KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI
Próbna Matura z OPERONEM
Matematyka
Poziom rozszerzony
Listopad 2013
W niniejszym schemacie oceniania zadań otwartych są prezentowane przykładowe poprawne odpowiedzi.
W tego typu zadaniach należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są inaczej sformułowane, ale ich sens
jest zgodny z podanym schematem, oraz inne poprawne odpowiedzi w nim nieprzewidziane.
Numer
Modelowe etapy rozwiązywania zadania Liczba punktów
zadania
1.
Postęp: 1 pkt
zapisanie tylko warunków: x1·x2 > 0 i x1 + x2 > 0
Istotny postęp: 2 pkt
zapisanie warunków: D > 0 i x1·x2 > 0 i x1 + x2 > 0
Pokonanie zasadniczych trudności: 3 pkt
zastosowanie wzorów Viete a i wyznaczenie:
D = 12m2 +5, x1·x2 = m4 +1, x1 + x2 = 2m2 +3
Rozwiązanie bezbłędne: 4 pkt
zauważenie, że wszystkie warunki
D = 12m2 +5 > 0, x1·x2 = m4 +1> 0, x1 + x2 = 2m2 +3 > 0
zachodzÄ… dla m Î R
2. Istotny postęp: 2 pkt (po 1 pkt za
poprawne narysowanie każdej części wykresu, niekoniecznie uwzględ- każdą część)
niajÄ…c dziedzinÄ™
Pokonanie zasadniczych trudności: 3 pkt
sporządzenie całego wykresu funkcji y = f x
( )
y
4
3
2
1
0
x
 6  5  4  3  2  1 1 2 3 4 5 6 7 8
 1
 2
 3
Rozwiązanie bezbłędne: 5 pkt (4 pkt, jeśli po-
zapisanie pełniono jeden błąd)
0 rozwiązań dla m " 0 ,
(-", )
1 rozwiÄ…znie dla m " 4, + " ,
( )
2 rozwiÄ…zania dla m " 0, 4 ,
{ }
3 rozwiÄ…zania dla m " 2, 4 ,
)
4 rozwiÄ…zania dla m " 0, 2 .
( )
1
www.operon.pl
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer
Modelowe etapy rozwiązywania zadania Liczba punktów
zadania
3. Postęp: 1 pkt
2
zapisanie: W x = 2 x -1 x +2
( ) ( ) ( )
Istotny postęp: 2 pkt
uporządkowanie postaci iloczynowej i porównanie:
2x3 + ax2 + bx + c = 2x3 -6x + 4
wyznaczenie: a = 0, b =-6, c = 4
Pokonanie zasadniczych trudności: 3 pkt
zapisanie wielomianu:
W x +1 = 2x3 + 6x2
( )
Rozwiązanie bezbłędne: 4 pkt
rozwiązanie nierówności i zapisanie zbioru rozwiązań: )
(-",-3
4. Postęp: 1 pkt
zapisanie: a3 - b3 = a - b a2 + ab + b2
( )
()
Pokonanie zasadniczych trudności: 2 pkt
2
przekształcenie drugiego czynnika: a3 - b3 = a - b a + b - ab
( ) ( )
()
Rozwiązanie bezbłędne: 3 pkt
2
stwierdzenie na podstawie założenia, że jeżeli liczby a + b i ab są
( )
podzielne przez k, to ich różnica jest podzielna przez k oraz a - b jest
liczbą całkowitą
lub zapisanie:
2
a3 - b3 = a - b a + b - ab a - b k2p2 - kq = k a - b kp2 - q , gdzie
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
()=
p i q są liczbami całkowitymi oraz a - b i kp2 - q są liczbami całkowitymi
5. Postęp: 1 pkt
Å„Å‚
ôÅ‚ 1 x +1> 0
( )
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 2 log1 x +1 > 0
( ) ( )
zapisanie warunków:
òÅ‚
ôÅ‚ 3
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
3 log2 ìÅ‚log1 x +1 e" 0
( ) ( )÷Å‚
÷Å‚
ôÅ‚
ìÅ‚
÷Å‚
ôÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚ 3
ół
Pokonanie zasadniczych trudności: 3 pkt (2 pkt,
rozwiązanie jednego z warunków (2) lub (3) jeśli rozwiązano
(2) log1 x +1 > log1 1Ô! 0 < x +1<1Ô! -1< x < 0 jeden warunek)
( )
3 3
1 2
(3) log1 x +1 e"1Ô! 0 < x +1d" Ô! -1< x d"-
( )
3 3
3
Rozwiązanie bezbłędne: 4 pkt
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚x >-1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
rozwiązanie układu wszystkich warunków x < 0 i zapisanie:
òÅ‚-1<
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 2
ôÅ‚
ôÅ‚-1< x d"-
ôÅ‚
3
ôÅ‚
ół
ëÅ‚
2
ìÅ‚
D = -
ìÅ‚-1,
ìÅ‚
ìÅ‚
íÅ‚ 3
2
www.operon.pl
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer
Modelowe etapy rozwiązywania zadania Liczba punktów
zadania
6. Istotny postęp: 2 pkt (1 pkt, jeśli
zapisanie: bn+1 = 5an+1 = 5an +r = 5an Å"5r = bn Å"5r, n " N+ i 5r  liczba niewyjaÅ›niono,
że 5rjest liczbą)
Pokonanie zasadniczych trudności: 3 pkt
zapisanie: b1 Å" b2 Å" b3 Å"...Å" bn = 5a1+a2+...+an
Rozwiązanie prawie całkowite: 4 pkt
zastosowanie wzorów na n-tą sumę częściową
Rozwiązanie bezbłędne: 5 pkt
3n2-n
2
wyznaczenie b1 Å" b2 Å" b3 Å"& Å" bn = 5
7. Postęp: 1 pkt
zapisanie alternatywy układów:
Å„Å‚cos x e" 0 Å„Å‚cos x < 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚2sin x cos x = 1 lub òÅ‚ x cos x = 1
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚-2sin
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ 2 ôÅ‚ 2
ół ół
Istotny postęp: 2 pkt
zastosowanie wzoru na sin2x
Å„Å‚cos x e" 0 Å„Å‚cos x < 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚
1
ôÅ‚sin2x = 1 lub òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚-sin2x =
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ 2 ôÅ‚ 2
ół ół
Pokonanie zasadniczych trudności: 3 pkt
rozwiązanie równań dla x Π0, 2p :
1
sin2x =
2
p 5p 13p 17p
x = lub x = , lub x = , lub x =
12 12 12 12
1
sin2x =-
2
7p 11p 19p 23p
x = lub x = , lub x = ,lub x =
12 12 12 12
Rozwiązanie prawie całkowite: 4 pkt
poprawne rozwiązanie każdego z układów:
Å„Å‚cos x e" 0 Å„Å‚cos x < 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚
Å„Å‚
òÅ‚ p 5p 13p 17püÅ‚ ôÅ‚ Å„Å‚7p 11p 19p 23püÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ lub ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚x " òÅ‚ , 12 , 12 , 12 żł ôÅ‚ " òÅ‚ , 12 , 12 , 12 żł
ôÅ‚x ôÅ‚12
ôÅ‚ ôÅ‚12 ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ þÅ‚
ôÅ‚ ół ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ół ôÅ‚ ół þÅ‚
ół
Å„Å‚ Å„Å‚7p 11püÅ‚
p 5püÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
x " , lub x " ,
òÅ‚ żł òÅ‚ żł
ôÅ‚12 12ôÅ‚ ôÅ‚12 12 ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚ ół þÅ‚
Rozwiązanie bezbłędne: 5 pkt
zapisanie rozwiÄ…zania
Å„Å‚
ôÅ‚ p 5p 7p 11püÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x " , , ,
òÅ‚
ôÅ‚12 12 12 12 żł
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
3
www.operon.pl
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer
Modelowe etapy rozwiązywania zadania Liczba punktów
zadania
8. Postęp: 1 pkt
wykonanie rysunku
k
N
M
R
r
P a
A B
lub opis oznaczeń:
P  punkt przecięcia prostej k z prostą AB
M  punkt styczności o A, r z prostą k
( )
( )
N  punkt styczności o B, R z prostą k
Istotny postęp: 2 pkt
zastosowanie twierdzenia Talesa:
BN AM
R r
= , = , gdzie AP = a
BP AP R + r + a a
Pokonanie zasadniczych trudności: 3 pkt
R + r r
( )
wyznaczenie AP = a =
R - r
Rozwiązanie bezbłędne: 4 pkt
r R - r
wyznaczenie z trójkąta AMP: sina = =
AP R + r
9. Postęp: 1 pkt
oznaczenie wierzchołków trójkąta: A = xA, yA , B = xB, yB , C = xC, yC
( ) ( ) ( )
i wykorzystanie wzoru na współrzędne środka odcinka:
ëÅ‚
xA + xB yA + yB öÅ‚ ëÅ‚ xB + xC yB + yC öÅ‚ ëÅ‚ xA + xC yA + yC öÅ‚
+
÷Å‚ ÷Å‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ìÅ‚ ìÅ‚
K = , ÷Å‚
ìÅ‚
÷Å‚, L = ìÅ‚ , 2 ÷Å‚ i M = ìÅ‚ , 2 ÷Å‚
÷Å‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ 2 2 2 Å‚Å‚ íÅ‚ 2 Å‚Å‚
Å‚Å‚ íÅ‚
Istotny postęp: 2 pkt
zapisanie odpowiednich układów równań:
Å„Å‚
ôÅ‚ xA + xB Å„Å‚yA yB
ôÅ‚ +
ôÅ‚ ôÅ‚
= 2 = 2
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
2 2
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚yB + yC
xB + xC ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ C
=-2 i = 1
òÅ‚ òÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
2 2
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚yA + yC
xA + xC ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ =-1 ôÅ‚ =-1
ôÅ‚ ôÅ‚
2 2
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
Pokonanie zasadniczych trudności: 3 pkt
rozwiązanie układów równań i zapisanie współrzędnych punktów:
A = 3, 0 , B = 1, 4 , C = -2
( ) ( ) (-5, )
Rozwiązanie bezbłędne: 4 pkt
wyznaczenie obrazów punktów A, B, C symetrii środkowej względem
2 2 2
początku układu współrzędnych A = 0 , B = - 4 , C = 5, 2
(-3, ) (-1, ) ( )
4
www.operon.pl
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer
Modelowe etapy rozwiązywania zadania Liczba punktów
zadania
10. Postęp: 1 pkt
zastosowanie twierdzenia sinusów do trójkąta ABC i obliczenie
3
sin SðABC =
( )
5
Istotny potęp: 2 pkt
4
obliczenie cos SðABC = , SðABC  kÄ…t ostry
( )
5
Pokonanie zasadniczych trudności: 3 pkt
zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta ABK
2 4
AK = 102 +22 -2Å"2Å"10Å"
5
Rozwiązanie bezbłędne: 4 pkt
obliczenie AK = 6 2
11. Postęp: 1 pkt
obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania z zielonego pudełka
5 zł oraz 2 zł
2 1
P B1 = P B2 =
( ) ( )
3 3
Istotny postęp: 2 pkt
obliczenie prawdopodobieństw przy losowaniu z białego pudełka
ëÅ‚3öÅ‚ëÅ‚3öÅ‚ ëÅ‚2öÅ‚ëÅ‚4öÅ‚
÷Å‚ ÷Å‚ ÷Å‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ìÅ‚ ìÅ‚ ìÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚
÷Å‚ìÅ‚1÷Å‚ ÷Å‚ìÅ‚1÷Å‚
ìÅ‚1÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚ 3 ìÅ‚1÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚ 8
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
p1 = = p2 = =
ëÅ‚6öÅ‚ ëÅ‚6öÅ‚
5 15
÷Å‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ìÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚
÷Å‚ ÷Å‚
ìÅ‚2÷Å‚ ìÅ‚2÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Pokonanie zasadniczych trudności: 3 pkt
narysowanie drzewka i podpisanie odpowiednich gałęzi
2 1
 
3 3
5 zł 2 zł
3 8
 
5 15
7 zł inna kwota 7 zł inna kwota
Uwaga:
Jeżeli uczeń od razu narysował drzewko odpowiadające opisanej w za-
daniu sytuacji i poprawnie wpisał prawdopodobieństwa na potrzebnych
gałęziach, to również otrzymuje 3 pkt.
Rozwiązanie bezbłędne: 4 pkt
2 3 1 8 26
obliczenie: Å" + Å" =
3 5 3 15 45
5
www.operon.pl
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer
Modelowe etapy rozwiązywania zadania Liczba punktów
zadania
12. Postęp: 1 pkt
sporzÄ…dzenie poprawnego rysunku z oznaczeniami:
OW  wysokość bryły, LW  wysokość trójkąta powstałego w przekroju
W
h
H
D
C
K
a P
O
L
A B
M
lub opisanie oznaczeń bez rysunku i wyjaśnienie, że kąt a jest wyznaczo-
ny przez wysokość przekroju i przekątną podstawy
Istotny postęp: 2 pkt
a 2
wyznaczenie długości odcinka OL: OL =
4
Pokonanie zasadniczych trudności: 3 pkt
wyznaczenie z trójkąta OLW długości wysokości ostrosłupa:
a 2
H = OW = Å" tga
4
Rozwiązanie bezbłędne: 4 pkt
a3 2
wyznaczenie objętości ostrosłupa: V = tga
12
6
www.operon.pl