5 matematyka cwiczenia I semestr


Materiały dydaktyczne
Matematyka
I Semestr
Ćwiczenia
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
1
Przedmiot: MATEMATYKA
Kierunek: Mechatronika
Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa
Rozkład zajęć w czasie studiów  Studia pierwszego stopnia
Liczba godzin Liczba godzin
Liczba tygodni Punkty
Semestr w tygodniu w semestrze
w semestrze kredytowe
W Ć L S Ł W Ć L S
I 15 2E 3   75 30 45   6
II 15 1 2   45 15 30   4
III 15 1E 2   45 15 30   5
Razem w czasie studiów 165 60 105   15
Związki z innymi przedmiotami:
 fizyka,
 mechanika techniczna,
 wytrzymałość materiałów,
 podstawy konstrukcji maszyn,
 elektrotechnika i elektronika,
 automatyka i robotyka,
 metrologia i systemy pomiarowe.
Zakres wiedzy do opanowania
Po wysłuchaniu wykładów przewidywanych programem oraz wykonaniu ćwiczeń student
powinien:
Znać



1) Definicje i podstawowe twierdzenia dotyczące zbioru liczb zespolonych, macierzy,
wyznaczników i układów równań liniowych.
2) Rachunek wektorowy, równania płaszczyzny i prostej w przestrzeni R3.
3) Definicje i podstawowe twierdzenia dotyczące wszechstronnego badania przebiegu
zmienności funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.
4) Podstawowe zagadnienia dotyczące rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych.
5) Podstawy rachunku całkowego (całka nieoznaczona, całka oznaczona, całki niewłaściwe,
całki wielokrotne i krzywoliniowe).
6) Kryteria zbieżności szeregów liczbowych, podstawowe twierdzenia dotyczące szeregów
funkcyjnych.
7) Sposoby rozwiązywania wybranych typów równań różniczkowych zwyczajnych
pierwszego i drugiego rzędu.
8) Elementy rachunku prawdopodobieństwa, podstawy statystyki matematycznej.
Umieć



Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
2
1) Wykonywać działania na liczbach zespolonych i macierzach, obliczać wyznaczniki oraz
rozwiązywać układy równań liniowych metodą macierzową, za pomocą wzorów Cramera
oraz w oparciu o twierdzenie Kroneckera-Capellego.
2) Przeprowadzać wszechstronne badanie funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.
3) Wyznaczać całki nieoznaczone, obliczać całki oznaczone, podwójne, potrójne
i krzywoliniowe, stosować rachunek całkowy w geometrii i przedmiotach technicznych.
4) Wyznaczać ekstrema lokalne i warunkowe funkcji wielu zmiennych, badać zbieżność
szeregów liczbowych i funkcyjnych, rozwijać funkcje w szereg Taylora.
5) Rozwiązywać wybrane typy równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych
pierwszego i drugiego rzędu.
6) Obliczać prawdopodobieństwo zdarzeń losowych, wyznaczać estymatory i przedziały
ufności, stosować testy statystyczne do weryfikacji hipotez statystycznych.
Treść zajęć dydaktycznych
Nr Liczba godzin
Tematy i ich rozwinięcie
tematu Razem W Ć L S
Semestr I
1. Elementy logiki matematycznej: wyznaczanie wartości 10  10  
logicznych zdań złożonych, sprawdzanie formuł rachunku
zdań metodą zerojedynkową, dowodzenie twierdzeń
klasycznego rachunku kwantyfikatorów.
Elementy teorii zbiorów: wykonywanie działań na zbiorach,
dowodzenie wybranych praw algebry zbiorów.
Algebra Boole a: dowodzenie twierdzeń algebry Boole a na
podstawie aksjomatów, przykłady realizacji algebry Boole a
(algebra zdań, algebra zbiorów).
2. Algebra wyższa: potęgowanie i pierwiastkowanie liczb 10  10  
zespolonych, rozwiązywanie równań algebraicznych w
zbiorze liczb zespolonych.
Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych:
wykonywanie działań na macierzach, obliczanie
wyznaczników, wyznaczanie macierzy odwrotnej,
rozwiązywanie układów równań liniowych metodą
macierzową i za pomocą wzorów Cramera.
3. Geometria analityczna w przestrzeni R3: obliczanie 5  5  
iloczynu skalarnego i mieszanego, wyznaczanie
współrzędnych iloczynu wektorowego, wyznaczanie równań
płaszczyzny i prostej, obliczanie odległości punktu od
płaszczyzny, punktu od prostej i prostej od prostej.
4. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 20  20  
rzeczywistej: obliczanie granic ciągów i granic funkcji,
badanie ciągłości funkcji, wyznaczanie pochodnych na
podstawie definicji i za pomocą reguł różniczkowania;
wyznaczanie ekstremów, przedziałów monotoniczności,
punktów przegięcia i przedziałów wypukłości i wklęsłości
funkcji; wyznaczanie asymptot, rozwijanie funkcji według
wzoru Taylora.
Razem 45 45  
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
3
I. Metody dydaktyczne
Przedmiot jest realizowany w formie wykładów i ćwiczeń rachunkowych na I i II roku
studiów. Pomoce dydaktyczne stanowią:
- literatura podstawowa i uzupełniająca do wykładów i ćwiczeń rachunkowych,
- dzienniczki studentów.
II. Forma i warunki zaliczenia przedmiotu
II-1. Forma i warunki zaliczenia ćwiczeń rachunkowych
- obecność studenta na ćwiczeniach,
- uzyskanie pozytywnych ocen z 2 sprawdzianów pisemnych w ciągu semestru
przeprowadzonych w terminach uzgodnionych ze studentami,
- zaliczenie z oceną.
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
4
CI 1 ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA ZBIORÓW. ALGEBRA BOOLE A.
1. Elementy logiki matematycznej
2. Algebra zbiorów
3. Algebra Boole a
Elementy logiki matematycznej
Rachunek zdań
Przykład
Sprawdzić metodą zero-jedynkową, że wyrażenie
[p '" (q (" r)] [(p '" q) (" (p '" r)] (prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy)
jest tautologią rachunku zdań.
Rozwiązanie
Dowód przedstawiono w postaci tabelarycznej
p q r
q (" r p '" q p '" r p '" (q (" (p '" q) (" (p '"
r) r)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 1 1 1
0 1 1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
1 1 0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Ponieważ wartości logiczne zdań podanych w dwóch ostatnich kolumnach są równe, więc
zdanie jest twierdzeniem rachunku zdań.
Algebra zbiorów
Przykład
W oparciu o prawa rachunku zdań udowodnić prawo de Morgana (A*" B)'= A')"B'.
Rozwiązanie
Niech U oznacza zbiór, którego podzbiorami są rozpatrywane zbiory.
a " (A *" B)2 ! a " (U - (A *" B)) ! a " U '" a " A *" B ! a " U '" (a " A '" '" a " B) !
(a " U '" a " A) '" (a " U '" a " B)!(a " A2 ) '" (a " B2 ) ! a " A2 )" B2 .
a " (A *" B) ! a " A '" a " B otrzymaliśmy z prawa de Morgana <" (p (" q) ! <" p '" <" q,
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
5
ponadto a " U '" (a " A '" a " B) ! (a " U '" a " A) '" (a " U '" a " B) otrzymaliśmy z
następującego prawa rachunku zdań p '" (q '" r) ! (p '" q) '" (p '" r).
Algebra Boole a
Przykład
W oparciu o aksjomaty algebry Boole a [WI 2] wykazać, że: x "1=1.
Rozwiązanie
Symbol Bk nad znakiem równości oznacza numer odpowiedniego aksjomatu.
Zadania
1. Udowodnić następujące prawa rachunku zdań:
a) [(1p q )(q)] 1p.
b) Sprawdzić czy następujące zdania są twierdzeniami rachunku zdań:
[( p (" q) '" ( p ! q)] ! (q ! p), ( p ! q) ! [( p '" q) ! p].
2. Za pomocą kwantyfikatorów i funktorów zdaniotwórczych zapisać wyrażenia:
a) Funkcja f ma dokładnie jedno miejsce zerowe,
b) Funkcja f jest funkcją malejącą.
3. Udowodnić prawa algebry zbiorów:
A )" (B *" C) = (A )" B) *" (A )" C), A *" (B )" C) = (A *" B) )" (A *" C).
4. Na podstawie aksjomatów algebry Boole a wykazać, że: .
Literatura: R. Roz. I, ż 1,2.
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
6
ZBIÓR LICZB ZESPOLONYCH
CI 2
1. Działania na liczbach zespolonych
2. Wzór de Moivre a
3. Pierwiastkowanie liczb zespolonych
4. Równania
Przykłady
1. Działania na liczbach zespolonych
z1
Obliczyć: z1 ą z2, z1 " z2 , (z2 `" 0), gdzie z1 = 2 + 3i, z25 - 4i.
z2
Rozwiązanie
z1 + z2 = (2 + 3i)+ (5 - 4i)= (2 + 5)+ (3 - 4)i = 7 - i
z1 - z2 = (2 + 3i)-(5 - 4i)= (2 - 5)+[3 -(- 4)]i = -3 + 7i
z1 " z2 = (2 + 3i)"(5 - 4i)= 10 - 8i +15i -12i2 =
=10 + 7i -12"(-1)= 22 + 7i
z1 z1 z2 2 + 3i 5 + 4i 10 + 8i +15i +12i2
= " = " = =
2
z2 z2 5 - 4i 5 + 4i
z2 52 -(4i)
10 + 23i +12"(-1) - 2 + 23i 2 23
= = = - + i
52 + 42 41 41 41
2. Liczbę z = 1- 3 przedstawić w postaci trygonometrycznej.
Rozwiązanie
Postać trygonometryczna liczby z = a + bi (z `" 0):
a
ńłcos = ,
ł
z
ł
z = a + bi = z (cos + isin), z = a2 + b2 ;
ł
b
ł
sin = .
z
ł
ół
2
a =1, b = - 3, z = 1+(i 3) = 2
1 Ą Ą 5
cos = cos(2Ą -ą)= cosą = ! ą = ,  = 2Ą - = Ą ,
2 3 3 3
5 5
łcos ł.
z =1- i 3 = 2 Ą + isin Ą
ł ł
3 3
ł łł
50
3. Obliczyć (1- i 3)
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
7
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru de Moivre a
n
(cos + isin) = cosn + isin
60
60
ł 5 5 łł 5 5
ł ł łcos60" Ą + isin 60" Ą ł
(1- i 3) = =
ł
ł2łcos 3Ą + isin 3Ą łśł = 260ł
3 3
ł łł ł łł
ł ł
260(cos100Ą + isin100Ą )= 260(cos50" 2Ą + isin 50" 2Ą )= 260(1+ 0"i)= 260.
3
4. Obliczyć - i .
Rozwiązanie
 + 2kĄ  + 2kĄ
ł ł
n
Korzystamy ze wzoru wk = z + isin k = 0, 1, ..., n -1.
łcos ł
ł łł
n n
3 3
Liczbę z = -i przedstawiamy w postaci trygonometrycznej: - i = cos Ą + isin Ą .
2 2
3 3
Ą + 2kĄ Ą + 2kĄ
2 2
wk = cos + isin , k = 0,1,2.
3 3
3 3
Ą + 2Ą Ą + 2Ą
Ą Ą Ą Ą 3 1
2 2
w0 = cos + isin = i, w1 = cos + isin = -cos - sin = - - i
2 2 3 3 6 6 2 2
3 1
w2 = - i .
2 2
5. Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równania:
a) z2 - 2z + 2 = 0 ; b) z2 - 3z + 3 + i = 0 .
Rozwiązanie
ńł- 2i,
a) Wyróżnik " = 4 -8 = -4 , " = - 4 = i2 4 =
ł
2i.
ół
Ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego mamy:
2 - 2i 2 + 2i
z1 = =1- i , z2 = =1+ i .
2 2
2
b) Wyróżnik " = (- 3) - 4(3 + i)= -3 - 4i .
2
" wyznaczamy korzystając z definicji pierwiastka stopnia drugiego ( " =  ! " =  )
2
Niech " = - 3 - 4i = x + yi (x, y " R). Wówczas - 3 - 4i = (x + yi) ,
- 3 - 4i = x2 - y2 + 2xyi ,
stąd otrzymuję układ równań
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
8
ńł - y2 = -3
x2
ł
2xy = -4.
ół
2
Wyznaczamy y = - z drugiego równania (x `" 0) i podstawiamy do pierwszego równania,
x
otrzymujemy równanie dwukwadratowe x4 + 3x2 - 4 = 0 .
2
Podstawiamy x2 = t i mamy równanie t + 3t - 4 = 0 , którego rozwiązania pierwiastkami są
t1 = -4 oraz t2 =1.
Stąd mamy x2 = -1 (równanie sprzeczne w zbiorze R ) oraz x2 = 1, więc x1 =1 lub x2 = -1,
y1 = -2 , y2 = 2.
1- 2i,
ńł
3 +1- 2i 4 - 2i
" = - 3 - 4i = = = 2 - i ,
ł-1+ 2i. Ostatecznie z1 =
2 2
ół
3 -1+ 2i 2 + 2i
z2 = = =1+ i .
2 2
Zadania
1. Przedstawić w postaci trygonometrycznej (bez pomocy tablic) następujące liczby
zespolone:
a) -1; b) - i ; c) -1-1; d) -1- i 3 .
2. Obliczyć pierwiastki trzeciego stopnia z następujących liczb zespolonych:
a) - i ; b) -1; c) 1+ i 3 .
3. Rozwiązać równania kwadratowe:
a) z2 + (2 + 2i)z + 3 - 2i = 0 ; b) z2 + (1+ 4i)z - 5 - i = 0 ; c) z2 + 2iz + i -1 = 0 .
4. Rozwiązać równania dwukwadratowe:
a) z4 - 2z2 + 4 = 0 ; b) z4 - 30z2 + 289 = 0 .
Odpowiedzi
3 3 5 5 2 2
ł ł
1. a) cosĄ + isinĄ ; b) cos Ą + isin Ą ; c) 2łcos Ą + isin Ą ; d) 2łcos Ą + isin Ą .
ł ł ł ł
2 2 4 4 3 3
ł łł ł łł
1 3 1 3 1 1 3 1 3
2. a) i, - i,- - i ; b) -1, - i, + i ;
2 2 2 2 2 2 2 2 2
6k +1 6k +1
łł,k
3
c) 2łcos Ą + isin Ą = 0,1,2.
ł śł
9 9
ł ł
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
9
2 2 - 2 2 2 + 2 3 ą i
3. a) i,- 2 - 3i ; b) 1- i,- 2 - 3i ; c) + i, - i . 4. a) ą ; b) ą 4,ą i .
2 2 2 2
2
Literatura: Z. Roz. I, ż 1.
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
10
CI 3 MACIERZE. DZIAAANIA NA MACIERZACH
1. Działania na macierzach
2. Wyznaczanie macierzy odwrotnej z definicji
Przykłady
2 3 1 1
ł łł ł - 2 0
łł
ł5 ł3 śł..
1. Dane są macierze A = 0 - 2śł, B = - 5 4
ł śł ł śł
ł -1 4
śł ł śł
ł6 ł ł2 0 - 6ł
T
Wyznaczyć: a) AT ; b) 5A; c) A + B ; d) A - B ; e) A" B ; f) B " A ; g) (AB) ; h) BT AT .
Rozwiązanie
Korzystamy z definicji działań na macierzach podanych w [WI 4]:
2 5 6 2 3 1 5" 2 5"3 5"1 10 15 5
ł łł ł łł ł łł ł łł
ł3 ł5 ł5"5 5"0 5"(-2)śł = ł25 0 -10śł ;
a) AT = 0 -1śł ; b) 5A = 5" 0 - 2śł =
ł śł ł śł ł śł ł śł
ł - 2 4
śł ł -1 4
śł ł
ł1 ł ł6 ł ł5"6 5"(-1) 5" 4 śł ł - 5 20 śł
ł ł30 ł
2 3 1 1 - 2 0 2 +1 3 + (-2) 1+ 0 3 1 1
ł łł ł łł ł łł ł łł
ł5 ł3 śł ł5 śł ł8 śł
c) A + B = 0 - 2śł + - 5 4 = + 3 0 + (-5) - 2 + 4 = - 5 2 ;
ł śł ł śł ł śł ł śł
ł -1 4
śł ł śł śł śł
ł6 ł ł2 0 - 6ł ł + 2 -1+ 0 4 + (-6)ł ł -1 - 2ł
ł6 ł8
2 3 1 1 - 2 0 2 -1 3- (-2) 1- 0 1 5 1
ł łł ł łł ł łł ł łł
ł5 ł3 śł ł5 śł ł2
d) A - B = 0 - 2śł - - 5 4 = - 3 0 - (-5) - 2 - 4 = 5 - 6śł;
ł śł ł śł ł śł ł śł
ł -1 4
śł ł śł śł
ł6 ł ł2 0 - 6ł ł - 2 -1- 0 4 - (-6)ł ł -1 10 śł
ł6 ł4 ł
e)
2 3 1 1 - 2 0
ł łł ł łł
ł5 śł
A" B = 0 - 2śł ł3 - 5 4 =
ł śł ł śł
ł -1 4
śł ł śł
ł6 ł ł2 0 - 6ł
2"1+ 3"3 +1" 2 2"(-2) + 3"(-5) 2"0 + 3" 4 +1"(-6) 13 -19 6
ł łł ł łł
ł5"1+ śł ł śł.
= 0"3 + (-2) " 2 5"(-2) + 0"(-5) + (-2) "0 5"0 + 0" 4 + (-2)(-6) = 1 -10 12
ł śł ł śł
ł śł śł
ł6"1+ (-1) "3 + 4" 2 6"(-2) + (-1) "(-5) + 4"0 6"0 + (-1) " 4 + 4"(-6)ł ł - 7 - 28ł
ł11
Analogicznie wyznaczamy
1
ł - 2 0 2 3 1 -8 3 5
łł ł łł ł łł
ł3 śł ł5 0 - 2śł ł śł.
f) B " A = - 5 4 5 5 29
ł śł ł śł ł śł
ł śł śł
ł2 0 - 6ł ł -1 4 śł ł- 32 12 - 20ł
ł6 ł ł
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
11
Przykład jest ilustracją tezy: mnożenie macierzy (na ogół) nie jest przemienne tzn. AB `" BA .
13 1 11
ł łł
T
ł-19 -10 - 7 śł
g) (AB) = ,
ł śł
ł śł
6 12 - 28ł
ł
1 3 2 2 5 6 2 + 9 + 2 5 - 4 6 - 3+ 8 13 1 11
ł łł ł łł ł łł ł łł
ł- śł ł3 0 -1śł = ł ł-19 -10 - 7 śł
h) BT " AT = 2 - 5 0 - 4 -15 -10 -12 + 5śł =
ł śł ł śł ł śł ł śł
ł śł ł śł ł śł ł śł
0 4 - 6ł ł1 - 2 4 12 - 6 12 - 4 - 24ł ł 6 12 - 28ł
ł ł ł
T
Przykłady g) i h) są więc ilustracją twierdzenia (AB) = BT AT .
2. Korzystając z definicji macierzy odwrotnej [WI 4] wyznaczyć macierz odwrotną do
macierzy
2
ł -1
łł
A = .
ł3 5 śł
ł ł
Rozwiązanie
x y 2
ł łł ł -1 x y 1 0
łł ł łł ł łł
Szukamy macierzy A-1 =
łt uśł takiej, że A" A-1 = J , czyli ł3 5 śł łt uśł = ł0 1śł ,
ł ł ł ł ł ł ł ł
5
ńł
x =
ł
13
2x - t =1
ł
5 1
1 ł łł
ł3x + 5t = 0 y =
2x
ł - t 2y - u 1 0 ł
łł ł łł
ł
13 13 13śł .
Stąd A-1 =
ł śł
ł3x + 5t 3y + 5uśł = ł0 1śł ! ł 2y - u = 0 ! 3 , stąd
3 2
ł ł ł ł
ł
t = - ł- śł
13 ł 13 13ł
ł3y + 5u =1
2
ł
u =
ł
ół 13
Zadania
1 0 3 0
ł łł ł -1 2 2 3 0
łł ł łł
ł- śł, ł3 ł-1
1. Dane są macierze: A = 2 5 1 B = 6 -1śł,C = 0 7śł .
ł śł ł śł ł śł
ł śł ł śł ł śł
0 4 - 6ł ł4 0 - 2ł ł 5 1 4ł
ł
Wykazać, że:
T
a) (A + B)+ C = A + (B + C); b) A(BC)= (AB)C ; c) (A + B) = AT + BT ;
T
d) (A + B)C = AB + BC ; e) A(B + C)= AB + AC ; f) (AB) = BT AT .
2. Wyznaczyć macierz X z równania:
2
ł - 23 4 - 6 2 1 3 - 3 4 3 7 3 2 0
łł ł łł ł łł ł łł ł łł ł łł ł łł
a) X = ; b)
ł0 8 śł ł2 1 śł ł3 2śł X = ł5 - 5śł ; c) ł7 5śł X ł2 1śł = ł0 3śł ;
ł ł ł ł ł ł ł ł ł ł ł ł ł ł
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
12
1 2
ł łł
ł3 6 śł
ł śł
d) X = [11-15]
ł -1
śł
5
ł śł
ł1 - 3ł
Odpowiedzi:
2 5 1
ł łł ł -1
łł ł- 28 93
łł
2. a) ; d) [1 -1 2 3].
ł1 3śł ; b) ł1 -1śł ; c) ł
38 -126śł
ł ł ł ł ł ł
Literatura: P1. Roz. I, ż 1.1., 1.3.; P2. Roz. I.
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
13
CI 4 WYZNACZNIKI, MACIERZE CD.
1. Wyznaczniki
2. Macierz odwrotna
3. Rząd macierzy
Przykłady
1. Wyznaczniki
5 - 3 11
1. Na podstawie definicji [WI 5] obliczyć wyznacznik detA= 2 - 9 5 .
1 - 4 -12
5 - 3 11
- 9 5 2 5 2 - 9
det A = 2 - 9 5 = 5"(-1)2 + (-3)(-1)3 +11"(-1)4 =
- 4 -12 1 -12 1 - 4
1 -14 -12
= 5"128 + 3"(-29) +11"1 = 564.
1 - 2 3 4
3 4 6 7
2. Obliczyć wyznacznik .
5 -1 2 4
8 7 1 5
Rozwiązanie
Z podanych w [WI 5] własności wyznacznika wynika, że wartość wyznacznika nie zmieni się,
gdy do dowolnego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez
liczbę.
Możemy np. uzyskać trzy zera w pierwszym wierszu mnożąc odpowiednio kolumny pierwszej
przez 2, -3, -4 i dodając do kolumn drugiej, trzeciej i czwartej.
1 - 2 3 4 1 0 0 0
10 - 3 - 5
3 4 6 7 3 10 - 3 - 5
2
*
= =1" A11 =1"(-1) " A11 = A11 = 9 -13 -16 = -255
5 -1 2 4 5 9 -13 -16
23 - 23 - 27
8 7 1 5 8 23 - 23 - 27
(Metoda Sarrusa)
0 3 -1 2 0 -1
ł łł ł łł
ł śł, ł-1 śł
3. Dane są macierze: A = 1 - 2 1 B = 3 1
ł śł ł śł
ł-1 2 3 1
śł ł - 3 4
śł
ł ł ł ł
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
14
Sprawdzić, że det( A" B) = det A"det B (twierdzenie Cauchy ego).
Rozwiązanie
0 3 -1 2 0 -1 4 12 -1
ł łł ł łł ł- - 4 12 -1
łł
ł śł ł-1 3 1 śł ł śł,
A" B = 1 - 2 1 = 5 - 9 1 det(A" B) = 5 - 9 1 = -360
ł śł ł śł ł śł
ł-1 2 3 1 - 3 4 -1 - 3 15
śł ł śł ł-1 - 3 15ł
śł
ł ł ł ł ł
0 3 -1 2 0 -1
det A = 1 - 2 1 = -12,det B = -1 3 1 = 30
-1 2 3 1 - 3 4
więc det( A" B) = -360 = -12 "30 = det A"det B .
Macierz odwrotna
ł-8 29 -11
łł
ł- śł
Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A = 5 18 - 7 .
ł śł
ł - 3 1
śł
1
ł ł
Rozwiązanie
Macierz odwrotną możemy wyznaczyć korzystając ze wzoru [WI 5]:
T
(AD)
A-1 = , det A `" 0 .
det A
-8 29 -11
1. det A = - 5 18 - 7 = -1 `" 0 , macierz A jest macierzą nieosobliwą, więc A-1 istnieje.
1 - 3 1
2. Wyznaczamy macierz dopełnień algebraicznych macierzy A , tzn.
i+ j
*
macierz AD =[Aij]=[(-1) Aij] 1 d" i d" 3,1d" j d" 3 .
18 - 7 - 5 - 7 - 5 18
* * *
A11 = A11 = = -3, A12 = -A12 = - = -2, A13 = A13 = = -3 ,
- 3 1 1 1 1 - 3
29 -11 - 8 -11 -8 29
* * *
A21 = -A21 = - = 4, A22 = A22 = = 3, A23 = -A23 = - = 5,
- 3 1 1 1 1 - 3
29 -11 - 8 -11 - 8 29
* * *
A31 = A31 = = -5, A32 = -A32 = - = -1, A33 = A33 = =1.
18 - 7 - 5 - 7 - 5 18
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
15
T
ł- 3 - 2 - 3 3 - 4 5
łł ł łł
T
(AD) 1
ł śł ł2 śł
A-1 = = " 4 3 5 = - 3 1 .
ł śł ł śł
det A -1
ł- 5 -1 1
śł ł - 5 -1ł
śł
ł ł ł3
1 0 0
ł łł
ł0
Oczywiście można sprawdzić, że A" A-1 = J = 1 0śł .
ł śł
ł śł
ł0 0 1ł
Rząd macierzy
Określenie rzędu macierzy na podstawie podanej definicji może okazać się kłopotliwe.
Znalezienie największego stopnia podwyznacznika różnego od zera bywa niekiedy żmudne.
Można wykazać, że rząd macierzy równy jest rzędowi macierzy powstałej przez dodawanie
do dowolnego wiersza (kolumny) macierzy innego wiersza (kolumny) pomnożonego przez
liczbę. W wyniku stosowania wielokrotnego tych operacji elementarnych na wierszach
(kolumnach) otrzymamy macierz o maksymalnej liczbie zer. Wówczas rząd tej macierzy
(również rząd danej macierzy ) równa się ilości wierszy (kolumn), w których są elementy
różne od zera.
4 3
ł - 8 2 7
łł
ł8 6 - 7 4 2 śł
ł śł
ł śł
Obliczyć rząd macierzy A = 4 3 - 5 2 3 .
ł śł
ł8 6 -1 4 - 6śł
ł4 3 1 2 - 5śł
ł ł
Rozwiązanie
Stosujemy np. następujące operacje elementarne na wierszach macierzy A : od wiersza
drugiego i czwartego odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez 2 oraz odejmujemy
wiersz pierwszy od wiersza trzeciego i piątego i otrzymujemy macierz B ( R(A) = R(B) ):
4 3
ł - 8 2 7
łł
ł0 0 9 0 -12śł
ł śł
ł śł
B = 0 0 3 0 - 4 .
ł śł
ł0 0 15 0 - 20śł
ł0 0 9 0 -12śł
ł ł
1
Następnie od trzeciego wiersza macierzy B odejmujemy wiersz drugi pomnożony przez ,
3
5
od czwartego drugi pomnożony przez oraz od piątego drugi.
3
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
16
4 3
ł - 8 2 7
łł
ł0 0 9 0 -12śł
ł śł
ł śł
Otrzymujemy macierz C = 0 0 0 0 0 .
ł śł
ł0 0 0 0 0 śł
ł0 0 0 0 0 śł
ł ł
Ponieważ wiersz pierwszy i drugi macierzy nie zawierają odpowiednich elementów
proporcjonalnych nie otrzymamy kolejnego (pierwszego lub drugiego) wiersza zawierającego
wyłącznie zera. Stąd R(C) = R(B) = R(A) = 2
Zadania
1. Obliczyć wyznaczniki:
1 3 1 1 1
3 1 1 1
2 1 1 1 1
1 1 3 1
a) ; b) 1 1 1 5 1 .
1 3 1 1
1 1 4 1 1
1 1 1 3
1 1 1 1 6
2. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy:
0
ł -1 1 -1
łł
1
ł -1 1
łł
ł śł
1 0 -1 1
ł-
ł śł
a) 38 41 - 34śł ; b) .
ł śł
ł-1 1 0 -1
śł
ł - 29 24
śł
27
ł śł
ł ł
1 -1 1 0
ł ł
3. Określić rząd macierzy:
2 5 -1 4 3
ł łł
2 5 8 7 13
ł łł
ł
4 1 6 -1 -1śł
ł1 2 3 4 5 śł
ł śł
ł śł
ł-
śł
a) ; b) 3 1 2 0 1
ł śł
0 1 2 -1 3
ł śł
ł śł
ł- 2 3 0 4 - 9śł
ł1 3 5 3 8 ł
ł śł
6 6 5 3 2
ł ł
Odpowiedzi
0 1 1 1
ł łł
2 5 7
ł łł
ł-1 0 1 1śł
ł6 śł
ł śł
1. a) - 48; b) 394. 2. a) 3 4 ; b) . 3. a) 2 ; b) 4 .
ł śł
ł-1 -1 0 1
śł
ł - 2 - 3ł ł
śł
śł
ł5
ł-1 -1 -1 0ł
Literatura: Z. Roz. I, ż 2, 3.
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
17
UKAADY RÓWNAC LINIOWYCH
CI 5
1. Układ równań Cramera
2. Metoda macierzowa
3. Układ m równań o n niewiadomych (przypadek ogólny)
Przykłady
1. Rozwiązać układ równań stosując wzory Cramera [WI 6]:
x + y + z = 3
ńł
ł2x - y - z = 0
ł
łx + 3y + z = 5
ół
Rozwiązanie
Obliczamy wyznacznik macierzy głównej A oraz wyznaczniki macierzy AK (k =1,2,3,)
powstałych z macierzy A przez zastąpienie k-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.
1 1 1
det A = 2 -1 -1 = 6 ,
1 3 1
3 1 1 1 3 1 1 1 3
det A1 = 0 -1 -1 = 6 , det A2 = 2 0 -1 = 6 , det A3 = 2 -1 0 = 6 .
5 3 1 1 5 1 1 3 5
Następnie korzystamy ze wzorów Cramera:
det A1 det A2 det A3
x = =1, y = =1, z = =1.
det A det A det A
2. Rozwiązać układ równań z przykładu 1 metodą macierzową [WI 6].
Rozwiązanie
Zapis macierzowy układu równań: AX = B , stąd X = A-1 " B ,
1 1 1 x 3
ł łł ł łł ł łł
ł2 łyśł ł0śł
Gdzie A = -1 -1śł , X = , B = , det A = 6 .
ł śł ł śł ł śł
ł
ł1 3 1 śł ł ł ł5śł
ł łzśł ł ł
Następnie wyznaczamy macierz odwrotną A-1 do macierzy A [WI 6].
T
2
ł - 3 7 2 2 0
łł ł łł
1 T 1
ł2 0 - 2śł = 1 ł- 3 0 3 śł
A-1 = "(AD) = ,
ł śł ł śł
det A 6 6
ł śł śł
ł0 3 - 3ł ł 7 - 2 - 3ł
ł
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
18
x 2 2 0 3 6 1
ł łł ł łł ł łł ł łł ł łł
1 1
łyśł ł- śł ł0śł ł6śł ł1śł
X = = 3 0 3 " = = , zatem x = y = z = 1.
ł śł ł śł ł śł ł śł ł śł
6 6
ł ł - 2 - 3ł ł5śł ł6śł ł1śł
śł ł ł ł
7
łzśł ł ł ł ł
ł
3. Rozwiązać układ równań:
2x + 3y + z = 1
ńł
ł
3x + 2y + z = 5
ł
ł
2x + y + 3z = 11
ł
ł8x + 5y + 5z = 21.
ół
Rozwiązanie:
Ponieważ liczba niewiadomych nie równa się ilości równań, układ równań nie jest układem
Cramera. Na podstawie twierdzenia Kroneckera-Capellego [WI 6] rozstrzygamy czy układ ma
rozwiązanie.
Wyznaczamy rząd macierzy głównej na podstawie definicji rzędu macierzy:
2 3 1
ł łł
ł3 2 1śł
ł śł
A = . Obliczamy np. wyznacznik macierzy C utworzonej z trzech pierwszych
ł śł
2 1 3
ł śł
ł8 5 5ł
2 3 1
wierszy macierzy A . Ponieważ detC = 3 2 1 = -12 `" 0 , więc R(A) = 3.
2 1 3
2 3 1 1
ł łł
ł3 2 1 5 śł
ł śł
Następnie wyznaczamy rząd macierzy uzupełnionej B = .
ł śł
2 1 3 11
ł śł
ł8 5 5 21ł
Wykonujemy następujące operacje elementarne na wierszach macierzy B : mnożymy wiersz
drugi przez 2 i dodajemy do wiersza trzeciego, a następnie otrzymany wiersz trzeci
odejmujemy od wiersza czwartego.
2 3 1 1
ł łł
ł3 2 1 5 śł
ł śł
Otrzymujemy macierz D = o rzędzie równym rzędowi macierzy B .
ł śł
2 1 3 11
ł śł
ł0 0 0 0 ł
R(D) = R(B) d" 3 . Ponieważ R(A) = 3 oraz R(A) d" R(B) , więc R(B) = 3.
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
19
Stąd R(A) = R(B) = 3 , więc układ równań ma rozwiązanie (twierdzenie Kroneckera-
Capellego). Korzystając ze schematu podanego w [WI 6] rozważany układ jest równoważny
układowi równań Cramera o macierzy głównej C :
2x + 3y + z =1
ńł
ł
3x + 2y + z = 5 .
ł
ł2x + y + 32 =11
ół
Następnie obliczamy wyznaczniki macierzy CK (k =1,2,3) utworzonych przez zastąpienie k-
tej kolumny macierzy C kolumną wyrazów wolnych.
1 3 1 2 1 1 2 3 1
detC1 = 5 2 1 = -24, detC2 = 3 5 1 = 24, detC3 = 3 2 5 = -36 .
11 1 3 2 11 3 2 1 11
Stosując wzory Cramera otrzymujemy:
det C1 - 24 detC2 24 det C3 - 36
x = = = 2 , y = = = -2 , z = = = 3.
det C -12 det C -12 detC -12
Aatwo sprawdzić, że liczby 2, -2, 3 są również rozwiązaniami czwartego równania
rozwiązywanego układu równań.
4. Rozwiązać układ równań
4x
ńł - 6y + 2w + 3z = 2
ł
2x - 3y + 5w + 7z =1
ł
ł2x - 3y -11w -15z =1
ół
Rozwiązanie
Dany układ nie jest układem Cramera, należy sprawdzić czy ma on rozwiązanie (jest
niesprzeczny).
Wyznaczamy rząd macierzy głównej układu:
4
ł - 6 2 3
łł
ł2 śł
A = - 3 5 7 .
ł śł
ł - 3 -11 -15ł
śł
ł2
Można sprawdzić, że wszystkie cztery podwyznaczniki macierzy A stopnia trzeciego są
równe zeru, więc rząd tej macierzy R(A) < 3 . Ponieważ np. podwyznacznik
2 3
detC = = -1 `" 0 , więc R(A) = 2 .
5 7
4
ł - 6 2 3 2
łł
ł2
Wyznaczamy rząd macierzy uzupełnionej B = - 3 5 7 1śł .
ł śł
ł - 3 -11 -15 1ł
śł
ł2
Wykonujemy następujące operacje elementarne na wierszach macierzy B : odejmujemy
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
20
wiersz drugi od trzeciego oraz wiersz drugi pomnożony przez 2 od pierwszego. Otrzymujemy
macierz:
0 0 -8 -11 0
ł łł
ł2
D = - 3 5 7 1śł .
ł śł
ł śł
ł0 0 -16 - 22 0ł
Mnożąc wiersz pierwszy macierzy D przez 2 i odejmując od wiersza trzeciego mamy
macierz:
0 0 -8 -11 0
ł łł
ł2
E = - 3 5 7 1śł, R(E) = 2.
ł śł
ł śł
ł0 0 0 0 0ł
Ponieważ rzędy macierzy E, D, B są równe, więc R(A) = R(B) = 2 (twierdzenie Kroneckera-
Capellego).
Dany układ sprowadzamy do równoważnego układu Cramera [WI 6]. Ponieważ
detC = -1`" 0 , więc odrzucamy trzecie równanie danego układu oraz podstawiamy dowolne
stałe c,d (c,d " R) za niewiadome x, y .
Otrzymujemy układ równań Cramera:
2w + 3z = 2 - 4c + 6d,
ńł
ł
5w + 7z =1- 2c + 3d.
ół
Obliczamy wyznaczniki macierzy C1,C2 utworzonych przez zastąpienie odpowiednio
pierwszej i drugiej kolumny macierzy C kolumną wyrazów wolnych.
2 - 4c + 6d 3 2 2 - 4c + 6d
detC1 = = -22c + 33d +11, detC2 = =16c - 24d - 8 .
1- 2c + 3d 7 5 1- 2c + 3d
Stosując wzory Cramera otrzymujemy:
det C1 - 22c + 33d +11 det C2 16c - 24d - 8
w = = = 22c - 33d -11, z = = = -16c + 24c + 8,
det C -1 detC -1
x = c , y = d .
Rozpatrywany układ (nieoznaczony) ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od
przyjętych wartości c,d . Np. dla c = 0,d =1 otrzymujemy rozwiązanie
x = 0, y = 1, w = -44, z = 32 .
Zadania
1. Rozwiązać metodą Cramera układy równań:
7x1 + 8x2 - x3 + 5x4 = 40
ńł
3x
ńł - y + 2z =1
ł6x + 4x2 + 5x3 + 3x4 = 41
ł2x ł
1
a) + y - 5z = 4 ; b)
ł ł4x - 2x2 + 5x3 + 3x4 = 27 .
1
ł ł
x + y + z = 3
ół
ł3x1 + 5x2 - 3x3 + 2x4 =12
ół
2. Rozwiązać metodą macierzową układy równań;
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
21
3x1
ńł - x2 - x3 - 2x4 = -4
2x + y + 3z =11
ńł
ł2x + 3x2 - x3 - x4 = -6
ł ł
1
a) 3x + 2y + z = 5 ; b)
ł łx + 2x2 + 3x3 - x4 = -4.
1
ł ł
2x + 3y + z =1
ół
ł
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 =1
ół
3. Rozwiązać układy równań:
3x 3x1
ńł - y + 5z = 3 ńł - x2 - 2x3 + x4 - x5 = 0
4x
ńł - 7y + z = 5
ł2x - 2y - 3z = 4 ł
2x1 + x2 - x3 - x4 + x5 = 0
ł3x ł ł
a) - 5y + z = 2 ; b) ; c)
ł ł łx + 7x2 - 5x3 - 5x4 + 5x5 = 0 .
x - y + 2z =1
1
ł2x - y + 3z = 9 ł ł
ół
ł ł
x - 2y - z = 2 x1 - 2x2 + x3 + x4 - x5 = 0
ół ół
Odpowiedzi:
10 1 2
1. a) 1,2,0 ; b) 1,2,3,4 ; 2. a) 2,- 2,3 ; b) -1,-1,0,1; 3. a) układ sprzeczny; b) ,- ,- ; c)
7 7 7
0,0,0,C1,C2 .
Literatura: Z. Roz. I, ż 4.
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
22
CI 6 RACHUNEK WEKTOROWY
1. Iloczyn skalarny
2. Iloczyn wektorowy
3. Iloczyn mieszany
Przykłady

Iloczyn skalarny: a " b = a " b "cos k b
(a, )
( ).

Postać kartezjańska iloczynu skalarnego: a " b = axbx + ayby + azbz .
1. Dane są punkty A(1,2,0), B(-3,0,5),(0,4,1) . Znalezć kąt między wektorami AB i AC .
Rozwiązanie
Znajdujemy współrzędne wektorów AB i BC . AB = [- 4,-2,5], AC = [-1,2,1].
AB " AC
Obliczamy cosinus kąta między wektorami AB i AC . ( = K(AB, AC)) cos =
AB " AC
- 4"(-1) + (-2)" 2 + 5"1 5 1 1
cos = = = ,  = arccos .
3
42 + 22 + 52 " 12 + 22 +12 45 " 5 3
Iloczyn wektorowy

i j k

c = a b = ax ay az = i aybz - azby + j azbx - axbz + k axby - aybx
( )
( ) ( )
bx by bz
2. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A(2,3,-1) , B(4,-2,3) , C(-1,4,2) .
Rozwiązanie
Z określenia iloczynu wektorowego wynika,
że pole trójkąta ABC jest równe połowie
długości iloczynu wektorowego wektorów
AB i AC (rys.) [WI 7]
Rys.
Wyznaczamy współrzędne wektorów AB i AC .
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
23
AB =[4 - 2,-2 - 3,3 - (-1)]= [2,-5,4], AC = [-1- 2,4 - 3,2 - (-1)]= [-3,1,3].
Iloczyn wektorowy ABxAC wyznaczamy korzystając z postaci symbolicznej (wyznacznik)
[WI 7].
i j k
ABx AC = 2 - 5 4 = -19i -18 j -13k ,
- 3 1 3
1 1 1
więc pole S = ABx AC = 192 +182 +132 = 854 [ j2 ].
2 2 2
Iloczyn mieszany
ax ay az
ł ł
a, b, cł = bx by bz
ł
ł łł
cx cy cz
3. Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach A(3,4,5) , B(2,1,-3) , C(4,-2,1) , D(1,2,6)
.
Rozwiązanie
Korzystamy z interpretacji geometrycznej iloczynu mieszanego [WI 7].
Objętość V równoległościanu zbudowanego na wektorach a,b, c o wspólnym początku
równa się wartości bezwzględnej iloczynu mieszanego tych wektorów.
V = (a x b)c
1
Objętość V1 czworościanu zbudowanego na wektorach a, b, c jest równa objętości
6
1
równoległościanu czyli V1 = (a xb)c . Niech a = AB , b = AC , c = AD .
6
Wyznaczamy współrzędne wektorów a, b, c .
a = [-1, - 3, - 8], b = [1, - 6, - 4], c = [- 2, - 2, 1].
Iloczyn mieszany wektorów a, b, c obliczamy ze wzoru (wyznacznik) podanego w [WI 7].
-1 - 3 -8
1 1 1 35
V1 = (a xb)c = | 1 - 6 - 4 |= "105 = [ j3] .
6 6 6 2
- 2 - 2 1
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
24
Zadania
1. Znalezć wektor x prostopadły do wektorów a = [1,- 2,3] i b = [2,3,-1] taki, że a " d = -6 ,
gdzie d =[2,-1,1].
2. Dane są punkty P1(1,2,4), P2(5,1,2) i P3(3,4,1).
Znalezć wersor wektora a = P1P2 x P1P3.
3. Wykazać, że wektory a = [3,4,- 2],b = [6,- 4,-1],c = [-14,-1,5] nie są komplanarne.
Odpowiedzi
7 8 10
ł łł
1. x = [- 3,3,3]; 2. , , .
ł213 213 213śł
ł ł
Literatura: Z. Roz. II, ż 3.
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
25
CI 7 PAASZCZYZNA I PROSTA W PRZESTRZENI R3
1. Płaszczyzna
2. Prosta w przestrzeni R3
3. Odległości
Przykłady
1. Znalezć równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty
A(2,0,1), B(-3,1,2), C(4,2,-3) .
Rozwiązanie
Sposób 1.
Korzystamy ze wzoru podanego w [WI 8]
Ą : A(x - xo ) + B(y - yo ) + C(z - zo ) = 0 , gdzie Po (xo, yo , zo )"Ą i Ą = [A, B,C] , n Ą" Ą .
Znajdujemy wektor n = ABx AC .
Wyznaczamy wektory AB, AC .
AB = [-3- 2,1- 0,2 -1] = [-5,1,1] , AC = [4 - 2,2 - 0,- 3 -1] = [2,2,- 4],
i j k
n = ABxAC = - 5 1 1 = -6i -18 j -12k .
2 2 - 4
Wyznaczamy równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A(2,0,1) i prostopadłej do
wektora n = [-6,-18,-12]
Ą :- 6(x - 2) -18( y - 0) -12(z -1) = 0 . Ostatecznie Ą :x + 3y + 2z - 4 = 0
Sposób 2.
x y z 1
2 0 1 1
Ą : = 0 .
- 3 1 2 1
4 2 - 3 1
Rozwijamy wyznacznik względem pierwszego wiersza
0 1 1 2 1 1 2 0 1 2 0 1
x 1 2 1 - y - 3 2 1 + z - 3 1 1 - - 3 1 2 = 0,
2 - 3 1 4 - 3 1 4 2 1 4 2 - 3
czyli - 6x -18 y -12z - 24 = 0 , więc Ą : x + 3y - 2z - 4 = 0 .
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
26
2. Wyznaczyć równanie prostej l przechodzącej przez punkty P1(0,2,- 3) i P2(1,0,5) .
Znalezć odległość punktu P3(-2,3,1) od wyznaczonej prostej.
Rozwiązanie
a) Wyznaczamy równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt P1 i
równoległej do wektora a = P1P2 [WI 8].
x = t
ńł
ły
a = P1P2 = [1,- 2,8] , l : = 2 - 2t , t " R .
ł
łz = -3+ 8t
ół
x y - 2 z + 3
Równanie kanoniczne (kierunkowe) prostej l [WI 8] l : = = .
1 - 2 8
b) Odległość punktu P3 od prostej l wyznaczamy ze wzoru [WI 8]:
a x P1P3
d = d(P3,l) = ,
a
i j k
P1P3 = [-2,1,4], a x P1P3 = 1 - 2 8 = -16i - 20 j - 3k ,
- 2 1 4
162 + 202 + 32 665
d = = .
12 + 22 + 82 69
3. Obliczyć odległość prostych skośnych l1 i l2 :
x =
ńł -3 + 4t
ły x - 4 y +1 z + 7
l1 : = 6 - 3t , l2 : = = .
ł
8 - 3 3
łz = 3 + 2t
ół
Rozwiązanie
Odległość prostych skośnych l1, l2:
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
27
ax ay az

bx by bz
ł ł
a b P0P1
ł ł
ł łł x1 - x0 y1 - y0 z1 - z0
d = d l1, l2 = = .
( )

a b i j k
ax ay az
bx by bz
P0 (-3,6,3) "l1, P1(4,-1,- 7)"l2 a = [4,- 3,2],a ||l1 ; b = [8,- 3,3], b ||l2 .
P0P1 = [7,- 7,-10]
i j k 4 - 3 2
a xb = 4 - 3 2 = -3i + 4 j +12k , (a xb)P0P1 = 8 - 3 3 = -169 ,
8 - 3 3 7 - 7 -10
-169
169 169
d = d(l1,l2 ) = = = =13.
32 + 42 +122 169 13
Zadania
1. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P(2,1,- 2) i prostopadłej do
wektora n = [2,- 4,6] .
2. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty P1(0,0,1), P2 (5,0,0), P3(1,1,1) .
x = 3t
ńł
ły
3. Obliczyć kąt między prostą l : = 2t a płaszczyzną 3x - 5y - z + 2 = 0 .
ł
łz =1- t
ół
4. Obliczyć odległość między prostymi l1 i l2 :
x -1 y +1 z - 2 x +1 y -1 z + 2
l1 : = = , l2 : = = .
2 1 3 4 2 6
x =
ńł -3 + 6t
ły
5. Obliczyć odległość punktu P0 (1,-1,- 2) od prostej l : = -2 + 4t .
ł
łz = 8 - 4t
ół
Odpowiedzi
1. x - 2y + 3z + 3 = 0 ; 2. x - y + 5z - 5 = 0 ; 3. prosta jest równoległa do płaszczyzny;
4. 10 ; 5.7.
Literatura: Z. Roz. II, ż 3, 4, 5, 6.
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
28
CI 8 CIGI LICZBOWE GRANICA CIGU
1. Monotoniczność ciągu
2. Granica ciągu
Monotoniczność ciągu
Przykład
3n
Wykazać, że ciąg o wyrazie ogólnym an = (n > 2) jest ciągiem malejącym.
n!
Rozwiązanie
Ponieważ dla dowolnego n " N an > 0, więc ciąg (an) będzie malejący wtedy i tylko wtedy,
an+1 an+1
gdy < 1, gdyż nierówność an > an+1 jest wówczas równoważna nierówności < 1
an an
3n+1 3"3n an+1 3"3n n! 3
an+1 = = , = " = < 1 dla n > 2
(n +1)! n!(n +1) an n!(n +1) 3n n +1
czyli ciąg (an) jest malejący dla n > 1.
Grania ciągu
Przykład
n +1 1
Dany jest ciąg (an) o wyrazie ogólnym an = . Sprawdzić, czy granicą ciągu jest  .
3
2 - 3n
Rozwiązanie
ł ł
'"0 (" n'"m !
łlim an = g !  > m > an - g <  ł
ł ł
n"
ł łł
1
Liczba  będzie granicą ciągu (an), jeżeli dla dowolnej liczby  > 0 znajdziemy
3
1
ł ł
liczbę m taką, że gdy n > m, to an - ł - ł
<  .
3
ł łł
ł- 1 n +1 1 5 5
ł
an - ł ł
= + = = <  .
3 2 - 3n 3 3(2 - 3n) 3(3n - 2)
ł łł
Otrzymaną nierówność rozwiązujemy względem n
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
29
5 5 + 6
<  ! 5 <  "3(3n - 2) ! n > .
3(3n - 2) 9
Wykazaliśmy, że występująca w definicji granicy nierówność an - g <  jest spełniona dla
5 + 6
wszystkich n większych od , gdzie   dowolna liczba dodatnia. Istnieje więc liczba
9
5 + 6 1
m = , czyli g =  jest granicą danego ciągu.
3
9
Przykład
n2
Wykazać, że lim+" = +" .
n
Rozwiązanie
Załóżmy, że g = +", zgodnie z definicją dla dowolnej liczby rzeczywistej A spełniona
musi być wówczas nierówność an > A, tzn. n2 > A. Ostatnia nierówność jest spełniona dla
n > A , a więc istnieje liczba m równa np. A , czyli granicą danego ciągu (n2) jest +".
Przykład
Obliczyć limł n2 + n - nł .
ł ł
n" łł
ł
Rozwiązanie
Ponieważ lim n2 + n = +" oraz limn = +", więc mamy symbol nieoznaczony postaci
n" n"
" - " . Wyraz ogólny ciągu an przekształcamy na podstawie wzoru
[ ]
a
( - b a + b
)( ) - b2
a2
a - b = = ,
a + b a + b
ł
ł n2 + n - nłł n2 + n + nł n2 + n - n2
łł ł
n
ł łłł łł
n2 + n - n = = =
n2 + n + n n2 + n + n n2 + n + n
n
limł n2 + n - nł = lim
ł ł
n" łł n"
ł
n2 + n + n
Ponieważ licznik i mianownik otrzymanego ułamka dążą do ", więc otrzymaliśmy
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
30
"
ł łł
symbol nieoznaczony typu równoważny symbolowi " - " . Wyraz ogólny
[ ]
ł" śł
ł ł
n
an = możemy tak przekształcić, aby otrzymać symbol oznaczony. W tym celu
n2 + n + n
dzielimy licznik i mianownik przez n.
Otrzymujemy
1 1 1
an = = = .
1
n2 + n n2 + n
1+ +1
+1 +1
n
n n2
ł ł
1 1
ł ł
Ponieważ lim 1+ + 1ł = 2 , więc limł n2 + n - nł = .
ł ł
ł
n" n" łł
ł
n 2
ł łł
Zadania
1. Wykazać na podstawie definicji, że:
ł -1 1
ł
n 1 n2 ł
ł
a) limł ł = ; b) limł = .
ł ł
2n -1łł 2 3n2 +1ł 3
ł
ł łł
2. Obliczyć granice ciągu:
n
1
ł
a) limn( n2 +1 - n); b) limn 3n + 5n ; c) limł1- ł
.
ł
n3
ł łł
Odpowiedzi
1
2. a) ; b) 5 ; c) 1.
2
Literatura: Z. Roz. III, ż 1.
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
31
CI 9 GRANICA FUNKCJI. CIGAOŚĆ FUNKCJI
1. Definicja granicy
2. Granice jednostronne
3. Ciągłość funkcji
4. Obliczanie granic
Definicja granicy funkcji
Przykład
x3 - 8
Na podstawie definicji Heinego wykazać, że lim = 12.
x2
x - 2
Rozwiązanie
'"
lim f (x) = g ! (xn), xn `" x0, lim xn = x0 ! lim f (xn) = g
n" n"
xx0
Niech (xn), xn `" 2 będzie dowolnym ciągiem takim, że lim xn = 2 .
n"
Odpowiada mu ciąg wartości funkcji f (xn) o wyrazie ogólnym
3 2
xn -8 (xn - 2)(xn + 2xn + 4)= xn + 2xn + 4,
2
f (xn ) = =
xn - 2 xn - 2
2 2
lim f (xn ) = lim(xn + 2xn + 4) =nlim xn + 2nlim xn + 4 = 22 + 2" 2 + 4 =12.
n"
n" " "
Z definicji wynika więc, że granicą danej funkcji w punkcie 2 jest 12.
Granice jednostronne
Przykład
x
Zbadać istnienie granicy funkcji x f (x) = w punkcie x0 = 0.
x
Rozwiązanie
Zbadamy istnienie granic jednostronnych w zerze.
x
x
lim = lim = lim1 =1,
x0+
x x
x0+ x0+
x
- x
lim = limł ł = lim(-1) = -1.
ł ł
x0- x0-
x x
x0-ł łł
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
32
Wynika stąd, że dana funkcja nie ma granicy w zerze, gdyż granice jednostronne nie są równe.
Ciągłość funkcji
Przykład
Wykazać, że funkcja y = cos x jest ciągła dla x " R .
Rozwiązanie
Funkcja f (x) określona w punkcie x0 jest ciągła w tym punkcie, jeżeli istnieje granica lim f (x)
xx0
i lim f (x) = f (x0 ) .
x x0
Wykażemy (na podstawie definicji granicy Cauchy ego), że lim cos x = cos x0.
xxo
Wykażemy, że dla dowolnego  > 0 będzie istniała  > 0 taka, że dla wszystkich
x " (x0 - , x0 +  ) wartości funkcji będą spełniały nierówność cos x - cos x0 <  . Korzystamy ze
wzoru
x + x0 x - x0
cos x - cos x0 = -2sin sin
2 2
x + x0 x - x0 x + x0 x - x0
cos x - cos x0 = - 2sin sin = 2 sin " sin d"
2 2 2 2
x - x0 x + x0
d" 2sin , ponieważ sin d"1.
2 2
x - x0 x - x0
Ponadto sin d" , więc cos x - cos x0 d" x - x0 .
2 2
Zatem cos x - cos x0 < , gdy x - x0 <  . Wykazaliśmy, że istnieje liczba  = , więc zgodnie z
definicją granicy limcos x = cos x0 , czyli funkcja jest ciągła.
xx0
Obliczanie granic
Analogicznie, jak dla ciągów, obliczanie granic funkcji na podstawie twierdzeń rozpoczynamy
zawsze od sprawdzenia symbolu: jeżeli występuje symbol oznaczony, granicę otrzymujemy z
twierdzeń, jeżeli natomiast jest jeden z symboli nieoznaczonych
" 0
[" - "],ł łł ł łł [0,"],["0],[00], [1"] musimy tak przekształcić funkcję, aby otrzymać symbol
ł"śł,ł0śł,
ł ł ł ł
oznaczony i dopiero wtedy korzystać z twierdzeń.
Przykład
1 - cos2x
Obliczyć granicę funkcji lim .
x0
x2
Rozwiązanie
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
33
1 - cos2x
Dla x = 0 licznik i mianownik funkcji x są równe zeru, więc mamy symbol
x2
2
0
ł łł 2 sin2 x sin x
nieoznaczony typu . Ponieważ 1 - cos2x = 2 sin2 x , więc f (x) = = 2ł ł
ł ł
ł0śł
x
x2 ł łł
ł ł
2 2
1- cos2x sin x sin x
lim = lim2ł ł = 2limł ł = 2"1 = 2.
ł ł ł ł
x0 x0
x2 x0 ł x x
łł ł łł
sin x
Korzystaliśmy z twierdzenia lim = 1.
x0
x
Zadania
1. Na podstawie definicji Heinego wykazać, że nie istnieje limsin x .
x"
2. Wyznaczyć granice funkcji
2x2 + 5x - 3 sin 4x 1+ x -1
a) lim = -7 ; b) lim ; c) lim .
x0
x0
x-3
x + 3 x2
x +1 -1
3. Dla jakich wartości parametru a funkcja
sin 3x
ńł
dla x `" 0
ł
x f (x) =
x
ł
ł a dla x = 0
ół
jest ciągła?
Odpowiedzi
3
2. a) ; b) 8 ; c) " . 3. 3
4
Literatura: Z. Roz. III, ż 2, 3.
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
34
CI 10 POCHODNA FUNKCJI
1. Definicja pochodnej
2. Interpretacja geometryczna
3. Obliczanie pochodnych
Przykład
Na podstawie definicji obliczyć pochodną funkcji: f (x) = cos 2x w punkcie x0 .
Rozwiązanie.
f x0 + " x f x0
" y ( )- ( )
lim = lim = f 2 x0 , gdzie " x = x - x0
( )
" x0 " x0
" x " x
f (x0 + "x) - f (x0 ) cos2(x0 + "x) - cos2x0
lim = lim =
"x0 "x0
"x "x
2(x0 + "x) + 2x0 2(x0 + "x) - 2x0
- 2sin "sin
2 2
= lim =
"x0
"x
- 2sin(2x0 + "x)sin "x sin "x
= lim = -2sin 2x0 " lim = -2sin 2x0 "1 = -2sin 2x0,
"x0 "x0
"x "x
sin "x
gdyż lim = 1.
"x0
"x
Interpretacja geometryczna pochodnej
Pochodną funkcji y = f x interpretujemy geometrycznie jako współczynnik kierunkowy
( )
stycznej do wykresu funkcji w punkcie P0 x0, y0 należącym do wykresu funkcji tzn.
( )
f 2 x0 = tgą, ą  kąt nachylenia stycznej do wykresu funkcji względem dodatniego zwrotu osi
( )
OX (rys. 1).
Równanie stycznej do krzywej y = f x w punkcie P0 x0, y0 leżącym na tej krzywej
( ) ( )
jest postaci y - y0 = f 2 x0 x - x0 przy założeniu, że istnieje f 2 x0 .
( ) ( ) ( )
Równanie normalnej (prostej prostopadłej do stycznej w punkcie styczności) do
1
krzywej y = f x jest postaci y - y0 = - ( - x0 przy założeniu, że f 2 x0 `" 0 (rys. 2).
x
( ) ) ( )
f 2 x0
( )
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
35
Rys. 1 Rys. 2
Przykład
Wyprowadzić równanie stycznej do paraboli y2 = 2 px w punkcie P0 (x0 , y0 ).
Rozwiązanie
Niech p > 0 (rys.3) (dla p < 0 wyprowadzenie jest analogiczne) y2 = 2 px ! ( y = 2 px
 górna gałąz paraboli lub y = - 2 px  dolna gałąz paraboli) (rys. 3).
Rys. 3
Załóżmy dla ustalenia uwagi, że y > 0 (rys. 3). Znajdujemy współczynnik kierunkowy
stycznej m = f 2 (x0 )
1 p p
y2 = 2 px = " 2 p = , x > 0 , m = y2 (x0 ) = .
( )2 2 2 px
2 px 2 px0
Otrzymujemy więc szukane równanie stycznej
p
y - y0 = (x - x0 ) .
2 px0
p
Ponieważ y0 = 2 px0 , więc y - y0 = (x - x0 ).
y0
2
Pomnóżmy ostatnie równanie przez y0, otrzymujemy y " y0 - y0 = px - px0 , stąd
yy0 - 2 px0 = px - px0. Ostatecznie równanie stycznej do paraboli y2 = 2 px jest postaci
yy0 = p(x + x0 ).
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
36
Obliczanie pochodnych
Pochodne obliczamy w oparciu o podane reguły różniczkowania i wzór na pochodną funkcji
złożonej [WI 11].
Przykład
Obliczyć pochodną funkcji f (x) = sin3 x3 .
Rozwiązanie
Funkcją zewnętrzną jest f (u) = u3 , natomiast wnętrzem funkcja u = sin x3 , która również jest
funkcją złożoną. Funkcją zewnętrzną jest u = sinv , wnętrzem v = x3 . Ponieważ
(u3)'= 3u2,(sin v)'= cosv,v'= 3x2 , więc (sin3 x3)'= 3sin2 x3 "cos x3 "3x2 = 9x2 sin2 x3 "cos x3 .
Zadania
1. Na podstawie definicji wyznaczyć pochodną funkcji f (x) = 2x .
2. Wyznaczyć pochodne funkcji:
1
a) f (x) = ecos x ; b) f (x) = ln(sin 2x) ; c) f (x) = arcsin .
x
Odpowiedzi
1
ł- 1
ł.
1. f '(x) = 2x ln 2 ; 2. a) f '(x) = ecos x (-sin x) ; b) f '(x) = 2ctg 2x ; c) f '(x) =
ł ł
x2
1 ł łł
1-
x2
Literatura: Z. Roz. 3, ż 4, 5, 6, 7.
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
37
CI 11 POCHODNA LOGARYTMICZNA. POCHODNE WYŻSZYCH RZDÓW.
RÓŻNICZKA FUNKCJI.
1. Pochodna logarytmiczna
2. Pochodne wyższych rzędów
3. Różniczka funkcji
Pochodna logarytmiczna
g x
( )
Pochodną funkcji y = f x f x > 0 obliczamy w następujący sposób:
( ) ( ) )
(
[ ]
g x
( )
Logarytmujemy obie strony i otrzymujemy ln y = ln f x , czyli ln y = g x ln f x , a
( )
( ) ( ) ( )
następnie różniczkujemy obie strony (traktując ln y jako funkcję złożoną)
1 1
" y2 = g2 x ln f x + g2 x " " f 2 x
( ) ( ) ( ) ( )
y f x
( )
ł łł
g2 x f 2 x
g x ( ) ( )
( )
Z otrzymanej równości obliczamy y2 : y2 = f x .
( ) ( ) ( )
[ ] łg2 x ln x + śł
f x
( )
ł ł
Pochodną logarytmiczną stosujemy również wówczas, gdy funkcja jest iloczynem,
ilorazem, zawiera pierwiastki, potęgi (te działania, które dają się łatwo logarytmować).
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna rzędu n n "N funkcji f jest pochodną pochodnej rzędu n -1, tzn.
( )
2
n n-1
( ) ( )
y(n) x = f x = f x .
( ) ( ) ( )
[ ]
Funkcję f, która ma pochodną rzędu n, nazywamy funkcją n-krotnie różniczkowalną.
Przykład
Wyznaczyć pochodną n-tego rzędu funkcji f (x) = 5x .
Rozwiązanie
f '(x) = (5x )'= 5x ln5 , f ''(x) = (5x ln5)'= (5x )'ln5 = (5x ln5)ln5 = 5x ln2 5 ,
(n)
f '''(x) = (5x ln2 5)'= (5x )'ln2 5 = (5x ln5)ln2 5 = 5x ln3 5 . f (x) = 5n lnn 5 (dowód indukcyjny).
Wzór Leibniza
Jeżeli funkcja f i g są n-krotnie różniczkowalne, to
n
n
ł
n
n-k 0
( )
f " g = f g(k) , gdzie f = f , g(0) = g .
( )( ) ł ł
"ł kłł ( )
ł
k =0
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
38
Przykład
Można wykazać, że pochodna n-tego rzędu funkcji f (x) = x "3x równa się
(n)
f (x) = 3x lnn-1 3(n + x ln3).
Różniczka funkcji
Różniczka funkcji f w punkcie x0 dla przyrostu dx = x - x0 : df x0 = f 2 x0 dx .
( ) ( )
Różniczka funkcji w punkcie x (funkcja): df x = f 2 x dx .
( ) ( )
Różniczka n-tego rzędu n " N
( )
Jeżeli funkcja f jest n-krotnie różniczkowalna dla x " X , to
p
n-1 n
n ( ) ( )
d f x = d d f x = f x dxn .
( ) ( ) ( )
[ ]
Przykład
n
Różniczka n-tego rzędu funkcji f (x) = 5x równa się d f (x) = 5x lnn 5" dxn .
Zadania
1. Obliczyć pochodne funkcji:
x sin x
a) f (x) = (ln x) ; b) f (x) = (sin x)
2. Wyprowadzić wzór na n-tą pochodną funkcji
a) f (x) = ln x ; b) f (x) = xex .
Odpowiedzi
x-1
1. a) f '(x) = (ln x) [1+ ln x ln(ln x)], x > e ;
b) f '(x) = (sin x)sin x cos x(1+ lnsin x), sin x > 0 .
(n) (n)
2. a) f (x) = (-1)n-1(n -1)!x-n , x > 0 ; b) f (x) = ex (x + n) .
Literatura: Z. Roz. III, ż 9, 10.
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
39
CI 12 MONOTONICZNOŚĆ. EKSTREMA FUNKCJI.
1. Monotoniczność funkcji
2. Ekstrema lokalne
3. Ekstrema globalne (wartość największa, wartość najmniejsza)
Monotoniczność funkcji
Jeżeli pochodna funkcji f jest w każdym punkcie przedziału a, b dodatnia (ujemna), to
( )
funkcja jest w tym przedziale rosnąca (malejąca).
Przykład
2
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f (x) = x3e-x :
Rozwiązanie
Korzystamy z podanego twierdzenia [WI 13]. Dziedzina funkcji f (x): x " R .
2
f '(x) = 3x2e-x + x3e- x2 " (-2x) = x2e- x2 (3 - 2x2 ) . Dziedzina pochodnej f '(x): x " R .
ł ł ł ł
ł- 3 ł0, 3 ł, f '(x) < 0 , gdy
f '(x) > 0 gdy 3 - 2x2 > 0 , stąd x " ,0ł *"
ł ł ł ł
2 2
ł łł ł łł
ł ł ł ł ł ł ł ł
3 3 3
ł- 3 ł,ł ł ł
x " ",- ,"ł . Funkcja f (x) jest rosnąca w przedziałach - ,0ł,ł0,
ł ł ł ł ł ł ł ł
2 2 2 2
ł łł ł łł ł łł ł łł
ł ł ł ł
3
ł- 3 ł,ł
oraz malejąca w przedziałach ",- ,"ł .
ł ł ł ł
2 2
ł łł ł łł
Ekstrema lokalne
Przykład
Obliczyć ekstrema lokalne funkcji f (x) = x3 ln x za pomocą pochodnej pierwszego rzędu.
Rozwiązanie
Dziedzina funkcji f : x > 0 . Obliczamy pochodną
1
f '(x) = 3x2 ln x + x3 " = x2 (3ln x +1), x > 0 .
x
Wyznaczamy punkty, w których może wystąpić ekstremum funkcji.
1
-
3
f '(x) = 0 ! x2 (3ln x +1) = 0 ! 3ln x +1 = 0 , stąd x = e .
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
40
1
-
3
Badamy znak f '(x) w sąsiedztwie punktu x = e .
1 1
ł - ł ł - ł
3 3
ł
f '(x) > 0 ! x2 (3ln x +1) > 0 ! 3ln x +1 > 0 ! x "łe ,"ł, f '(x) < 0 dla x"ł0,e .
ł ł ł ł
ł łł ł łł
1
-
3
Ponieważ w sąsiedztwie punktu x = e pochodna zmienia znak z  - na + , więc w tym
punkcie funkcja ma minimum.
1 1
- ł - ł
e-1 ł -1 e-1 ł
3
łe 3 ł ł.
xmin = e , ymin = f = - , Pmin łe 3 ,-
ł ł ł ł
3 3
ł łł ł łł
Przykład
Pewna ilość doświadczeń doprowadziła do n różnych wartości x1, x2 , ..., xn badanej wielkości
x. Gauss zaproponował przyjąć za wartość X taką wartość x, dla której suma kwadratów jej
różnic z wartościami x1, x2 , ..., xn osiąga minimum. Wyznaczyć x.
Rozwiązanie
x f (x) = (x - x1)2 + (x - x2 )2 +...+(x - xn )2
Wyznaczamy ekstremum funkcji x f (x)
f 2 (x) = 2(x - x1) + 2(x - x2 )+...+2(x - xn ) = 2nx - 2(x1+...+xn )
x1+...+xn
f 2 (x) = 0 ! 2nx - 2 x1 + x2 +...+xn = 0 ! x = , f ''(x) = 2n .
( )
n
Ponieważ f ''(x) > 0 , więc funkcja f osiąga w wyznaczonym punkcie minimum, czyli
x1 + x2 + ...+ xn
xmin = (średnia arytmetyczna).
n
Wartość największa i wartość najmniejsza.
Przykład
Ą Ą
Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji x f (x) = sin2x - x, x " - , .
2 2
Rozwiązanie
ł- Ą Ą Ą Ą Ą Ą Ą Ą Ą Ą
ł ł ł- ł ł ł
1. f = sin2ł- - = sin(-Ą) + = , f = sin2 " - = sin Ą - = -
ł ł ł ł ł ł ł ł
ł łł ł łł ł łł ł łł
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
ł- Ą Ą
ł
2. Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej w przedziale ,
ł ł
ł łł
2 2
1
2 2 2
f (x) = (sin 2x - x) = 2cos2x -1, f (x) = 0 ! 2cos2x -1 = 0 ! cos2x =
2
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
41
1 Ą
Rozwiązujemy równanie cos2x = , 2x = + 2kĄ ,
2 3
Ą Ą Ą
stąd x = + kĄ, k "C lub 2x = - + 2kĄ oraz x = - + kĄ, k "C
6 3 6
Ą Ą Ą Ą
Ponieważ x " - , , więc x = - i x = .
2 2 6 6
Ą Ą Ą Ą Ą 3 Ą
ł ł
y = f - ł ł - 2" - ł ł -sin + = - + = -0,35
= sinł ł ł- ł =
ł ł
6 6 6 3 6 2 6
ł łł ł łł ł łł
Ą Ą Ą Ą Ą 3 Ą
ł ł
y = f = sin 2" - = sin - = - = 0,35.
ł ł
6 6 6 3 6 2 6
ł łł
Ą Ą Ą
3. Wartością największą danej funkcji w przedziale - , jest M = , natomiast
2 2 2
Ą
wartością najmniejszą jest m = - .
2
Zadania
1. Znalezć przedziały monotoniczności funkcji f (x) = ln3 x - 3ln x .
2. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji.
1
x-2
f (x) = (x - 2)e
3. Znalezć wartość najmniejszą i największą funkcji f (x) = sin x + cos 2x w przedziale
0,Ą .
Odpowiedzi
1 1
ł
1. (0, > *" < e,") - funkcja rosnąca, ,eł - funkcja malejąca.
ł ł
e e
ł łł
9
2. Pmin (3,e) ; 3. m = 0, M = .
8
Literatura: Z. Roz. III, ż 14, 15, 16.
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
42
CI 13 PRZEDZIAAY WYPUKAOŚCI, WKLSAOŚCI, PUNKTY PRZEGICIA
1. Przedziały wypukłości, wklęsłości wykresu funkcji
2. Punkty przegięcia
Przedziały wypukłości, wklęsłości
Jeżeli funkcja f ma drugą pochodną dodatnią (ujemną) w punkcie x0 to jest wypukła (wklęsła)
w tym punkcie.
Przykład
x
Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji f (x) = .
ln x
Rozwiązanie
Dziedzina funkcji: x"(0,1)*"(1,"). Obliczamy f '(x) i f ''(x) :
ln x -1 2 - ln x
f '(x) = , f ''(x) = .
ln2 x xln3 x
Dziedzina pochodnych jest taka jak dziedzina funkcji.
Badamy znak drugiej pochodnej:
2 - ln x
f ''(x) > 0 ! > 0 ! xln3 x(2 - ln x) > 0 ! x "(1,e2) - funkcja wypukła,
xln3 x
f ''(x) < 0 dla x "(0,1)*"(e2,") - funkcja wklęsła.
Punkty przegięcia
Jeżeli funkcja f dwukrotnie różniczkowalna w otoczeniu U0 punktu x0 spełnia warunki
a) f 2 2 x0 = 0 ; b) f 2 2 x0 > 0 dla x > x0 lub f 2 2 x0 > 0 dla x < x0
( ) ( ) ( )
f 2 2 x0 < 0 dla x < x0 f 2 2 x0 < 0 dla x > x0
( ) ( )
to x0 jest punktem przegięcia (warunek konieczny i dostateczny).
Przykład
Wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji f (x) = e- x2 .
Rozwiązanie
2
Obliczamy f '(x) i f ''(x) : f '(x) = -2xe- x2 , f ''(x) = -2e-x (1- 2x2), x " R .
2 2
f ''(x) = 0 ! -2e- x2(1- 2x2)= 0 , stąd x = - lub x = .
2 2
Następnie badamy znak f ''(x) w sąsiedztwie tych punktów.
ł ł ł ł
2
2 2
ł ł
f ''(x) > 0 ! -2eix (1- 2x2)> 0 ! 2x2 -1 > 0 ! x "ł - ",- *" ,"ł.
ł ł ł ł
2 2
ł łł ł łł
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
43
Ponieważ w sąsiedztwie wyznaczonych punktów f ''(x) zmienia znak, więc funkcja f ma
1 1
ł - ł ł - ł
2
2
ł, 2 2 ł.
punkty przegięcia: P1ł- , e P2 ł , e
ł ł ł ł
2 2
ł łł ł łł
Zadania
1. Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji
x
x
ł ł
a) f (x) = 2x2 + ln x ; b) f (x) = .
ł ł
e
ł łł
2. Wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji
x
x
a) f (x) = ; b) f (x) = e .
ln x
Odpowiedzi
ł ł
1 1 e2
ł0, ł,ł
2
ł ł
1. a) ,"ł ; b) wypukła dla x > 0 ; 2. a) , ; b) (1,e).
ł ł ł ł
łe 2 ł
2 2
ł łł ł łł
ł łł
Literatura: Z. Roz. III, ż 17.
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
44
CI 14 REGUAY DE L HOSPITALA. ASYMPTOTY.
1. Reguły de L Hospitala
2. Asymptoty wykresu funkcji
Reguły de L Hospitala
Korzystamy z twierdzeń podanych w [WI 15].
Przykład
Obliczyć granice funkcji:
sin x
3x -1 1 1 1
ł
a) lim ; b) limł - ł ł ł
; c) limł ł .
ł
x0 x1
x ln x x -1łł x0+ł x
ł łł
Rozwiązanie
Symbol H nad znakiem równości oznacza, że stosujemy regułę de L Hospitala. Ponadto
zakładamy, że istnieje granica po prawej stronie równości.
H
3x -1 3x ln3
a) lim =lim = ln3 ;
x0 x0
x 1
b) Wystąpił symbol nieoznaczony [" - "] więc musimy przedstawić funkcję w takiej postaci
0 "
ł łł ł łł
aby wystąpił równoważny symbol lub .
ł0śł ł" śł
ł ł ł ł
1 1 x -1- ln x 0
ł ł łł
limł - ł
= lim . Mamy symbol nieoznaczony postaci a więc możemy
ł
ł0śł
x1
ln x x -1łł x1 (x -1)ln x
ł ł ł
stosować reguły de L Hospitala (dwukrotnie).
1
1-
H H
x -1- ln x x -1 1 1 1
x
lim =lim = lim =lim = lim = .
x1 x1 x1 x1 x1
x -1 1
(x -1)ln x x ln x + x -1 ln x + 2 2
ln x + ln x + x " +1
x x
c) Mamy symbol nieoznaczony ["0].
sin x sin x 1
sin x ln
1 1 1
ł ł
x
Niech h(x) = , ln h(x) = lnł ł , ln h(x) = sin x ln stąd h(x) = e .
ł ł ł ł
x x x
ł łł ł łł
1
Następnie obliczamy lim sin x ln . Wystąpił symbol nieoznaczony [0 " "] więc
x0+
x
przekształcamy funkcję i dwukrotnie stosujemy regułę de L Hospitala.
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
45
1 1
ł
"ł- ł
ł
1 1
x2
ł łł
ln
H H
1 sin2 x 2sin xcos x 0
x x
lim sin xln = lim = lim = lim = lim = = 0 .
x0+ x0+ 1 x0+ 1 x0+ x0+
x xcos x cos x - xsin x 1
- "cos x
sin x sin2 x
Ostatecznie szukana granica danej funkcji równa się e0 = 1.
Asymptoty
Przykład
x -1
Wyznaczyć równania asymptot danej krzywej: y = x ln ;
x
Rozwiązanie
Wyznaczamy dziedzinę funkcji;
x -1
> 0 ! x(x -1) > 0 , x "(- ",0)*"(1,").
x
Sprawdzamy czy funkcja ma asymptoty pionowe w punktach 0 lub 1.
1 1
"
x -1 x -1
x2
ln
H
x -1 x
x x
lim x ln = lim = lim = lim = 0 wynika, stąd że prosta x = 0 nie
x0
x0- 1 x0- 1 x0-
x 1- x
-
x x2
jest asymptotą pionową.
x -1
lim x ln = -" więc prosta x = 1 jest asymptotą pionową prawostronną.
x1+
x
Z kolei szukamy asymptot ukośnych:
f (x) x -1
m = lim = lim ln = ln1 = 0 . Dla x -" również m = 0 .
x" x"
x x
x -1
ln
H H
x -1 x 1
x
n = lim( f (x) - mx) = lim x ln = lim = lim = lim = -1, również dla
x" x" x" x" x"
1
x 1- x -1
x
x -" m = 0 . Mamy więc asymptotę poziomą y = -1.
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
46
Zadania
1. Obliczyć granice:
x
ą
ax -1 1 (1+ x) -1 ln(1+ x)
ł
a) lim , a > 0 ; b) limł1+ ; c) lim ; d) lim .
ł ł
x0 x" x0 x0
x x x x
ł łł
2. Wyznaczyć równania asymptot danych krzywych:
4
ln x
x
a) f (x) = x + ; b) f (x) = xe -1.
x
Odpowiedzi
1. a) ln a ; b) e ; c) ą ; d) 1
2. a) x = 0, y = x ; b) x = 0, y = x + 3.
Literatura: Z. Roz. 3, ż 18, 19.
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
47
CI 15 BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
Badanie przebiegu zmienności funkcji możemy przeprowadzić według następującego
schematu:
1. Określamy dziedzinę funkcji,
2. Wyznaczamy granice funkcji na krańcach przedziałów określoności,
3. Znajdujemy punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych,
4. Sprawdzamy, czy funkcja jest parzysta, nieparzysta lub okresowa,
5. Wyznaczamy asymptoty wykresu funkcji (pionowe, ukośne),
6. Znajdujemy ekstrema funkcji oraz przedziały monotoniczności,
7. Znajdujemy punkty przegięcia oraz przedziały wypukłości i wklęsłości,
8. Szkicujemy wykres funkcji na podstawie informacji uzyskanych w punktach 1  7, które
można zestawić w postaci tabelarycznej.
Przykład
Zbadać przebieg zmienności funkcji x f (x) = x 1 - 4x2 .
Rozwiązania
1 1
1. Dziedziną funkcji jest przedział domknięty - , ponieważ
2 2
1 1
1 - 4x2 e" 0 ! (1 - 2x)(1 + 2x) e" 0 ! x " - , .
2 2
1 1
2. Badamy granice funkcji dla x - + oraz x -
2 2
lim x 1- 4x2 = 0 , lim x 1- 4x2 = 0 .
1
1
x -
x +
2
2
3. Znajdujemy punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych
1 1
ł ł
0x: y = 0 ! x 1 - 4x2 = 0 ! x = 0 lub x = - lub x = , 0y: x = 0 y = 0.
ł ł
ł łł
2 2
Możemy zauważyć, że funkcja x x 1 - 4x2 jest nieparzysta
ł ł
ł '" ł
1 1
x " - , - f (x) = f (-x)ł więc jej wykres musi być symetryczny względem początku
ł
2 2
ł ł
ł łł
układu współrzędnych.
Funkcja nie ma asymptot.
4. Badamy pochodną funkcji:
1 1- 8x2
f 2 (x) = 1- 4x2 + x (-8x) = .
2 1- 4x2 1- 4x2
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
48
ł- 1 1 1 1
ł, ł
Dziedziną pochodnej jest przedział otwarty , ponieważ 1- 4x2 > 0 ! x "ł - , .
ł ł ł ł
ł łł ł łł
2 2 2 2
ł 1 1 ł
Znajdujemy miejsca zerowe pochodnej: f 2 (x) = 0 ! 1- 8x2 = 0 ! x = - , .
ł ł
ł łł
2 2 2 2
Badamy znak pochodnej
ł 1 1 ł
f 2 (x) > 0 ! 1- 8x2 > 0 ! x "ł - , ,
ł
ł łł
2 2 2 2
ł 1 1 ł ł 1 1
ł
f 2 (x) < 0 ! 1- 8x2 < 0 ! x "ł - , - ł ł ł
*" , .
ł 2 łł ł 2łł
2 2 2 2
1
5. Ekstrema funkcji. W punkcie x = - pochodna zmienia znak:
2 2
1 1 ł ł
1
f 2 (x) < 0 dla x < - , f 2 (x) > 0 dla x > - , f 2 = 0 , więc funkcja osiąga w tym
ł- ł
ł łł
2 2 2 2 2 2
ł ł
1 1 1
punkcie minimum: xmin = - , ymin = f =
ł- ł - .
ł łł 4
2 2 2 2
1
Analogicznie wykazujemy, że w punkcie x = funkcja osiąga maksimum:
2 2
ł ł
1 1 1
xmax = , ymax = f = .
ł ł
ł łł 4
2 2 2 2
Oczywiście punkty P1 xmin , ymin i P2 xmax , ymax są symetryczne względem początku układu
( ) ( )
(funkcja nieparzysta).
ł ł
1 1
6. Przedziały monotoniczności. Funkcja jest rosnąca dla x "
ł- , , natomiast malejąca dla
ł
ł łł
2 2 2 2
ł 1 1 ł ł 1 1 ł
x "ł - , - ł oraz x "ł , ł .
2 2
2 2 2 2
ł łł ł łł
7. Przedziały wypukłości i wklęsłości, punkty przegięcia
'
ł
1- 8x2 ł 4x(8x2 - 3) 1 1
ł
ł ł
f ''(x) = = , x "ł- ,
ł ł
ł
2 2
ł łł
1- 4x2 ł (1- 4x2) 1- 4x2
ł łł
3 3
f ''(x) = 0 ! x(8x2 - 3)= 0 ! x = 0 (" x = - (" x = .
8 8
Funkcja f może mieć punkt przegięcia tylko w punkcie x=0 ponieważ pozostałe punkty nie należą do
dziedziny funkcji.
4x(8x2 - 3) 1 1
ł
f ''(x).0 ! > 0 ! x(8x2 - 3)> 0 ! x "ł- ,0ł, f ''(x) < 0 dla x "ł0, .
ł ł ł ł
2 2
ł łł ł łł
(1- 4x2) 1- 4x2
1 1
Wynika stąd, że funkcja f jest wypukła dla x "< - ,0) oraz wklęsła dla x"(0, > .
2 2
Ponieważ w punkcie x=0 pochodna f ''(x) zmienia znak, więc punkt O(0,0) jest punktem
przegięcia wykresu funkcji.
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
49
8. Wykres funkcji (rys.)
Rys.
Zadania
Przeprowadzić badanie funkcji:
x2
-
1 x2
2
a) f (x) = e ; b) f (x) = .
4 - x
2Ą
Literatura: Z. Roz. III, ż 20.
Projekt  Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
50


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
zadania przygotowawcze matematyka i stopien i semestr 2010
zaliczenie ćwiczeń semestr 10
Patrologia ćwiczenia semestr letni
Sprawozdanie Z Zespolu Nauk Matematycznych II Semestr

więcej podobnych podstron