Instrukcja nr 4. Azymut, czwartak, rachunek współrzędnych
Kierunek Architektura Krajobrazu sem. II  studia stacjonarne PS
7-8
1.1
Azymutem AAB boku AB nazywamy kąt poziomy, zawarty w przedziale od 0 do 400g, pomiędzy kierun-
kiem północy wychodzącym z punktu A, a danym bokiem AB, liczony od kierunku północy w prawo,
czyli zgodnie z ruchem wskazówek zegara (1). Jeśli punktem początkowym boku, dla którego okre-
ślamy azymut jest punkt B, wtedy po wyprowadzeniu z niego kierunku północy i zakreśleniu kąta w
prawo pomiędzy północą a bokiem BA otrzymamy azymut boku odwrotnego, oznaczony symbolem:
ABA. Zgodnie z rys. 1 azymut ten różni się od azymutu boku AB o wartość kąta półpełnego:
ABA = AAB +200g
W powyższym wzorze znak plus odnosi się do azymutów wyjściowych mniejszych od 200g, zaś znak
minus dotyczy azymutów wyjściowych przekraczających 200g.
Rys.1. Azymut linii głównej i odwrotnej (7).
Czwartak linii AB jest definiowany jako kąt ostry zawarty pomiędzy linią osi x, czyli jej dodatnim lub
ujemnym kierunkiem, a danym bokiem AB. W ćwiartkach: I i IV ramieniem wyjściowym czwartaków
jest prosta skierowana na północ, natomiast w ćwiartkach: II i III ramię to stanowi prosta skierowana
na południe.
Na podstawie rysunku 2 można określić zestawione w tabeli 1 zależności pomiędzy azymutem a
czwartakiem w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych prostokątnych. Zależności te po-
zwalajÄ… na ustalenie orientacji dowolnego kierunku, czyli obliczenie jego azymutu na podstawie war-
tości czwartaka Ć.
Opracował:
dr inż. Piotr Krzysztof Tuz Katedra Systemów Inżynierii Środowiska Politechnika Białostocka
wersja z dnia 2011-11-14 Strona 1
Instrukcja nr 4. Azymut, czwartak, rachunek współrzędnych
Kierunek Architektura Krajobrazu sem. II  studia stacjonarne PS
7-8
Tabela 1. Związek pomiędzy azymutem i czwartakiem w poszczególnych ćwiartkach geodezyjnego
układu współrzędnych (7)
Rys. 2. Azymuty w poszczególnych ćwiartkach (7).
Związek pomiędzy przyrostami współrzędnych a azymutem i długością boku tłumaczy rysunek 3.
Rys. 3. Związek pomiędzy przyrostami współrzędnych a azymutem i długością boku (7).
Na podstawie zależności dla trójkąta ABK możemy określić:
"XAB=XB-XA
"YAB=YB-YA
Opracował:
dr inż. Piotr Krzysztof Tuz Katedra Systemów Inżynierii Środowiska Politechnika Białostocka
wersja z dnia 2011-11-14 Strona 2
Instrukcja nr 4. Azymut, czwartak, rachunek współrzędnych
Kierunek Architektura Krajobrazu sem. II  studia stacjonarne PS
7-8
Jednocześnie możemy określić znaki przyrostów współrzędnych w różnych ćwiartkach i zależność
azymutu i czwartaka.
Tabela 2. Zależność pomiędzy azymutem i czwartakiem oraz przyrostami współrzędnych w różnych
ćwiartkach.
1.2. Obliczenie współrzędnych punktu leżącego na prostej.
Funkcje trygonometryczne azymutu boku AB: sin A, cos A obliczone wg wzorów noszą nazwę współ-
czynników kierunkowych boku AB.
Ostateczne wzory na obliczenie współrzędnych punktu posiłkowego P na prostej AB przyjmą postać:
XP = XA + LAP * cos AAB
YP = YA + LAP * sin AAB
Odległość LAP , stanowi tzw. miarę bieżącą punktu P. Po jej zmierzeniu należy kontynuować wyzna-
czanie innych miar bieżących do dalszych punktów posiłkowych i zakończyć pomiar odległości na
Opracował:
dr inż. Piotr Krzysztof Tuz Katedra Systemów Inżynierii Środowiska Politechnika Białostocka
wersja z dnia 2011-11-14 Strona 3
Instrukcja nr 4. Azymut, czwartak, rachunek współrzędnych
Kierunek Architektura Krajobrazu sem. II  studia stacjonarne PS
7-8
punkcie B, w wyniku czego otrzymujemy miarę końcową, czyli długość boku AB - dAB  pomierzoną .
Miara ta powinna być zgodna z długością dAB  obliczoną , uzyskaną ze współrzędnych.
Tabela 3. Obliczenie azymutu i długości ze współrzędnych  przykłady obliczeniowe ze sprawdzeniem
Kontrola
Dðy
Oznaczenia
XB YB tg jð =
cos jð
punktów: B
Dðx+Dðy yð
Dðx
A
XA YA
Czwartak jð sin jð Dðx Dðy A+(50g)
L.p.
Oznaczenie
Dðx +ð Dðy
Odległość
Dðx Dðy
tgyð =ð
zwrotu
d =ð =ð
DðxAB = XB  XA DðyAB = YB  YA Azymut AAB
Dðx -ð Dðy
cosjð sin jð
d =ð Dðx2 +ð Dðy2
boku: A®ðB
1 2 3 4 5 6 7 8
101 1000,00 1100,00 0,5 0,8944 150,00m 79,5167g
1 100 900,00 1050,00 29,5167g 0,4472 50,00m 79,5167g
A +100,00 +50,00 29,5167g 111,80 m 3 111,80=111,80
100-101
100 900,00 1050,00 0,5 -0,8944 -150m 79,5167g+200g
2 101 1000,00 1100,00 29,5167 -0,4472 -50m 279,5167g
A -100,00 -50,00 229,5167 111,80 3 111,80=111,80
101-100
100 900,00 1050,00 0,5 -0,8944 -50m 20,4832g+200g
3 102 1000,00 1000,00 29,5167 0,4472 -150m 220,4833g
A -100,00 +50,00 170,4833 111,80 1/3 111,80=111,80
101-100
102 1000,00 1000,00 0,5 0,8944 50m 20,4832g
4 100 900,00 1050,00 29,5167 -0,4472 150m (4)20,4833g
A 100,00 -50,00 370,4833 111,80 1/3 111,80=111,80
101-100
Opracował:
dr inż. Piotr Krzysztof Tuz Katedra Systemów Inżynierii Środowiska Politechnika Białostocka
wersja z dnia 2011-11-14 Strona 4
Instrukcja nr 4. Azymut, czwartak, rachunek współrzędnych
Kierunek Architektura Krajobrazu sem. II  studia stacjonarne PS
7-8
Zadanie do samodzielnego obliczenia:
Oblicz kąty trójkąta OAB ze współrzędnych wykorzystując poznane formuły
O
A
Nr punktu X Y
A 100,10 - 20,10
O - 200,11 80,42
B 84,62 284,57
B
Literatura:
1.Tatarczyk J.; Wybrane zagadnienia z instrumentoznawstwa geodezyjnego. Skrypt uczelniany AGH,
nr 982, Kraków, 1985.
2. Jerzy Szymoński  Instrumentoznawstwo geodezyjne.
3. Robert Krzyżek  materiały dydaktyczne do zajęć z geodezji I
4. Ćwiczenia z geodezji I. Praca zbiorowa pod redakcją J. Belucha. Wydawnictwa Naukowo 
Dydaktyczne AGH, Kraków, 2007.
5. Elementy geodezji w pomiarach inżynierskich / pod red. Ryszarda Józefa Grabowskiego ; [aut.
Eugenia Bajkowska i in.]. Białystok, 1991.
6. Osada E.: Wykłady z geodezji i geoinformatyki. Niwelacja. Wydawnictwo Naukowe Dolnośląskiej
Szkoły Wyższej, 2009.
7. Jagielski A. Geodezja I. Wydawnictwo GEODPIS / ISBN: 83-922884-0-8 / Wydanie 2 - zmodyfikowane
(2005)
Opracował:
dr inż. Piotr Krzysztof Tuz Katedra Systemów Inżynierii Środowiska Politechnika Białostocka
wersja z dnia 2011-11-14 Strona 5