1.1 Lot rakiety na orbitę składa się z trzech faz: prawdopodobieństwo sukcesu w każdej fazie
wynosi odpowiednio p =0.9, p =0.8, p =0.7. Jakie jest prawdopodobieństwa, iż rakieta pomyślnie
1 2 3
osiągnie orbitę zakładając, że fazy są niezależne. Odp. 0.504
1.2. Prawdopodobieństwo prawidłowego odczytu n=5 bajtowej preambuły wynosi p=0.999.
Zakładając, że prawdopodobieństwo prawidłowego odbioru każdego bajta jest jednakowe oblicz je.
Odp. p H" 0.9997999
sB
1.3. W lidze gra n=6 drużyn. W sezonie każdy zespół musi rozegrać spotkanie ze wszystkimi
pozostałymi dwukrotnie. Ile spotkań musi się odbyć w sezonie. Odp. m=60
1.4. Oblicz na ile sposobów można wyłonić k=4 osobowy zarząd spółki spośród n=8 wspólników,
spośród których 5 to mężczyz
ni, 3 to kobiety przy założeniu, że: a) brak dodatkowych warunków na
skład zarządu, b) kobiety i mężczyz
ni muszą mieć równoliczną reprezentację. Odp. m = 1680,
1
m =120
2
1.5. Na ile sposobów można rozdać złoty, srebrny i brązowy medal w biegu, w którym wzięło
udział n=10 uczestników przy założeniu, że każdy z zawodników przybiegł na metę w różnym
czasie. Odp. m=720
k
1.6. Oblicz k wiedząc, że V =6720 i Ck=56 . Odp. k=5
n n
1.7. Kierownik działu sprzedaży w Biedronce, zlecił rozłożenie na półce pięciu koszy
zawierających: odpowiednio jabłka, banany, śliwki, arbuzy i dynie. Na ile sposobów można
uporządkować skrzynki jeżeli życzeniem kierownika jest aby arbuzy i dynie nie sąsiadowały ze
sobÄ…. Odp. n=72
1.8. Układ zbudowany jest dwóch połączonych równolegle elementów przewodzących prąd.
Prawdopodobieństwo przewodzenia prądu w przedziale czasu t każdego z tych elementów jest
jednakowe. Oblicz je wiedząc, że prawdopodobieństwo przepływu prądu w przedziale czasu t przez
układ wynosi p =0.5. Odp. pH"0.29
u
1.9. W zbiorze n=10 elementów, n =5 ma cechę c o wartości c=1, n =3 ma cechę c=2 i n =2 ma
1 2 3
cechę c=3. Losujemy kolejno bez zwracania k=2 elementy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
obydwa te elementy mają cechę o wartości c=3. Odp. pH"0.022
1.10. W urnie znajduje się n kul białych i n zielonych i n kul czerwonych. Z urny usunięto jedną
B Z C
kulę a następnie wylosowano z niej kolejną. Oblicz n wiedząc, że całkowite prawdopodobieństwo
C
wylosowania kuli czerwonej wynosi p. Odp.: Dla p=0.25, n =4 i n =5 liczba kul czerwonych jest
B Z
równa n =3.
C
1.11. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Jeśli suma oczek wyrzuconych na obu kostkach jest liczbą
podzielnÄ… przez 3, losujemy jednÄ… liczbÄ™ ze zbioru Z ={1,2,3,...,2n+k}, w przeciwnym przypadku
1
losujemy jedną liczbę ze zbioru Z ={1,2,3,...,2n}. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczby
2
3n+10
parzystej w funkcji k, zakładając, że k jest liczbą nieparzystą. Odp: Dla k=7 p=
6n +21
1.12. Rzucamy raz symetrycznÄ… kostkÄ… do gry. Zdarzenie A polega na wyrzuceniu parzystej liczby
oczek, zaÅ› zdarzenie B polega na otrzymaniu liczby oczek podzielnej przez 2. Czy zdarzenia A i B
są niezależne. Odp. Zdarzenia nie są niezależne.
1.13. Rzucamy dwa raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Zdarzenie A polega na wyrzuceniu
liczby oczek, których suma jest mniejsza od 6 zaś zdarzenie B polega na wyrzuceniu liczby oczek,
których iloczyn jest większy od 12. Czy zdarzenia A i B są niezależne. Odp. Zdarzenia nie są
niezależne.
1.14. W meczu finałowym kibicuje c =30% kibiców klubu A i c = 70% kibiców klubu B. Wśród
1 2
kibiców klubu A c =6% to zadymiarze, zaś wśród kibiców klubu B c =4% to zadymiarze. Ktoś
3 4
wrzucił petardę na boisko i zakładamy, że zrobił to zadymiarz. Z jakim prawdopodobieństwem był
to kibic klubu A, a z jakim kibic klubu B. Odp. p H"0.39 , p H"0.61
A B
1.15. W mieście działają wyłącznie dwie korporacje taksówkowe: Zieloni (c =90% taksówek w
1
mieście) i Niebiescy (c =10%). Świadek nocnego wypadku zakończonego ucieczką kierowcy
2
taksówki twierdzi, że taksówka była niebieska. Eksperymenty wykazały, że świadek rozpoznaje
kolor niebieski poprawnie z prawdopodobieństwem 0.75. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
niebieska taksówka spowodowała wypadek zostawszy prawidłowo rozpoznana przez świadka?
Odp.: p=0.25
2. Rozwiąż równanie lub nierówność. 3. Wyznacz dziedzinę funkcji oraz znajdz

funkcjÄ™ odwrotnÄ….
#" #"
x-3 =5 x+a
y=
#" #"
x-2 <1
x-b
#" #"
x2-4 =1
x4
y=x2-
#"x-2#"( x+1)<0
x2-1
(ax2-b)(x+b)=0
1
y=ln( x+ )
(x2-4)(x+1)<0
x
1
y=ln (b+ )
x-a
4. Wyznacz funkcję złożoną h(x)=g ( f (x)) 5. Określ warunek zbieżności i znajdz
sumÄ™
oraz jej pochodną jeśli: nieskończonego ciągu geometrycznego.
f (x)=2x-1 , g (x)=x2+x-1
an=x3n , n=1,2,3 ,...
1 1
2
f (x)= , g (x)= +1
an= , n=1,2 ,3 ,...
x-1 x
xn
f (x)=ax+b , g( x)=( x-a)(x+a)
an=(2+ x)n , n=1,2,3 ,...
x x+1
f (x)= , g (x)=
x+1 x an=log (xn) , n=1,2,3 , ...
6. Przekształcenia funkcji
6.1. Wyznacz miejsca zerowe funkcji, która powstaje przez translację paraboli f (x)=2x2-2x-4 o
wektor łączący punkt w którym wykres f(x) przecina oś OY z miejscem zerowym f(x) o większej
wartości odciętej. Odp. x = 2, x = 3
1 2
x-1
6.2. Wyznacz zbiór w którym funkcja powstała przez translację hiperboli f (x)= o wektor
x-2
u=-2i- j jest większa od funkcji g( x)=x2 . Odp. x"(0,1)
6.3. Parabolę daną równaniem f (x)=ax2+bx+c poddano translacji o wektor u= p i+q j . Wykaż,
że wyróżnik paraboli będącej obrazem f(x) nie zależy od pierwszej współrzędnej wektora u.
6.4. Wykaż, że funkcja odwrotna do funkcji y=ln( x) poddanej operacji odbicia symetrycznego
x
względem osi OY jest obrazem funkcji y=e poddanej operacji odbicia symetrycznego
względem osi OX.
6.5. Wyznacz klasę wektorów mających tę cechę, że funkcja y=#"ax+b#" poddana operacji translacji
o wektory należące do tej klasy będzie symetryczna względem osi OY.
6.6. FunkcjÄ™ f (x)=ax+b poddajemy operacji translacji o wektor u= p i+q j . Znajdz
zwiÄ…zek
wiążący współrzędne p i q takiej klasy wektorów, aby funkcja będąca obrazem f(x) przecinała OY w
b
punkcie o współrzędnej 0, . Zapisz ten związek w postaci funkcji q=q(p).
( )
2
7. Wykaż na podstawie definicji Cauchy'ego prawdziwość następujących granic.
3x+1=2 lim 1 x+3 log x
lim , =0 , lim +2 =3 lim =1
( )
x-1 3x-1 x log(2x)
x" x" x" x"
8. Pochodne cd.
8.1. Dla jakiej wartości parametru m pochodna funkcji y=mx3+2x-1 posiada tylko jedno miejsce
zerowe?
8.2. Dla jakiej wartości parametru m funkcje y=x2+x-6 i y=x3+(1-m) x2-( m+6) x+6m mają
równe pochodne dla argumentu x=2?
8.3. Oblicz pochodnÄ… funkcji y=x2+x +1 dla argumentu x=1 po operacji translacji tej funkcji o
wektor t=2i+ j
8.4. Dana jest funkcja f (x)=x3+mx+1 . FunkcjÄ™ tÄ… poddano operacji translacji o wektor
t=ai+b j . Wykaż, że współrzędna x-owa miejsca zerowania się pochodnej funkcji f(x) po
translacji nie zależy od parametru m.
8.5. Napięcie mierzone na wyjściu czujnika jest następującą funkcją mierzonej temperatury w
zakresie roboczym: T=a+bU +cU2 , gdzie a, b i c są znanymi stałymi wyznaczanymi w procesie
kalibracji. Bezwzględna niepewność pomiaru napięcia wynosi " U . Oblicz przybliżoną wartość
bezwzględnej niepewności pomiaru temperatury. Dlaczego nie jest korzystnie rejestrować duże
wartości napięć.
²
8.6. Spadek napięcia na warystorze jest następującą funkcją prądu przez niego płynącego U =CI
gdzie C i ² sÄ… znanymi staÅ‚ymi. BezwzglÄ™dna niepewność pomiaru prÄ…du pÅ‚ynÄ…cego przez warystor
wynosi " I . Oblicz przybliżoną wartość bezwzględnej niepewności spadku napięcia na
warystorze.
8.7. Jedną z metod pomiaru modułu Younga E jest metoda pomiaru strzałki ugięcia pręta
jednostronnie zamocowanego (Rys).
F l3
Zależność wiążąca moduł Younga i wielkość strzałki ugięcia s dana jest wzorem E= , gdzie
3 s I
s
F jest siłą obciążającą belkę, l jest długością belki, I jest powierzchniowym momentem
s
bezwładności belki. Zakładając, że pomiar s dokonywany jest z niepewnością " s , pozostałe
wielkości są stałe i znane dokładnie, oblicz przybliżoną niepewność wyznaczenia modułu Younga.