przestrzeni R3 nazywamy wektorami
i oznaczamy przez a, b, c, u, v, w
itd.
Liczby x, y, z nazywamy współrzędnymi wektora .
a
3.zbiór wszystkich wektorów swobodnych w przestrzeni. Przez
wektor swobody rozumiemy zbiór wszystkich wektorów
u
zaczepionych w różnych punktach, które mają ten sam kierunek,
zwrot oraz długość co wektor .
u
W tej interpretacji elementy przestrzeni R3 także nazywamy
wektorami.
Def.5.2
Ortokartezjańskim układem współrzędnych w przestrzeni, który oznaczamy symbolem OXYZ nazywamy trzy
wzajemnie prostopadłe proste x, y, z przecinające się w jednym punkcie 0(0,0,0). Proste OX, OY, OZ nazywamy
osiami, a płaszczyzny OXY, OXZ, OYZ płaszczyznami układu współrzędnych.
Def.5.3
W zależności od wzajemnego położenia osi OX, OY, OZ układu współrzędnych wyróżniamy dwie jego orientacje:
układ prawoskrętny i układ lewoskrętny.
Układ prawoskrętny Układ lewoskrętny
1
Def.5.4
P1(x1, y1, z1) , P2(x2, y2, z2) - dwa dowolne punkty przestrzeni R3
Długość odcinka PP2 , określa wzór:
1
P1P2 =� (x2 -� x1)2 +� (y2 -� y1)2 +� (z2 -� z1)2 .
Def.5.5
Wektorem o początku w punkcie P(x1, y1, z1) i końcu w punkcie P2(x2, y2, z2) nazywamy uporządkowaną parę
1
��
punktów P1 i P2 wyznaczającą w danej przestrzeni odcinek skierowany. Wektor taki oznaczamy PP2 .
1
Def.5.6
��
Współrzędnymi (lub składowymi) wektora a =� P1P2 o początku w punkcie P1(x1, y1, z1) i końcu w punkcie
P2(x2, y2, z2) nazywamy liczby:
ax =� x2 -� x1, ay =� y2 -� y1, az =� z2 -� z1,
co zapisujemy
�� ��
��ł�
P1P2 =� x2 -� x1, y2 -� y1, z2 -� z1 lub P1P2 =� ax, ay , az ��
[� ]�
��
.
Def.5.7
Wektor zerowy - wektor, którego koniec pokrywa się z jego początkiem. Wektor zerowy oznaczamy symbolem
r�
0 . Współrzędne wektora zerowego przedstawiają się następująco: 0 =� [�0, 0,0]�.
Def.5.8
��
Długością wektora PP2 nazywamy odległość punktów P1 i P2:
1
�� ��
P1P2 =� (x2 -� x1)2 +� (y2 -� y1)2 +� (z2 -� z1)2 P1P2 =� ax2 +� ay2 +� az2
lub
Def.5.9
Wektorem jednostkowym nazywamy wektor, którego długość jest równa jednostce długości.
Def.5.10
Wektory i =� 1, 0, 0 , j =� 0, 1, 0 , k =� 0, 0, 1 nazywamy wersorami osi układu współrzędnych, odpowiednio
[� ]� [� ]� [� ]�
osi OX, OY, OZ.
Def.5.11
Punkty A, B, C przestrzeni R3 są współliniowe, gdy
istnieje prosta, do której należą te punkty
Def.5.12
Punkty K, L, M, N przestrzeni R3 są
współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, do
której należą te punkty.
Def.5.13
Dwa wektory �� , nazywamy równymi, jeśli
a =� ay, az �� b =� by, bz ��
��ax, ł� ��
��bx, ł�
a =� b �� ax =� bx Ł� ay =� by Ł� az =� bz
2
Def.5.14
Działania na wektorach:
�� , , - wektory, a� ��R
a =� ay, az �� b =� by, bz �� c =� cy, cz ��
��ax, ł� �� ��cx, ł�
��bx, ł� ��
1. Suma wektorów ��ł�
c =� a +� b �� c =� +� bx, ay +� by, az +� bz ��
��ax
2. Iloczyn wektora a przez liczbę rzeczywistą (skalar) a� c =� a� a �� c =� ax, a� ay , a� az ��
��ł�
��a�
3. Różnica wektorów: ��ł�
c =� a -�b �� c =� -� bx, ay -� by, az -� bz ��
��ax
Własności działań na wektorach:
a, b, c - wektory w R3 , a�, b� ��R .
1. a +� b =� b +� a {przemienność dodawania wektorów}
2. a +� (b +� c) =� (a +� b) +� c {łączność dodawania wektorów}
3. a +� 0 =� a (element neutralny dodawania}
4. {element przeciwny}
a +� -�a =� 0
(� )�
5. (a� b�)a =�a� (b� a)
6. (a� +� b�)a =�a� a +� b� a
7. a� (a +� b) =�a� a +�a� b
Własności długości wektora:
a, b - wektoramy w R3 a� ��R .
,
1. a ł� 0 , przy czym a =� 0 �� a =� 0
2. a� a =� a� �� a
3. a +� b Ł� a +� b {nierówność trójkąta}
4. a -� b Ł� a -� b .
Def.5.15
Kombinacją liniową wektorów ai , gdzie i =�1, 2,..., n nazywamy wektor:
n
��l� ai =� l�1a1 +� l�2a2 +� ... +�l�nan ,
i
i=�1
gdzie l�i ��R , i =�1, 2,..., n .
Def.5.16
Wektory ai , i =�1, 2,..., n nazywamy liniowo zależnymi, jeżeli istnieje n stałych l�i nierównych jednocześnie
n n
2
zeru (tj. ą� 0 ) takich, że: ai =� 0
��l� ��l�
i i
i=�1 i=�1
Dla liniowo niezależnych wektorów ai , i =�1, 2,..., n zachodzi implikacja:
n
��
ai =� 0�� �� l�i =� 0, i =�1, 2, ... , n
(� )�
��l�i
��
Ł� i=�1 ł�
3
Def.5.17
Wektory, które nie są liniowo zależne nazywamy liniowo niezależnymi.
Def.5.18
Dwa wektory a i b liniowo zależne nazywamy wektorami współliniowymi (lub kolinearnymi).
Mówimy, że wektory a i b są współliniowe, gdy istnieje
prosta, w której zawarte są te wektory
Def.5.19
Dwa niezerowe wektory współliniowe (kolinearne) a i b nazywamy wektorami równoległymi.
Piszemy wtedy a b .
Def.5.20
Niech �� , będą niezerowymi wektorami.
a =� ay, az �� b =� by, bz ��
��ax, ł� ��
��bx, ł�
Warunkiem koniecznym i wystarczającym równoległości wektorów a i b jest zależność:
ax ay az
��ł�
ax ay az
rz =�1 lub =� =�
ę�b by bz ś�
bx by bz
x
����
Def.5.21
Trzy wektory u, v, w liniowo zależne nazywamy wektorami współpłaszczyznowymi (lub komplanarnymi).
Mówimy, że wektory u, v, w są
współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, w
której zawarte są te wektory
Tw.5.1
��
Trzy wektory u =� uy , uz ��, v =� vy, vz ��, w =� wy , wz �� są komplanarne (współpłaszczyznowe)
��ux, ł� �� ��wx, ł�
��vx, ł� ��
wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:
ux uy uz
vx vy vz =� 0 .
wx wy wz
ILOCZYN SKALARNY
Def.5.22
Niech i v będą dowolnymi wektorami w R3 . Iloczynem skalarnym u v dwóch wektorów i v nazywamy
u u
liczbę określoną wzorem:
��
u �� v �� cosj� u ą� 0 Ł� v ą� 0
��
u v =� ,
��
u =� 0 �� v =� 0
��
��0
gdzie j� jest miarą kąta między wektorami i v .
u
4
u v
Kosinus kąta między niezerowymi wektorami i v wyraża się wzorem: cosj� =� .
u
u �� v
Def.5.23
Wektory i v nazywamy wektorami ortogonalnymi, jeśli u v =� 0
u
Tw.5.2
Niezerowe wektory i v są prostopadłe, co zapisujemy u ^� v , wtedy i tylko wtedy, gdy są ortogonalne.
u
u ^� v �� u v =� 0.
Wzór na obliczanie iloczynu skalarnego
��
Iloczyn skalarny wektorów u =� uy, uz ��, v =� vy , vz �� jest równy sumie iloczynów odpowiednich
��ux, ł� ��
��vx, ł�
współrzędnych tych wektorów, tzn.:
u v =� uxvx +� uyvy +� uzvz
Własności iloczynu skalarnego:
u, v, w - dowolne wektory w R3 , a� ��R
1. u v =� v u
2. u +� v w =� u w +� v w
(� )�
3. a� u v =� a� u v
(� )� (� )�
2
4. u u =� u
5. u v Ł� u �� v .
ILOCZYN WEKTOROWY
Def.5.24
Niech i v będą dowolnymi niewspółliniowymi i niezerowymi wektorami w R3 . Iloczynem wektorowym u �� v
u
uporządkowanej pary wektorów i v nazywamy taki wektor w =� u ��v , który spełnia warunki:
u
1. wektor w jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach i v ,
u
2. długość wektora w jest równa iloczynowi długości wektorów i v i sinusa kąta między nimi, tj.
u
w =� u �� v ��sinj� ,
gdzie j� jest miarą kąta między wektorami i v ,
u
3. zwrot wektora w jest tak dobrany, by uporządkowana trójka wektorów u, v, w miała orientację zgodną z
przyjętą orientacją przestrzeni.
Jeżeli jeden z wektorów i v jest wektorem zerowym
u
lub wektory te są współliniowe, to przyjmujemy, że:
u ��v =� 0
u �� v
Sinus kąta między niezerowymi wektorami i v wyraża się wzorem: sinj� =� .
u
u �� v
5
Własności iloczynu wektorowego:
u, v, w - dowolne wektory w R3 , a� ��R
1. u ��v =� -� v ��u
(� )�
2. u +� v �� w =� u �� w +� v �� w
(� )�
3. u ��(v +� w) =� u ��v +� u �� w
4. a� u ��v =� a� u ��v
(� )� (� )�
5. u ��v Ł� u �� v - (równość jest możliwa tylko wtedy, gdy wektory i v są prostopadłe)
u
6. u ��v =� 0 �� u v
Wzór na obliczanie iloczynu wektorowego
��
u =� uy, uz ��, v =� vy , vz �� - dowolne wektory w R3
��ux, ł� ��
��vx, ł�
Iloczyn wektorowy tych wektorów wyraża się wzorem:
i j k
�� uy uz ux uy ł�
ux uz
u �� v =� , -� , lub u �� v =� ux uy uz ,
ę�
vy vz vx vy ś�
vx vz
��
����
vx vy vz
gdzie oznaczają wersory odpowiednio na osiach OX, OY, OZ.
i , j, k
Interpretacja geometryczna:
�� ��
1. Pole równoległoboku rozpiętego na wektorach AB i AC jest równe
�� ��
S =� AB�� AC
�� ��
2. Pole trójkąta rozpiętego na wektorach AB i AC jest równe połowie pola równoległoboku rozpiętego na tych
wektorach, czyli:
�� ��
1
SD�ABC =� AB�� AC
2
3. Pole równoległoboku o przekątnych p, q wyraża się wzorem:
1
S =� p �� q .
2
ILOCZYN MIESZANY
Def.5.25
��
Niech u =� uy , uz ��, v =� vy , vz ��, w =� wy, wz �� będą dowolnymi wektorami w R3 .
��ux, ł� �� ��wx, ł�
��vx, ł� ��
Iloczynem mieszanym u, v, w uporządowanej trójki wektorów u, v, w nazywamy liczbę określoną wzorem:
u, v, w =� u ��v w .
(� )� (� )�
ux uy uz
Wzór na obliczanie iloczynu mieszanego: (u, v, w) =� vx vy vz .
wx wy wz
6
Własności iloczynu mieszanego:
u, v, w, r - wektory w R3 , a� ��R
1. (u, v, w) =� (w, u, v) =� (v, w, u)
2. (u, v, w) =� -�(v, u, w) =� -�(u, w, v)
3. (u +� r, v, w) =� (u, v, w) +� (r, v, w)
4. (a� u, v,w) =�a� (u, v, w)
5. (u, v, w) Ł� u �� v �� w (równość jest możliwa tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z wektorów u, v, w jest
zerowy albo, gdy te wektory są wzajemnie prostopadłe)
6. (u, v, w) =� 0 �� u, v, w są komplanarne (współpłaszczyznowe).
Interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego wektorów:
1. Objętości równoległościanu V rozpiętego na trzech wektorach jest równa
V =� u, v, w
(� )�
2. Objętość czworościanu Vc rozpiętego na wektorach u, v, w jest równa
1
Vc =� u, v, w .
(� )�
6
W szczególności, jeśli dane są wierzchołki tego czworościanu: P1(x1, y1, z1) , P2(x2, y2, z2) , P3(x3, y3, z3) ,
P4(x4, y4, z4) to jego objętość wyraża się wzorem:
x1 y1 z1 1
��ł�
��
x2 y2 z2 1
1
.
��
Vc =� det
��
6 x3 y3 z3 1
��
x4 y4 z4 1
����
7